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MOVIMENTO_EM_DIMENSOES

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4 - MOVIMENTO EM DUAS OU TRÊS DIMENSÕES 
 
Nesta parte, continuaremos a estudar a parte da física que analisa o 
movimento, mas agora podem ser em duas ou três dimensões. 
 
 
4.1 - Posição e Deslocamento 
 
A localização de uma partícula pode ser especificada através do vetor 
posição rr , um vetor que liga um ponto de referência (em geral a origem 
de um sistema de referência) à partícula. Sendo: 
 
kzjyixr ˆˆˆ ++=r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (4.1) 
 
e cujas coordenadas retangulares são (-3m, 2m, 5m). Ao longo do eixo x 
a partícula está a 3m da origem, no sentido contrário ao do vetor unitário 
iˆ . Ao longo do eixo y, ela está a 2m da origem, no sentido do vetor 
unitário jˆ . Ao longo do eixo z ela está a 5 m da origem, no sentido do 
vetor unitário kˆ . 
 
Quando uma partícula se move, seu vetor posição varia de tal forma que 
sempre liga o ponto de referência (origem) à partícula. Se o vetor posição 
varia (de 1r
r
 para 2r
r
, digamos durante um certo intervalo de tempo), o 
onde ixˆ , jyˆ , kz ˆ são as componentes 
vetoriais de r
r
 e x, y, z são as 
componentes escalares, as quais 
fornecem a localização da partícula ao 
longo dos eixos de coordenadas em 
relação à origem. A figura ao lado, 
mostra uma partícula cujo vetor 
posição é: 
 
deslocamento da partícula, rrΔ , durante esse intervalo de tempo é dado 
por: 
 
 (4.2) 
 
Usando a notação de vetores unitários da equação 4.1, podemos escrever 
esse deslocamento como: 
 
 (4.3) 
 
onde as coordenadas (x1, y1, z1) correspondem ao vetor 1r
r
 e as 
coordenadas (x2, y2, z2) correspondem ao vetor posição 2r
r
. Podemos 
também escrever o vetor deslocamento substituindo (x2 – x1) por Δx, (y2 – 
y1) por Δy e (z2 – z1) por Δz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 - Velocidade Média e Velocidade Instantânea 
 
Se uma partícula se move de um ponto para outro, podemos estar 
interessados em saber com que rapidez ela se move, definindo assim as 
velocidades média e instantânea. No caso de um movimento 2D ou 3D 
devemos considerar essas grandezas como vetores e usar a notação 
vetorial. 
 
Se uma partícula sofre um deslocamento r
rΔ em um intervalo de tempo 
tΔ , sua velocidade média médvr é dada por: 
 
 
 
 
 
Assim, por exemplo, se a partícula do exemplo 4-1 se move da posição 
inicial para outra posição em 2,0 s, ou seja, 
 e 
 
Δx = 12 m, Δy = 0 m e Δz = 3m 
 
a velocidade média durante esse movimento é: 
 
 
 
Logo, a velocidade média tem uma componente de 6,0 m/s em relação ao 
eixo x e uma componente 1,5 m/s em relação ao eixo z. 
 
Novamente aqui, quando falamos da velocidade de uma par´ticula, nos 
referimos à velocidade instantânea, que é o limite da velocidade média, 
quando Δt Æ 0. Assim, usando a linguagem do cálculo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para escrever a equação 4-10 na forma de vetores unitários, usamos a 
expressão para r
r
 dada pela 4-1: 
 
 
que pode ser simplificada se escrevemos como: 
 
A figura 4-4 mostra a trajetória de uma 
partícula que se move no plano xy. 
Quando a partícula se desloca para a 
direita ao longo da curva, o vetor 
posição gira para a direita. Durante o 
intervalo de tempo Δt o vetor posição 
muda de 1r
r
 para 2r
r
 e o deslocamento da 
partícula é rrΔ . Para determinar a 
velocidade instatânea da partícula no 
instante t1 (instante em que a partícula 
se encontra na posição 1), reduzimos o 
intervalo de tempo Δt nas vizinhanças 
de t1, fazendo-o tender a zero. No limite 
Δt Æ 0 temos vvméd rr → e, o que é mais 
importante, médv
r
assume a direção da 
reta tangente. Assim, v
r
 também 
assume essa direção: 
 
 
onde as componentes escalares de v
r
 são: 
 
 
 
A figura 4-5 mostra o vetor velocidade v
r
 e suas componentes escalares x 
e y. Note que v
r
 é tangente à trajetória da partícula na posição da 
partícula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção: quando o vetor posição é 
desenhado, como nas figuras 4-1 e 4-4, 
ele é uma seta que se estende de um 
ponto a outro. Entretanto, quando um 
vetor velocidade é desenhado, como na 
figura 4-5, ele não vai de um ponto ao 
outro. Em vez disso, sua orientação 
coincide com a do movimento 
instantâneo de uma partícula localizada 
na sua origem, e seu comprimento (que 
representa o módulo da velocidade) pode 
ser desenhado em qualquer escala. 
 
 
 
 
 
 
4.3 – Aceleração Média e Aceleração Instantânea 
 
Quando a velocidade de uma partícula varia de 1v
r para 2v
r em um 
intervalo de tempo Δt, sua aceleração média médar durante o intervalo Δt é: 
Sendo: 
 
 
Quando Δt Æ 0 no entorno de um certo instante, médar tende para a 
aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração) a
r
 neste instante, 
ou seja: 
 
 
Se o módulo ou a orientação da velocidade varia (ou ambos variam), a 
partícula possui aceleração. 
Em termos dos vetores unitários: 
 
 
ou ainda: 
 
onde as componentes escalares de a
r
 são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura 4-7 mostra o vetor aceleração a
r
 e suas 
componentes escalares para uma partícula que se 
move em duas dimensões. 
 
Atenção: quando o vetor aceleração é desenhado, como nas figuras 4-7, 
ele não se estende de um ponto a outro. Em vez disso, sua orientação 
coincide com a da variação instantânea movimento instantâneo de uma 
partícula localizada na sua origem, e seu comprimento (que representa 
o módulo da aceleração) pode ser desenhado em qualquer escala. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4 – Movimento de Projéteis 
 
Vamos considerar a seguir, um caso especial de movimento 
bidimensional: Uma partícula que se move em um plano vertical com 
velocidade inicial 0v
r e com uma aceleração constante, igual a aceleração 
de queda livre gr , dirigida para baixo. Uma partícula que se move desta 
forma é chamada projétil (o que significa que é projetada ou lançada), e 
seu movimento é chamado de movimento balístico. Um projétil pode ser 
uma bola de tênis ou de pingue-pongue, mas não um avião ou um pato. 
Muitos esportes envolvem os movimentos balísticos de uma bola; 
jogadores e técnicos estão sempre procurando controlar esses 
movimentos para obter o máximo de vantagem. O jogador que descobriu 
a rebatida em Z na raquetebol na década de 70, por exemplo, vencia os 
jogos com facilidade porque a trajetória peculiar da bola no fundo da 
quadra surpreendia os adversários. 
 
Nesta parte da matéria, estudaremos o movimento de projéteis ignorando 
os efeitos do ar. 
 
O projétil é lançado com uma velocidade inicial 0v
r
 que pode ser descrita 
como: 
 
 
 
As componentes xv0 e yv0 podem ser calculadas se conhcermos o ângulo 
θ0 entre 0vr e o semi-eixo x positivo: 
 
 θcos00 vv x = e θsenvv y 00 = (4-20) 
 
Durante o movimento bidimensional, o vetor r
r
 e a velocidade v
r
 do 
projétil mudam constantemente, mas o vetor aceleração a
r
é constante e 
está sempre dirigido verticalmente para baixo. O projétil não possui 
aceleração horizontal. 
 
O movimento de projéteis, como na figura 4-9 e 4-10, parece complicado, 
mas temos seguinte propriedade simplificadora (demosntrada 
experimentalmente): 
 
 
 
Esta propriedade permite decompor um problema que envolve um 
movimento bidimensional em dois problemas unidimensionais 
independentes e mais fáceis de serem resolvidos, um para o movimento 
horizontal (com aceleração nula) e outro para o movimento vertical (com 
aceleração constante para baixo). Apresentamos a seguir dois 
experimentos que mostram que o movimento vertical e horizontal são 
realmente independentes.DUAS BOLAS DE GOLFE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura é uma fotografia estroboscópica de duas 
bolas de golfe, uma que simplesmente se deixou 
cair e outra que é lançada horizontamente por 
uma mola. As bolas de golfe têm o mesmo 
movimento vertical: ambas percorrem a mesma 
distância vertical no mesmo intervalo de tempo. O 
fato de uma bola estar se movendo 
horizontalmente enquanto está caindo não afeta o 
seu movimento vertical, ou seja, os movimentos 
horizontal e vertical são independentes. 
UMA DEMONSTRAÇÃO INTERESSANTE 
 
A figura mostra um canudo G através do qual se pode soprar pequenas 
bolas que comportam como projéteis. O alvo é uma lata suspensa por um 
eletroímã M, e o tubo é apontado para lata. O experimento é arranjado 
de tal forma que o ímã solta a lata no mesmo instante em que a bola 
deixa o tubo. 
 
Se g (o módulo da aceleração) fosse zero, a bola seguiria a trajetória em 
linha reta mostrada na figura 4-12 e a lata continuaria no mesmo lugar 
após ter sido solta pelo eletroímã. Assim, a bola certamente atingiria a 
lata. 
 
 
 
4.5 – Análise do Movimento de um Projétil 
 
Movimento Horizontal 
 
Como não existe aceleração na direção horizontal, a componente 
horizontal vx da velocidade de um projétil permanece inalterada e igual 
ao seu valor inicial v0x durante toda a trajetória. Em qualquer instante t, 
o deslocamento horizontal do projétil em relação à posição inicial, x - x0, é 
dado por 
 
 
 
 
Na verdade, g não é zero, mas a bola 
atinge a lata! Como mostra a figura, a 
aceleração da gravidade faz com que a 
bola e a lata sofram o mesmo 
deslocamento para baixo, h, em relação 
à posição que teriam, a cada instante, se 
a gravidade fosse nula. Quanto maior a 
força do sopro, maior a velocidade inicial 
da bola, menor o tempo que a bola leva 
para se chocar com a lata e menor o 
valor de h. 
 
 
 
 
Movimento Vertical 
 
O movimento vertical é o movimento de queda livre. Neste, a aceleração é 
constante. Assim: 
 
 
 
onde a componente vertical da velocidade inicial voy, é substituída pela 
expressão equivalente v0senθ0. 
 
 
 
Como mostram a figura 4-10 e a equação 4-23, a componente vertical da 
velocidade se comporta exatamente como a de uma bola lançada 
verticalmente para cima. 
Inicialmente ela está dirigida para cima e seu módulo diminui 
continuamente até se anular, o que determina a altura máxima da 
trajetória. Em seguida a componente vertical da velocidade muda de 
sentido e seu módulo passa a aumentar com o tempo. 
 
 
Equação da Trajetória 
 
A equação do caminho percorrido pelo projétil, é a equação de sua 
trajetória. Ela pode ser obtida eliminando o tempo t, nas equações 4-21 e 
4-22. Explicitando t na equação 4-21 e substituindo o resultado na eq. 
4-22, obtemos, após algumas manipulações algébricas: 
 
 
 
Esta é a equação da trajetória mostrada na figura 4-10. Ao deduzi-la, 
para simplificar, fizemos x0 = 0 e y0 = 0 nas eq 4-21 e 4-22. como g, θ0 e 
v0 são constantes, a eq. 4-25 é da forma y = ax + bx2, onde a e b são 
constantes. Como esta equação é uma parábola, a trajetória é parabólica. 
 
 
Alcance Horizontal 
 
O alcance horizontal R de um projétil é a distância horizontal percorrida 
pelo projétil até voltar a sua altura inicial (altura de lançamento). Figura 
4-10. Para determinar o alcance R, fazemos x - x0 = R na equação 4-21 e 
y – y0 = 0 na eq. 4-22, obtendo: 
 
 
 
Eliminando t nessas duas equações, obtemos: 
 
 
E usando a identidade: 000 cos22 θθθ sensen = , obtemos: 
 
 
 
ATENÇÃO: Esta equação não fornece a distância horizontal 
percorrida pelo projétil quando a altura final é diferente da altura de 
lançamento. 
 
Observe que R na eq. 4-26 atinge valor máximo para sen 2θ0 = 1, que 
corresponde a 2θ0 = = 900 ou θ0 = 450. 
 
Entretanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6 – Movimento Circular Uniforme 
 
Uma partícula está em movimento circular uniforme se descreve uma 
circunferência ou um arco de circunferência com velocidade escalar 
constante (uniforme). Embora a velocidade escalar não varie, o 
movimento é acelerado porque a velocidade muda de direção. 
 
A figura 4-19 mostra a relação entre os vetores velocidade e aceleração 
em várias posições durante o movimento circular uniforme. 
 
 
 
 
 
onde r é o raio da circunferência e v é a velocidade da partícula. 
 
Durante essa aceleração com velocidade escalar constante a partícula 
percorre a circunferência completa (uma distância igual a 2πr) em um 
intervalo de tempo dado por: 
 
 
 
 
Î O módulo dos dois vetores permanece 
constante durante o movimento, mas a 
orientação varia continuamente. 
 
Î A velocidade está sempre na direção 
tangente à circunferência e tem o mesmo 
sentido que o movimento. 
 
Î A aceleração está sempre na direção 
radial e aponta para o centro do círculo. Por 
essa razão, a aceleração associada ao 
movimento circular uniforme é chamada de 
centrípeta (“que busca o centro”). Como será 
demonstrado a seguir, o módulo dessa 
aceleração centrípeta a
r
 é: 
O parâmetro T é chamado período de revolução ou, simplesmente, 
período. 
 
 
Período é o tempo que uma partícula leva para completar uma 
volta em uma trajetória fechada. 
 
 
Demonstração da equação 4-34: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinar o módulo e a orientação da 
aceleração no caso do movimento circular 
uniforme, considere a figura 4-20. Na figura 
4-20a a partícula p se move com velocidade 
escalar constante v enquanto percorre uma 
circunferência de raio r. No instatnte 
mostrado, p possui coordenadas xp e yp. 
 
vr é sempre tangente a trajetória da 
partícula na posição considerada. Isso 
significa que, na figura, v
r
 é perpendicular a 
uma reta r que liga o centro da 
circunferência à posição da partícula. Nesse 
caso, o ângulo θ que v
r
 faz com a reta 
vertical passando pelo ponto p é igual ao 
ângulo θ que o raio r faz com o eixo x. 
 
As componentes escalares de v
r
 aparecem 
na figura 4-20b. Assim, v
r
 pode ser escrita 
em termos dessas componentes, como: 
 
 
 
 
Vemos que r
y
sen p=θ e r
x p=θcos . 
 
 
Sendo a aceleração, a taxa de variação temporal da velocidade e 
lembrando que tanto o raio r quanto a velocidade escalar v são 
constantes, podemos escrever: 
 
 
De acordo com a figura, sendo a primeira, a 
componente x e a segunda, a componente y da velocidade. Desta forma: 
 
 
 
Assim, o módulo da aceleração será dado por: 
 
 
 
Para determnar a orientação de a
r
, temos que encontrar o ângulo : 
 
 
 
 
 
Significando que a
r
 aponta na direção do raio r da figura 4-20a, no 
sentido do centro da circunferência, como queríamos demonstrar. 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Um ponto se move numa reta e sua aceleração é constante no intervalo 0≤t≤3,0s. 
Em t=0 êle se encontra na origem do sistema de coordenadas escolhido para a 
decomposição do movimento e a velocidade da sombra x é vx(0)=72cm/s. Em t=1,5s o 
ponto pára. Na FIG.1 estão representadas a reta suporte da trajetória bem como o 
sistema de coordenadas. 
 
a) Obtenha a equação da reta suporte da trajetória. 
 
b) Determine as funções x(t) e y(t) que descrevem os movimentos das sombras x e y 
respectivamente. 
 Resp.: x(t) = 72t – 24 t2 (cm,s); y(t) = 48t – 16 t2 (cm,s) 
 
c) Faça os gráficos simplificados de vx-t e vy-t para o intervalo de tempo indicado 
acima e dê o módulo do vetor velocidade do ponto ao retornar à origem. 
 Resp.: ≅)3( svr 87 cm/s 
d) Ao parar, o ponto encontra-se em A. Marque A na FIG.1. 
 Resp.: xA = 54 cm.2) Um pequeno disco, representado por P, move-se com velocidade constante sobre 
uma mesa de ar. A trajetória é retilínea e sobre a reta suporte representada na FIG.2 
que mostra também o vetor velocidade, V
r
, num instante qualquer do movimento. A 
figura mostra o ponto P (disco) no instante t=0. O sistema de referência cartesiano 
está também representado. 
 
a) Mostre que as velocidades das sombras x e y são constantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: Decomponha o vetor velocidade no sistema de referência dado e use o fato de 
que o módulo da velocidade é constante 
 
FIG.1 
y(cm) 
x(cm)20 
20
40 60 80 
40
posição em t=0
reta suporte 
da 
0 x(cm)
y(cm) 
FIG. 2 
45 
60
V
r
P 
b) Sabendo que no instante t=0,5s a posição da sombra x é dada por x(0,5s) = 40cm, 
obtenha a função x(t) que descreve o movimento dessa sombra para t≥0. 
 Resp.: x(t) = 80 t (cm,s) 
 
c) Dado que no instante t=0,5s a posição da sombra y é dada por y(0,5s)=15cm, 
obtenha a função y(t). 
 Resp.: y(t) = 45 - 60 t (cm,s) 
 
d) Obtenha a equação da reta suporte da trajetória do disco. 
 Resp.: y(x) = 45 – 0,75 x (x,y em cm) 
 
3) Um ponto move-se numa reta. Num sistema de referência cartesiano, os movimentos de 
suas sombras 
 x e y são dados pelas funções 
 
 x(t) = 18 t – 6 t2 (cm,s) 
 y(t) = 24 t – 8 t2 (cm,s) 
 
a) Obtenha a equação da reta suporte da trajetória de P. Sug.: multiplique a primeira 
equação por 4/3 e subtraia as equações para x e y. 
 
b) Quais são as condições iniciais do movimento da sombra x? 
 
c) Quais são as condições iniciais do movimento da sombra y? 
 
 
d) Dê a aceleração da sombra x (ax) e da sombra y (ay). 
 
4) Um ponto move-se num plano e o movimento de suas sombras x e y no sistema de 
referência da figura é descrito pelas seguintes funções 
 
 x(t) = -5 + 12t -6t2 (cm, s) 
 y(t) = 9t – 4,5t2 (cm, s) 
 
para t≥0. Escalas – comprimento 1:1; velocidade 1cm:3cm/s; aceleração 
0,5cm:3cm/s2. 
 
a) Obtenha as velocidades das sombras x e y em t=0 e desenhe o vetor v(0) na FIG.3. 
O vetor deve estar “colado” ao ponto móvel nesse instante. É necessário portanto 
determinar sua posição em t=0. Chame de ponto A. 
 
b) Obtenha o vetor aceleração a, verifique que é paralelo ao vetor v(0) e desenhe a na 
FIG. 3. Sug.: os vetores velocidade inicial e aceleração são paralelos se 
x
y
x
y
a
a
v
v =)0(
)0( . 
 
c) Em t = τ (tau) o ponto pára. Determine τ. Marque na FIG. 3 a posição do ponto 
nesse instante. Chame de B. 
 
d) Obtenha a equação da trajetória. Sug.: multiplique y(t) por 4/3. 
 Resp.: y (x) =
4
3 (x + 5) (x e y em cm) 
e) Trace a trajetória do ponto na FIG.3, para o intervalo 0≤t≤ τ. 
 
 
 
5) Um ponto P move-se numa circunferência de raio 50 cm e sua posição angular é dada 
pela função θ(t) = tππ
2
25
8
+ (rad, s). Considere o sistema de referência cartesiano indicado na 
FIG. 4. As convenções para as coordenadas escalar e angular estão também indicadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 4– Mostra o ponto P 
num instante qualquer t, 
diferente de zero. x 
y 
θ 
P 
+ 
R 
 - 
Marque F (falso) V(verdadeiro) 
 
 ( ) o movimento de P é no sentido anti-horário. 
 
 ( ) o período do movimento é da 0,16s. 
 
 ( ) a sombra x do ponto P move-se entre x = -50cm e x = +50cm. 
 
 ( ) quando θ = 3π, a velocidade da sombra y é igual a zero. 
 
 ( ) quando t=0 a sombra x encontra-se na origem do sistema de referência. 
 ( ) a velocidade escalar de P é igual a π
2
25 cm/s. 
 ( ) em t=0,04s a velocidade da sombra x é negativa. 
 
 ( ) no instante em que o ponto P completa uma volta, a aceleração da sombra 
y é negativa. 
( ) a coordenada escalar de P, no instante t=0 é s(0) = 50
8
π cm. 
( ) sempre que x=0 o vetor aceleração é paralelo a y. 
 
 Resp.: V V V F F F V V V V 
 
6)Um ponto P gira uniformemente no sentido horário sobre uma circunferência de 
raio 40cm na taxa de 72 rotações por minuto. No instante t=0, a posição do ponto é 
dada por sua coordenada escalar s(0) = -10π cm. O sistema de referência e 
convenções para coordenada escalar estão indicadas na FIG. 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Obtenha a função θ(t) que descreve o movimento do ponto P. 
 
b) Na FIG. 5, marque A, posição inicial de P, e represente o vetor velocidade nesse 
instante. 
 
c) Calcule o período, o módulo da velocidade escalar v1 de um ponto distante r/4 do 
centro do círculo e os módulos da velocidade escalar e da aceleração de P. 
 
Resp.: 0,833...s; 75,4 cm/s; 302 cm/s; 2274 cm/s2 
 
 
FIG. 5 
x 
+ 
R 
 - 
y 
 
7) A posição de um ponto P sobre uma circunferência é dada por θ0 = 
4
π rad, nas 
convenções mostradas na FIG. 6. A partir desse instante seu movimento é uniforme, 
no sentido anti-horário e à taxa de 3 voltas completas por segundo. O raio da 
circunferência é igual a 20cm e o plano do movimento é vertical. 
 
a) Dê a função θ(t) que descreve o movimento de P para t ≥ 0. 
 
 
 
 
b) Determine: 
 
-o período do movimento 
 
 
-a função s(t) que descreve o movimento de P sobre a trajetória. 
 
 
 
 
-o módulo da velocidade vr (t) do ponto P num instante de tempo t qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Obtenha as funções x(t) e y(t) que descrevem o movimento de P no sistema de 
referência cartesiano da FIG. 3 e determine as funções vx(t), vy(t), ax(t) e ay(t), 
velocidades e acelerações das sombras x e y respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 6 
x 
y 
θ0 
P 
+ 
R 
 - 
θ(t) = 
T = 1/3 s 
s(t) = 5π + 120 π t (cm,s) 
Resp.: 120 π cm/s 
x(t) = 20 cos (π/4 + 6π t) (cm,s) 
 
vx (t) = - 120 π sen (π/4 + 6π t) (cm,s) 
 
ax (t) = - 720 π2 cos (π/4 + 6π t) (cm,s) 
 
y(t) = 
 
vy (t) = 
 
ay(t) = 
d) Determine t1 e t2, instantes de tempo em que a sombra y atinge o ponto mais alto 
de seu movimento pela primeira e segunda vez, respectivamente. Obtenha o vetor 
aceleração quando P passa por esse ponto e desenhe-o na FIG. 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referencias: 
 
- Física do Movimento: observar, medir, compreender. Autora: Maria 
Matos. Editora: PUC-Rio. 
 
- Livro: fundamentos da Física – Volume 1: Halliday, Resnick & Walker - 
Editora LTC. 
 
- Notas de Aula na disciplina Mecânica Newtoniana A – Coordenadora e 
autora das apostilas: Maria Oswald Machado de Mattos. - 
http://www.fis.puc-rio.br/mariaoswald_ing.php. 
 
t1 = (1/24) s ; t2 = 0,375 s 
 
 ar = (ax, ay) = (0, -720 π2 cm/s2)

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