GUIA DE ESTUDOS - MÉTODOS E QUANTITATIVOS - AULA 3 - PARTE 2

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AULA 3 (PARTE 02) 
AMOSTRAGEM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
 
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AMOSTRAGEM 
 
Definição: 
 É a técnica de seleção de uma Amostra, que possibilita o estudo das 
 características de uma população. 
 
 
 Para compreendermos melhor o princípio da Amostragem, devemos 
estudar a distribuição de valores. Esta distribuição esta dividida em 2 
partes fundamentais para estatística,as quais são: 
 
 Distribuição Normal; 
 Distribuição Amostral. 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 Definição: 
 É uma distribuição contínua,a qual possui dois parâmetros 
 estatísticos fundamentais: 
 
 1º) Média; (Parâmetro de localização) 
 2º) Desvio-padrão (Parâmetro de dispersão) 
 
OBS1: A distribuição normal é uma distribuição de probabilidade ! 
 
OBS2: Os resultados da probabilidade(posicionamento dos valores),são 
 obtidos por meio de uma tabela de escore,denominada de Tabela Z. 
 
OBS3: A curva da distribuição normal é conhecida como a Curva de Gauss. 
 
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Veja: Curva de Gauss 
 
 
 50% 50% 
 
 Md = X = Mo 
 
FÓRMULA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 
 Z = X - µ onde: 
 σ 
 
 
 
CARACTERÍSTICAS DA CURVA DE GAUSS 
 
 Sua Média, Mediana e Moda são iguais. 
 Tem forma de Sino e é simétrica em torno da média. 
 A área total sob a curva é de 100% 
 
Fonte: <http://www.tomcoelho.com.br/index.aspx/s/Artigos_Exibir/221/ 
 O_mal_da_mediocridade> 
 
Z = Valor da tabela Z 
X = Valor aleatório 
µ = Média aritmética 
σ = Desvio-padrão 
 
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TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 VALORES DE Z 
 
 
 
 
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OBS1: Desde que a distribuição normal é simétrica, para calcular a área 
 entre −∞ e z das curvas probabilísticas,devemos somar o valor de 
 0,5 aos valores da tabela. 
 
OBS2: No caso de valores acima de 3,9 considera-se que o valor é 
 praticamente 1 pelo que não esta tabelado. 
 
ALGUNS EXEMPLOS DE USO DA TABELA 
 
1º) Exemplo: 
 Probabilidade de Z ≤ 1,53: 
 Na interseção da linha 1,5 com a coluna 0,03 há o valor 0,4370. Precisa-se 
 somar 0,5 porque, conforme visto, a tabela dá valores a partir de zero. 
 Assim, P( Z ≤ 1,53 ) ≈ 0,4370 + 0,5 = 0,9370. 
 
2º) Exemplo: 
 Probabilidade de Z ≤ −1,53: 
 A simetria da curva permite deduzir a fórmula para valores negativos de z: 
 P( Z ≤ v ) = 1 − P( Z ≤ |v| ) para v < 0 
 Portanto, P( Z ≤ −1,53 ) ≈ 1 − 0,9370 = 0,0630. 
 
3º) Exemplo: 
Probabilidade de −1 ≤ Z ≤ 0,5: 
A ideia gráfica permite concluir que é igual à diferença entre os valores 
calculados para cada extremo. 
P( Z ≤ 0,5 ) = 0,5 + 0,1915 = 0,6915. P( Z ≤ −1 ) = 1 − P( Z ≤ 1 ) = 
 1 − (0,5 + 0,3413) = 0,1587. 
Portanto o resultado é dado por P( −1 ≤ Z ≤ 0,5 ) = 0,6915 − 0,1587 = 0,5328. 
 
 
 
 
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Ex: Um estudo dos aumentos percentuais dos preços, no atacado de produ- 
 tos industrializados, mostrou que ha distribuição normal com media de 
 50% e desvio- padrão de 10%. Qual a porcentagem dos artigos que: 
 a) Sofreram aumentos superiores a 75%? Resposta: (0,62%) 
 b) Sofreram aumentos entre 30% e 80%? Resposta: (97,59%) 
Solução: 
 Dados: 
 µ = 50% (média) 
 σ = 10% (Desvio-padrão) 
 X = modificações percentuais de preços (valor aleatório) 
a) Superiores a 75% 
 P (x>75) = P(z > 2,5) 
 Para: x= 75, Temos: z: x - µ = z: 75 - 50 = z: 25 = 2,5 
 σ 10 10 
 Portanto: 
 P(z > 2,5) = 0,5- 0,4938 = 0,0062 ou 0,62 % 
 
b) Entre 30% e 80% 
 P ( 30 < x < 80) = P(-2 < z < 3) 
 
 Para: x= 30 , Temos: z: x - µ = z: 30 - 50 = z: - 20 = -2 
 σ 10 10 
 Para: x= 80, Temos: z: x - µ = z: 80 - 50 = z: 30 = 3 
 σ 10 10 
 Portanto: 
 P(-2 < z < 3) = - 0,4772 –0,4987 = - 0,9759 ou 97,59% 
 
 
 
 
 
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Portanto,a representação da curva Gaussiana fica: 
 
 
 
 
 
 
 0,62% 12% 25% 50% 97,59% 
 
OBS1: Os valores 0,4772 foi retirado da Tabela Z; para Z = 2 ! 
 
OBS2: O valor negativo de – 0,4772 e -0,9759 devem ser ignorados! 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL 
 
 Definição: 
 É a distribuição de probabilidade de uma medida estatística, 
 baseada em uma amostra aleatória, a qual é determinada o 
 posicionamento dos valores dentro dos parâmetros da média 
 e do Desvio-padrão. 
 
OBS: Para estudarmos uma população, necessitamos de uma amostra, a qual 
 necessita de uma fundamentação específica para validar os seus dados. 
 Portanto essa validação é reconhecida por Inferências Estatísticas. 
 
 
 
 
 
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INFERÊNCIAS ESTATÍSTICAS: 
 
 Definição: 
 É o processo estatístico que se refere-se à possibilidade de 
 obtermos informações sobre a população por meio de resultados 
 amostrais. 
 
 As Inferências estatísticas são divididas em 2 áreas: 
 
 Os Testes de Hipótese (Veremos mais adiante !) 
 Estimação de Parâmetros. 
 
Estimação de Parâmetros: 
 É o valor retirado diretamente da Amostra para 
 medir e comprovar a eficácia dos possíveis 
 resultados da pesquisa. 
 
OBS1: Os parâmetros utilizados na População e na Amostra,são: 
 
 População: µ (Média) Amostra: X = Média 
 ρ 2 (Variância) S2 = Variância 
 
OBS2: A variância Amostral das médias é igual à razão da variância 
 populacional pelo número de elementos da Amostra. Então temos: 
 
 S2x = ρ 2 
 n 
 
 
 
 
Nesta fórmula a variância amostral é menor 
que a variância populacional ! S2 < ρ 2 
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DICA: 
 Na página 106 do livro a variância populacional esta sendo representada 
pela letra σ, para não confundirmos com Desvio-padrão,o qual utiliza a 
mesma letra Sigma,trocamos esta pela letra grega (Rho) = ρ. 
Então: 
 σ2 = ρ2 (Variância) 
 
 
TIPOS DE AMOSTRAGEM 
 
Temos 2 tipos de amostragem com as suas características bem definidas, as 
quais se apresentam como: 
 
 Amostragem Probabilística; 
 AmostragemNão probabilística; 
 
1º) AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA: 
 
 Todos os elementos da população tem a mesma chance de fazer parte 
da Amostra. 
 
 Ela se divide em: 
 
a) Aleatória Simples: Escolhe os elementos sem utilizar nenhum critério. 
 
b) Sistemática: Escolhemos os elementos por processo de repetição. 
 
c) Proporcional: Escolhemos os elementos por proporção pré 
 estabelecida. 
 
 
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2º) AMOSTRAGEM NÃO PROBABILÍSTICA 
 Os elementos da população são escolhidos de forma aleatória. 
Ela se divide em: 
a) Por conveniência: Escolhe os elementos, conforme a distribuição mais 
 favorável e facilitada. 
 
b) Intencional: Escolhemos os elementos, conforme a sua vontade. 
 
c) Por Tráfego: Escolhemos os seus elementos,conforme a 
 concentração, volume ou tráfego contidos na população. 
 
d) Por Quotas: Escolhemos os seus elementos, seguindo um critério 
 específico. 
 
CÁLCULO DO TAMANHO DA AMOSTRA 
 Para determinarmos um estudo estatístico por meio de uma amostra, 
devemos ter uma quantidade mínima de elementos que possibilite 
realizar uma cálculo estatístico,o qual dará uma perspectiva confiável ao 
resultado apresentado do que queremos pesquisar.Para isso,temos que 
utilizar a seguinte fórmula: 
 n = Z2.p.q 
 e2 
Onde: 
n = Número de indivíduos da Amostra; 
Z = Nível de confiança Z; 
p = proporção favorável; 
q = proporção desfavorável; 
e = Erro máximo provável (Erro-padrão) 
α = Limite de confiança 
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OBS: Quando não for mencionado em um exercício o valor da 
 proporção,subentendemos que elas serão iguais,isto é, 50% para 
 cada lado,logo podemos concluir que p = q, e que p e q = R,onde 
 temos: 
 2 
 n = Z2.R2 n = Z.R 
 e2 e 
 
OBS: Para aplicarmos esta fórmula,devemos seguir o nível de limite de 
 confiança para o tamanho de cada Amostra. Estes limites estão 
 expressos na tabela à seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: Com as informações sobre o tipo de amostragem e o tamanho da 
 amostra,podemos fornecer informações extremamente relevantes 
 para a parte administrativa de uma empresa. 
Exemplo: 
 
01) Uma assistente social, deseja saber o tamanho da amostra necessário 
para determinar a proporção da população atendida por uma Unidade de 
Saúde,a qual pertence ao Município de São José dos Pinhais, região 
metropolitana de Curitiba - Pr. Não foi feito um levantamento prévio da 
proporção amostral e, portanto, seu valor é desconhecido. Ela quer ter 
90% de confiança e estima um o erro máximo de 5% . Quantas pessoas 
necessitam ser entrevistadas? 
 
 
Limite de 
Confiança 
Valor Z 
80% 1,28 
90% 1,65 
95% 1,96 
99% 2,58 
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SOLUÇÃO: 
 
Dados: 
e= 5% = 0,05 (Erro máximo) 
α = 90% (Limite de Confiança) 
Z = 1,65 (Nível de Confiança,verificar tabela !) 
p = q =R = 50% = 0,5 ( Proporção favorável e desfavorável) 
n = ? (Nº de Indivíduos da amostra) 
Temos: 
 2 2 
 n = Z.R n = 1,65. 0,5 (16,5)2 = 272,25 
 e 0,05 n = 272 pessoas 
 
Portanto, precisamos uma Amostra de 272 pessoas para determinar a 
proporção da população atendida na Unidade de Saúde. De São José 
dos Pinhais. 
 
OBS: Caso a população seja finita,isto é, N< 100.000 elementos, 
 devemos utilizar a seguinte fórmula: 
 
 
 n = Z2.p.q.N Com N = População ! 
 (N-1).e2 + Z2.p.q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
01) Analisando as curvas abaixo marque a resposta correta. 
 
 
 
 (I) (II) (III) 
a) a curva I é simétrica - 
x > med > mo
; 
b) a curva II é assimétrica positiva - mo > > x 2 ; 
c) a curva I é simétrica x = med = mo; 
d) a curva III é simétrica positiva x = med = mo; 
e) a curva II e III são aasimétricas: x = med = mo 
 
02) A vida média útil de um aquecedor elétrico é de 1,5 anos, com um desvio –
padrão de 0,3 anos. Se são vendidos 12.000 unidades por uma empresa 
fabricante ao mês, quantos aquecedores necessitarão de conserto antes 
que expire o período de um ano de garantia ? 
a) 510 aquecedores 
b) 530 aquecedores 
c) 550 aquecedores 
d) 570 aquecedores 
e) 590 aquecedores 
 
 
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03) Um processo industrial produz canos com diâmetro médio de 2 polegadas 
e com desvio-padrão de 0,01 polegada. Os canos com diâmetro de mais de 
0,03 polegadas acima da média, são considerados defeituosos. Em uma 
produção de 10.000 canos, quantos canos estariam com defeito ? 
a) 20 
b) 27 
c) 32 
d) 36 
e) 44 
 
04) Um pesquisador deseja estimar a proporção de ratos nos quais se 
desenvolve um certo tipo de tumor quando submetidos a radiação. Ele 
deseja que sua estimativa não se desvie da proporção verdadeira por mais 
de 0,02 com uma probabilidade de pelo menos 90%.Portanto,quantos 
animais ele precisa examinar para satisfazer essa exigência? 
a) 1285 
b) 1302 
c) 1447 
d) 1528 
e) 1681 
 
05) Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em 
estimar a proporção de eleitores favoráveis a seu candidato. Determine o 
tamanho de amostra necessário para que o erro cometido na estimação 
seja de, no máximo 0,01, com probabilidade de 80%. 
a) 3942 eleitores 
b) 4096 eleitores 
c) 4595 eleitores 
d) 5029 eleitores 
e) N.D.A 
 
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Gabarito: 
 
01 - C 
02 - D 
03 - B 
04 - E 
05 - B