Desconto Racional e Comercial; Simples e Composto

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Aula:
Prof. Pedro Souza
Matemática
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V i s i t e a l o j a v i r t u a l
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07 e 08/10
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – BANRISUL 
 
 PEDRÃO 
 
AULA 07/10 – DESCONTOS 
 
Inicialmente, vamos considerar que há 
dois tipos de desconto: 
 
Desconto Racional ou “por dentro”: 
é aquele no qual a taxa de desconto incide 
sobre o valor presente – VP (capital) 
 
Desconto Comercial ou bancário ou 
“por fora”: é aquele no qual a taxa de 
desconto incide sobre o valor futuro – VF 
(Montante) 
 
DESCONTO SIMPLES 
 
Desconto “por dentro” ou Racional 
Simples 
 
A taxa de juros (id) também pode ser 
chamada de taxa de desconto “por dentro”, 
taxa de rentabilidade, taxa de desconto 
racional simples, taxa efetiva, taxa real, 
taxa linear ou taxa implícita. 
 
Lembre-se que obtemos os juros 
simples pela relação: 
 
j = c.i.t 
 
Onde: j = juros, c = capital, i = taxa e 
t = tempo. 
 
Lembre-se ainda que obtemos o valor 
futuro – VF (Montante) pela relação: 
 
M = c + j 
 
Onde: M = montante, c = capital e j = 
juros. 
 
Substituindo j = c.i.t em M = c + j, 
e chamando de id a taxa de desconto “por 
dentro”, obtemos: 
 
M = c + c.id.t 
 
M = c.( 1 + id.t ) → fórmula para 
cálculo do valor futuro – VF (Montante) 
 
Isolando c, obtemos: 
 
ti
Mc
d .1+
= fórmula para 
cálculo do valor presente – VP (capital) 
→
 
Isolando id, obtemos: 
 
tc
Mid
11 ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= fórmula para 
cálculo da taxa de desconto “por dentro” ou 
racional simples 
→
 
Podemos dizer que o desconto é a 
diferença entre o valor futuro – VF 
(Montante) e o valor presente – VP 
(capital): 
 
Dd = M – c 
Substituindo 
ti
Mc
d .1+
= em 
Dd = M – c, obtemos: 
 
ti
tiM
D
d
d
d .1+
⋅⋅= fórmula para 
cálculo do desconto “por dentro” simples 
→
 
 
 
Desconto “por fora” ou Bancário ou 
Comercial Simples 
 
A taxa de juros (if) também pode ser 
chamada de taxa de desconto “por fora”, 
taxa de desconto comercial, taxa nominal 
ou taxa estabelecida. 
Na modalidade de juros simples, o 
desconto “por fora” incide sobre o valor 
futuro – VF (Montante) e possui sempre o 
mesmo valor a cada período, e pode ser 
calculado, por período, pelo produto do 
Montante pela taxa de desconto “por fora”, 
que será designada por if. 
 
Df = M . if
 
Considerando-se um intervalo de 
tempo t: 
 
Df = M . if . t fórmula para cálculo 
do desconto “por fora” simples 
→
 
O valor presente – VP (capital) é obtido 
pela diferença entre o valor futuro – VF 
(Montante) e o desconto “por fora”: 
 
c = M – Df 
 
Substituindo Df = M . if . t em 
c = M – Df, obtemos: 
 
c = M – M . if . t 
 
c = M ( 1 – if . t) → fórmula para 
cálculo do valor presente – VP (capital) 
 
Importante: o desconto “por dentro” 
incide sobre o valor presente – VP (capital), 
e sua taxa de desconto (id) é normalmente 
chamada de taxa de rentabilidade, 
enquanto que o desconto “por fora” incide 
sobre o valor futuro – VF (Montante), e sua 
taxa de desconto (if) é normalmente 
chamada simplesmente de taxa de 
desconto. 
 
 
 
Exercícios 
 
 
01) Qual é o valor racional nominal de um 
título, cujo valor atual vale R$ 200,00, dois 
meses antes do vencimento e cuja taxa 
combinada fora de 10% a.m.? 
a) R$ 180,00 
b) R$ 192,00 
c) R$ 200,00 
d) R$ 220,00 
e) R$ 240,00 
 
02) Qual é o valor comercial atual de um 
título, dois meses antes do vencimento, 
cujo valor nominal vale R$ 240,00, e cuja 
taxa combinada fora de 10% a.m.? 
a) R$ 180,00 
b) R$ 192,00 
c) R$ 200,00 
d) R$ 220,00 
e) R$ 240,00 
 
03) Calcule o desconto por dentro e o valor 
atual de um título no sétimo mês após feito 
negócio. Sabendo que a taxa combinada 
foi de 120% a.a., o prazo combinado de 1 
ano e o valor nominal de R$ 3.000,00? 
a) R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00 
b) R$ 1.500,00 e R$ 1.500,00 
c) R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00 
d) R$ 800,00 e R$ 2.200,00 
e)R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00 
 
04) Calcule o desconto por fora e o valor 
atual de um título no sétimo mês após feito 
negócio. Sabendo que a taxa combinada 
foi de 120% a.a., o prazo combinado de 1 
ano e o valor nominal de R$ 3.000,00? 
a) R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00 
b) R$ 1.500,00 e R$ 1.500,00 
c) R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00 
d) R$ 800,00 e R$ 2.200,00 
e) R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00 
 
05) O desconto comercial simples de um 
título seis meses antes do seu vencimento 
é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 
10% ao mês, obtenha o valor 
correspondente no caso de um desconto 
racional simples. 
a) R$ 375,00 
b) R$ 600,00 
c) R$ 800,00 
d) R$ 700,00 
e) R$ 500,00 
 
06) Ao descontar um título por fora e por 
dentro, verificou-se que a diferença entre 
os dois descontos era de R$ 64,00. Sendo 
de 80 dias o prazo da operação e de 12% 
a.a. a taxa simples dos descontos, o valor 
nominal da letra em reais é: 
a) 96.000 
b) 95.200 
c) 94.000 
d) 92.400 
e) 90.000 
 
07) Se tenho um título com valor nominal 
de R$ 15.000,00.com vencimento daqui a 
dois anos e sendo a taxa de juros simples 
corrente de 25% a.a. qual o valor atual 
racional deste título hoje? 
a) R$ 9.600,00 
b) R$ 8.700,00 
c) R$ 9.500,00 
d) R$ 8.000,00 
e) R$ 10.000,00 
 
 
08) Se tenho um título com valor nominal 
de R$ 15:000,00 com vencimento daqui a 
dois anos e sendo a taxa de juros simples 
corrente de 25% a.a. qual o valor atual 
racional deste título daqui a 1 ano? 
a) R$ 9.600,00 
b) R$ 15.000,00 
c) R$ 9.300,00 
d) R$ 12.000,00 
e) R$ 8.000,00 
 
 
09) Se tenho um título com valor nominal 
de R$ 10.400,00 com vencimento daqui a 
dois anos e sendo a taxa de juros simples 
corrente de 24% a.a., qual o valor atual 
racional deste título 2 meses antes do seu 
vencimento? 
a) R$ 10.315.00 
b) R$ 12.610,00 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 9.615,00 
e.) R$ 14.655,00 
 
10) Se tenho um título com valor nominal 
de R$ 28.000;00 com vencimento daqui a 
dois anos e sendo a taxa de juros simples 
corrente de 24% a.a., qual! o valor atual 
racional deste título 4 meses depois de 
adquirido o título? 
a) R$ 11.600,00 
b) R$ 11.611,00 
c) R$ 8.225,00 
d) R$ 9.220,00 
e) R$ 20.000,0 
 
11) Se tenho um título com valor nominal 
de R$ 15.000,00 com vencimento. daqui a 
dois anos e sendo a taxa de juros simples 
corrente de 25% a.a. qual o valor atual 
comercial deste título hoje? 
a) R$ 9.600,00 
b) R$ 8.700,00 
c) R$ 7.500,00 
d) R$ 8.000,00 
e) R$ 10.000;00 
 
12) Se tenho um título com valor nominal 
de R$ 15.000,00 com vencimento daqui a 
dois anos e sendo a taxa de juros simples 
corrente de 25% a.a., qual o valor atual 
comercial deste título daqui a 1 ano? 
a) R$ 9.600,00 
b) R$ 15.000,00 
c) R$ 9.340,00 
d) R$ 11.250,00 
e) R$ 10.000,00 
 
13) Se tenho um título com valor nominal 
de R$ 10.000,00 e com vencimento daqui a 
dois anos e sendo a taxa de juros simples 
corrente de 24% .a.a., qual o valor atual 
comercial deste título 2 meses antes do 
seu vencimento? 
a) R$ 10.315,00 
b) R$ 12.610,00 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 9.600,00 
e) R$ 14.855;00 
 
 
14) Se tenho um título com valor nominal 
de R$ 20.000,00 com vencimento daqui a 
dois anos e sendo a taxa de juros simples 
corrente de 24% a.a., qual o valor atual 
comercial deste título 4 meses depois de 
adquirido o título? 
a) R$ 11.800,00 
b) R$ 11.611,00 
c) R$ 8.225,00 
d) R$ 9.220,00 
e) R$ 12.000,00 
 
 
15) Determine o desconto racional obtido 
ao reportar-se uma letra de valor nominal 
R$ 7.200,00 a 10% a.m. 2 mesesantes de 
seu vencimento. 
a) R$ 12,000,00 
b) R$ 1.200,00 
c) R$ 120,00 
d) R$ 120.000,00 
e) R$ 12,00 
 
 
16) Determine a desconto comercia! sofrido 
por um título de R$ 7.200,00 descontado a 
2 meses antes de seu vencimento a uma 
taxa de 10% a.m.. 
a) R$ 144.000,00 
b) R$ 14.400,00 
c) R$ 8.440,00 
d) R$ 1.440,00 
e) R$ 11.200,00 
 
 
17) Determine o valor nominal de um título 
que descontado 60 dias antes de seu 
vencimento a uma taxa de desconto de 
10% a.m. apresentou um valor descontado 
de R$ 15.000,00. 
a) R$ 1.800;00 
b) R$ 1.600,00 
c) R$ 18.000,00 
d) R$ 1.400,00 
e) R$ 1.200,00 
 
 
18) Utilizando o desconto racional, o valor 
que devo pagar por um título com seu 
vencimento daqui a 6 meses, se o seu 
valor nominal for de Cr$ 29.500,00 e eu 
desejo ganhar 36% ao ano, é de: 
a) Cr$ 24.000,00 
b) Cr$ 25.000,00 
c) Cr$ 27.500,00 
d) Cr$ 18.880,00 
e) Cr$ 24,190,00 
 
 
19) Quanto tempo antes de seu vencimento 
foi paga uma letra de R$ 20.000,00, 
descontada a 6% a.a. o desconto comercial 
foi de R$ 2.400,00? 
a) 25 meses 
b) 1 ano 
c) 10 meses 
d) 3 anos 
e) 2 anos 
 
 
20) Uma letra, faltando 8 meses para seu 
vencimento, sofre o desconto por fora de 
R$ 3.200,00. Calcular o valor atual, sendo 
a taxa de 12% a.a. 
a) R$ 38.800,00 
b) R$ 38.600,00 
c) R$ 36.000,00 
d) R$ 36.800,00 
e) R$ 38.000,00 
 
 
21) Uma letra de R$ 880.000,00 foi 
apresentada para desconto racional, 
faltando 1 ano e 3 meses para o seu 
vencimento. A que taxa foi descontada, se 
pagou R$ 800.000,00? 
a) 10% a.a. 
b) 9% a.a. 
c) 8% a.a. 
d) 7% a.a. 
e) 6% a.a. 
 
 
22) Uma letra de R$ 818.000,00 sofre o 
desconto por dentro de R$ 240.000,00, à 
taxa de 25% ao ano. Quanto tempo 
aproximadamente antes do vencimento ela 
foi liquidada? 
a) 1 ano e 2 meses 
b) 14 meses 
c) 17 meses 
d) 1 ano e 8 meses 
e) 19 meses 
 
 
23) Se o valor atual for igual a 2/3 do valor 
nominal e o prazo da aplicação for de 2 
anos, qual será a taxa de juros simples 
Considerada? 
a) 25% a.a. 
b.) 30% a.a. 
c) 35% a.a. 
d) 20% a.a. 
e) 15% a.a. 
 
 
 
 
24) O valor nominal título é igual ao dobro 
de seu valor de atual. Sabendo-se que a 
taxa de juros corrente é a 12,5% a.m.; qual 
o prazo de aplicação considerando o 
regime de capitalização simples? 
a) 8 meses 
b) 9 meses 
c) 10 meses 
d) 11 meses 
e) 12 meses 
 
 
25) O valor atual de um título é igual a 1/2 
de seu valor nominal. Calcular a taxa de 
desconto sabendo-se que o pagamento foi 
antecipado de 5 meses. 
a) 200% a.a. 
b) 20% a.m. 
c) 25% a.m. 
d) 28% a.m. 
e) 220% a.a. 
 
 
26) Qual o valor atual, calculado por 
desconto simples racional, à taxa de 37,5% 
ao mês, de um título de valor de face de 
R$100.000,00 vinte dias antes de seu 
vencimento? 
a) R$ 62.500,00 
b) R$ 70.000,00 
c) R$ 72.500,00 
d) R$ 75.000,00 
e) R$ 80.000,00 
 
 
27) Qual a diferença entre o desconto 
comercial e o desconto racional, 9% a.a. 
sobre um título de R$120.000,00, pago 50 
dias antes do vencimento?' 
a) R$ 18,52 
b) R$ 15,80 
c) R$ 1,85 
d) R$ 1,58 
e) R$ 20,00 
 
28) Um comerciante comprou uma certa 
quantidade de bombons ao preço de 
Cr$120.000,00 a caixa, para pagamento ao 
final de 18 meses. No entanto, resolveu 
pagá-las à vista, para aproveitar-se do 
desconto por fora de 8% a.a., que Ihe fora 
concedido sobre aquele prazo. Calcular o 
número de caixas de bombons adquiridas, 
sabendo-se que o desconto obtido foi no 
valor de Cr$ 4.752.000,00. 
a) 230 
b) 280 
c) 350 
d) 250 
e) 330 
 29) Admita-se que uma duplicata tenha 
sido submetida a 2 tipos da descontos. No 
primeiro caso; a juros simples, a uma taxa 
de 10% a.a., vencível em 180 dias, com 
desconto comercial (por fora). No segundo 
caso ,com desconto racional (por dentro), 
mantendo as demais condições. Sabendo-
se que a soma dos descontos, por fora e 
por dentro, foi de R$635,50, o valor 
nominal do título era de R$ 
a) 6.430,00 
b) 6.590,00 
c) 5.970,00 
d) 6.240,00 
e) 6.510,00 
 
30) José descontou 2 duplicatas em um 
banco, no regime de juros simples 
comerciais a uma taxa de juros de 15% 
a.a.. O primeiro título vencia em 270 dias e 
o segundo em 160 dias; sendo que o último 
era de valor nominal 50% superior ao 
primeiro. Sabendo-se que os dois 
descontos comerciais somaram o valor de 
R$382,50; o título que produziu o maior 
desconto tinha o valor nominal em R$, de 
a) 1.800.00 
b) 1.700,00 
c) 1.600,00 
d) 1.850,50 
e) 1.750,00 
 
 
 
 
Relação entre os descontos “por 
dentro” e “por fora” simples 
 
 
ti
Mc
d .1+
= “por dentro” →
 
c = M ( 1 – if . t) “por fora” →
 
Comparando as duas relações, 
obtemos: 
 
( )tiM
ti
Mc f
d
⋅−=+= 1.1 
 
Isolando id, obtemos: 
 
ti
ii
f
f
d ⋅−= 1 fórmula para 
cálculo da taxa de desconto “por dentro” 
em função da taxa de desconto “por fora” 
→
 
Isolando if, obtemos: 
 
ti
i
i
d
d
f ⋅+= 1 → fórmula para 
cálculo da taxa de desconto “por fora” em 
função da taxa de desconto “por dentro” 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
01) Desconto simples por fora a uma taxa 
de 20% ao mês aplicado por 1 mês é 
equivalente a desconto por dentro, também 
aplicado por 1 mês, a uma taxa mensal de: 
a) 10% 
b) 15% 
c) 17% 
d) 20% 
e) 25% 
 
 
02) Calcule a taxa simples efetiva mensal 
de uma aplicação feita utilizando desconto 
simples por fora a uma de 20% ao mês por 
1 mês. 
a) 10% 
b) 15% 
c) 17% 
d) 20% 
e) 25% 
 
 
03) Desconto simples por dentro a uma 
taxa de 25% ao mês aplicado por 1 mês é 
equivalente a desconto por fora, também 
aplicado por 1 mês, a uma taxa mensal de: 
a) 10% 
b) 15% 
c) 17% 
d) 20% 
e) 25% 
 
 
04) Calcule a taxa simples nominal mensal 
de uma aplicação feita utilizando desconto 
simples por dentro a uma de 25% ao mês 
por 1 mês. 
a) 10% 
b) 15% 
c) 17% 
d) 20% 
e) 25% 
 
 
05) Uma nota promissória de valor nominal 
R$ 7.200,00 foi resgatada 50 dias antes do 
vencimento, à taxa mensal de 2,4%, com 
desconto simples comercial. A taxa efetiva 
mensal cobrada nessa transação foi de 
a) 2,9% 
b) 2,8% 
c) 2,6% 
d) 2,5% 
e) 2,2% 
 
 
06) Uma promissória de R$240.000,00 é 
descontada em um banco 60 dias antes do 
vencimento pelo desconto comercial 
simples, aplicando-se uma determinada 
taxa de desconto. Se a operação resulta 
em uma taxa linear efetiva de desconto de 
12,5% ao mês, a taxa mensal de desconto 
comercial simples praticada pelo banco é 
de 
a) 15,0% 
b) 10,0% 
c) 9,5% 
d) 8,5% 
e) 6,5%. 
 
 
07) Calcule taxa de juros simples mensais 
que um título descontado pelo desconto 
comercial, utilizando taxa de 16% a.b. em 5 
meses: 
a) 0,80% 
b) 6,50% 
c) 13,3% 
d) 40,0% 
e) 80,0%. 
 
08) Calcule taxa nominal simples mensal 
que um título descontado pelo desconto 
racional simples, utilizando taxa de 6% a.m. 
em 5 meses: 
a) 5,00% 
b) 3,59% 
c) 2,38% 
d) 4,62% 
e) 5,50%. 
 
09) Marcos descontou um título 45 dias 
antes de seu vencimento e recebeu R$ 
370.000,00. A taxa de desconto comercial 
simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor 
nominal do título e o valor mais próximo da 
taxa efetiva da operação são, 
respectivamente, iguais a: 
a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês 
b) R$ 400.000,00 e 5,4 % ao mês 
c) R$ 450.000,00 e 64,8 % ao ano 
d) R$ 400.000,00 e 60 % ao ano 
e) R$ 570.000,00 e 5,4 % ao mês 
RESUMÃO – DESCONTO SIMPLES 
 
Desconto “por dentro” ou Racional 
Simples – VP (capital) 
 
j = c.i.t 
 
Onde: j = juros, c = capital, i = taxa e 
t = tempo. 
 
M = c + j 
 
Onde: M = montante, c = capitale j = 
juros. 
 
Dd = M – c 
 
Onde: Dd = desconto “por dentro”, 
M = montante, c = capital. 
 
Desconto “por fora” ou Bancário ou 
Comercial Simples – VF (Montante) 
 
Df = M . if . t 
 
Onde: Df = desconto “por fora”, 
M = montante, if = taxa de desconto “por 
fora”, t = tempo. 
 
c = M – Df 
 
Onde: c = capital, M = montante, 
Df = desconto “por fora”. 
 
 
DESCONTO COMPOSTO 
 
Desconto “por dentro” ou Racional 
Composto 
 
Lembre-se que no regime de juros 
compostos, o valor futuro – VF (Montante) 
pode ser obtido pela relação: 
 
M = c . ( 1 + i )t fórmula para 
cálculo do valor futuro – VF (Montante) 
→
 
Onde: M = montante, c = capital e 
id = taxa de desconto “por dentro” e 
t = tempo. 
 
Isolando c, obtemos: 
 
t
di
Mc
)1( += fórmula para 
calcular o valor presente – VP (capital) 
→
 
Podemos dizer que o desconto é a 
diferença entre o valor futuro – VF 
(Montante) e o valor presente – VP 
(capital): 
 
Dd = M – c 
Substituindo t
di
Mc
)1( += em 
Dd = M – c, obtemos: 
 
t
d
d i
MMD
)1( +−= 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−⋅= tdd i
MD
)1(
11 
fórmula para cálculo do desconto “por 
dentro” composto 
→
 
Desconto “por fora” ou Bancário ou 
Comercial Composto 
 
Na modalidade de juros compostos, o 
desconto “por fora” incide sobre o valor 
futuro – VF (Montante) e o valor presente –
VP (capital) pode ser calculado pela 
relação: 
 
c = M . ( 1 – if )t → fórmula para 
calcular o valor presente – VP (capital) 
 
Onde: M = montante, c = capital e 
if = taxa de desconto “por fora” e t = tempo. 
 
Podemos dizer que o desconto é a 
diferença entre o valor futuro – VF 
(Montante) e o valor presente – VP 
(capital): 
 
Df = M – c 
 
Substituindo c = M . ( 1 – if )t em 
Df = M – c, obtemos: 
 
Df = M – M . ( 1 – if )t
 
Df = M . [ 1 – ( 1 – if )t ] 
fórmula para cálculo do desconto “por fora” 
composto 
→
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
01) Determinar o valor do desconto que um 
título de R$ 408.150,00, com vencimento 
para 4 meses, deverá sofrer se for 
descontado a 8% a.m. de desconto 
composto? 
a) R$ 108.150,00 
b) R$ 116.867,00 
c) R$ 146.464,54 
d) R$ 126.866,56 
e) R$ 136.855,25 
 
02) Um título disponível ao fim de 6 meses 
foi descontado a juros composto de 8% 
a.m. e se reduziu a R$ 40.000,00. Qual o 
valor do título? 
a) R$ 56.176,26 
b) R$ 46.867,50 
c) R$ 50.464,54 
d) R$ 63.476,00 
e) R$ 76.866,56 
 
03) Um título vale em sua data de 
vencimento, R$ 121.000,00. Um investidor 
quer saber quanto tempo poderá antecipar 
seu resgate para que, havendo um 
desconto composto de R$ 21.000,00. a 
taxa de juros compostos cobrada seja de 
10% a.a. 
a) 4 anos 
b) 3 anos 
c) 2 anos 
d) 1 ano 
e) 7 anos 
 
04) O valor atual de um título de R$ 
700.000,00 vencível em 4 meses é R$ 
478.109,72. Qual a taxa de juros 
compostos vigente? 
a) 9% a.m. 
b) 15% a.m. 
c) 10% a.m. 
d) 18% a.m. 
e) 8% a.m. 
 
 
05) Um título de valor nominal R$ 6.500,00, 
obteve um desconto de R$ 2.707,26. Se a 
taxa de juros de mercado for de 8% a.m., 
qual deverá ser o prazo de antecipação? 
a) 3 meses 
b) 6 meses 
c) 7 meses 
d) 12 meses 
e) 2 meses 
 
 
06) Um título disponível ao fim de 6 meses 
foi descontado comercialmente a juros 
composto de 8% a.m. e se reduziu a R$ 
12.128,00. Qual o valor do título? 
a) R$ 22.175,35 
b) R$ 20.000,00 
c) R$ 25.464,54 
d) R$ 26.866,56 
e) R$ 22.345,40 
 
 
07) Um título vale em sua data de 
vencimento, R$ 100.000,00. Um investidor 
quer saber quanto tempo poderá antecipar 
seu resgate para que, havendo um 
desconto comercial composto de R$ 
27.100,00. a taxa de juros compostos 
cobrada seja de 10% a.a. 
a) 4 anos 
b) 3 anos 
c) 2 anos 
d) 1 ano 
e) 7 anos 
 
 
08) O valor atual comercial de um título de 
R$ 700.000,00 vencível em 4 meses é R$ 
479.990,00. Qual a taxa de juros 
compostos vigente? 
a) 9% a.m. 
b) 15% a.m. 
c) 10% a.m. 
d) 18% a.m. 
e) 8% a.m. 
 
 
09) Uma letra de câmbio no valor nominal 
de R$ 8.000,00 foi resgatada 4 meses 
antes de seu vencimento. Qual é o valor de 
resgate, se a taxa composta de juros 
corrente for de 4% a.m.? 
a) R$ 6.638,66 
b) R$ 5.832,63 
c) R$ 3.238,22 
d) R$ 5.855,52 
e) R$ 6.838,63 
 
 
10) Pedro receberá R$ 20.000,00 como 
parte sua numa herança. Contudo, 
necessitando do dinheiro 4 meses antes da 
data de recebimento propõe a um amigo a 
venda de seus direitos por R$ 16.454,05. 
Que taxa de juros anual Pedro pagou? 
a) 5,00% a.a. 
b) 73,77% a.a. c) 9,50% a.a. 
d) 79,59% a.a. 
e) 55,55% a.a. 
 
 
11) Se existe a possibilidade de ganhar 3% 
a.m., que desconto racional devo exigir na 
compra de um título no valor nominal de R$ 
15.800,00, vencível em 2 meses? 
a) R$ 906,98 
b) R$ 868,18 
c) R$ 110,11 
d) R$ 868,78 
e) R$ 915,12 
 
 
12) André receberá R$ 31.470,38 como 
parte sua numa herança. Contudo, 
necessitando do dinheiro 4 meses antes da 
data de recebimento propõe a um amigo a 
venda de seus direitos por R$ 20.000,00. 
Que taxa de juros mensal André pagou? 
a) 5,00% 
b) 43,77% 
c) 12,0% 
d) 46,69% 
e) 66,66% 
 
 
13) Quanto sofrerá de desconto um título 
de R$ 700.000,00, 3 meses antes de seu 
vencimento se foi descontado a 5% ao mês 
de desconto composto? 
a) R$ 94.417,77 
b) R$ 85.013,98 
c) R$ 95.313,68 
d) R$ 85.310,00 
e) R$ 90.300,78 
 
 
14) Uma Nota Promissória foi quitada 6 
meses antes de seu vencimento à taxa de 
6,0% ao mês de desconto composto. 
Sendo o valor nominal da promissória R$ 
670.000,00. Qual o valor do desconto 
concedido? 
a) R$ 227.676,42 
b) R$ 197.676,43 
c) R$ 337.654,82 
d) R$ 187.876,88 
e) R$ 145.663,13 
 
 
15) Em um título no valor nominal de R$ 
6.500,00, o desconto racional sofrido foi de 
R$ 2.707,31. Se a taxa de juros de 
mercado for de 8,0% ao mês, qual deverá 
ser o prazo de antecipação? 
a) 3 meses 
b) 6 meses 
c) 7 meses 
d) 12 meses 
e) 2 meses 
 
 
16) Determinar o prazo de antecipação de 
um título de R$ 600.000,00, que deverá ser 
descontado a 8% ao mês de desconto 
composto e que gerou um desconto de R$ 
158.982,10. 
a) 4 meses 
b) 8 meses 
c) 1 ano e 8 meses 
d) 12 meses 
e) 2 anos e 3 meses 
 
 
17) Determinar o prazo de antecipação de 
um título de R$ 236.736,30, que deverá ser 
descontado a 9% ao mês de desconto 
composto e que gerou um valor 
descontado de R$ 100.000,00. 
a) 4 meses 
b) 8 meses 
c) 1 ano e 8 meses 
d) 10 meses 
e) 2 anos e 3 meses 
 
 
18) Pedro receberá R$ 20.000,00 como 
parte sua numa herança. Contudo, 
necessitando do dinheiro 4 meses antes da 
data de recebimento propõe a um amigo a 
venda de seus direitos por R$ 16.454,05. 
Que taxa de juros mensal Pedro Pagou? 
a) 5,00% 
b) 73,77% 
c) 9,50% 
d) 79,59% 
e) 55,55% 
19) Um título cujo o valor nominal é R$ 
1.610.510,00. Qual o seu valor atual (ou 
presente) se a taxa de juros composto é de 
10% a.m. e seu vencimento é daqui a 5 
meses. 
a) R$ 2.000.000,00 
b) R$ 1.000.000,00 
c) R$ 3.000.000,00 
d) R$ 4.000.000,00 
e) R$ 500.000,00 
 
 
20) Um título de valor nominal igual a R$ 
10.000,00 é resgatado 2 meses antes de 
seu vencimento, segundo o critério de 
desconto racional composto, sabendo-se 
que a taxa de juro composto é de 10% 
a.m., qual o valor do desconto? 
a) R$ 3.885,54 
b) $ 8.264,46 
c) R$ 738,88 
d) R$ 2.785,13 
e) R$ 1.735,54 
 
 
21) Um título vai ser resgatado dois meses 
antes do seu vencimento. Sabendo que foi 
adotado o critério do desconto racional 
composto, a taxa de 15% a.m., qual o valordescontado desse título de valor nominal 
igual a R$ 100.000,00? 
a) R$ 75.614,37 
b) R$ 95.619,25 
c) R$ 99.694,35 
d) R$ 55.514,57 
e) R$ 72.214,22 
 
 
22) Qual o prazo de antecipação de um 
título de valor nominal de R$ 100.000,00. 
Sabendo-se que o valor do desconto 
composto foi de R$ 25.378,36 e a taxa de 
desconto foi de 5% a.m. 
a) 2 meses 
b) 3 meses 
c) 4 meses 
d) 5 meses 
e) 6 meses 
 
23) O valor atual de R$ 112.360,00, 2 
meses antes de seu vencimento, à taxa de 
6% ao mês de juros compostos é: 
a) R$ 350.000,00 
b) R$ 100.000,00 
c) R$ 200.000,00 
d) R$ 240.000,00 
e) R$ 150.000,00 
 
24) Qual o valor atual composto de um 
título de R$ 750.000,00 vencível em 8 
meses, se a taxa de juros compostos 
vigente é de 5% ao mês? 
a) R$ 507.629,52 
b) R$ 447.825,51 
c) R$ 207.529,51 
d) R$ 427.223,51 
e) R$ 307.621,11 
25) O valor atual de um título de R$ 
700.000,00 vencível em 4 meses é R$ 
495.897,00. Qual a taxa de juros 
compostos vigente? 
a) 9% a.m. 
b) 15% a.m. 
c) 10% a.m. 
d) 18% a.m. 
e) 8% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 08/10 – EQUIVALÊNCIAS DE 
CAPITAIS 
 
Muitas são as vezes nas quais é 
necessário fazer a troca de um ou mais 
títulos por outro(s), esta é uma situação 
que ocorre com freqüência, pois nem 
sempre um comerciante consegue honrar 
a(s) data(s) de vencimento de seu(s) 
título(s), e então efetua a troca entre os 
títulos. É importante destacar que nestas 
situações, estamos falando de títulos com 
valores diferentes, com datas de 
vencimento diferentes, mas que em certo 
momento possuem valores iguais, e este 
momento é chamado de data focal. 
A data focal é o momento utilizado 
como referência para a comparação dos 
valores que possuem datas de 
“vencimento” diferentes. 
Na data focal, os títulos (com valores 
diferentes) devem possuir um mesmo valor, 
que será considerado como o valor 
presente – VP (capital), e então serão 
chamados de capitais equivalentes. 
Podemos então dizer que os capitais 
serão equivalentes quando os seus valores 
presentes – VPs (capitais) forem iguais: 
 
c1 = c2 = c3 = ... 
 
Equivalências de capitais em juros 
simples 
 
É fundamental que seja observado se o 
exercício está sendo dado em função de 
um desconto racional (“por dentro”) ou de 
um desconto comercial (“por fora”), pois as 
relações a serem utilizadas em cada caso 
serão diferentes. 
 
 Equivalências de capitais com 
desconto “por dentro” ou racional 
simples 
 
Para trabalharmos com capitais 
equivalentes devemos sempre isolar o 
valor presente – VP (capital) nas relações. 
Lembre-se que as relações utilizadas para 
o desconto “por dentro” ou racional são: 
 
j = c.i.t 
 
Onde: j = juros, c = capital, i = taxa e 
t = tempo. 
 
M = c + j 
 
Onde: M = montante, c = capital e j = 
juros. 
 
Dd = M – c 
 
Onde: Dd = desconto “por dentro”, 
M = montante, c = capital. 
 
Substituindo j = c.i.t em M = c + j, 
e isolando c, obtemos: 
 
ti
Mc
d .1+
= 
 
Então podemos escrever: 
 
...
.1.1.1 3
3
2
2
1
1 =+=+=+= ti
M
ti
M
ti
Mc
→ fórmula para cálculo de capitais 
equivalentes com desconto racional ou “por 
dentro” simples. 
 
 
Exercícios 
 
01) Qual o valor do capital, disponível em 
120 dias, equivalente a R$ 10.500,00 
disponível em 60 dias à taxa de 10% ao 
mês de desconto simples racional? 
a) R$ 10.400,00 
b) R$ 11.400,00 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 12.250,00 
e) R$ 12.600,00 
 
02) Uma empresa deve um título de valor 
R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo 
por um outro que vencerá na data 5, 
usando uma taxa simples de 10% ao 
período, qual o valor do novo título. 
a) R$ 1.400,00 
b) R$ 1.600,00 
c) R$ 1.300,00 
d) R$ 1.200,00 
e) R$ 1.500,00 
 
03) Uma empresa deve um título de valor 
R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo 
por um outro que vencerá na data 5, 
usando uma taxa simples de 10% ao 
período, qual o valor do novo título. Utilize 
a data focal 5 para a equivalência. 
a) R$ 1.460,00 
b) R$ 1.500,00 
c) R$ 1.560,00 
d) R$ 1.600,00 
e) R$ 1.760,00 
 
04) Uma impressora é vendida à vista por 
R$ 300,00 à vista ou com uma entrada de 
30% e mais um pagamento de R$ 220,50 
após 30 dias. Qual a taxa simples mensal 
envolvida na operação? 
a) 5% 
b) 2% 
c) 10% 
d) 6% 
e) 20% 
 
 
05) Os capitais R$ 500,00 e R$ 700,00 com 
vencimentos respectivos em 150 e 360 
dias, são equivalentes. Qual a taxa mensal 
de desconto simples racional vigente? 
a) 4% 
b) 5% 
c) 6% 
d) 7% 
e) 8% 
 
 
06) Um som é vendido da seguinte forma: 
entrada de R$ 500,00 e duas prestações 
iguais de R$ 600,00. A primeira daqui a 30 
dias e a segunda daqui a 90 dias. Se a loja 
opera com uma taxa simples de desconto 
igual a 20% a.m., qual o preço à vista deste 
som? 
a) R$ 1.375,00 
b) R$ 1.220,00 
c) R$ 1.750,00 
d) R$ 1.300,00 
e) R$ 1.500,00 
 
 
07) Ume empresa devedora de três títulos 
pagáveis em 6, 12 e 18 meses, com 
valores respectivamente de R$ 4.400,00, 
R$ 6.000,00 e R$ 7.800,00. Verificando 
que apenas daqui a 12 meses possuirá 
recursos disponíveis, propõe liquidar esses 
três títulos nesta data. Qual será o valor 
deste pagamento, se a taxa de juros 
simples for de 20% a.a.? 
a) R$ 15.000,00 
b) R$ 17.500,00 
c) R$ 20.000,00 
d) R$ 22.500,00 
e)R$ 18.000,00 
 
08) Precisamos trocar três títulos com 
vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos 
com valores de R$ 1.000,00 por dois outros 
títulos de mesmo valor nominal com 
vencimento daqui a 4 e 6 meses. 
Considerando o regime de desconto 
simples racional, a uma taxa de 10% a.m., 
qual o valor nominal desses títulos. 
a) R$ 2.250,00 
b) R$ 2.750,00 
c) R$ 3.000,00 
d) R$ 3.750,00 
e) R$ 4.250,00 
 
09) Qual o valor do capital, disponível em 
180 dias, equivalente a R$ 12.000,00 
disponível em 60 dias à taxa de 5% ao mês 
de desconto simples racional? 
a) R$ 10.900,00 
b) R$ 13.000,00 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 12.500,00 
e) R$ 14.000,00 
 
 
10) Qual o valor do capital, disponível em 
150 dias, equivalente a R$ 12.000,00 
disponível em 60 dias à taxa de 10% ao 
mês de desconto simples racional? 
a) R$ 12.000,00 
b) R$ 13.000,00 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 12.500,00 
e) R$ 15.000,00 
 
 
11) Uma empresa deve um título de valor 
R$ 1.300,00 na data 6 e desejá-lo trocá-lo 
por um outro que vencerá na data 10, 
usando uma taxa simples de 5% ao 
período, qual o valor do novo título. 
a) R$ 1.400,00 
b) R$ 1.600,00 
c) R$ 1.300,00 
d) R$ 1.200,00 
e) R$ 1.500,00 
 
 
12) Qual o valor do capital, disponível em 
150 dias, equivalente a R$ 10.500,00 
disponível em 60 dias à taxa de 10% ao 
mês de desconto simples racional? 
a) R$ 12.450,00 
b) R$ 12.750,00 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 12.250,00 
e) R$ 13.125,00 
 
13) Em uma determinada loja, um cliente 
possui duas alternativas para compra um 
TV à cores. A primeira alternativa é 
pagamento à vista de R$ 480.000,0, a 
segunda alternativa é o pagamento de uma 
parcela de R$ 280.000,00 e a segunda 
após 60 dias. Sabendo que a opção de 
pagamento a prazo o preço do televisor 
seria de R$ 600.000,00, qual é a taxa de 
juros anual cobrada? 
a) 360% a.a. 
b) 120% a.a. 
c) 200% a.a. 
d) 240% a.a. 
e) 180% a.a. 
 
14) Um fogão é vendido por Cr$ 
600.000,00 à vista ou com uma entrada de 
22% e mais um pagamento de Cr$ 
542.880,00 após 32 dias. Qual a taxa de 
juros mensal envolvida na operação? 
a) 5% 
b) 12% 
c) 15% 
d) 16% 
e) 20% 
 
 
15) Uma loja vende seus produtos com 
pagamento em duas prestações mensais 
iguais, “sem juros”. A primeira prestação é 
paga no ato da compra e a segunda, um 
mês após.Entretanto um desconto de 10% 
é concedido se o cliente pagar à vista. Na 
realidade, essa loja cobra, nas vendas a 
prazo, juros mensais de: 
a) 10% 
b) 20% 
c) 25% 
d) 20% 
e) 30% 
 
 
16) Um título de valor nominal de R$ 
500,00 com vencimento daqui a 1 mês, 
precisa ser trocado por outro de valor 
nominal de R$ 700,00 com vencimento 
daqui a três meses. Supondo o critério de 
desconto racional simples, qual a taxa 
mensal que deverá ser considerada? 
a) 25% 
b) 20% 
c) 30% 
d) 15% 
e) 10% 
 
 
17) Qual será a taxa anual de desconto 
necessário, para que os capitais de R$ 
2.000,00 e R$ 2.200,00, vencíveis daqui a 
2 e 3 anos, respectivamente, sejam 
equivalentes na data atual pelo regime de 
capitalização simples? (utilize desconto 
racional) 
a) 12,5% 
b) 8,5% 
c) 11,5% 
d) 11,4% 
e) 11% 
 
18) Um vídeo game é vendido da seguinte 
forma. Entrada de R$ 500,00 e duas 
prestações iguais a R$ 1.560,00. A primeira 
daqui a 60 dias e a segunda daqui a 90 
dias. Se a loja opera com uma taxa de 
desconto igual a 10% a.m., qual o preço à 
vista? (utilize desconto racional) 
a) R$ 2.500,00 
b) R$ 2.750,00 
c) R$ 3.000,00 
d) R$ 3.250,00 
e) R$ 3.500,00 
 
19) Aplicação de R$ 2.000,00 foi feita pelo 
prazo de 9 meses contratando-se a taxa de 
juros de 28% a.a. Além desta aplicação, 
existe outra de valor nominal de R$ 
8.000,00 com vencimento a 18 meses. 
Considerando-se a taxa de juros de 10% 
a.m. e a data focal 12, qual é a soma das 
aplicações sob o critério do desconto 
racional? 
a) R$ 8.146,00 
b) R$ 8.100,00 
c) R$ 8.150,00 
d) R$ 8.175,00 
e) R$ 9.550,00 
 
 
 
 
Equivalências de capitais com 
desconto “por fora” ou comercial 
simples 
 
Para trabalharmos com capitais 
equivalentes devemos sempre isolar o 
valor presente – VP (capital) nas relações. 
Lembre-se que as relações utilizadas para 
o desconto “por dentro” ou racional são: 
 
Df = M . if . t 
 
Onde: Df = desconto “por fora”, 
M = montante, if = taxa de desconto “por 
fora”, t = tempo. 
 
c = M – Df 
 
Onde: c = capital, M = montante, 
Df = desconto “por fora”. 
 
Substituindo Df = M . if . t em 
c = M – Df, obtemos: 
 
c = M ( 1 – i . t) fórmula para 
cálculo do valor presente – VP (capital) 
→
 
 
Então podemos escrever: 
 
c = M1 ( 1 – i . t1) = M2 ( 1 – i . t2) = 
M3 ( 1 – i . t3) fórmula para cálculo 
de capitais equivalentes com desconto 
comercial ou “por fora” simples. 
→
 
 
 
Exercícios 
 
01) Uma empresa deve um título de valor 
R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo 
por um outro que vencerá na data 5, 
usando uma taxa simples comercial de 
10% ao período, qual o valor do novo título. 
a) R$ 1.760,00 
b) R$ 1.820,00 
c) R$ 1.950,00 
d) R$ 1.880,00 
e) R$ 1.700,00 
 
 
02) Um capital de R$ 900,00 disponível em 
40 dias, é equivalente a outro capital, 
disponível em 100 dias, à taxa de 60% a.a. 
de desconto simples comercial, qual o valor 
do outro capital? 
a) R$ 1.000,00 
b) R$ 2.000,00 
c) R$ 3.000,00 
d) R$ 4.000,00 
e) R$ 1.008,00 
 
 
03) Um título de R$ 7.000,00 com 
vencimento para 120 dias, deve ser 
substituído por outro título, com vencimento 
para 90 dias. Se a taxa de desconto 
simples comercial vigente é de 10% ao 
mês, qual será o valor do novo título? 
a) R$ 3.000,00 
b) R$ 4.000,00 
c) R$ 5.000,00 
d) R$ 6.000,00 
e) R$ 7.000,00 
 
 
04) Uma empresa deve um título de valor 
R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo 
por um outro que vencerá na data 5, 
usando uma taxa simples comercial de 
10% ao período, qual o valor do novo título. 
Utilize a data focal 5 para a equivalência. 
a) R$ 1.500,00 
b) R$ 1.600,00 
c) R$ 1.550,00 
d) R$ 1.625,00 
e) R$ 1.750,00 
 
05) Um negociante tem duas dívidas a 
pagar, uma de R$ 2.000,00, com 45 dias 
de prazo e outra de R$ 11.000,00, pagável 
em 60 dias. O negociante quer substituir 
essas duas dívidas por uma única, com 30 
dias de prazo. Sabendo-se que a taxa de 
desconto comercial é de 10% a.m., o valor 
nominal dessa dívida será de 
aproximadamente: 
a) R$ 11.666,00 
b) R$ 12.000,00 
c) R$ 11.000,00 
d) R$ 10.500,00 
e) R$ 11.800,00 
 
 
06) Uma empresa devedora de dois títulos 
de $ 30.000,00 cada, vencíveis em 3 e 4 
meses, deseja liquidar a dívida com um 
único pagamento no quinto mês. Calcular o 
valor desse pagamento empregando a taxa 
simples comercial de 15% a.m. 
a) $ 114.000,00 
b) $ 90.000,00 
c) $ 100.000,00 
d) $ 110.000,00 
e) $ 120.000,00 
 
 
07) Precisamos trocar três títulos com 
vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos 
com valores de R$ 1.000,00 por dois outros 
títulos de mesmo valor nominal com 
vencimento daqui a 4 e 6 meses. 
Considerando o regime de desconto 
simples comercial, a uma taxa de 10% 
a.m., qual o valor nominal desses títulos. 
a) R$ 1.900,00 
b) R$ 2.000,00 
c) R$ 2.100,00 
d) R$ 2.300,00 
e) R$ 2.400,00 
 
08) Determinar a taxa de juros mensal para 
que sejam equivalentes hoje os capitais de 
Cr$ 1.000,00 vencível em dois meses e Cr$ 
1.500,00 vencível em três meses, 
considerando-se o desconto simples 
comercial. 
a) 15% 
b) 20% 
c) 25% 
d) 30% 
e) 33,33% 
 
09) O capital R$ 700.000,00 vencível em 
40 dias, é equivalente ao capital R$ 
800.000,00 à taxa de 75% ao ano de 
desconto simples comercial. Em que data o 
capital R$ 800.000,00 estará disponível? 
a) 75 dias 
b) 85 dias 
c) 95 dias 
d) 105 dias 
e) 115 dias 
 
10) Um título de valor nominal de R$ 
500.000,00 com vencimento daqui a 1 mês 
precisa se trocado por outro de valor 
nominal de R$ 700.000,00 com vencimento 
daqui a três meses. Supondo o critério de 
desconto comercial simples, qual a taxa 
mensal que deverá ser considerada? 
a) 12,5% 
b) 11,5% 
c) 10,5% 
d) 10,0% 
e) 8,75% 
 
11) Qual será a taxa anual de desconto 
necessário, para que os capitais de R$ 
2.000,00 e R$ 2.200,00, vencíveis daqui a 
2 e 3 anos, respectivamente, sejam 
equivalentes na data atual pelo regime de 
capitalização simples? (utilize desconto 
comercial) 
a) 7,69% 
b) 7,15% 
c) 5,34% 
d) 5,8% 
e) 5% 
 
12) Um comerciante deve pagar, ao final de 
60 dias, uma conta de R$ 300,00. Porem, o 
comerciante, somente poderá efetuar o 
pagamento ao final de 120 dias, se a taxa 
de desconto simples comercial vigente é 
100% ao ano, qual será o valor do novo 
pagamento? 
a) R$ 375,00 
b) R$ 475,00 
c) R$ 575,00 
d) R$ 400,00 
e) R$ 350,00 
 
13) Um título de R$ 50.000,00 e outro de 
R$ 80.000,00, vencem respectivamente em 
60 e 120 dias. Calcular o valor nominal de 
um único título com vencimento par 30 
dias, a fim de substituir os dois primeiros. A 
taxa de desconto simples comercial é de 
20% ao mês. 
a) R$ 57.500,00 
b) R$ 72.000,00 
c) R$ 55.000,00 
d) R$ 60.500,00 
e) R$ 65.000,00 
 
 
14) Qual o valor do pagamento ao final de 
90 dias, capaz de substituir os seguintes 
pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias 
e R$ 200,00 ao final de 120 dias, se a taxa 
de desconto simples comercial de mercado 
é 20% ao mês? 
a) R$ 300,00 
b) R$ 450,00 
c) R$ 370,00 
d) R$ 350,00 
e) R$ 200,00 
 
 
15) O portador de um título de R$ 
800.000,00 com vencimento para 60 dias, 
quer trocá-lo por dois outros, de igual valor, 
vencíveis em 30 e 90 dias. Qual o valor de 
cada novo título se a taxa de desconto 
simples comercial de mercado é 120% ao 
ano? 
a) R$ 250.000,00 
b) R$ 350.000,00 
c) R$ 450.000,00 
d) R$ 550.000,00 
e) R$ 400.000,00 
 
 
16) Um vídeo game é vendido da seguinte 
forma. Entrada de R$ 500,00e duas 
prestações iguais a R$ 600,00. A primeira 
daqui a 30 dias e a segunda daqui a 90 
dias. Se a loja opera com uma taxa de 
desconto igual a 20% a.m., qual o preço à 
vista? (utilize desconto comercial) 
a) R$ 1.220,00 
b) R$ 1.120,00 
c) R$ 1.200,00 
d) R$ 1.100,00 
e) R$ 1.320,00 
 
 
17) Precisamos trocar três títulos com 
vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos 
com valores de R$ 1.000,00 por dois outros 
títulos de mesmo valor nominal com 
vencimento daqui a 4 e 6 meses. 
Considerando o regime de desconto 
comercial simples, a uma taxa de 8% a.m., 
qual o valor nominal desses títulos. 
a) R$ 1.900,00 
b) R$ 2.000,00 
c) R$ 2.200,00 
d) R$ 2.100,00 
e) R$ 1.920,00 
 
 
 
 
 
 
Equivalências de capitais em juros 
compostos 
 
Equivalências de capitais com desconto 
“por dentro” ou racional composto 
 
Para trabalharmos com capitais 
equivalentes devemos sempre isolar o 
valor presente – VP (capital) nas relações. 
Lembre-se que na relação utilizada para o 
regime de juros compostos, o valor futuro – 
VF (Montante) pode ser obtido pela 
relação: 
 
 M = c . ( 1 + i )t fórmula para 
cálculo do valor futuro – VF (Montante) 
→
 
Onde: M = montante, c = capital e 
id = taxa de desconto “por dentro” e 
t = tempo. 
 
Isolando c, obtemos: 
 
ti
Mc
)1( += 
 
Então podemos escrever: 
 
...
)1()1()1( 321
321 =+=+=+= ttt i
M
i
M
i
Mc
→ fórmula para cálculo de capitais 
equivalentes com desconto racional ou “por 
dentro” composto. 
 
 
Exercícios 
 
 
01) Um capital de R$ 900,00 disponível em 
90 dias, é equivalente a outro capital, 
disponível em 150 dias, à taxa de 5% a.m., 
qual o valor do outro capital? 
a) R$ 879,35 
b) R$ 987,70 
c) R$ 992,25 
d) R$ 995,50 
e) R$ 1.008,00 
 
 
02) Qual o valor do capital, disponível em 
120 dias, equivalentes a R$ 10.000,00, 
disponível em 90 dias, à taxa de 15% a.m.? 
a) R$ 10.400,00 
b) R$ 11.400,0 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 11.000,00 
e) R$ 11.500,00 
03) Qual o valor do capital, disponível em 
210 dias, equivalentes a R$ 10.000,00, 
disponível em 90 dias, à taxa de 10% a.m.? 
a) R$ 13.331,00 
b) R$ 14.641,00 
c) R$ 15.400,00 
d) R$ 17.350,00 
e) R$ 18.151,00 
 
04) Qual o valor do pagamento ao final de 
90 dias, capaz de substituir os seguintes 
pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias 
e R$ 220,00 ao final de 120 dias, se a taxa 
de desconto composto de mercado é 10% 
a.m.? 
a) R$ 398,00 
b) R$ 405,15 
c) R$ 370,18 
d) R$ 359,00 
e) R$ 365,00 
 
05) Qual o valor do pagamento ao final de 
90 dias, capaz de substituir os seguintes 
pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias 
e R$ 220,00 ao final de 180 dias, se a taxa 
de desconto composto de mercado é 10% 
a.m.? 
a) R$ 323,86 
b) R$ 353,15 
c) R$ 363,29 
d) R$ 456,52 
e) R$ 498,75 
 
06) Devo saldar uma dívida da seguinte 
maneira: pagando R$ 20.000,00 hoje, R$ 
12.000,00 daqui a 30 dias e R$ 10.500,00 
daqui a 60 dias. Como só terei recursos 
daqui a 30 dias e achei a taxa de 5% a.m. 
proposta pelo credor muito atraente, resolvi 
quitar a dívida ao fim de 30 dias, em 
comum acordo com o credor. De quanto 
deverá ser este pagamento único? 
a) R$ 42.023,00 
b) R$ 42.500,00 
c) R$ 43.000,00 
d) R$ 48.000,00 
e) R$ 45.000,00 
 
 
07) Devo saldar uma dívida da seguinte 
maneira: pagando R$ 20.000,00 hoje, R$ 
12.000,00 daqui a 1 mês, R$ 10.000,00 
daqui a 2 meses, R$ 10.000,00 daqui a 3 
meses e R$ 10.000,00 daqui a 4 meses. 
Como só terei recursos daqui a 30 dias e 
achei a taxa de 10% a.m. proposta pelo 
credor muito atraente, resolvi quitar a 
dívida ao fim de 30 dias, em comum acordo 
com o credor. De quanto deverá ser este 
pagamento único? 
a) R$ 78.354,35 
b) R$ 65.545,48 
c) R$ 58.868,52 
d) R$ 58.459,75 
e) R$ 60.456,18 
 
08) Precisamos trocar três títulos com 
vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos 
com valores de R$ 1.000,00 por dois outros 
títulos de mesmo valor nominal com 
vencimento daqui a 4 e 6 meses. 
Considerando o regime de desconto 
composto, a uma taxa de 10% a.m., qual o 
valor nominal desses títulos. 
a) R$ 1.900,00 
b) R$ 1.915,40 
c) R$ 1.800,75 
d) R$ 1.993,48 
e) R$ 1.887,70 
 
 
09) Qual o valor do capital com vencimento 
para 5 meses, equivalente ao capital R$ 
900.000,00, com vencimento para 3 meses, 
à taxa de 6% ao mês de juros compostos? 
a) R$ 1.500.000,00 
b) R$ 1.000.500,00 
c) R$ 1.500.200,00 
d) R$ 3.033.240,00 
e) R$ 1.011.240,00 
 
 
10) Um capital de R$ 1.000,00 disponível 
em 90 dias, é equivalente a um outro 
capital, disponível em 150 dias, à taxa de 
5% ao mês de desconto composto, qual o 
valor do outro capital? 
a) R$ 1.276,30 
b) R$ 1.107,70 
c) R$ 1.102,50 
d) R$ 1.055,50 
e) R$ 1.108,00 
 
 
11) Qual será a taxa anual de desconto 
necessário, para que os capitais de R$ 
2.000,00 e R$ 2.200,00, vencíveis daqui a 
2 e 3 anos, respectivamente, sejam 
equivalentes na data atual pelo regime de 
capitalização composta. 
a) 12,5% 
b) 8,5% 
c) 11,5% 
d) 11,4% 
e) 10% 
 
12) Qual o valor do capital, disponível em 
60 dias, equivalente a R$ 800,00, 
disponível em 150 dias à taxa de 8% ao 
mês de desconto composto? 
a) R$ 700,08 
b) R$ 915,56 
c) R$ 625,15 
d) R$ 705,56 
e) R$ 635,07 
 
 
13) Qual o valor do capital, disponível em 
120 dias, equivalentes a R$ 10.000,00, 
disponível em 90 dias, à taxa de 10% ao 
mês de desconto composto? 
a) R$ 10.400,00 
b) R$ 11.400,00 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 11.000,00 
e) R$ 11.500,00 
 
 
14) Qual o valor do capital, vencível em 3 
anos, equivalente a R$ 115.927,40 vencível 
em 8 anos, à taxa de 3% ao ano de 
desconto composto? 
a) R$ 260.000,00 
b) R$ 166.056,56 
c) R$ 1.66.250,00 
d) R$ 160.500,25 
e) R$ 100.000,00 
 
 
15) Um título de R$ 7.700,00 com 
vencimento para 120 dias, deve ser 
substituído por outro título, com vencimento 
para 90 dias. Se a taxa de desconto 
composto vigente é 10% ao mês, qual será 
o valor do novo título? 
a) R$ 3.000,00 
b) R$ 4.000,00 
c) R$ 5.000,00 
d) R$ 6.000,00 
e) R$ 7.000,00 
 
 
16) Um comerciante deve pagar, ao final de 
60 dias, uma conta de R$ 300,00. Porém, o 
comerciante somente poderá efetuar o 
pagamento ao final de 120 dias, se a taxa 
de desconto composto vigente é 5% ao 
mês, qual será o valor do novo 
pagamento? 
a) R$ 335,75 
b) R$ 475,75 
c) R$ 575,00 
d) R$ 455,75 
e) R$ 330,75 
 
17) O capital R$ 700.000,00 vencível em 
60 dias, é equivalente ao capital R$ 
805.000,00 à taxa de 15% ao mês de 
desconto composto. Em que data o capital 
R$ 805.000,00 estará disponível? 
a) 7 meses 
b) 5 meses 
c) 4 meses 
d) 3 meses 
e) 1 mês 
 
 
18) Os capitais R$ 500,00 e R$ 700,00 com 
vencimentos respectivos em 150 e 360 
dias, são equivalentes. Qual a taxa mensal 
de desconto composto vigente? 
a) 4% a.m. 
b) 5% a.m. 
c) 6% a.m. 
d) 7% a.m. 
e) 8% a.m. 
 
 
19) Um título de valor nominal de R$ 
500,00 com vencimento daqui a 1 mês, 
precisa ser trocado por outro de valor 
nominal de R$ 700,00 com vencimento 
daqui a três meses. Supondo o critério de 
desconto racional composto, qual a taxa 
mensal aproximadamente que deverá ser 
considerada? 
a) 25% 
b) 9% 
c) 30% 
d) 15% 
e) 18% 
 
 
20) Deverei pagar R$ 300.000,00 em 120 
dias. Porém, em 60 dias quero fazer um 
pagamento de R$100.000,00 por conta do 
débito. Se a taxa de juros compostos de 
mercado é 10% ao mês, quanto deverei 
ainda pagar no vencimento? 
a) R$ 109.000,00 
b) R$ 79.000,00 
c) R$ 179.000,00 
d) R$ 100.000,00 
e) R$ 125.000,00 
 
 
21) Um título de R$ 50.000,00 e outro de 
R$ 80.000,00,vencem respectivamente em 
60 dias e 120 dias. Calcular o valor nominal 
de um único título com vencimento para 30 
dias, a fim de substituir os dois primeiros. A 
taxa de desconto composto é de 10% ao 
mês. 
a) R$ 105.559,73 
b) R$ 72.089,85 
c) R$ 155.569,93 
d) R$ 60.523,65 
e) R$ 50.845,50 
 
22) Qual o valor do pagamento ao final de 
90 dias, capaz de substituir os seguintes 
pagamentos: R$ 100,00 ao final de 60 dias 
e R$ 220,00 ao final de 120 dias, se a taxa 
de desconto composto de mercado é 10% 
ao mês? 
a) R$ 310,00 
b) R$ 340,15 
c) R$ 370,18 
d) R$ 329,00 
e) R$ 350,23 
 
 
23) Um título de R$ 6.000.000,00 com 
vencimento ao final de 6 meses, a contar 
da época atual. Deve ser liquidado por 
meio de 2 pagamentos iguais, o primeiro, 
ao final de 3 meses, e o segundo, ao final 
de 5 meses. Sendo a taxa de juros 
compostos de mercado 10% ao mês, 
calcular o valor de cada pagamento. 
a) R$ 2.468.120,12 
b) R$ 1.418.120,11 
c) R$ 2.400.000,00 
d) R$ 1.468.120,00 
e) R$ 2.000.000,00 
 
 
24) Um comerciante deverá pagar, ao final 
de 150 dias, R$ 3.509.568,00. Quanto o 
comerciante poderá pagar em duas 
parcelas iguais, ao final de 60 dias e de 
120 dias, para saldar seu débito se a taxa 
de juros compostos de mercado é 8% ao 
mês? 
a) R$ 1.220.000,00 
b) R$ 1.220.000,00 
c) R$ 1.520.000,00 
d) R$ 1.500.000,00 
e)R$ 1.220.200,00 
 
 
25) Uma empresa deverá efetuar os 
seguintes pagamentos: R$ 350.000,00 em 
3 meses, R$ 560.000,00 em 5 meses, R$ 
700.000,00 em 6 meses e R$ 450.000,00 
em 8 meses. A empresa quer saldar seus 
débitos por meio de 3 pagamentos iguais, 
vencendo o primeiro a vista, o segundo em 
2 meses e o terceiro em 4 meses. Sendo a 
taxa de juros compostos vigente 5% ao 
mês, qual o valor de cada pagamento? 
a) R$ 574.430,00 
b) R$ 474.400,00 
c) R$ 584.880,00 
d) R$ 500.000,00 
e) R$ 674.030,00 
 
 
26) Devo saldar uma dívida da seguinte 
maneira pagando R$ 20.000,00 hoje, R$ 
12.000,00 daqui a 30 dias e R$ 10.000,00 
daqui a 60 dias. Como só terei recursos 
daqui a 30 dias e achei a taxa de 5% ao 
mês proposta pelo credor muito atraente, 
resolvi quitar a dívida, ao fim de 30 dias, 
em comum acordo com o credor. De 
quanto deverá ser este pagamento único? 
a) R$ 42.023,00 
b) R$ 42.500,00 
c) R$ 42.523,00 
d) R$ 43.000,00 
e) R$ 43.023,00 
 
 
27) O portador de um título de R$ 
2.900.000,00 com vencimento para 2 anos, 
quer trocá-lo por dois outros, de igual valor, 
vencíveis em 1 a 3 anos. Qual o valor de 
cada novo título se a taxa de desconto 
composto de mercado é 150% ao ano? 
a) R$ 2.050.000,00 
b) R$ 1.350.000,00 
c) R$ 1.450.000,00 
d) R$ 1.550.000,00 
e)R$ 1.000.000,00 
 
 
28) Uma empresa devedora de dois títulos 
de R$ 30.000,00, vencíveis em 3 e 4 
meses respectivamente, deseja resgatar a 
dívida com um único pagamento no fim de 
5 meses. Calcular o valor desse 
pagamento empregando a taxa composta 
de 15% a.m. 
a) R$ 114.000,00 
b) R$ 90.000,00 
c) R$ 100.000,00 
d) R$ 110.000,00 
e) R$ 74.175,00 
 
 
29) Precisamos trocar três títulos com 
vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos 
com valores de R$ 1.000,00 por dois outros 
títulos de mesmo valor nominal com 
vencimento daqui a 4 e 6 meses. 
Considerando o regime de desconto 
composto, a uma taxa de 8% a.m., qual o 
valor nominal desses títulos. 
a) R$ 1.900,00 
b) R$ 1.915,40 
c) R$ 1.800,75 
d) R$ 1.986,56 
e) R$ 1.887,70 
 
 
 
Equivalências de capitais com desconto 
“por fora” ou comercial composto 
 
Na modalidade de juros compostos, o 
valor presente –VP (capital) pode ser 
calculado pela relação: 
 
c = M . ( 1 – i )t fórmula para 
calcular o valor presente – VP (capital) 
→
 
Onde: M = montante, c = capital e 
if = taxa de desconto “por fora” e t = tempo. 
 
Então podemos escrever: 
 
c = M1 . ( 1 – i )t1 = M2 . ( 1 – i )t2 = 
M3 . ( 1 – i )t3
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
01) Qual o valor do capital, disponível em 
120 dias, equivalentes a R$ 8.500,00, 
disponível em 90 dias, à taxa de 15% 
a.m.?(utilize o desconto comercial) 
a) R$ 10.400,00 
b) R$ 11.400,00 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 11.000,00 
e) R$ 11.500,00 
 
 
02) Qual o valor do pagamento ao final de 
90 dias, capaz de substituir os seguintes 
pagamentos: R$ 162,00 ao final de 60 dias 
e R$ 100,00 ao final de 120 dias, se a taxa 
de desconto comercial composto é 10% 
a.m.? 
a) R$ 390,00 
b) R$ 405,00 
c) R$ 230,10 
d) R$ 300,00 
e) R$ 270,00 
 
 
03) Qual o valor do capital, disponível em 
120 dias, equivalentes a R$ 8.100,00, 
disponível em 60 dias, à taxa de 10% 
a.m.?(utilize o desconto comercial) 
a) R$ 10.400,00 
b) R$ 11.400,00 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 11.000,00 
e) R$ 11.500,00 
 
04) Qual o valor do capital, disponível em 
150 dias, equivalentes a R$ 16.290,00, 
disponível em 30 dias, à taxa de 5% 
a.m.?(utilize o desconto comercial) 
a) R$ 10.400,00 
b) R$ 11.400,00 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 11.000,00 
e) R$ 11.500,00 
 
 
05) Qual o valor do capital, disponível em 
60 dias, equivalentes a R$ 10.000,00, 
disponível em 210 dias, à taxa de 7% 
a.m.?(utilize o desconto comercial) 
a) R$ 8.400,00 
b) R$ 6.957,00 
c) R$ 6.017,00 
d) R$ 7.563,00 
e) R$ 7.125,00 
 
 
06) Qual o valor do pagamento ao final de 
90 dias, capaz de substituir os seguintes 
pagamentos: R$ 184,00 ao final de 60 dias 
e R$ 100,00 ao final de 120 dias, se a taxa 
de desconto comercial composto é 8% 
a.m.? 
a) R$ 250,00 
b) R$ 275,00 
c) R$ 300,00 
d) R$ 292,00 
e) R$ 270,00 
 
07) Qual o valor do pagamento ao final de 
60 dias, capaz de substituir os seguintes 
pagamentos: R$ 500,00 ao final de 90 dias 
e R$ 1.000,00 ao final de 150 dias, se a 
taxa de desconto comercial composto é 
10% a.m.? 
a) R$ 729,00 
b) R$ 829,00 
c) R$ 929,00 
d) R$ 1.029,00 
e) R$ 1.179,00 
 
 
 
 
 
 
 
FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL 
 
(1 + i)t
 
 
t 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1200 1,1500 1,1800 
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2544 1,3225 1,3924 
3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,4049 1,5209 1,6430 
4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5735 1,7490 1,9388 
5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,7623 2,0114 2,2878 
6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,9738 2,3131 2,6996 
7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,2107 2,6600 3,1855 
8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,4760 3,0590 3,7589 
9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,7731 3,5179 4,4355 
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 3,1058 4,0456 5,2338 
11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,4785 4,6524 6,1759 
12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,8960 5,3503 7,2876 
13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 4,3635 6,1528 8,5994 
14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,8871 7,0757 10,1472
15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772 5,4736 8,1371 11,9737
16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950 6,1304 9,3576 14,1290
17 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5,0545 6,8660 10,7613 16,6722
18 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5,55997,6900 12,3755 19,6733
 
 
 
 
 
 
FATOR DE ATUALIZAÇÃO DE CAPITAL NO DESCONTO COMERCIAL 
 
(1 - i)t
 
 
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 
1 0,9900 0,9800 0,9700 0,9600 0,9500 0,9400 0,9300 0,9200 0,9100 0,9000 0,8800 0,8500 0,8200
2 0,9801 0,9604 0,9409 0,9216 0,9025 0,8836 0,8649 0,8464 0,8281 0,8100 0,7744 0,7225 0,6724
3 0,9703 0,9412 0,9127 0,8847 0,8574 0,8306 0,8044 0,7787 0,7536 0,7290 0,6815 0,6141 0,5514
4 0,9606 0,9224 0,8853 0,8493 0,8145 0,7807 0,7481 0,7164 0,6857 0,6561 0,5997 0,5220 0,4521
5 0,9510 0,9039 0,8587 0,8154 0,7738 0,7339 0,6957 0,6591 0,6240 0,5905 0,5277 0,4437 0,3707
6 0,9415 0,8858 0,8330 0,7828 0,7351 0,6899 0,6470 0,6064 0,5679 0,5314 0,4644 0,3771 0,3040
7 0,9321 0,8681 0,8080 0,7514 0,6983 0,6485 0,6017 0,5578 0,5168 0,4783 0,4087 0,3206 0,2493
8 0,9227 0,8508 0,7837 0,7214 0,6634 0,6096 0,5596 0,5132 0,4703 0,4305 0,3596 0,2725 0,2044
9 0,9135 0,8337 0,7602 0,6925 0,6302 0,5730 0,5204 0,4722 0,4279 0,3874 0,3165 0,2316 0,1676
10 0,9044 0,8171 0,7374 0,6648 0,5987 0,5386 0,4840 0,4344 0,3894 0,3487 0,2785 0,1969 0,1374
11 0,8953 0,8007 0,7153 0,6382 0,5688 0,5063 0,4501 0,3996 0,3544 0,3138 0,2451 0,1673 0,1127
12 0,8864 0,7847 0,6938 0,6127 0,5404 0,4759 0,4186 0,3677 0,3225 0,2824 0,2157 0,1422 0,0924
13 0,8775 0,7690 0,6730 0,5882 0,5133 0,4474 0,3893 0,3383 0,2935 0,2542 0,1898 0,1209 0,0758
14 0,8687 0,7536 0,6528 0,5647 0,4877 0,4205 0,3620 0,3112 0,2670 0,2288 0,1670 0,1028 0,0621
15 0,8601 0,7386 0,6333 0,5421 0,4633 0,3953 0,3367 0,2863 0,2430 0,2059 0,1470 0,0874 0,0510
16 0,8515 0,7238 0,6143 0,5204 0,4401 0,3716 0,3131 0,2634 0,2211 0,1853 0,1293 0,0743 0,0418
17 0,8429 0,7093 0,5958 0,4996 0,4181 0,3493 0,2912 0,2423 0,2012 0,1668 0,1138 0,0631 0,0343
18 0,8345 0,6951 0,5780 0,4796 0,3972 0,3283 0,2708 0,2229 0,1831 0,1501 0,1002 0,0536 0,0281