aula 4 vetores e movim em 2 e 3D

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E 
TECNOLÓGICO
CURSO DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS
CAMPUS MARABÁ
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I
Profº André Scheidegger Laia
AULA 04
Vetores e movimentos em duas e três Dimensões
4.1. grandezas vetoriais
4.2. Componentes vetoriais
4.3. Vetores unitários
4.4. Operações com vetores (adição e multiplicação)
4.5. movimento em 2 e 3 dimensões
- Deslocamento
- Velocidade
- Aceleração
- Lançamento de projéteis 
VETORES
• O que são grandezas escalares?
São grandezas que podem ser expressas apenas com um modulo.
Ex: temperatura, pressão, massa, tempo...
• O que são grandezas vetoriais?
São grandezas que só podem ser realmente expressas por meio de um 
modulo, uma direção e um sentido.
Ex: Deslocamento, velocidade aceleração, força...
Obs: vetores podem ser representados por setas.
a 
d 
b
Soma de vetores (graficamente)
• Método do paralelogramo:
A A
B R 
B
• Método do triângulo: 
A B A B 
R 
Vetores e suas Componentes
• Por ser uma seta um vetor pode ser expresso
em um plano cartesiano de duas e três
dimensões podendo ser decomposto em
componentes x, y e z.
Ex:
• Tendo as componentes para se chegar ao vetor 
resultante é necessário encontrar o módulo do 
vetor e o valor de seu ângulo :
• Ex:
y
ay = 6
ax = 10 x
Vetores Unitários
• Chamamos de vetor unitario um vetor que 
tem modulo exatamente igual a 1 e aponta 
numa determinada direção. Sua função é 
especificar direções. 
• Obs: Qualquer vetor pode ser expresso em 
função dos vetores unitários: assim podemos 
especificar a e b por:
a = axi + ayj + azk
b = bxi + byj + bzk
Soma de vetores através de 
componentes
• Por ser complicado e não muito exato a soma
gráfica, devemos fazer uso da soma da
componentes eixo a eixo:
Ex: r = a + b a = axi + ayj + azk
b = bxi + byj + bzk
rxi = axi + bxi
ryj = ayj + byj
rzk = azk + bzk
Exemplo
• Você esta participando de um rali e recebe as seguintes instruções: do
ponto de partida, use as estradas disponíveis para viajar 36km para o leste
até o ponto de controle Alfa, depois 45 km para o norte até o ponto de
controle Bala e finalmente, 25km para noroeste até o ponto de controle
Cruz:
y
25 km 135°
45 km
36 km x
Multiplicação de vetores 
• VETOR x ESCALAR
• Se multiplicarmos um vetor por um escalar
obteremos outro vetor que permanecerá com
o mesmo sentido se o escalar for positivo e
mudará o sentido se for negativo.
Ex: F = m . a
Produto Escalar
• Define-se o produto escalar de dois vetores a e b
como a operação:
onde  é o ângulo formado pelos dois vetores.
• Uma aplicação do produto escalar é a definição de 
trabalho W executado por uma força constante que 
atua ao longo de um percurso d:
• Usando o conceito de vetor unitário encontramos 
que:
• Podemos então utilizar a decomposição de um vetor 
segundo as suas componentes cartesianas e definir o 
produto escalar como:
• Como , temos que:
O que substituindo os valores permite calcular o 
ângulo entre os vetores.
O Produto Vetorial
• Define-se o produto vetorial de dois vetores a e b como a 
operação:
• Sendo seu modulo definido por:
• Uma aplicação do produto vetorial é a definição da força F
que atua em uma carga elétrica q que penetra com
velocidade V numa região que existe um campo magnético
B.
• Usando a definição de produto vetorial:
• De modo genérico podemos definir o produto 
vetorial como:
O que resulta em:
Movimento em 2 e 3 Dimensões
• No lançamento de um objeto sua posição não 
varia apenas quanto a distancia no eixo x, mas 
também quanto a altura que ele se encontra a 
cada instante, e nestes casos se faz necessário 
o uso de vetores.
Ex: Num lançamento de uma bola de basquete o 
deslocamento pode ser expresso por:
r = - 3i + 2j +5k
Deslocamento
• No caso de um deslocamento teremos a
variação posicional entre esses dois vetores
que pode ser indicada por.
r = r2 – r1
Exemplo
• Sendo a posição inicial e final de uma
partícula definida por r1 = -3i + 2j + 5k e r2 = 9i
+ 2j + 8k. Qual será o deslocamento sofrido
pela partícula?
Velocidade
• Em movimentos di e tridimensionais a
velocidade media é também a razão entre a
variação da posição em relação ao tempo.
Vm = r/t
Colocando isso para cada coordenada (x, y e z)...
Voltando ao quadro
Velocidade instantânea
aceleração
lançamento de projéteis