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4 - MOVIMENTO EM DUAS OU TRÊS DIMENSÕES Nesta parte, continuaremos a estudar a parte da física que analisa o movimento, mas agora podem ser em duas ou três dimensões. 4.1 - Posição e Deslocamento A localização de uma partícula pode ser especificada através do vetor posição rr , um vetor que liga um ponto de referência (em geral a origem de um sistema de referência) à partícula. Sendo: kzjyixr ˆˆˆ ++=r (4.1) e cujas coordenadas retangulares são (-3m, 2m, 5m). Ao longo do eixo x a partícula está a 3m da origem, no sentido contrário ao do vetor unitário iˆ . Ao longo do eixo y, ela está a 2m da origem, no sentido do vetor unitário jˆ . Ao longo do eixo z ela está a 5 m da origem, no sentido do vetor unitário kˆ . Quando uma partícula se move, seu vetor posição varia de tal forma que sempre liga o ponto de referência (origem) à partícula. Se o vetor posição varia (de 1r r para 2r r , digamos durante um certo intervalo de tempo), o onde ixˆ , jyˆ , kz ˆ são as componentes vetoriais de r r e x, y, z são as componentes escalares, as quais fornecem a localização da partícula ao longo dos eixos de coordenadas em relação à origem. A figura ao lado, mostra uma partícula cujo vetor posição é: deslocamento da partícula, rrΔ , durante esse intervalo de tempo é dado por: (4.2) Usando a notação de vetores unitários da equação 4.1, podemos escrever esse deslocamento como: (4.3) onde as coordenadas (x1, y1, z1) correspondem ao vetor 1r r e as coordenadas (x2, y2, z2) correspondem ao vetor posição 2r r . Podemos também escrever o vetor deslocamento substituindo (x2 – x1) por Δx, (y2 – y1) por Δy e (z2 – z1) por Δz: 4.2 - Velocidade Média e Velocidade Instantânea Se uma partícula se move de um ponto para outro, podemos estar interessados em saber com que rapidez ela se move, definindo assim as velocidades média e instantânea. No caso de um movimento 2D ou 3D devemos considerar essas grandezas como vetores e usar a notação vetorial. Se uma partícula sofre um deslocamento r rΔ em um intervalo de tempo tΔ , sua velocidade média médvr é dada por: Assim, por exemplo, se a partícula do exemplo 4-1 se move da posição inicial para outra posição em 2,0 s, ou seja, e Δx = 12 m, Δy = 0 m e Δz = 3m a velocidade média durante esse movimento é: Logo, a velocidade média tem uma componente de 6,0 m/s em relação ao eixo x e uma componente 1,5 m/s em relação ao eixo z. Novamente aqui, quando falamos da velocidade de uma par´ticula, nos referimos à velocidade instantânea, que é o limite da velocidade média, quando Δt Æ 0. Assim, usando a linguagem do cálculo: Para escrever a equação 4-10 na forma de vetores unitários, usamos a expressão para r r dada pela 4-1: que pode ser simplificada se escrevemos como: A figura 4-4 mostra a trajetória de uma partícula que se move no plano xy. Quando a partícula se desloca para a direita ao longo da curva, o vetor posição gira para a direita. Durante o intervalo de tempo Δt o vetor posição muda de 1r r para 2r r e o deslocamento da partícula é rrΔ . Para determinar a velocidade instatânea da partícula no instante t1 (instante em que a partícula se encontra na posição 1), reduzimos o intervalo de tempo Δt nas vizinhanças de t1, fazendo-o tender a zero. No limite Δt Æ 0 temos vvméd rr → e, o que é mais importante, médv r assume a direção da reta tangente. Assim, v r também assume essa direção: onde as componentes escalares de v r são: A figura 4-5 mostra o vetor velocidade v r e suas componentes escalares x e y. Note que v r é tangente à trajetória da partícula na posição da partícula. Atenção: quando o vetor posição é desenhado, como nas figuras 4-1 e 4-4, ele é uma seta que se estende de um ponto a outro. Entretanto, quando um vetor velocidade é desenhado, como na figura 4-5, ele não vai de um ponto ao outro. Em vez disso, sua orientação coincide com a do movimento instantâneo de uma partícula localizada na sua origem, e seu comprimento (que representa o módulo da velocidade) pode ser desenhado em qualquer escala. 4.3 – Aceleração Média e Aceleração Instantânea Quando a velocidade de uma partícula varia de 1v r para 2v r em um intervalo de tempo Δt, sua aceleração média médar durante o intervalo Δt é: Sendo: Quando Δt Æ 0 no entorno de um certo instante, médar tende para a aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração) a r neste instante, ou seja: Se o módulo ou a orientação da velocidade varia (ou ambos variam), a partícula possui aceleração. Em termos dos vetores unitários: ou ainda: onde as componentes escalares de a r são: A figura 4-7 mostra o vetor aceleração a r e suas componentes escalares para uma partícula que se move em duas dimensões. Atenção: quando o vetor aceleração é desenhado, como nas figuras 4-7, ele não se estende de um ponto a outro. Em vez disso, sua orientação coincide com a da variação instantânea movimento instantâneo de uma partícula localizada na sua origem, e seu comprimento (que representa o módulo da aceleração) pode ser desenhado em qualquer escala. 4.4 – Movimento de Projéteis Vamos considerar a seguir, um caso especial de movimento bidimensional: Uma partícula que se move em um plano vertical com velocidade inicial 0v r e com uma aceleração constante, igual a aceleração de queda livre gr , dirigida para baixo. Uma partícula que se move desta forma é chamada projétil (o que significa que é projetada ou lançada), e seu movimento é chamado de movimento balístico. Um projétil pode ser uma bola de tênis ou de pingue-pongue, mas não um avião ou um pato. Muitos esportes envolvem os movimentos balísticos de uma bola; jogadores e técnicos estão sempre procurando controlar esses movimentos para obter o máximo de vantagem. O jogador que descobriu a rebatida em Z na raquetebol na década de 70, por exemplo, vencia os jogos com facilidade porque a trajetória peculiar da bola no fundo da quadra surpreendia os adversários. Nesta parte da matéria, estudaremos o movimento de projéteis ignorando os efeitos do ar. O projétil é lançado com uma velocidade inicial 0v r que pode ser descrita como: As componentes xv0 e yv0 podem ser calculadas se conhcermos o ângulo θ0 entre 0vr e o semi-eixo x positivo: θcos00 vv x = e θsenvv y 00 = (4-20) Durante o movimento bidimensional, o vetor r r e a velocidade v r do projétil mudam constantemente, mas o vetor aceleração a r é constante e está sempre dirigido verticalmente para baixo. O projétil não possui aceleração horizontal. O movimento de projéteis, como na figura 4-9 e 4-10, parece complicado, mas temos seguinte propriedade simplificadora (demosntrada experimentalmente): Esta propriedade permite decompor um problema que envolve um movimento bidimensional em dois problemas unidimensionais independentes e mais fáceis de serem resolvidos, um para o movimento horizontal (com aceleração nula) e outro para o movimento vertical (com aceleração constante para baixo). Apresentamos a seguir dois experimentos que mostram que o movimento vertical e horizontal são realmente independentes.DUAS BOLAS DE GOLFE A figura é uma fotografia estroboscópica de duas bolas de golfe, uma que simplesmente se deixou cair e outra que é lançada horizontamente por uma mola. As bolas de golfe têm o mesmo movimento vertical: ambas percorrem a mesma distância vertical no mesmo intervalo de tempo. O fato de uma bola estar se movendo horizontalmente enquanto está caindo não afeta o seu movimento vertical, ou seja, os movimentos horizontal e vertical são independentes. UMA DEMONSTRAÇÃO INTERESSANTE A figura mostra um canudo G através do qual se pode soprar pequenas bolas que comportam como projéteis. O alvo é uma lata suspensa por um eletroímã M, e o tubo é apontado para lata. O experimento é arranjado de tal forma que o ímã solta a lata no mesmo instante em que a bola deixa o tubo. Se g (o módulo da aceleração) fosse zero, a bola seguiria a trajetória em linha reta mostrada na figura 4-12 e a lata continuaria no mesmo lugar após ter sido solta pelo eletroímã. Assim, a bola certamente atingiria a lata. 4.5 – Análise do Movimento de um Projétil Movimento Horizontal Como não existe aceleração na direção horizontal, a componente horizontal vx da velocidade de um projétil permanece inalterada e igual ao seu valor inicial v0x durante toda a trajetória. Em qualquer instante t, o deslocamento horizontal do projétil em relação à posição inicial, x - x0, é dado por Na verdade, g não é zero, mas a bola atinge a lata! Como mostra a figura, a aceleração da gravidade faz com que a bola e a lata sofram o mesmo deslocamento para baixo, h, em relação à posição que teriam, a cada instante, se a gravidade fosse nula. Quanto maior a força do sopro, maior a velocidade inicial da bola, menor o tempo que a bola leva para se chocar com a lata e menor o valor de h. Movimento Vertical O movimento vertical é o movimento de queda livre. Neste, a aceleração é constante. Assim: onde a componente vertical da velocidade inicial voy, é substituída pela expressão equivalente v0senθ0. Como mostram a figura 4-10 e a equação 4-23, a componente vertical da velocidade se comporta exatamente como a de uma bola lançada verticalmente para cima. Inicialmente ela está dirigida para cima e seu módulo diminui continuamente até se anular, o que determina a altura máxima da trajetória. Em seguida a componente vertical da velocidade muda de sentido e seu módulo passa a aumentar com o tempo. Equação da Trajetória A equação do caminho percorrido pelo projétil, é a equação de sua trajetória. Ela pode ser obtida eliminando o tempo t, nas equações 4-21 e 4-22. Explicitando t na equação 4-21 e substituindo o resultado na eq. 4-22, obtemos, após algumas manipulações algébricas: Esta é a equação da trajetória mostrada na figura 4-10. Ao deduzi-la, para simplificar, fizemos x0 = 0 e y0 = 0 nas eq 4-21 e 4-22. como g, θ0 e v0 são constantes, a eq. 4-25 é da forma y = ax + bx2, onde a e b são constantes. Como esta equação é uma parábola, a trajetória é parabólica. Alcance Horizontal O alcance horizontal R de um projétil é a distância horizontal percorrida pelo projétil até voltar a sua altura inicial (altura de lançamento). Figura 4-10. Para determinar o alcance R, fazemos x - x0 = R na equação 4-21 e y – y0 = 0 na eq. 4-22, obtendo: Eliminando t nessas duas equações, obtemos: E usando a identidade: 000 cos22 θθθ sensen = , obtemos: ATENÇÃO: Esta equação não fornece a distância horizontal percorrida pelo projétil quando a altura final é diferente da altura de lançamento. Observe que R na eq. 4-26 atinge valor máximo para sen 2θ0 = 1, que corresponde a 2θ0 = = 900 ou θ0 = 450. Entretanto, 4.6 – Movimento Circular Uniforme Uma partícula está em movimento circular uniforme se descreve uma circunferência ou um arco de circunferência com velocidade escalar constante (uniforme). Embora a velocidade escalar não varie, o movimento é acelerado porque a velocidade muda de direção. A figura 4-19 mostra a relação entre os vetores velocidade e aceleração em várias posições durante o movimento circular uniforme. onde r é o raio da circunferência e v é a velocidade da partícula. Durante essa aceleração com velocidade escalar constante a partícula percorre a circunferência completa (uma distância igual a 2πr) em um intervalo de tempo dado por: Î O módulo dos dois vetores permanece constante durante o movimento, mas a orientação varia continuamente. Î A velocidade está sempre na direção tangente à circunferência e tem o mesmo sentido que o movimento. Î A aceleração está sempre na direção radial e aponta para o centro do círculo. Por essa razão, a aceleração associada ao movimento circular uniforme é chamada de centrípeta (“que busca o centro”). Como será demonstrado a seguir, o módulo dessa aceleração centrípeta a r é: O parâmetro T é chamado período de revolução ou, simplesmente, período. Período é o tempo que uma partícula leva para completar uma volta em uma trajetória fechada. Demonstração da equação 4-34: Para determinar o módulo e a orientação da aceleração no caso do movimento circular uniforme, considere a figura 4-20. Na figura 4-20a a partícula p se move com velocidade escalar constante v enquanto percorre uma circunferência de raio r. No instatnte mostrado, p possui coordenadas xp e yp. vr é sempre tangente a trajetória da partícula na posição considerada. Isso significa que, na figura, v r é perpendicular a uma reta r que liga o centro da circunferência à posição da partícula. Nesse caso, o ângulo θ que v r faz com a reta vertical passando pelo ponto p é igual ao ângulo θ que o raio r faz com o eixo x. As componentes escalares de v r aparecem na figura 4-20b. Assim, v r pode ser escrita em termos dessas componentes, como: Vemos que r y sen p=θ e r x p=θcos . Sendo a aceleração, a taxa de variação temporal da velocidade e lembrando que tanto o raio r quanto a velocidade escalar v são constantes, podemos escrever: De acordo com a figura, sendo a primeira, a componente x e a segunda, a componente y da velocidade. Desta forma: Assim, o módulo da aceleração será dado por: Para determnar a orientação de a r , temos que encontrar o ângulo : Significando que a r aponta na direção do raio r da figura 4-20a, no sentido do centro da circunferência, como queríamos demonstrar. Exercícios: 1) Um ponto se move numa reta e sua aceleração é constante no intervalo 0≤t≤3,0s. Em t=0 êle se encontra na origem do sistema de coordenadas escolhido para a decomposição do movimento e a velocidade da sombra x é vx(0)=72cm/s. Em t=1,5s o ponto pára. Na FIG.1 estão representadas a reta suporte da trajetória bem como o sistema de coordenadas. a) Obtenha a equação da reta suporte da trajetória. b) Determine as funções x(t) e y(t) que descrevem os movimentos das sombras x e y respectivamente. Resp.: x(t) = 72t – 24 t2 (cm,s); y(t) = 48t – 16 t2 (cm,s) c) Faça os gráficos simplificados de vx-t e vy-t para o intervalo de tempo indicado acima e dê o módulo do vetor velocidade do ponto ao retornar à origem. Resp.: ≅)3( svr 87 cm/s d) Ao parar, o ponto encontra-se em A. Marque A na FIG.1. Resp.: xA = 54 cm.2) Um pequeno disco, representado por P, move-se com velocidade constante sobre uma mesa de ar. A trajetória é retilínea e sobre a reta suporte representada na FIG.2 que mostra também o vetor velocidade, V r , num instante qualquer do movimento. A figura mostra o ponto P (disco) no instante t=0. O sistema de referência cartesiano está também representado. a) Mostre que as velocidades das sombras x e y são constantes. Resp.: Decomponha o vetor velocidade no sistema de referência dado e use o fato de que o módulo da velocidade é constante FIG.1 y(cm) x(cm)20 20 40 60 80 40 posição em t=0 reta suporte da 0 x(cm) y(cm) FIG. 2 45 60 V r P b) Sabendo que no instante t=0,5s a posição da sombra x é dada por x(0,5s) = 40cm, obtenha a função x(t) que descreve o movimento dessa sombra para t≥0. Resp.: x(t) = 80 t (cm,s) c) Dado que no instante t=0,5s a posição da sombra y é dada por y(0,5s)=15cm, obtenha a função y(t). Resp.: y(t) = 45 - 60 t (cm,s) d) Obtenha a equação da reta suporte da trajetória do disco. Resp.: y(x) = 45 – 0,75 x (x,y em cm) 3) Um ponto move-se numa reta. Num sistema de referência cartesiano, os movimentos de suas sombras x e y são dados pelas funções x(t) = 18 t – 6 t2 (cm,s) y(t) = 24 t – 8 t2 (cm,s) a) Obtenha a equação da reta suporte da trajetória de P. Sug.: multiplique a primeira equação por 4/3 e subtraia as equações para x e y. b) Quais são as condições iniciais do movimento da sombra x? c) Quais são as condições iniciais do movimento da sombra y? d) Dê a aceleração da sombra x (ax) e da sombra y (ay). 4) Um ponto move-se num plano e o movimento de suas sombras x e y no sistema de referência da figura é descrito pelas seguintes funções x(t) = -5 + 12t -6t2 (cm, s) y(t) = 9t – 4,5t2 (cm, s) para t≥0. Escalas – comprimento 1:1; velocidade 1cm:3cm/s; aceleração 0,5cm:3cm/s2. a) Obtenha as velocidades das sombras x e y em t=0 e desenhe o vetor v(0) na FIG.3. O vetor deve estar “colado” ao ponto móvel nesse instante. É necessário portanto determinar sua posição em t=0. Chame de ponto A. b) Obtenha o vetor aceleração a, verifique que é paralelo ao vetor v(0) e desenhe a na FIG. 3. Sug.: os vetores velocidade inicial e aceleração são paralelos se x y x y a a v v =)0( )0( . c) Em t = τ (tau) o ponto pára. Determine τ. Marque na FIG. 3 a posição do ponto nesse instante. Chame de B. d) Obtenha a equação da trajetória. Sug.: multiplique y(t) por 4/3. Resp.: y (x) = 4 3 (x + 5) (x e y em cm) e) Trace a trajetória do ponto na FIG.3, para o intervalo 0≤t≤ τ. 5) Um ponto P move-se numa circunferência de raio 50 cm e sua posição angular é dada pela função θ(t) = tππ 2 25 8 + (rad, s). Considere o sistema de referência cartesiano indicado na FIG. 4. As convenções para as coordenadas escalar e angular estão também indicadas. FIG. 4– Mostra o ponto P num instante qualquer t, diferente de zero. x y θ P + R - Marque F (falso) V(verdadeiro) ( ) o movimento de P é no sentido anti-horário. ( ) o período do movimento é da 0,16s. ( ) a sombra x do ponto P move-se entre x = -50cm e x = +50cm. ( ) quando θ = 3π, a velocidade da sombra y é igual a zero. ( ) quando t=0 a sombra x encontra-se na origem do sistema de referência. ( ) a velocidade escalar de P é igual a π 2 25 cm/s. ( ) em t=0,04s a velocidade da sombra x é negativa. ( ) no instante em que o ponto P completa uma volta, a aceleração da sombra y é negativa. ( ) a coordenada escalar de P, no instante t=0 é s(0) = 50 8 π cm. ( ) sempre que x=0 o vetor aceleração é paralelo a y. Resp.: V V V F F F V V V V 6)Um ponto P gira uniformemente no sentido horário sobre uma circunferência de raio 40cm na taxa de 72 rotações por minuto. No instante t=0, a posição do ponto é dada por sua coordenada escalar s(0) = -10π cm. O sistema de referência e convenções para coordenada escalar estão indicadas na FIG. 5. a) Obtenha a função θ(t) que descreve o movimento do ponto P. b) Na FIG. 5, marque A, posição inicial de P, e represente o vetor velocidade nesse instante. c) Calcule o período, o módulo da velocidade escalar v1 de um ponto distante r/4 do centro do círculo e os módulos da velocidade escalar e da aceleração de P. Resp.: 0,833...s; 75,4 cm/s; 302 cm/s; 2274 cm/s2 FIG. 5 x + R - y 7) A posição de um ponto P sobre uma circunferência é dada por θ0 = 4 π rad, nas convenções mostradas na FIG. 6. A partir desse instante seu movimento é uniforme, no sentido anti-horário e à taxa de 3 voltas completas por segundo. O raio da circunferência é igual a 20cm e o plano do movimento é vertical. a) Dê a função θ(t) que descreve o movimento de P para t ≥ 0. b) Determine: -o período do movimento -a função s(t) que descreve o movimento de P sobre a trajetória. -o módulo da velocidade vr (t) do ponto P num instante de tempo t qualquer. c) Obtenha as funções x(t) e y(t) que descrevem o movimento de P no sistema de referência cartesiano da FIG. 3 e determine as funções vx(t), vy(t), ax(t) e ay(t), velocidades e acelerações das sombras x e y respectivamente. FIG. 6 x y θ0 P + R - θ(t) = T = 1/3 s s(t) = 5π + 120 π t (cm,s) Resp.: 120 π cm/s x(t) = 20 cos (π/4 + 6π t) (cm,s) vx (t) = - 120 π sen (π/4 + 6π t) (cm,s) ax (t) = - 720 π2 cos (π/4 + 6π t) (cm,s) y(t) = vy (t) = ay(t) = d) Determine t1 e t2, instantes de tempo em que a sombra y atinge o ponto mais alto de seu movimento pela primeira e segunda vez, respectivamente. Obtenha o vetor aceleração quando P passa por esse ponto e desenhe-o na FIG. 6. Referencias: - Física do Movimento: observar, medir, compreender. Autora: Maria Matos. Editora: PUC-Rio. - Livro: fundamentos da Física – Volume 1: Halliday, Resnick & Walker - Editora LTC. - Notas de Aula na disciplina Mecânica Newtoniana A – Coordenadora e autora das apostilas: Maria Oswald Machado de Mattos. - http://www.fis.puc-rio.br/mariaoswald_ing.php. t1 = (1/24) s ; t2 = 0,375 s ar = (ax, ay) = (0, -720 π2 cm/s2)
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