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Matemática Discreta resumo das 10 aulas

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Aula 1 
Representa uma coleção de objetos.
 (Teoria dos Conjuntos)
Matemática Discreta: Na matemática, o termo discreta é o antônimo de contínua. É o ramo da matemática que estuda estruturas que não aceitam continuidade, por exemplo: números inteiros.
Conjunto
A - O conjunto de todos os brasileiros.
B - O conjunto de todos os “números naturais”.
C - O conjz	unto de todos os alunos de uma determinada “turma do curso de sistemas de informação”.
D - O conjunto dos números de telefones dos “assinantes da lista telefônica do rio de janeiro”.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.
Elemento
É um dos componentes de um conjunto.
A - “José da Silva” é um elemento do conjunto dos brasileiros.
B - “1” é um elemento do conjunto dos números naturais.
C - “Antonio Xavier” é um elemento do conjunto “turma de sistemas de informação”.
D - “22810001” é um elemento do conjunto “assinantes da lista telefônica do rio de janeiro”.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.
Pertinência
É a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
A - “José da Silva” pertence ao conjunto dos brasileiros.
B - “1” pertence ao conjunto dos números naturais.
C - “Antonio Xavier” pertence ao conjunto da turma de sistemas de informação.
D - “22810001” pertence ao conjunto de assinantes do rio de janeiro.
Símbolo de Pertinência
Se um elemento pertence a um conjunto, utilizamos o símbolo  que se lê: "pertence".
Para afirmar que “1” é um número natural ou que “1” pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:
1 ∈ N
Para afirmar que “-1” não é um número natural ou que “-1” não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:
-1 ∉ N
Algumas Notações Para Conjuntos
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves e através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:
Subconjuntos: Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A    B, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.
Alguns Conjuntos Especiais
Conjunto Vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.	
Conjunto Universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.
Teoria Dos Conjuntos Numéricos
Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica em comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente caracterizados. Dentre eles, podemos citar como exemplos:  o conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos números reais. 
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os outros foram surgindo com ampliações do conjunto dos números naturais. 
 	Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam os relacionamentos entre eles.
Relação Entre Lógica E Teoria Dos Conjuntos
Conforme já comentamos, a Lógica Proposicional é fundamental no estudo da teoria dos Conjuntos. 
Existe uma relação direta entre os operadores lógicos e algumas operações sobre conjuntos. A tabela seguinte mostra tal analogia:
Conjuntos Contáveis e Não Contáveis
Complemento de um Conjunto
O complemento de um conjunto A é representado por A´ e a sentença matemática é:
A´ = {x | x Є S e X ≠ A} 
onde S é um conjunto arbitrário que representa o universo.
Aula 2 (Conjuntos Contáveis e Não Contáveis)
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes:
1 O conjunto dos números naturais não nulos:				2
    N* ={1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}
     N* = N - {0}
Utilizamos o * (asterisco) à direita do nome do conjunto do 
qual se quer suprimir o elemento zero.  
3 						 						4
Anotações 
0(A) ou card(A) (cardinalidade, numero de elementos)
V (para todo ou qualquer que seja)
P (partes de um conjunto) = todas as combinações que podemos fazer com os elementos de um conjunto, onde o conjunto vazio e o próprio conjunto contam. Podendo fazer 2 elevado a cardinalidade do conjunto.
Ex: A={ a, b, c } 		card (A) = 3	P(A) = 2³ 
AULA 3 (Análise Combinatória)
	
Aula 4: Relações Binárias
É uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida. existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Um par ordenado — simbolizado por (a, b) — precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. 
Ou seja, (a, b) ≠ (b, a)
Por exemplo, (2, 3) é um par ordenado de números reais cuja primeira coordenada é igual a dois e a segunda coordenada é igual a três.
Por exemplo, dados os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}, o produto cartesiano de A em B é o conjunto (A x B) descrito a seguir:
 
A x B = {(1, 2), (1, 4), (1, 9), (2, 2), (2, 4), (2, 9), (5, 2), (5, 4), (5, 9) }
B x A  = { (2, 1),(2, 2), (2, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 5), (9, 1), (9, 2), (9, 5)}
Relação Binária
Os conceitos intuitivo e formal de uma Relação Binária são muito semelhantes. Por exemplo, se descobrirmos que duas pessoas, Luís e Antônio, estão relacionadas, entendemos que existe alguma conexão entre elas, isto é, são primos, irmãos, amigos, etc. 
 
Formalmente definimos uma Relação Binária do conjunto A para o conjunto B como sendo 
um subconjunto do produto cartesiano (A x B).
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}.
O conjunto R= {(1, 2), (2, 4), (2, 9)} é um subconjunto (A x B), logo define uma Relação
Binária de A em B.
Relação Binária sobre um conjunto A
Dado um conjunto A, uma relação binária sobre A, é um subconjunto do produto cartesiano (A x A), ou seja, um subconjunto de pares ordenados de elementos de A.
Generalização do conceito de Relação Binária
Dados n conjuntos A1, A2,  ..., An, n> 2, uma relação n-ária em A1x A2x A3x ... An é um subconjunto do produto cartesiano (A1x A2x ... x An).
Exemplo de Relação Ternária
R = {(x, y, z)| x, y e z estão relacionados}
Em uma aplicação prática, podemos ter o conjunto das ternas ordenado 
que descreva a seguinte situação:
(x, y, z) = (número de um voo, ponto de partida, destino)
Exercício: 
Para cada uma das relações binárias R, decida quais pares ordenados pertencem a R. 
a) x R y ↔ x = y + 1; (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2) 
b) x R y ↔ x divide y; (2, 4), (2, 5), (2, 6) 
c) x R y ↔x é ímpar; (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) 
d) x R y ↔x > y2 ; (1, 2), (2, 1), (5, 2), (6, 4), (4, 3) 
Gabarito: (a) (3, 2); (b) (2, 4) e (2, 6); (c) (3, 4) e (5, 6); (d) (2, 1), (5, 2). 
Em uma Relação Binária de A para B, o conjunto A é chamado de domínio da relação e o conjunto B é chamado de contradomínio da relação. 
Exemplo 1 
Na relação, R= {(2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}, 
o Domínio é o conjunto {2, 3, 4, 5} e o Contradomínio é o conjunto {3, 4, 5, 6}. 
Exemplo 2 
Sejam os conjuntos A ={a, b, c, d} e B = {1, 2, 3}. Considere R a relação binária definida a seguir por: 
R = {(a, 3), (b, 3), (c, 2), (c, 3), (d, 2), (d, 3)} 
Observe que o domínio de R é o conjunto A = {a, b, c, d} e o Contradomínio
de R é o conjunto B = {1, 2, 3}. 
Uma representação gráfica da relação do exemplo pode ser da forma a seguir:
Classificação de uma Relação Binária
Seja R uma relação binária do conjunto A para o conjunto B.
A relação R é um para um se cada primeira componente e cada segunda componente aparecerem apenas uma vez nos pares ordenados pertencentes à relação.
A relação é um para muitos se alguma primeira componente aparecer mais de uma vez nos pares ordenados pertencentes à relação.
A relação é dita muitos para um se alguma segunda componente aparecer mais de uma vez nos pares ordenados pertencentes à relação.
A relação é muitos para muitos se pelo menos uma primeira componente e pelo menos uma segunda componente aparecerem em mais de uma vez nos pares ordenados pertencentes à relação.
Apresentação gráfica da classificação de uma relação binária:
A relação R é dita reflexiva se todos os elementos se relacionam com si próprios.
	Uma relação é irreflexiva se nenhum elemento se relaciona com si próprio.
Uma relação binária é simétrica se a relação de a com b implica na relação de b com a.
Uma relação anti-simétrica é tal que se aRb e bRa então a=b.  
Assimétrica é uma relação em que aRb implica que não bRa.
Ela é reflexiva porque todos os elementos (a, b, c) se relacionam consigo mesmo, ex: (a,a), (b,b), (c,c), que na figura é representado com a seta girando na letra.
E para ela ser simétrica as setas que saem de a para b e c, teriam que voltar, assim sendo, se tenho (a,b) também teria que ter (b,a), ou seja, ela é anti-simétrica.
		R: reflexiva e anti-simétrica.
Aula 5: Relações de ordem: Reflexivas, Simétricas, Antissimétricas, Transitivas e Equivalência
Diagrama de flechas para representar uma Relação R sobre um conjunto A
 	No estudo das relações sobre um conjunto A com poucos elementos, é útil fazer uma representação visual da relação através de um esquema de flechas, conforme indicamos a seguir:
Seja R uma relação sobre o conjunto A.
A relação R é dita REFLEXIVA se todo elemento do conjunto A está relacionado consigo mesmo, ou seja:
Relação de equivalência
	 	Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.
Relação de ordem parcial
	 	Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de ordem parcial sobre A se, e somente se, R é reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Exemplos:
A relação no conjunto dos números reais x R y se e só se x ≤ y é uma relação de ordem parcial:
De fato, é reflexiva (xRx), antissimétrica (se aRb e bRa então a = b) e transitiva (se aRb e bRc então aRc).
A relação no conjunto dos números reais x R y se e só se x < y não é reflexiva, logo não é uma relação de ordem parcial.
Outra relação de ordem parcial no conjunto dos inteiros positivos é descrita por: 
nRm se e somente se n divide m ou (n / m)
Reflexiva: n / n
Antissimétrica: se n / m e m / n, então n = m
Transitiva: se n / m e m / p então n / p
Notação
(S, ≤) - denota um conjunto parcialmente ordenado onde “  ≤   ”  pode indicar:
“menor ou igual” ou  “é um   subconjunto de” ou  “divide”,  etc..., dependendo da ordem estabelecida.
x  <  y - denota que  o elemento x é um predecessor de y ou que y é um sucessor de x na ordem parcial.
x  ≤  y - denota x = y  ou  x < y.
	 	Quando temos uma ordem parcial em um conjunto, alguns elementos deste conjunto irão preceder outros, isto é, conseguiremos estabelecer uma ordenação para os elementos do conjunto. 
De forma equivalente, se um conjunto de tarefas deve ser executado na realização de um empreendimento, a idéia de que a tarefa x precede a tarefa y (x < y) significa que a tarefa x deve ser executada antes da tarefa y. 
 	Por exemplo, deseja-se construir uma casa de madeira. O processo pode ser dividido em uma série de tarefas, algumas delas tendo outras tarefas como pré-requisitos. A tabela abaixo mostra as tarefas para construir a casa e os respectivos pré-requisitos.
Podemos definir uma ordem parcial no conjunto de tarefas por:
 x ≤ y  ↔ tarefa x = tarefa y ou tarefa x é pré-requisito para a tarefa y.
É fácil ver que essa relação é reflexiva e antissimétrica.  
Além disso, x < y ↔ tarefa x é pré-requisito para a tarefa y. 
Relação de ordem total
É uma relação de ordem parcial onde todo elemento do conjunto está relacionado a todos os outros elementos.
Diagrama de Hasse
O diagrama de Hasse representa graficamente a propriedade a seguir:  “Um elemento em um nível superior cobre o de nível inferior”.
Elemento maximal e elemento minimal para um conjunto PO
O elemento x será maximal se não existir qualquer elemento estritamente acima de x, e minimal se não existir qualquer elemento estritamente abaixo dele.
Teorema
Num conjunto A parcialmente ordenado pela relação R, se houver elemento máximo de A então é elemento maximal e não há outros; se houver elemento mínimo de A então é elemento minimal e não há outros.
Exemplo:
Consideremos o conjunto PO que consiste nos números inteiros de 1 a 6 ordenados por divisibilidade. 
Neste conjunto PO, o elemento 1 é mínimo, mas não há elemento máximo. Os elementos 4, 5 e 6 são maximais e o elemento 1 é minimal.
Não há elemento ‘maior’ que um elemento maximal nem há elemento ‘menor’ que um elemento minimal.
Aula 6: Funções: Tipos Especiais e Funções Composta
Conceito de função e domínio
 	Se x e y são duas variáveis tais que, para cada valor atribuído a x, existe, em correspondência, um único valor para y, dizemos que y é uma função de x.
 	O conjunto D de valores que podem ser atribuídos a x é chamado domínio da função. A variável x é chamada variável independente.
 	O valor de y, correspondente a determinado valor atribuído a x, é chamado imagem de x pela função e é representado por f(x). A variável y é chamada variável dependente, porque y assume valores que dependem dos correspondentes valores de x.
 	O conjunto de valores que a variável y pode assumir é definido como o contradomínio da função f.
 	O conjunto Im(f) formado pelos valores que y realmente assume, em correspondência a x, é chamado conjunto-imagem da função f.
O conjunto-imagem de uma função é o menor dos contradomínios possíveis.
Gráfico de uma Função 
É o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) do plano cartesiano, onde y = f(x). Ou ainda, Graf(f) = {(x, y) | y= f(x)}
Exemplo:
Seja f(x) = x2 a função definida no conjunto A = {1, 2, 3}. Podemos descrever  f pelo conjunto de pares ordenados:
f = { (1, 1), (2, 4), (3, 9) }
No plano cartesiano, o gráfico de f(x) é representado pelos pontos que definem f.
Tipos especiais de funções em (R x R) ou R2
Variação de sinal de uma função
 	Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x  para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
Consideremos a função do primeiro grau y = ax + b e vamos estudar o seu sinal. Sabemos que essa função se anula para x = -b/a (que é a raiz). Há dois casos possíveis.
Função polinomial do 2º grau ou função quadrática
Chama-se função quadrática ou polinomial de 2° grau qualquer função f de R em R dada por:
f(x) = ax2 + bx + c
onde: a, b, c são números reais e a ≠ 0.
 
Exemplos:
 
1. f(x) = 2x2 + 3x + 5    onde    a = 2,  b = 3,  c = 5
2. f(x) = 3x2 - 4x + 1    onde    a = 23,  b = -4,  c = 1
3. f(x) = x2 -1           onde    a = 1,  b = 0,  c = -1
4. f(x) = -x2 + 2x        onde    a = -1,  b = 2,  c = 0
5. f(x) = -4x2            onde    a = -4,  b = 0,  c = 0
Gráfico da função do 2º grau
O gráfico de uma função polinomial do 2° grau y = ax2 + bx + c, onde a ≠ 0, é...
Valores máximo e mínimo de uma função de 2° grau
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c é sempre uma parábola que possui vértice situado em um eixo vertical.
Funções injetoras
 	Dizemos que uma função f: A → B é injetora se a cada elemento do domínio A corresponde a um elemento distinto do contradomínio B. 
 	De modo geral, uma função  f : A → B é injetora se, e somente se, para todo    y      B existe um único x     A, tal que y = f(x), isto é, quando 
                    x1 ≠ x2         f(x1) ≠ f(x2)
 	Logo, cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, uma relação um para um entre os elementos do domínio e da imagem.
Função Sobrejetora
 	Dizemos que a função f é sobrejetora, quando todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio. Isto é, o conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio.
Função composta das funções f(x) e g(x)
 	Denotada por (f o g) (x), é uma função em que o conjunto imagem da função f(x) serve de domínio para a outra função g(x) que, por sua vez, gera um conjunto imagem C. Isto é,
 
(F o g) (x) = f(g(x))
Função composta  das funções  f (x) e g(x)
Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1, para determinar  a função composta (g o f) (x) = g(f(x)), basta substituir em g(x) o valor de  x por f(x), ou seja, por (2x + 3). Então:
g(f(x)) = (2x + 3) -1 = 2x + 2
Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x- 4. Determine as funções compostas f(g(x)) e g(f(x)).
 
f( g(x) ) = f(7x - 4) = 4 (7x - 4) + 2 = 28x -14
g( f(u)) = g(4u + 2) = 7(4u + 2) – 4 = 28u + 10
Consideremos as funções reais definidas por f(x)=x²+1 e g(x)=2x-4. 
Determine as funções compostas f(g(x)) e g(f(x)).
f( g(x) ) = f(2x - 4) = (2x - 4)² + 1 = 4x² - 16x + 17
g( f(x) ) = g(x² + 1) = 2(x² + 1) – 4 = 2x² - 2
 	Existem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer f(g(x)), f(f(x)) etc. 
 	Note que o conjunto imagem de uma função serve sempre de domínio para a outra.
Aula 7: Tipos Especiais de Funções no Plano Cartesiano
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Definição de Função Quadrática 	
 	Um clube dispõe de um campo de futebol de 100 m de comprimento por 70 m de largura e, por medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando o campo e a cerca uma pista com 3 m de largura. Qual é a área do terreno limitado pela cerca?
A área da região cercada é:
(100 + 2 . 3)(70 + 2 . 3) = 106 . 76 = 8 056 m2
 
Se a largura da pista fosse de 4 m, a área da região cercada seria:
(100 + 2 . 4)(70 + 2 . 4) = 108 . 78 = 8 424 m2
 
Para cada largura x escolhida para a pista há uma área A(x) em função de x:
A(x) = (100 + 2x)(70 + 2x) = 7000 + 200x + 140x + 4 x2 =
= 4 x2 + 340x + 7000
Esta é uma função polinomial do 2° grau ou função quadrática.
Chama-se função quadrática ou polinomial de 2° grau qualquer função f de R em R dada por:
f(x) = ax2 + bx + c
onde a, b, c, são números reais e a ≠ 0.
Exemplos:
1. f(x) = 2x2 + 3x + 5 		onde    a = 2,  b = 3,  c = 5
2. f(x) = 3x2 - 4x + 1		onde    a = 23,  b = -4,  c = 1
3. f(x) = x2 -1 			onde    a = 1,  b = 0,  c = -1
4. f(x) = -x2 + 2x 		onde    a = -1,  b = 2,  c = 0
5. f(x) = -4x2 			onde    a = -4,  b = 0,  c = 0
Exercícios:
1 Determine m para que a função f(x) = (m-1)x2 + 2x – 3 seja do 2° grau.
2 Determine o valor de p para que a função real 
                         f(x) = (p2 –5p + 4) x2 – 4x + 5 seja do 2° grau.
3 Identifique os coeficientes a, b, c das seguintes funções quadráticas:
M tem que ser diferente de 1
P tem que ser diferente de 1 e 4
Gráfico
 	O gráfico de uma função polinomial do 2° grau y = ax2 + bx + c, onde a ≠ 0, é uma curva chamada parábola.
 	Exemplo 1: Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x. Primeiro, atribuímos a x alguns valores; depois calculamos o valor de y e, em seguida, ligamos os pontos obtidos.
 	Exemplo 2: Vamos construir o gráfico da função y = -x2 + 1
Exercícios:
 	Esboce o gráfico de cada uma das funções reais:
	 Valores Máximo e Mínimo de uma função de 2° grau
 
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c: é sempre uma parábola de eixo vertical .
Propriedades do gráfico  y = ax2 + bx + c :
1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo e com concavidade voltada para cima.
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo e com concavidade voltada para baixo.
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde:
xv = - b/2a
yv = - D /4a , onde D = b2 - 4ac, isto é, (fórmula de Bhaskara)
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação  x = - b/2a.
7) ymax = - D / 4a ( a < 0 )
8) ymin = - D /4a ( a > 0 )
9) Forma fatorada: sendo x1 e x2 as raízes de f(x) = ax2 + bx + c  Então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir:
y = a(x - x1).(x - x2)
Função Modular é aquela que associa a cada elemento x real um elemento |x|
Adotamos a notação de uma função f(x) = |x|, como sendo: 
Sendo que o gráfico de f(x) = |x| é semelhante ao gráfico de f(x) = x, sendo que a parte negativa do gráfico será “refletida” sempre para um f(x) positivo.
Outro exemplo para uma função modular seria a função modular do 2º grau  
FUNÇÃO POTÊNCIA
f(x) = A xB
Exemplo 1
 	A figura do segundo slide mostra uma série de funções potência com diferentes valores para o expoente B. Note que algumas funções já são conhecidas: Fazendo A = 1 e B = 1 obtém-se o gráfico da função de 1° grau (em preto).
Com B = 2 obtém-se o gráfico da função do 2° grau (em vermelho).
Experimente desenhar o gráfico de várias funções potência.
Você percebe alguma relação entre o gráfico da função e a paridade do expoente (se o expoente é par ou ímpar)?
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Potência de expoente natural
 	Sendo dado um número real a e um número natural n >= 2, chama-se potência de base a e expoente n o número an que é o produto de n fatores iguais a a.
Então: a2 = a.a, a3 = a.a.a, a4 = a.a.a.a 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
 	Os algoritmos constituem um tema muito importante para a matemática e em outras áreas do conhecimento.
Na química, por exemplo, é utilizado quando se quer medir a acidez de uma solução. Os ácidos são substâncias que, quando dissolvidas em água, produzem íons H+. Quanto maior a quantidade desses íons num determinado volume de solução, maior será sua acidez. 
A acidez da solução é definida por uma grandeza chamada pH (potencial hidrogênio), que é simétrico ao logaritmo de H+, ou seja:
Definição de logaritmo
Sendo a e b números reais e positivos, com a diferente de 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a potência ax seja igual a b.
Onde:
a é a base do logaritmo
b é o logaritmando
x é o logaritmo
1ª) Logaritmo do produto
“Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois números reais e positivos é igual a soma dos logaritmos dos números”.
2ª) Logaritmo de quociente
Exemplo: log10 4/5 = log 4 - log 5
3ª) Logaritmo de potência
Função logarítmica
 	A função f: R* definida por f(x) = loga x, com 1      a > 0 é chamada função logarítmica de base a.
Exemplos:
f(x) = log2 x é função logarítmica de base 2.
f(x) = log1/2 x é função logarítmica de base 1/2.
f(x) = log10 x é função logarítmica de base 10.
Temos dois casos a considerar: 
quando a > 1;
quando 0 < a < 1.
1) y = log2 x (a > 1)
2) y = log1/2 x (0 < a < 1)
 	Nos dois exemplos, podemos observar que o gráfico não intercepta o eixo vertical.
 	O gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x = 1. y assume todos os valores reais. 
Aula 8: Relações e Banco de Dados e Operações relacionais
BANCO DE DADOS: Operações relacionais e Álgebra relacional
Podemos imaginar um banco de dados composto pelas seguintes relações:
MODELO RELACIONAL
.
Tupla: Uma linha de uma relação é chamada de tupla.
 	No exemplo, uma tupla da relação FUNCIONÁRIO é dada, por
exemplo
Atributo: O cabeçalho de uma coluna da relação é chamado de atributo.
No exemplo, os atributos da tabela FUNCIONÁRIO são: NrMatric, NmFunc, DtAdm, Sexo, CdCargo e CdDepto.
Os atributos da tabela DEPARTAMENTO são: CdDepto, NmDepto e Ramal.
Domínio de um atributo: é o conjunto onde o atributo toma seus valores.
No exemplo, o domínio do atributo VrSalário se encontra na última coluna da tabela Cargo.
Projeção:
 	Vamos supor que queremos obter o nome completo de todos os funcionários do banco de dados. Para isso será necessário executar uma operação chamada Projeção.
 	Projeção seleciona colunas específicas numa relação, isto é, efetua um corte vertical na relação.
 	Geralmente indicada por π (letra grega pi maiúsculo) ou p. Por operar sobre apenas um conjunto de entrada, a projeção é classificada como uma operação unária.
Sintaxe para a operação de Projeção:
Relação 2 =    colunas desejadas(Relação 1)
Exemplo 1:
Na tabela Pessoa vamos selecionar o atributo Nome
Relação 2 =       Nome (Pessoa)
Propriedades do logaritmo
 	Indicada por σ (letra grega sigma) ou s, seleção é uma operação que seleciona tuplas (linhas) de uma relação que satisfazem a uma determinada propriedade.
Sintaxe para a operação de Seleção:
 	O critério de seleção deve ser uma expressão lógica que atenda a propriedade de seleção e deve ser montado usando os operadores lógicos ( ^;  v e ~ )  e relacionais (<, >, < >, =, >=, <= ).
Exemplo: 
Seja a Relação 1 dada pela tabela Pessoa
Vamos selecionar as tuplas (linhas) de pessoas com registro maior do que um e menor do que 3. Então, a nova relação será
 	A seleção pode ser entendida como uma operação que filtra as linhas de uma tabela. É uma operação unária, já que opera sobre um único conjunto de dados.
Exemplo 2: 
s Sexo = ‘M’ (funcionário)
Produz o conjunto dos elementos de funcionário que atendem ao predicado 
[Sexo = ‘M’], ou seja, representa um subconjunto dos funcionários para o qual essa condição é avaliada como verdadeira.
Junção Natural
 	É uma operação binária denotada por (R1 e R2) onde R1 e R2 são relações com uma coluna em comum. O resultado da junção natural é uma relação com todas as linhas de R1 e de R2 que possuem a coluna em comum.
A coluna comum as relações R1 e R2 aparece uma única vez no resultado.																							EX: Sejam as relações
Expressões com operações Seleção e Projeção em conjunto
 	A combinação das operações relacionais leva a uma expressão algébrica que age sobre uma ou mais relações. Essa combinação funciona como uma linha de montagem onde o resultado de uma operação é o operando da próxima.
Exemplo:
Seja a Relação
 	Selecione na tabela Conta os clientes que possuem saldo maior ou igual a R$500,00.
A sintaxe da operação relacional da seleção será dada por
Vamos agora fazer a operação de Projeção do atributo Número da conta   para a Relação acima.
A sintaxe da operação pode ser descrita por
Exercícios:
Considere o seguinte empreendimento:
 
Uma biblioteca mantém um banco de dados sobre os seus livros. As informações mantidas sobre autores incluem o nome do autor, o país de origem e os títulos de seus livros. As informações sobre os livros incluem: título, ISBN, editora e assunto.
Identificar:
1)  As relações que compõem este banco de dados.
2)  As entidades.
3)  Os atributos.
4)  Alguns exemplos de possíveis tuplas.
DIGRAMA ENTIDADE-RELACIONAMENTO
 	Os tipos de entidades tais como CLIENTE, PEDIDO, FATURA e PRODUTO são mostrados em retângulos. Tipos de relacionamentos tais como FAZ, TEM e GERA são mostrados em losangos interligados às entidades.
Atributos são mostrados em elipses conectadas a tipos de entidades ou relacionamentos.
OBS o sigma consulta e selecionar 
o Pi é para listar
Aula 9: Operações Relacionais de Renomeação e Interseção
Álgebra relacional: operações relacionais derivadas da teoria dos conjuntos
 	Chave primária: Chave selecionada entre as diversas chaves candidatas, para efetivamente identificar cada tupla.
 	Chave estrangeira: Atributo, ou conjunto de atributos, de uma relação que é chave primária numa outra relação.
 	Uma entidade será representativa de uma classe de objetos sobre os quais se quer guardar informação. Por exemplo, em uma clínica as entidades poderão ser médicos, pacientes, especialidades etc). As entidades correspondem, ao nível do modelo relacional, a relações. Cada instância de uma entidade será caracterizada pelos valores de um conjunto de atributos (um médico tem o seu nome, morada, especialidade etc).
Entre entidades estabelecem-se um conjunto de relações:
• Relações de 1 para 1.
• Relações de 1 para muitos (1 para ∞).
• Relações de muitos para muitos (∞ para ∞).
Álgebra relacional: Conceito
 	A álgebra relacional é uma coleção de operações utilizadas para manipular relações. Essas operações são usadas para selecionar tuplas de uma determinada relação ou para combinar tuplas relacionadas a diversas relações com o propósito de especificar uma consulta - uma requisição de recuperação - sobre a base de dados.
As operações da álgebra relacional são normalmente divididas em dois grupos:
 	1º Grupo: Inclui um conjunto de operações da teoria de conjuntos: UNIÃO, INTERSECÃO, DIFERENCA e PRODUTO CARTESIANO.
 	2ºGrupo: Consiste de operações desenvolvidas especificamente para bases de dados relacionais, tais como: SELECÃO, PROJECÃO e JUNCÃO.
União
- Notação: R ∪ S.
- Entrada: Tabela (R) e Tabela (S).
- Propósito: gerar linhas de acordo com um critério.
- Saída: Contém todas as linhas de R e de S.
- Duplicidade é eliminada.
Junção
-Notação: R        S.
-“p” é a condição/predicado da junção.
-Entrada: Tabela (R) e Tabela (S).
-Propósito: gera linhas de acordo com um critério.
-Saída: Para cada linha r em R e cada linha s em S, 
gerar a tupla rs se e somente se atenderem a condição p.
-Abreviação para σp ( R X S).
Diferença
- Notação: R – S.
- Entrada: Tabela (R) e Tabela (S).
- Propósito: gera linhas de acordo com um critério.
- Saída: Contém todas as linhas de R e que não 
são encontradas em S.
Interseção
-Notação: R ∩ S.
-Entrada: Tabela (R) e Tabela (S).
-Propósito: gera linhas de acordo com um critério.
-Saída: Contém todas as linhas de R que 
são encontradas em S também.
-R – (R – S) ou S – (S – R) ou R ∩ S.
Divisão
-Notação: R ÷ S.
-Entrada: Tabela (R) e Tabela (S).
-Seja grau a medida de atributos de mesmo nome.
-R tem grau (“m”+”n”).
-S tem grau “n”.
-Propósito: gera linhas de acordo com um critério.
-Saída: atributos de S cujos valores associam-se 
com todos os valores de R Grau “m”.
Relação em um banco de dados: produto cartesiano
 	Uma relação em um banco de dados é o subconjunto do produto cartesiano (D1 x D2 x ...x Dn ), onde Di é o domínio do atributo.
 	Suponha que uma determinada empresa precisa obter o nome completo, a data de admissão e o salário de cada funcionário cadastrado. Para essa consulta temos um fato novo, que é a referência a colunas de mais de uma tabela, uma vez que o nome e a data de admissão fazem parte da relação funcionário, enquanto que o salário existe apenas em cargos. Isso é problemático, pois as duas operações que conhecemos até o momento são unárias, e temos necessidade de combinar os dados de mais de uma relação. Para situações como essa existe uma operação chamada Produto Cartesiano.
Renomeação
 	Na álgebra relacional, o operador de renomeação é utilizado para alterar o nome das colunas de uma tabela. Utilizado para relacionamentos onde possam surgir nomes iguais para as colunas, como num relacionamento da tabela com ela mesma.
Atribuição
Armazena o resultado de uma expressão algébrica em uma variável de relação permite o processamento de uma consulta complexa em etapas
 Notação:  nomeVariável ← expressãoÁlgebra
Exemplo
 r1 ← σnome=‘Roberto’ (estudante)
Aula 10: Relações, Funções e Álgebra
Relacional
 	Uma relação binária em um conjunto S é, formalmente, um subconjunto de S x S; a relação satisfeita pelos pares ordenados tem, muitas vezes, uma descrição verbal.
As operações com relações binárias em um conjunto incluem união, interseção e complemento.
Conjuntos parcialmente ordenados finitos podem ser representados graficamente.
Relações matemáticas em um banco de dados são tabelas utilizadas para modelar informações e relações em um empreendimento.
Ordens parciais e relações de equivalência
 	O quadro abaixo apresenta as relações de ordens parciais e relações de equivalência com suas respectivas características importantes.
 	Relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.
Exemplo: 
Seja o conjunto A={a,b,c} então a relação R sobre A descrita por:
R = {(a, a), (b,b),(c,c),(a,c),(c,a) }
 
é de equivalência.
Exemplo:
Para as relações definidas abaixo no conjunto S = {1, 2, 3, 4}, quais são relações de equivalência?
Sugestão: Faça o esquema de flechas
 (A) R1 = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}
 (B) R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
 (C) R3 = { (2, 4), (4, 2)}
 (D) R4 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} 
 (E) R5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
 (F) R6 = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4)}
Funções injetoras
 	Dizemos que uma função f: A → B é injetora se a cada elemento do domínio A corresponde a um elemento distinto do contradomínio B. 
 	De modo geral, uma função  f : A → B é injetora se, e somente se, para todo   y  B existe um único x  A, tal que y = f(x).
 	Logo, cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, uma relação um para um entre os elementos do domínio e da Imagem.
		
Funções sobrejetoras
 	Dizemos que a função f é sobrejetora quando todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio. Isto é, o conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio.
f: A---> B, 
A = {abacate, caminhonete verde, alface, beterraba}; B = {verde, vermelho}.
Funções bijetoras
 	São funções ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contradomínio de forma um para um e exclusiva.
f: A---> B tal que  A = {abacate, caminhonete verde, alface}.
B = {fruta, meio de transporte, hortaliça} é uma função bijetora.
O quadro abaixo apresenta um resumo informal da terminologia de funções:
Revisão
Selecione a opção correta.
A relação criada a partir da operação interseção, em duas relações “A” e “B”  é:
A relação criada a partir da operação junção, em duas relações “A” e “B” é:
Qual a diferença entre as operações junção e união?

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