Unidade_III_-_Zero_de_Funcoes

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Cálculo Numérico
Zero de Funções Reais
Prof. Marcus Silva
	
2015
23/08/2015
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Prof. MSc. Marcus Silva
Introdução
1.1 Introdução
Em muitos problemas científicos e especialmente na engenharia há a necessidade da resolução de uma equação do tipo:
f(x)=0
Equações do 1º e 2º graus, certas classes de equações do 3º e 4º graus podem ter suas raízes obtidas através de métodos analíticos.
No entanto, na maioria dos casos encontrados, o problema só pode ser resolvido por métodos que aproxima a solução.
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Consideramos por exemplo o seguinte circuito:
Se quisermos saber a corrente que vai fluir no circuito temos que resolver a equação:
E – Ri – g(i) = 0
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Na prática g(i) tem o aspecto de um polinômio do terceiro grau.
O objetivo dessa unidade é o estudo de métodos numéricos para resolução de equações não lineares.
Iremos estudar apenas a obtenção de raízes reais.
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Representação Gráfica dos zeros
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Aproximação das raízes
A ideia principal dos métodos de aproximação é partir de uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação através de um processo iterativo.
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Fases do Processo 
Fase I: Localização ou isolamento das raízes
Fase II: Refinamento, que consiste em, escolhidas as aproximações iniciais no intervalo encontrado na Fase I, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão ε prefixada.
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Fases do Processo
Fase I: Isolamento das Raízes
TEOREMA: Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b].
Se f(a).f(b)<0 então existe pelo menos um ponto x = ξ entre a e b que é zero de f(x).
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Graficamente
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OBSERVAÇÃO:
Sob as hipóteses do teorema anterior, se f´(x) existir e preservar sinal em (a,b), então este intervalo contém apenas um único zero.
Exercício: Explicar por que isso ocorre através de uma interpretação gráfica
Uma forma de isolar as raízes de f(x) usando os resultados anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinais de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f(x) mudou de sinal.
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Exemplo 
f(x)=x3 - 9x + 3
Tabela de valores para f(x)
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x
-∞
-100
-10
-5
-3
-1
0
1
2
3
4
5
f(x)
-
-
-
-
+
+
+
-
-
+
+
+
Gráfico da função
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Rotina para plotar o gráfico da função
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Exemplo 
Seja a função
Tabela de valores para f(x) 
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x
0
1
2
3
...
f(x)
-
-
+
+
...
Para saber se esse zero é o único nesse intervalo, podemos utilizar a observação anterior, isto é, analisar f´(x) 
Assim podemos concluir que há somente uma raiz no intervalo (1,2)
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Gráfico da função
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Fase II - Refinamento
Outra forma de se obter graficamente zeros de uma função é obter uma equação equivalente g(x) = h(x).
Esboçamos os gráficos das funções g(x) e h(x) no mesmo eixo cartesiano e localizamos os pontos x onde as duas curvas se interceptam.
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Fase II - Refinamento
Exemplo:
Seja a função:
Fazendo: 
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Gráfico da função
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Rotina para plotar o gráfico da função
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Fase II - Refinamento
Fase II: Refinamento
Nesta fase estudaremos dois métodos de refinamento de raiz.
Os dois métodos estudados pertencem à classe dos métodos iterativos.
Cada iteração se utiliza dos resultados obtidos na iteração anterior para obter um novo resultado.
Os métodos iterativos para obtenção de zeros de funções fornecem apenas uma aproximação da solução exata.
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Fluxograma 
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Critérios de Parada
Critérios de Parada
Precisamos verificar se a raiz encontrada no passo k está suficientemente próxima do valor desejado.
Existem duas interpretações para a raiz aproximada que nem sempre levam ao mesmo resultado
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Critérios de Parada
é raiz aproximada com precisão ε se:
i) 					ou
ii) 				
Obs: ξ é o zero exato da função.
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Critérios de Parada
Como efetuar o teste i) se não conhecemos ξ?
Uma forma é reduzir o intervalo que contém a raiz em cada iteração. Ao se conseguir u	m intervalo [a,b] tal que b – a < ε
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Critérios de Parada
Nem sempre é possível satisfazer as exigências i) e ii) ao mesmo tempo.
Os métodos numéricos são desenvolvidos de forma a satisfazer ao menos um dos critérios.
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Método da Bisseção
Seja uma função f(x) contínua no intervalo [a,b]e tal que f(a).f(b)<0.
Vamos supor que o intervalo [a,b] contém apenas uma raiz.
O objetivo desse método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão requerida: (b –a ) < ε, usando para isso a sucessiva divisão de [a, b] ao meio. 	
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Método da Bisseção
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Método da Bisseção
As iterações são utilizadas da seguinte forma:	
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Método da Bisseção
Exemplo:
f(x) = xlog(x) – 1. Vimos que a essa função tem um zero no intervalo [2,3].
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Algoritmo Bisseção
início algoritmo 
	declare i, Nmax numérico 
	declare a, b, x, ε numérico 
	k<-0 
	enquanto (b – a > ε) faça
		 x<-(a+b)/2
		Se (f(a).f(x) < 0) então
			b = x
			f(b) = f(x)
		Senão
			a = x
			f(a) = f(x)
		Fim se
		k = k + 1
	Fim enquanto
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Algoritmo Bisseção
Exemplo: f(x) = x3-9x+3, I =[0,1], ε=0.001
 
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Iteração
x
f(x)
b- a
1
0.5
-1.375
0.5
2
0.25
0.765625
0.25
3
0.375
-0.322265625
0.125
4
0.3125
0.21801757812
0.0625
5
0.34375
-0.05313110351
0.03125
6
0.328125
0.08220291137
0.015625
7
0.3359375
0.01447439193
0.0078125
8
0.33984375
-0.01934391260
0.00390625
9
0.337890625
-0.00243862718
0.001953125
10
0.3369140625
0.00601691845
0.0009765625
Algoritmo Bisseção - Convergência
Satisfeitas as hipóteses de continuidade de f(x) em [a,b] e de troca de sinal em a e b, o método da bisseção gera uma sequência convergente, ou seja, é sempre possível obter um intervalo que contém a raiz em questão.
A convergência é muito lenta. Se o intervalo inicial requerida é tal que b – a >> ε, o número de iterações tende a ser muito grande.
 
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Algoritmo Bisseção - Convergência
Estimativa do número de iterações
Dada um precisão ε e um intervalo inicial [a,b] a estimativa do número de iterações é dada por:
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Método de Newton- Raphson (método das tangentes)
Este método, sob determinadas condições, apresenta vantagens sobre os métodos anteriores: é de convergência mais rápida e, para encontrar as raízes, não é obrigatória a condição f(a).f(b)<0.
O método de Newton-Raphson não precisa de um intervalo inicial. Ele considera que a curva no ponto inicial pode ser aproximada com a reta tangente à curva neste ponto.
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Análise Gráfica
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Formulação da tangente
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Processo
iterativo
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Critérios de parada
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Nmax é o número máximo de iterações
Exemplo
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Seja a função f(x)=x²+x-6, ε=0.001 e x0=1.5
Calcular a raiz próxima ao ponto inicial dado:
1º Passo:
Exemplo
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Exercício
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Determinar, usando o método de Newton, a menor raiz positiva da equação abaixo, com erro inferior a 0.01;
Exercício
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Fase I:
Exercício
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Podemos utilizar como ponto inicial o valor 2. A derivada da função proposta é:
Utilizando o método de Newton obtemos:
Resultado
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Iteração1
2.000000000000000
Iteração 2
1.178900633613573
Iteração 3
0.930894454755375
Iteração4
0.905080688500967
Iteração 5
0.904788255501210
Comparação entre os Métodos da Bisseção e de Newton
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Iterações
Bisseção
Newton-Raphson
Iteração1
1
2.000000000000000
Iteração 2
0.5
1.178900633613573
Iteração 3
0.75
0.930894454755375
Iteração4
0.875
0.905080688500967
Iteração 5
0.9375
0.904788255501210
Iteração6
0.90625
Iteração 7
0.890625
Iteração 8
0.8984375
Exercício
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Determinar, usando o método de Newton, a menor raiz positiva da equação abaixo, com erro inferior a 0.01;
R = 0.1585
Exercício
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Prof. MSc. Marcus Silva
Determinar, usando o método de Newton, a menor raiz positiva da equação abaixo, com erro inferior a 0.01;
R = 1.796321903
Exercício
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Determinar, usando o método de Newton, a menor raiz positiva das equações abaixo, com erro inferior a 0.001;
R = 1.0445
R = 2.1868
Exercício
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Determinar, usando o método de Newton, a menor raiz negativa da equação abaixo, com erro inferior a 0.001;
R = -0.14858
Exercício
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Determine as raízes das funções abaixo utilizando o método da Bisseção e o Método de Newton-Raphson com erro de 0.001, indique também quantas iterações foram necessárias para cada um dos métodos.
Respostas:
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Questão
Bisseção
Newton-Raphson
1)
0.4267
0.4263
2)
0.1585 / 3.1455
0.1585 / 3.1461
3)
1.2275 / 16.9990
1.2268 /16.9988
4)
-1.9531x(10-4)/ 0.8759
-0.0000/ 0.8767
5)
-3.5947/-2.1337/1.2529
-3.5953/-2.1333/1.2523
Exercício
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Exercício - cont
Em que A é o ângulo de campo, F é a cobertura da fração do campo com espelhos, D é o diâmetro do coletor e h é o comprimento do coletor. Considerando h = 300, F = 0.8 e D = 14, calcule o ângulo positivo A inferior a π/25 para o qual a concentração do fator C é 1200. Utilize o erro de 0.001.
R = 0.1246 (bisseção)
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Exercício 
Para fazer a instalação de uma rede de alta tensão uma empresa de energia elétrica necessita avaliar o comprimento de cabos suspensos entre torres. Suponha que a distância entre torres é de 550 m, ambas estão no mesmo nível e os fios fazem uma flecha f de 80 m, conforme figura abaixo:
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Exercício 
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Exercício 
O comprimento C é dado por:
Sendo d a distância entre duas torres e r a raiz da equação:
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Exercício 
Onde f é flecha; A raiz r(x) pertence ao intervalo [400,500]. Calcule o comprimento aproximado do cabo.
R: 579.89 m
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Exercício 
Lee and Duffy (A. I. Ch. E Jornal, 1976) relacionaram o fator de atrito para escoamento de partículas fibrosas em suspensão com o número de Reynolds, pela seguinte equação empírica:
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Exercício 
Nessa relação f é o fator de atrito, RE é o número de Raynolds e k é uma constante determinada pela concentração de partículas em suspensão. Para uma suspensão de 0.08% de concentração temos que k=28. Determine o fator f quando RE =3750.
Obs: Construa o gráfico entre 0.003 e 0.007
R: f=0.00510
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Cálculo Numérico
Unidade I
Bibliografia
BARROSO, Leônidas Conceição et al. Cálculo Numérico (com aplicações). 2. ed., São Paulo Harbra Ltda., 1987.
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