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(2o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I) Retas tangentes e derivadas Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 1 / 17 O que e´ uma reta tangente a uma curva? Figura: C´ırculo de centro O. Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 2 / 17 O que e´ uma reta tangente a uma curva? Figura: L sera´ tangente ao c´ırculo em P se passar por P perpendicularmente ao raio OP. Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 3 / 17 O que e´ uma reta tangente a uma curva? Como definir “tangeˆncia” para curvas em geral? Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 4 / 17 O que e´ uma reta tangente a uma curva? 1) Comec¸amos calculando o coeficiente angular da secante PQ. Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 5 / 17 O que e´ uma reta tangente a uma curva? 1) Comec¸amos calculando o coeficiente angular da secante PQ. Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 5 / 17 O que e´ uma reta tangente a uma curva? 2) Investigamos o limite do coeficiente angular da sencante quando Q se aproxima de P ao longo da curva. Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 6 / 17 O que e´ uma reta tangente a uma curva? 2) Investigamos o limite do coeficiente angular da sencante quando Q se aproxima de P ao longo da curva. Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 7 / 17 O que e´ uma reta tangente a uma curva? 3) Se o limite existe, este valor sera´ o coeficiente angular da curva em P e definimos a tangente em P como sendo a reta com este coeficiente. Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 8 / 17 O que e´ uma reta tangente a uma curva? Exemplo Determine o coeficiente angular da para´bola y = x2 no ponto P(2, 4). Escreva uma equac¸a˜o para a tangente a` para´bola nesse ponto. Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 9 / 17 Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 10 / 17 Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 10 / 17 Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 11 / 17 Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 12 / 17 Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 13 / 17 Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o Definic¸a˜o (Coeficiente angular e reta tangente) O coeficiente angular da curva y = f (x) em um ponto P(x0, f (x0)) e´ o nu´mero m = lim h→0 f (x0 + h)− f (x0) h desde que o limite exista. A reta tangente a` curva f em P e´ a reta que passa por P e tem esse coeficiente angular. Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 14 / 17 Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o (Como achar a tangente a` curva y = f (x) em (x0, y0)) 1 Calcule f (x0) e f (x0 + h). 2 Calcule o coeficiente angular m = lim h→0 f (x0 + h)− f (x0) h . 3 Se o limite existe, determine a reta tangente como y = y0 + m(x − x0). Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 15 / 17 Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o (Como achar a tangente a` curva y = f (x) em (x0, y0)) 1 Calcule f (x0) e f (x0 + h). 2 Calcule o coeficiente angular m = lim h→0 f (x0 + h)− f (x0) h . 3 Se o limite existe, determine a reta tangente como y = y0 + m(x − x0). Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 15 / 17 Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o (Como achar a tangente a` curva y = f (x) em (x0, y0)) 1 Calcule f (x0) e f (x0 + h). 2 Calcule o coeficiente angular m = lim h→0 f (x0 + h)− f (x0) h . 3 Se o limite existe, determine a reta tangente como y = y0 + m(x − x0). Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 15 / 17 Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o (Como achar a tangente a` curva y = f (x) em (x0, y0)) 1 Calcule f (x0) e f (x0 + h). 2 Calcule o coeficiente angular m = lim h→0 f (x0 + h)− f (x0) h . 3 Se o limite existe, determine a reta tangente como y = y0 + m(x − x0). Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 15 / 17 Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o Exemplo (a) Determine o coeficiente angular da curva y = 1/x em x = a 6= 0. (b) Onde o coeficiente angular e´ −1/4. (c) O que acontece com a tangente a` curva no ponto (a, 1/a) quando a varia? Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 16 / 17 Taxas de variac¸a˜o: derivada em um ponto A expressa˜o f (x0 + h)− f (x0) h e´ chamada raza˜o incremental em x0 com incremento h. Se esta raza˜o tem um limite quando h→ 0, este e´ denominado derivada de f em x0. Este limite pode tambe´m representar a taxa de variac¸a˜o de f no ponto x = x0. Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 17 / 17
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