Alg_Aula04_Espaco_Vetorial_exercicios

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Álgebra Linear
Espaço Vetorial - exercícios
Álgebra Linear
Espaço Vetorial - exercícios
Prof. André Tiba
akot@cin.ufpe.br
Baia 65, ramais: 4765 ou 4338
1
exercício 1
Sejam os vetores v1 = (1,2,3), v2 = (0,1,2) e v3 = (0,0,1).
a) Mostre que  = {v1, v2, v3} forma uma base do R3.
b) Determine o vetor-coordenada de u = (5,4,2) em relação a .
c) Determine o vetor w  R3, cujo vetor-coordenada em relação a
 vale .









4
3
2
w
2
Sejam os vetores v1 = (1,2,3), v2 = (0,1,2) e v3 = (0,0,1).
a) Mostre que  = {v1, v2, v3} forma uma base do R3.
b) Determine o vetor-coordenada de u = (5,4,2) em relação a .
c) Determine o vetor w  R3, cujo vetor-coordenada em relação a
 vale .
Letra a)
Para mostrar que  é uma base, precisamos mostrar que: (i) v1, v2 e v3
são LI (ii) conseguimos representar qualquer vetor u = (x,y,z)
como combinação linear de v1, v2 e v3.









4
3
2
w
exercício 1 (continuação)
v1, v2, v3 são LI, se e somente se, a1v1+ a2v2,+ a3v3= 0 implica em
a1 = a2 = a3 = 0
a1(1,2,3) + a2(0,1,2) + a3(0,0,1) = (0,0,0)
a1 + 0a2 + 0a3 = 0
2a1 + a2 + 0a3 = 0
3a1 + 2a2 + a3 = 0
a1 = 0
a2 = 0
a3 = 0
v1, v2, e v3são LI
3
a1 + 0a2 + 0a3 = 0
2a1 + a2 + 0a3 = 0
3a1 + 2a2 + a3 = 0
a1 = 0
a2 = 0
a3 = 0
v1, v2, e v3são LI
u = (x,y,z) = a(1,2,3) + b(0,1,2) + c(0,0,1)
a = x
2a + b = y
3a + 2b + c = z
a = x
b = – 2x + y
c = x + 2y + z
Portanto, qualquer vetor u
pode ser representado por
uma combinação linear de
v1, v2, e v3 .
exercício 1 (continuação)
Letra b)
Devemos encontrar escalares a1, a2 e a3 tal que:
a1(1,2,3) + a2(0,1,2) + a3(0,0,1) = (5,4,2) = u
a1 + 0a2 + 0a3 = 5
2a1 + a2 + 0a3 = 4
3a1 + 2a2 + a3 = 2
a1 = 5
a2 = 6
a3 = 1
[u] =
5
6
1
4
a1 + 0a2 + 0a3 = 5
2a1 + a2 + 0a3 = 4
3a1 + 2a2 + a3 = 2
a1 = 5
a2 = 6
a3 = 1
5
6
1
Letra c)
[w] =
2
3
4
w = 2(1,2,3)  3(0,1,2) + 4(0,0,1) = (2, 4  3, 6  6 + 4) = (2,1,4)
exercício 2
Mostre se:
a) U = {(x, y, z, t)  R4: 2x + y – t = 0 e z = 0} é subespaço vetorial
de R4;
b) é subespaço vetorial
de M(2,2).
c) U = {(x, x+3) : x R} é subespaço vetorial de R2.
d) U = {(x, 2x, 3x) : x  R} é subespaço vetorial de R3.



 

 1e,,,com, cbdcbadc
baU
5
Mostre se:
a) U = {(x, y, z, t)  R4: 2x + y – t = 0 e z = 0} é subespaço vetorial
de R4;
b) é subespaço vetorial
de M(2,2).
c) U = {(x, x+3) : x R} é subespaço vetorial de R2.
d) U = {(x, 2x, 3x) : x  R} é subespaço vetorial de R3.



 

 1e,,,com, cbdcbadc
baU
exercício 2 (continuação)
Para que U seja subespaço de W, devemos mostrar que:
(i) dados u1 e u2  U, então u1 + u2  U
(ii) dados u1  U e k  R com k 0, então ku1 U
6
Para que U seja subespaço de W, devemos mostrar que:
(i) dados u1 e u2  U, então u1 + u2  U
(ii) dados u1  U e k  R com k 0, então ku1 U
exercício 2 (continuação)
Letra a)
U = {(x, y, z, t)  R4: 2x + y – t = 0 e z = 0} é subespaço vetorial de
R4?
v = (x, y, 0, 2x + y)  U
7
Sejam u1 = (x1, y1, 0, 2x1 + y1), u2 = (x2, y2, 0, 2x2 + y1), e k  R, k 0.
u1 + u2 = (x1 + x2 , y1 + y2 , 0, 2x1 + y1 + 2x2 + y2 )
u1 + u2 = (x3 , y3, 0, 2(x1 + x2) + (y1+ y2) )
u1 + u2 = (x3 , y3, 0, 2x3 + y3) = u3 onde x3 = x1 + x2 e y3 = y1 + y2
Observe que u3  U, portanto u1 + u2  U.
exercício 2 (continuação)
xv= kx1 e yv= ky1
ku1 = (kx1, ky1, k0, k2x1 + ky1)
ku1 = (kx1, ky1, 0, k(2x1 + y1) ) = (xv, yv, 0, 2xv + yv) = v onde
Como v  U, então ku1 U.
8
Portanto U é um subespaço vetorial de R4.
Letra b)
é subespaço vetorial
de M(2,2)?



 

 1e,,,com, cbdcbadc
baU
exercício 2 (continuação)
Sejam u1 e u2  U e k  R, k 0, onde:
1
11
11
1 

  dc
cau 1
22
22
2 

  dc
cau
Udc
ca 

  1v
9
1
11
11
1 

  dc
cau 1
22
22
2 

  dc
cau
11
2121
2121
21 



 ddcc
ccaauu
3
33
33
21
2 uuu 

  dc
ca
mas u3  U, portanto U não é subespaço vetorial de M(2,2).
exercício 2 (continuação)
Letra c)
U = {(x, x+3): x R} é subespaço vetorial de R2?
Sejam u1 = (x1, y1+ 3), u2 = (x2, y2 + 3), e k  R, k 0.
u1 + u2 = (x1 + x2 , y1 + 3 + y2 + 3)
u1 + u2 = (x3 , y3 + 6) = u3 onde x3 = x1 + x2 e y3 = y1 + y2
10
u1 + u2 = (x3 , y3 + 6) = u3 onde x3 = x1 + x2 e y3 = y1 + y2
Observe que u3  U, portanto u1+ u2  U. Dessa forma U não é
subespaço vetorial de R2.
exercício 2 (continuação)
Letra d)
U = {(x, 2x, 3x): x  R} é subespaço vetorial de R3?
Sejam u1 = (x, 2x, 3x), u2 = (y, 2y , 3y), e k  R, k 0.
u1 + u2 = (x+y , 2x+2y, 3x+3y) = (x+y , 2(x+y), 3(x+y))
u1 + u2 = (z , 2z, 3z) = u3 onde x + y = z
11
u1 + u2 = (z , 2z, 3z) = u3 onde x + y = z
Como u3  U, então u1 + u2  U.
ku1 = (kx, 2kx, 3kx) = (t, 2t, 3t) = v onde kx = t
Como v  U, então ku1 U.
Portanto U é um subespaço vetorial de R3.
exercício 3
Sejam os vetores v1 = (a,b) e v2 = (c,d) mostre que se ad = bc, então
[v1 v2] são LD e que se ad  bc, então [v1 v2] são LI.
v1+ v2 = 0 onde  e  são constantes reais
(a,b) + (c,d) = (0,0)
(a + c, b + d) = (0,0)  a =  c d
b 
12
(a + c, b + d) = (0,0)  a =  cb =  d
o sistema é LD se   0 e/ou   0
d
b 
se ad = bc , então


  d
bca    cbda
como  não é
explicitamente zero,
então [v1 v2] é LD.
exercício 3 (continuação)
do item anterior sabemos que:
o sistema é LI se ad  bc e  = = 0
cbda  
mas ad  bc, portanto da = cd se e somente se  = 0
se  = 0, então como c = a   = 0
13
se  = 0, então como c = a   = 0
Neste caso [v1 v2] é LI.
exercício 4
Calcule o [x] para cada uma das bases abaixo:
a) x = (3,2) e  = {v1 = (1,1), v2 = (-1,2)};
b) x = (2,-3,1) e  = {v1 = (0,1,1), v2 = (-1,0,1), v3 = (1,1,0)};
c)
14
Calcule o [x] para cada uma das bases abaixo:
a) x = (3,2) e  = {v1 = (1,1), v2 = (-1,2)};
b) x = (2,-3,1) e  = {v1 = (0,1,1), v2 = (-1,0,1), v3 = (1,1,0)};
c) 













 10
10,01
11,00
11,10
01,10
21
4321 vvvvx 
exercício 4 (continuação)
Letra a)
Assuma que o vetor x possa ser escrito como uma combinação
linear dos vetores da base .
x = (3,2) = a1v1 + a2v2 = a1(1,1) + a2(1,2)
(3,2) = (a1  a2, a1 +2a2)
15
(3,2) = (a1  a2, a1 +2a2)
3 = a1  a22 = a1 +2a2 1 =  3a2 a2 =  1/3a1 = 8/3
[x] = 8/31/3
exercício 4 (continuação)
Letra b)
a1 a2 + a3= 2a1 +a3 = 3a1 +a2 = 1
x = (2,3,1) = a1(1,1,1) + a2(1,0,1) + a3(1,1,0)
(2,3,1) = (a1  a2+ a3, a1+ a3, a1+ a2)










1
3
2
011
101
111
16
a1 a2 + a3= 2a1 +a3 = 3a1 +a2 = 1 









1
3
2
011
101
111
L3 = L3 – L1
L2 = L2 – L1












1
5
2
120
010
111
L3 = L3 – 2L2
L1 = L1 + L2










 9
5
3
100
010
101
L3 = – L3
exercício 4 (continuação)
Letra b)
L1 = L1 – L3











9
5
3
100
010
101










9
5
6
100
010
001
17
x = (2,3,1) = 6(1,1,1)  5(1,0,1) +  9(1,1,0)
[x] =
6
5
9
exercício 4 (continuação)
Letra c)











 10
10
01
11
00
11
10
01
11
21
4321 aaaax







 413
432321
11
21
aaa
aaaaaa
18
a1+ a2 + a3= 1a2 + a3+ a4= 2a3 = 1a1 + a4= 1







 413432321
11
21
aaa
aaaaaa









1
1
2
1
1001
0100
1110
0111
L4 = L4 – L1
exercício 4 (continuação)
Letra c)
L1 = L1 – L2









 0
1
2
1
1110
0100
1110
0111
L4 = L4 + L2










2
1
2
1
2000
0100
1110
1001
L4 = L4/2










1
1
3
1
1000
0100
1010
1001 L1 = L1 + L4









1
1
2
0
1000
0100
0010
0001
L2 = L2  L3
19
L2 = L2 – L4










1
1
3
1
1000
0100
1010
1001 L1 = L1 + L4









1
1
2
0
1000
0100
0010
0001
 









1
1
2
0
x











 10
10101
11100
11210
01011
21x
exercício 5
Sejam as bases  = {v1 = (2,1), v2 = (3,4)}, ’ = {e1 = (1,0),
e2 = (0,1)} e  = {u1 = (1,1), u2 = ( 1,1)} do R2. Calcule:
a) Amatriz de mudança de base de  para ’ .
b) Amatriz de mudança de base de ’ para  .
c) Amatriz de mudança de base de  para  .
d) Para o vetor v = (2, 4), qual é o seu vetor de coordenadas na
bases  e , ou seja [v] e [v] .
  'I  'I
20
Sejam as bases  = {v1 = (2,1), v2 = (3,4)}, ’ = {e1 = (1,0),
e2 = (0,1)} e  = {u1 = (1,1), u2 = ( 1,1)} do R2. Calcule:
a) Amatriz de mudança de base de  para ’ .
b) Amatriz de mudança de base de ’ para  .
c) Amatriz de mudança de base de  para  .
d) Para o vetor v = (2, 4), qual é o seu vetor de coordenadas na
bases  e , ou seja [v] e [v] .
  'I
 I
exercício 5 (continuação)
Letra a)
Vamos escrever os vetores e1 e e2 da base ’ como combinaçõeslineares dos vetores v1 e v2 da base .
e1 = (1, 0) = a1v1 + b1v2 = a1(2, 1) + b1(3,4)
(2a1+ 3b1 , a1 + 4b1) = (1, 0)
21







 0
1
41
32
1
1
b
a a1 = 4/11b1 = 1/11
e2 = (0, 1) = a2v1 + b2v2 = a2(2, 1) + b2(3,4)
(2a2+ 3b2 , a2 + 4b2) = (0, 1)







 1
0
41
32
2
2
b
a a2 = 3/11b2 = 2/11
exercício 5 (continuação)
Então,
212
211
11
2
11
3
11
1
11
4
vve
vve


As linhas tornam-se
colunas ! 






 

11
2
11
1 11
3
11
4
][ 'I
22
Letra b)
Solução 1: idéia análoga ao do item a), mas agora vamos escrever
os vetores v1 e v2 da base  como combinações lineares dos vetorese1 e e2 da base ’.
Pode ser feito por duas maneiras.
exercício 5 (continuação)
v1 = (2, 1) = a1e1 + b1e2 = a1(1, 0) + b1(0, 1)
(a1, b1) = (2, 1) a1 = 2b1 = 1
v2 = (3, 4) = a2e1 + b2e2 = a2(1, 0) + b2(0, 1)
a2 = 3
23
(a2, b2) = (3, 4)
a2 = 3
b2 = 4
Então,
212
211
43
12
eev
eev

 As linhas tornam-se
colunas ! 


 41
32][ 'I
exercício 5 (continuação)
Solução 2: um teorema relaciona as matrizes e :'][ I '][I
  1'' ][][   II ou   1'' ][][   II
Do item a), tem-se que:
24







 

11
2
11
1 11
3
11
4
][ 'I   1'' ][][   II   10 0111/211/1 11/311/4 L1 = (11/4)L1L2 = 11L2


 
110
04/11
21
4/31
L2 = L2  L1 




114/11
04/11
4/110
4/31
L2 = (4/11)L2
exercício 5 (continuação)
Letra c)





41
04/11
10
4/31 L1 = L1+ (3/4)L2



 41
32
10
01



 41
32][ 'I
25
Letra c)
Escrever os vetores u1 e u2 da base  como combinações linearesdos vetores v1 e v2 da base .
v1 = (2, 1) = a1u1 + b1u2 = a1(1, 1) + b1(1, 1)
(a1  b1, a1+ b1) = (2, 1) a1 = 1/2b1 = 3/2
exercício 5 (continuação)
v2 = (3, 4) = a2u1 + b2u2 = a2(1, 1) + b2( 1, 1)
(a1  b1, a1+ b1) = (3, 4)
a2 = 7/2
b2 = 1/2
Então,
212
211
2
1
2
7
2
3
2
1
uuv
uuv


26
212
211
2
1
2
7
2
3
2
1
uuv
uuv

 As linhas tornam-se
colunas ! 


 2/12/3
2/7/21][ 'I
exercício 5 (continuação)
Letra d)
v = (2, 4)  [v]’ = 24








  11/6
11/20
4
2
11/211/1
11/311/4][][][ ''  vIv
27
v = (2, 4) = 20/11(2,  1)  6/11(3,4) = (22/11, 44/11) = (2, 4)










 3
1
11/6
11/20
2/12/3
2/72/1][][][  vIv
v = (2, 4) = 1(1, 1)  3(1,1) = (2, 4)
exercício 6
Verifique se os conjuntos abaixo formam uma base. Em caso
negativo, inclua ou exclua o número de elementos necessários de
maneira a formar uma base.
a)  = {v1 = (1,0), v2 = (2,1), v3 = (1,1), v4 = (1,3)}, base do R2.
b)  = {v1 = (1,1,0), v2 = (2,1,1), v3 = (1,1,1)}, base do R3.
c)  = base de M(2,2).
28
Verifique se os conjuntos abaixo formam uma base. Em caso
negativo, inclua ou exclua o número de elementos necessários de
maneira a formar uma base.
a)  = {v1 = (1,0), v2 = (2,1), v3 = (1,1), v4 = (1,3)}, base do R2.
b)  = {v1 = (1,1,0), v2 = (2,1,1), v3 = (1,1,1)}, base do R3.
c)  = base de M(2,2).








 

 11
11,00
11,12
01
321 vvv
exercício 6 (continuação)
Para que um conjunto de vetores seja uma base, ele deve satisfazer
duas condições:
i. Devem ser LI;
ii. [v1, v2, ..., vn ] = V, ou seja, deve ser capaz de gerar qualquer
outro vetor de V por combinação linear.
29
Para que um conjunto de vetores seja uma base, ele deve satisfazer
duas condições:
i. Devem ser LI;
ii. [v1, v2, ..., vn ] = V, ou seja, deve ser capaz de gerar qualquer
outro vetor de V por combinação linear.
Letra a)
 = {v1 = (1,0), v2 = (2,1), v3 = (1,1), v4 = (1,3)}. Este conjunto deve
ser LD pois é composto por 4 vetores, e uma base do R2, precisa
de dois vetores apenas (mesmo número que a dimensão de R2).
Vamos mostrar explicitamente que o sistema é LD e em seguida
selecionar os vetores que formarão uma base do R2.
exercício 6 (continuação)
O conjunto será LI se a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4 = 0 implicar
explicitamente em a1 = a2 = a3 = a4 = 0.
a1(1, 0) + a2(2, 1) + a3 (1, 1) + a4 (1, 3) = (0, 0)
(a1 + 2a2 + a3 + a4, a2 + a3 + 3a4) = (0, 0)
30
a1 + 2a2 + a3 + a4= 0
a2 + a3 + 3a4 = 0
conjunto LD, como esperado
Para escolher quais vetores formarão a base, devemos escolher dois vetores
e testar as propriedades i) e ii). Vamos fazer o teste para os vetores v1 e
v4. Veja que esta escolha foi ao acaso, poderíamos ter escolhido qualquer
outro par de vetores.
exercício 6 (continuação)
a(1, 0) + b (1, 3) = (0, 0) (a + b, a + 3b) = (0, 0)
a + b= 0
a + 3b = 0
a = b
a =  3b
se e somente se a = b = 0
Portanto {v1,v4} é LI
Seja um vetor qualquer do R2 v = (x,y), v pode ser escrito como
combinação linear de v1 e v4, em outras palavras, [v1 v4] = R2 ?
31
Seja um vetor qualquer do R2 v = (x,y), v pode ser escrito como
combinação linear de v1 e v4, em outras palavras, [v1 v4] = R2 ?
a(1, 0) + b (1, 3) = (x, y) = v ( a + b, 3b) = (x, y)
b = y/3
a = y/3  x
x , y  R Assim, [v1 v4] = R2 e portanto{v1,v4} éuma base do R2. Observe que {v1,v4} nãoé a única base possível, teste por exemplo
{v1,v2} ou {v3,v2} e verifique que ambostambém são bases do R2.
exercício 6 (continuação)
Letra b)
av1 + bv2 + cv3= 0 (1,1,0), v2 = (2,1,1), v3 = (1,1,1)}.
a(1,1,0) + b(2,1,1) + c (1,1,1) = (0,0,0)
( a+2b + c, a + b + c, b + c) = (0,0,0)
32

























0
0
0
110
111
121
c
b
a








 0
0
0
121
110
111
L3 = L3 + L1
L1 = L1  L2







0
0
0
230
110
111
L3 = L3  3L2 







 0
0
0
100
110
001
L3 =  L3
exercício 6 (continuação)
{v1, v2, v3} é LI
L2 = L2  L3








0
0
0
100
110
001








0
0
0
100
010
001 a = b = c = 0
Seja um vetor qualquer do R3 v = (x, y, z), v pode ser escrito como
combinação linear de v1, v2 e v3, em outras palavras, [v1 v2 v3] = R3 ?
33
a(1,1,0) + b(2,1,1) + c (1,1,1) = (x, y, z)
( a+2b + c, a + b + c, b + c) = (x, y, z)
av1 + bv2 + cv3= (x, y, z)
Seja um vetor qualquer do R3 v = (x, y, z), v pode ser escrito como
combinação linear de v1, v2 e v3, em outras palavras, [v1 v2 v3] = R3 ?

























z
y
x
c
b
a
110
111
121








 z
y
x
121
110
111
L3 = L3 + L1
exercício 6 (continuação)
L1 = L1  L2








 xz
y
x
230
110
111
L2 = L2  L3










 yxz
y
yx
3100
110
001
L3 =  L3










yxz
y
yx
3)(100
110
001











yxz
yxz
yx
3)(
)2(
100
010
001
34
[v1 v2 v3] = R3
a = x  y
b=  (x+2y+z)
c =  (x  3y+z)
Portanto  = {v1 = (1,1,0), v2 = (2,1,1), v3 = (1,1,1)}, base do R3.
L2 = L2  L3










yxz
y
yx
3)(100
110
001











yxz
yxz
yx
3)(
)2(
100
010
001
x, y, z  R
exercício 6 (continuação)
Letra c)
av1 + bv2 + cv3= 0  






 


00
00
11
11
00
11
12
01 cba







00
00
2 caca
cbcba
a = b  c b = c
c = 2a c = a
35







00
00
2 caca
cbcba
a = b  c b = c
c = 2a c = a
a = b = c = 0 é LI







 


tz
yxcba 11
11
00
11
12
01 x, y, z, t  R





33
11
tz
yxSuponha
exercício 6 (continuação)
a = 2 c = 1 b = 2







33
11
2 caca
cbcba









33
11
33
11
)1(2122
1)2(122
Portanto [v1 v2 v3]  M(2,2)  = {v1, v2,v3} não é base de M(2,2).
36
Portanto [v1 v2 v3]  M(2,2)  = {v1, v2,v3} não é base de M(2,2).
Seja . Vamos inserir v4 no conjunto  e verificaremos se
agora  forma uma base de M(2,2).


 01
00
4v
av1 + bv2 + cv3 + dv4= 0









 


00
00
10
00
11
11
00
11
12
01 dcba
exercício 6 (continuação)







00
00
2 dcaca
cbcba



























0
0
0
0
1101
0102
0110
0111
d
c
b
a










0
0
0
0
1101
0102
0110
0111
L3 = L3  2L1
37



























0
0
0
0
1101
0102
0110
0111
d
c
b
a










0
0
0
0
1101
0102
0110
0111
L3 = L3  2L1
L4 = L4  L1











0
0
0
0
1210
0120
0110
0111
L2 =  L2











0
0
0
0
1210
0120
0110
0111
L3 = L3 + 2L2
L4 = L4 + L2
L1 = L1  L2
exercício 6 (continuação)
L1 = L1  2L3
L4 = L4 + 3L3
L3 =  L3 /3










0
0
0
0
1300
0300
0110
0201










0
0
0
0
1300
0100
0110
0201
L2 = L2 + L3
38
L4 = L4 + 3L3











0
0
0
0
1300
0300
0110
0201










0
0
0
0
1300
0100
0110
0201








0
0
0
0
1000
0100
0010
0001
{v1, v2, v3, v4} é LI
a = b = c = d = 0
exercício 6 (continuação)
Seja v um vetor qualquer de M(2,2), deve-se verificar se pode ser
representado por  = {v1, v2, v3, v4} .









 


tz
yxdcba 10
00
11
11
00
11
12
01 x, y, z, t  R







tz
yx
dcaca
cbcba
2
39







tz
yx
dcaca
cbcba
2



























t
z
y
x
d
c
b
a
1101
0102
0110
0111










t
z
y
x
1101
0102
0110
0111
L3 = L3  2L1
L4 = L4  L1
exercício 6 (continuação)













xt
xz
y
x
2
1210
0120
0110
0111
L2 =  L2














xt
xz
y
x
2
1210
0120
0110
0111
L3 = L3 + 2L2
L4 = L4 + L2
L1 = L1  L2
40
L3 =  L3 /3














yxt
yxz
y
yx
22
1300
0300
0110
0201














yxt
yxz
y
yx
3/)22(
1300
0100
0110
0201
L1 = L1  2L3 L4 = L4 + 3L3
L2 = L2 + L3
exercício 6 (continuação)












tzyx
zyx
zyx
zyx
3/)22(
3/)2(
3/)2(
1000
0100
0010
0001




 tz
yx
33
11v


 

 00
113/)3112(12
013/)3211(v
41


 

 00
113/)3112(12
013/)3211(v







 33
11
10
00)3311(11
113/)31212(
Como  = {v1, v2, v3, v4} é LI, e [v1 v2 v3 v4] = M(2,2), então é 
uma base de M(2,2).
exercício 7
Se
ache
a) [v] onde
b) [v]’ onde
 









1
1
2
'v
 









102
012
003
'
I
42
Se
ache
a) [v] onde
b) [v]’ onde
 









1
1
2
'v
 









2
1
1
v
exercício 7
Letra a)
     



























5
3
6
1
1
2
102
012
003
'
'


 vIv
Letra b)
43
Letra b)
     1''   II








100
010
001
102
012
003 L1 = L1/3
L2 = L2  2L1








100
010
003/1
102
012
001
L2 = L2  2L1
exercício 7










103/2
013/2
003/1
100
010
001










103/2
013/2
003/1
][ 'I
44
     

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