Alg_Aula03_Determinante_e_Matriz_Inversa

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Álgebra Linear
Determinante e Matriz Inversa
Álgebra Linear
Determinante e Matriz Inversa
Prof. André Tiba
akot@cin.ufpe.br
Baia 65, ramais: 4765 ou 4338
esta aula baseia-se nas notas de aula gentilmente cedidas pelo professor Carlos Mello1
Determinante e Matriz inversa
1. Determinante
2. Desenvolvimento de Laplace
3. Matriz Adjunta
4. Matriz Inversa
5. Procedimento para inversão de matrizes
1. Determinante
2. Desenvolvimento de Laplace
3. Matriz Adjunta
4. Matriz Inversa
5. Procedimento para inversão de matrizes
2
Determinante e Matriz Inversa:
determinante
• Considere o sistema ax = b, a  0.
• A solução para este sistema é x = b/a
• Observe que o denominador está associado à matriz dos
coeficientes do sistema.
– Em um sistema 2x2 teríamos:
• Considere o sistema ax = b, a  0.
• A solução para este sistema é x = b/a
• Observe que o denominador está associado à matriz dos
coeficientes do sistema.
– Em um sistema 2x2 teríamos:
3
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2 Denominadoresiguais
b1a22 – b2a12
a11a22 – a12a21
b2a11 – b1a21
a11a22 – a12a21
x1 =
x2 =
observe ainda que: 


2221
1211
21122211 det aa
aaaaaa
Determinante e Matriz Inversa:
determinante
• O determinante da matriz A é representado como:
 det A, |A| ou ainda det[aij].
 |A| denota determinante de A, enquanto ||A|| denota módulo de A.
• Então:
 Se A1x1A = a e det [A] = a
 Se A2x2:
 Se A3x3:
• O determinante da matriz A é representado como:
 det A, |A| ou ainda det[aij].
 |A| denota determinante de A, enquanto ||A|| denota módulo de A.
• Então:
 Se A1x1A = a e det [A] = a
 Se A2x2:
 Se A3x3:
4
21122211
2221
1211det aaaaaa
aaAA 


2221
1211
aa
aaA
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11det aa
aaaaa
aaaaa
aaaAA 









333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Determinante e Matriz Inversa:
determinante
• Cálculo do determinante de uma matriz 3x3:









333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
expande A repetindo, as colunas 1 e 2 de A
5
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
...)
(det
322113
312312332211


aaa
aaaaaaAA
expande A repetindo, as colunas 1 e 2 de A
Determinante e Matriz Inversa:
determinante
• Cálculo do determinante de uma matriz 3x3:
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
6
)(
)(det
332112322311312213
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaaAA


3331
2321
13
3331
2321
12
3332
2322
11det aa
aaaaa
aaaaa
aaaAA 
equivalente a:
Determinante e Matriz Inversa:
determinante
• Cálculo do determinante
de uma matriz 4x4: 








44434241
44333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A• Cálculo do determinante
de uma matriz 4x4:
7
434241
333231
232221
14
444241
343231
242221
13
444341
343331
242321
12
444342
343332
242322
11det
aaa
aaa
aaa
a
aaa
aaa
aaa
a
aaa
aaa
aaa
a
aaa
aaa
aaa
aA 
Determinante e Matriz Inversa:
determinante
• Como calcular o determinante de uma matriz quadrada
Anxn?
• Vamos apresentar um método iterativo
• Para isso, utilizaremos o cálculo do determinante de A3x3
• Mas antes, apresentaremos os conceitos matemáticos
necessários.
• Como calcular o determinante de uma matriz quadrada
Anxn?
• Vamos apresentar um método iterativo
• Para isso, utilizaremos o cálculo do determinante de A3x3
• Mas antes, apresentaremos os conceitos matemáticos
necessários.
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Determinante e Matriz Inversa:
determinante
Definição: Permutação é o ordenamento de um grupo de objetos,
em que a ordem na qual estes objetos estão dispostos, faz
diferença. Dado n objetos, o número de permutações possíveis
vale:
1!0onde12...)2()1(!  nnnn
Exemplo 1: calcular as permutações do conjunto {1, 2, 3}
9
Exemplo 1: calcular as permutações do conjunto {1, 2, 3}
possíveisspermutaçõe6123!3 
321}312;231;213;132;;123{
possíveisspermutaçõe241234!4 
4321}4312;4231;4213;4132;4123;3421;3412;3241;3214;3142;3124;
2431;2413;2341;2314;2143;2134;1432;1423;1342;1324;1243;;1234{
Exemplo 2: calcular as permutações do conjunto {1, 2, 3, 4}
Determinante e Matriz Inversa:
determinante
Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2, ..., n, existe uma
inversão, quando um inteiro precede outro inteiro, menor que ele.
Exemplo1: considere a permutação dos inteiros 1, 2 e 3. Calcule todas
as inversões possíveis.
Permutação Nº de inversões Inversões
10
Permutação Nº de inversões Inversões
1 2 3 0 -
1 3 2 1 (3 e 2)
2 1 3 1 (2 e 1)
2 3 1 2 (3 e 1), (2 e 1)
3 1 2 2 (3 e 1), (3 e 1)
3 2 1 3 (3 e 2),(2 e 1) e (3 e 1)
Determinante e Matriz Inversa:
determinante
Exemplo 2: calcule o número de inversões das permutações 4231 e
23514.
Permutação Nº de inversões Inversões
4 2 3 1 5 (4 e 2), (4 e 3), (4 e 1),(2 e 1) e (3 e 1)
11
4 2 3 1 5 (4 e 2), (4 e 3), (4 e 1),(2 e 1) e (3 e 1)
2 3 5 1 4 4 (2 e 1), (3 e 1), (5 e 1) e(5 e 4)
Determinante e Matriz Inversa:
determinante
• Voltemos para o determinante de A3x3:
312213322113312312332112322311332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA 
Observe que:
1) cada parcela da forma a1ia2ja3k, onde i, j, k são todas aspermutações do conjunto {1, 2, 3}: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3),
(2, 3, 1), (3, 1, 2) e (3, 2, 1).
2) o sinal é negativo quando a permutação tem um número ímpar de
inversões.
12
Observe que:
1) cada parcela da forma a1ia2ja3k, onde i, j, k são todas aspermutações do conjunto {1, 2, 3}: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3),
(2, 3, 1), (3, 1, 2) e (3, 2, 1).
2) o sinal é negativo quando a permutação tem um número ímpar de
inversões.
332211 aaa
1 2 3 nº de inver. = 0
332112 aaa
2 1 3 nº de inver. = 1
312213 aaa
3 2 1 nº de inver. = 3
322113 aaa
3 1 2 nº de inver. = 2
Determinante e Matriz Inversa:
determinante
• Definição: , onde J = J(j1,j2,..., jn) é o número de inversões da permutação (j1,j2...,jn)e  indica que a soma é estendida a toda as n!
permutações de (1 2... n).
• Observação:
 Se J é par, (-1)J = 1; se J é ímpar (-1)J = -1
 Em cada termo do somatório, existe um e apenas um elemento
de cada linha, e um e apenas um, elemento de cada coluna da
matriz.
   nnjjjJ aaaA 21 21)1(]det[
13
• Definição: , onde J = J(j1,j2,..., jn) é o número de inversões da permutação (j1,j2...,jn)e  indica que a soma é estendida a toda as n!
permutações de (1 2... n).
• Observação:
 Se J é par, (-1)J = 1; se J é ímpar (-1)J = -1
 Em cada termo do somatório, existe um e apenas um elemento
de cada linha, e um e apenas um, elemento de cada coluna da
matriz.
Determinante e Matriz Inversa:
determinante
• Propriedades:
i. Se todos os elementos de uma linha ou uma coluna de uma
matriz A são nulos, então det(A) = 0.
ii. det(A) = det(A’).
iii. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o
determinante fica multiplicado por esta constante.
0
000
624
123
det 








0
504
604
103
det 








14
• Propriedades:
i. Se todos os elementos de uma linha ou uma coluna de uma
matriz A são nulos, então det(A) = 0.
ii. det(A) = det(A’).
iii. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o
determinante fica multiplicado por esta constante.

















750
312
123
det2
750
624
123
det
0
000
624
123
det 







0
504
604
103
det 








Determinante e Matriz Inversa:
determinante
• Propriedades:
iv. Uma vez trocada a posição de duas linhas, o determinante
muda de sinal.
v. O determinante de uma matriz que tem duas linhas ou
colunas iguais é zero.

















123
312
750
det
750
312
123
det
15
• Propriedades:
iv. Uma vez trocada a posição de duas linhas, o determinante
muda de sinal.
v. O determinante de uma matriz que tem duas linhas ou
colunas iguais é zero.

















123
312
750
det
750
312
123
det
0
123
624
123
det 








0
664
664
113
det 








Determinante e Matriz Inversa:
determinante
• Propriedades:
vi. det (A.B) = det(A).det(B)
vii. det(A + B)  det(A) + det(B), mas
nnn
ini
n
nnn
ini
n
nnn
ininii
n
aa
bb
aa
aa
aa
aa
aa
baba
aa















detdetdet
1
1
111
1
1
111
1
11
111

16
nnn
ini
n
nnn
ini
n
nnn
ininii
n
aa
bb
aa
aa
aa
aa
aa
baba
aa















detdetdet
1
1
111
1
1
111
1
11
111

Determinante e Matriz Inversa:
determinante
• Propriedades:
viii. O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra
linha multiplicada por uma constante.











242
052
123
A B







 
008
052
123
17











242
052
123
A
L3= L3 + 2L1
B







 
008
052
123
BA detdet 
Determinante e Matriz Inversa:
desenvolvimento de Laplace
• Para a matriz A3x3:
 Seu determinante vale:









333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
18
312213322113312312332112322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA 
 Seu determinante vale:
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aaaaa
aaaaa
aaaA 
 Que é equivalente a:
Determinante e Matriz Inversa:
desenvolvimento de Laplace








333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3332
2322
11 aa
aaa








333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
19








333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3331
2321
12 aa
aaa








333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
13 aa
aaa
Determinante e Matriz Inversa:
desenvolvimento de Laplace
• Assim, det |A| = a1111 + a12 12 + a13 13
• Onde:
 ij = (-1)i+j|Aij| = cofator
 e Aij é a submatriz da matriz inicial, retiradas a i-ésima linha e
j-ésima coluna.
• Para uma matriz de ordem n:
• Assim, det |A| = a1111 + a12 12 + a13 13
• Onde:
 ij = (-1)i+j|Aij| = cofator
 e Aij é a submatriz da matriz inicial, retiradas a i-ésima linha e
j-ésima coluna.
• Para uma matriz de ordem n:
20
  )det(1det
11 ij
jin
j ij
n
j ijijnxn
AaaA


  fixa linha evaria colunas
  )det(1det
11 ij
jin
i ij
n
i ijijnxn
AaaA


  fixa coluna evaria linhas
Determinante e Matriz Inversa:
desenvolvimento de Laplace
 Exemplo 1: caso 1: i = 1
(primeira linha fixa), j = 1, 2, 3
(colunas variando) . 











212
112
321
A
det |A| = a1111 + a12 12 + a13 13
 Exemplo 1: caso 1: i = 1
(primeira linha fixa), j = 1, 2, 3
(colunas variando) .
21
1)]1()1(21[121
11)1(1 111111 
 a
4)]2()1(22[222
12)1()2( 211212 
 a
0)]2(1)1(2[312
12)1(3 311313 
a
det |A| = 1 + 4 + 0 = 5
Determinante e Matriz Inversa:
desenvolvimento de Laplace
• Exemplo 1(cont): caso 2: i = 2
(segunda linha fixa), j = 1, 2, 3
(colunas variando) 











212
112
321
A
det |A| = a2121 + a22 22 + a23 23
22
2)]1(32)2[(221
32)1(2 122121 
 a
8)]2(321[122
31)1(1 222222 
a
5)]2()2()1(1[112
21)1(1 322323 
 a
det |A| = 2 + 8 – 5 = 5
Determinante e Matriz Inversa:
desenvolvimento de Laplace
• Exemplo 1(cont): caso 3: i = 1, 2, 3
(linhas variando), j = 3 (terceira
coluna fixa) 











212
112
321
A
det |A| = a1313 + a23 23 + a23 23
23
0)]2(1)1(2[312
12)1(3 311313 
a
5)]2()2()1(1[112
21)1(1 322323 
 a
10]2)2(11[212
21)1(2 333333  a
det |A| = 0 – 5 + 10 = 5
Determinante e Matriz Inversa:
desenvolvimento de Laplace
• O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de
recorrência, que permite calcular o determinante
de uma matriz de ordem n, a partir dos
determinantes das submatrizes quadradas de
ordem n-1.
24
• O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de
recorrência, que permite calcular o determinante
de uma matriz de ordem n, a partir dos
determinantes das submatrizes quadradas de
ordem n-1.
Determinante e Matriz Inversa:
matriz adjunta
• A partir dos cofatores de A (ij), podemos montaruma matriz de cofatores de A chamada de Ā.
 Lembrando da definição de cofator: ij = (-1)i+j|Aij|
• A matriz adjunta de A, é definida como a
transposta da matriz dos cofatores de A, ou seja:
 adj A = Ā’ = Āt
25
• A partir dos cofatores de A (ij), podemos montaruma matriz de cofatores de A chamada de Ā.
 Lembrando da definição de cofator: ij = (-1)i+j|Aij|
• A matriz adjunta de A, é definida como a
transposta da matriz dos cofatores de A, ou seja:
 adj A = Ā’ = Āt
Matriz identidade de ordem n
• Teorema: A. Ā’ = A.(adj A) = (det A).In
Determinante e Matriz Inversa:
matriz adjunta
• Exemplo: 








561
413
012
A
1956
41)1( 1111   1951
43)1( 2112   1961
13)1( 3113  
26
556
01)1( 1221   1051
02)1( 2222   1161
12)1( 3223  
441
01)1( 1331   843
02)1( 2332 
 513
12)1( 3333 













584
11105
191919
][ ijA












51119
81091
4519
'AAadj
Determinante e Matriz Inversa:
matriz inversa
• Definição: Dada uma matriz quadrada A de
ordem n, chamamos de inversa de A, uma matriz
B tal que: A.B = B.A = In
– In é a matriz identidade de ordem n.
– Escrevemos A-1 para indicar a inversa de A.
27
• Definição: Dada uma matriz quadrada A de
ordem n, chamamos de inversa de A, uma matriz
B tal que: A.B = B.A = In
– In é a matriz identidade de ordem n.
– Escrevemos A-1 para indicar a inversa de A.
Determinante e Matriz Inversa:
matriz inversa
• Exemplo: calcule a inversa da matriz A


 411
26A 

 dc
baA 1 

  10
0111 IAAAAonde
28







10
01
411
26
dc
ba







1411
0411
026
126
db
ca
db
ca







3
2/11
1
2
d
c
b
a




 32/11
121A
Determinante e Matriz Inversa:
matriz inversa
• Observações:
 Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem,
(AB)-1 = B-1.A-1
 Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B tal
que BA = I, então A é inversível (ou seja possui
inversa) e B = A-1
 Nem toda matriz tem inversa
29
• Observações:
 Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem,(AB)-1 = B-1.A-1
 Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B tal
que BA = I, então A é inversível (ou seja possui
inversa) e B = A-1
 Nem toda matriz tem inversa
Determinante e Matriz Inversa:
matriz inversa
• Exemplo: mostre que a matriz A não possui inversa


 10
20A 

 dc
baA 1 

  10
0111 IAAAAonde







10
01
10
20
dc
ba
30







10
01
10
20
dc
ba







10
00
020
120
db
ca
db
ca




00
120
ca
ca




10
020
db
db
a e b podem assumir qualquer valor
real, porém c e d podem assumir
nenhum valor real, portanto A-1 não
pode existir.
Determinante e Matriz Inversa:
matriz inversa
• Teorema: Uma matriz quadrada A tem inversa se, e
somente se, det A  0. Além disso,
A
AadjA det
1 
• Exemplo 1:
31
• Exemplo 1:


 411
26A 2det A então A-1 existe
• Exemplo 2:


 412
26B 0det B então B-1 não existe
Determinante e Matriz Inversa:
procedimento para inversão de matrizes
(A : I)  (I : A-1)










3001
1110
1101
0012
A
• Exemplo 1: calcular A-1.
32










3001
1110
1101
0012
A
• Exemplo 1: calcular A-1.
Determinante e Matriz Inversa:
procedimento para inversão de matrizes










1000
0100
0010
0001
3001
1110
1101
0012 Troca L1 e L2
• Exemplo 1(cont):
33










1000
0100
0010
0001
3001
1110
1101
0012










1000
0100
0001
0010
3001
1110
0012
1101
L2 = L2 - 2L1
L4 = L4 + L1
Determinante e Matriz Inversa:
procedimento para inversão de matrizes












1010
0100
0021
0010
4100
1110
2210
1101
L3 = L3 – L2
• Exemplo 1(cont):
34












1010
0100
0021
0010
4100
1110
2210
1101
L3 = – L3













1010
0121
0021
0010
4100
3100
2210
1101
Determinante e Matriz Inversa:
procedimento para inversão de matrizes
L1 = L1 + L3














1010
0121
0021
0010
4100
3100
2210
1101
L2 = L2 – 2L3
• Exemplo 1(cont):
35














1010
0121
0021
0010
4100
3100
2210
1101
L4 = L4 + L3














1111
0121
0221
0111
1000
3100
4010
2001 L1 = L1 + 2L4
L2 = L2 – 4L4
L3 = L3 + 3L4
Determinante e Matriz Inversa:
procedimento para inversão de matrizes












1111
3454
4665
2333
1000
0100
0010
0001
• Exemplo 1(cont):
36












1111
3454
4665
2333
1000
0100
0010
0001













1111
3454
4665
2333
1A
Determinante e Matriz Inversa:
procedimento para inversão de matrizes









020
121
101
A• Exemplo 2: calcular A-1, onde








100
010
001
020
121
101
37
• Exemplo 2: calcular A-1, onde








100
010
001
020
121
101
L2 = L2 – L1









100
011
001
020
020
101
L2 = L2/2
Determinante e Matriz Inversa:
procedimento para inversão de matrizes
• Exemplo 2(cont.):
L3 = L3 – 2L2








100
02/12/1
001
020
010
101
38
L3 = L3 – 2L2








100
02/12/1
001
020
010
101










111
02/12/1
001
000
010
101 Como é impossível transformar a matriz
à esquerda da linha tracejada, em uma
matriz identidade I3, também não épossível se obter A-1, a partir da matriz à
direita da mesma linha tracejada.
Portanto A-1 não existe.
Determinante e Matriz Inversa
• Problemas Sugeridos: 4, 5 (utilize as matrizes A e B do
exercício 4 ao invés de matrizes nxn), 6, 8, 9 e 12.
39