Buscar

Retas Tangentes e Derivadas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 22 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 22 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 22 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

(2o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
Retas tangentes e derivadas
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 1 / 17
O que e´ uma reta tangente a uma curva?
Figura: C´ırculo de centro O.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 2 / 17
O que e´ uma reta tangente a uma curva?
Figura: L sera´ tangente ao c´ırculo em P se passar por P perpendicularmente ao
raio OP.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 3 / 17
O que e´ uma reta tangente a uma curva?
Como definir “tangeˆncia” para
curvas em geral?
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 4 / 17
O que e´ uma reta tangente a uma curva?
1) Comec¸amos calculando o coeficiente angular da
secante PQ.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 5 / 17
O que e´ uma reta tangente a uma curva?
1) Comec¸amos calculando o coeficiente angular da
secante PQ.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 5 / 17
O que e´ uma reta tangente a uma curva?
2) Investigamos o limite do coeficiente angular da
sencante quando Q se aproxima de P ao longo da curva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 6 / 17
O que e´ uma reta tangente a uma curva?
2) Investigamos o limite do coeficiente angular da
sencante quando Q se aproxima de P ao longo da curva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 7 / 17
O que e´ uma reta tangente a uma curva?
3) Se o limite existe, este valor sera´ o coeficiente angular
da curva em P e definimos a tangente em P como sendo
a reta com este coeficiente.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 8 / 17
O que e´ uma reta tangente a uma curva?
Exemplo
Determine o coeficiente angular da para´bola y = x2 no
ponto P(2, 4). Escreva uma equac¸a˜o para a tangente a`
para´bola nesse ponto.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 9 / 17
Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 10 / 17
Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 10 / 17
Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 11 / 17
Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 12 / 17
Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 13 / 17
Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o
Definic¸a˜o (Coeficiente angular e reta tangente)
O coeficiente angular da curva y = f (x) em um ponto
P(x0, f (x0)) e´ o nu´mero
m = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
desde que o limite exista. A reta tangente a` curva f em
P e´ a reta que passa por P e tem esse coeficiente angular.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 14 / 17
Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o
(Como achar a tangente a` curva y = f (x) em (x0, y0))
1 Calcule f (x0) e f (x0 + h).
2 Calcule o coeficiente angular
m = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
.
3 Se o limite existe, determine a reta tangente como
y = y0 + m(x − x0).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 15 / 17
Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o
(Como achar a tangente a` curva y = f (x) em (x0, y0))
1 Calcule f (x0) e f (x0 + h).
2 Calcule o coeficiente angular
m = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
.
3 Se o limite existe, determine a reta tangente como
y = y0 + m(x − x0).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 15 / 17
Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o
(Como achar a tangente a` curva y = f (x) em (x0, y0))
1 Calcule f (x0) e f (x0 + h).
2 Calcule o coeficiente angular
m = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
.
3 Se o limite existe, determine a reta tangente como
y = y0 + m(x − x0).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 15 / 17
Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o
(Como achar a tangente a` curva y = f (x) em (x0, y0))
1 Calcule f (x0) e f (x0 + h).
2 Calcule o coeficiente angular
m = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
.
3 Se o limite existe, determine a reta tangente como
y = y0 + m(x − x0).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 15 / 17
Obtendo uma tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o
Exemplo
(a) Determine o coeficiente angular da curva
y = 1/x em x = a 6= 0.
(b) Onde o coeficiente angular e´ −1/4.
(c) O que acontece com a tangente a` curva no
ponto (a, 1/a) quando a varia?
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 16 / 17
Taxas de variac¸a˜o: derivada em um ponto
A expressa˜o
f (x0 + h)− f (x0)
h
e´ chamada raza˜o incremental em x0 com incremento
h. Se esta raza˜o tem um limite quando h→ 0, este e´
denominado derivada de f em x0. Este limite pode
tambe´m representar a taxa de variac¸a˜o de f no ponto
x = x0.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Retas tangentes e derivadas 9 de julho de 2013 17 / 17

Outros materiais

Outros materiais