Aula3

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(1o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
AULA 3: Combinando func¸o˜es;
transladando e mudando a escala de gra´ficos
Diogo de Santana Germano AULA 3: Combinando func¸o˜es; transladando e mudando...
Somas, diferenc¸as, produtos e quocientes
Definic¸a˜o
Se f e g sa˜o func¸o˜es e x ∈ D(f ) ∩ D(g), definimos
f + g, f − g e fg por
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f − g)(x) = f (x)− g(x)
(fg)(x) = f (x)g(x).
Em qualquer ponto de D(f )∩D(g) podemos definir(
f
g
)
(x) =
f (x)
g(x)
, desde que g(x) 6= 0.
Diogo de Santana Germano AULA 3: Combinando func¸o˜es; transladando e mudando...
Somas, diferenc¸as, produtos e quocientes
Definic¸a˜o
Se f e g sa˜o func¸o˜es e x ∈ D(f ) ∩ D(g), definimos
f + g, f − g e fg por
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f − g)(x) = f (x)− g(x)
(fg)(x) = f (x)g(x).
Em qualquer ponto de D(f )∩D(g) podemos definir(
f
g
)
(x) =
f (x)
g(x)
, desde que g(x) 6= 0.
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Somas, diferenc¸as, produtos e quocientes
Definic¸a˜o
Se f e g sa˜o func¸o˜es e x ∈ D(f ) ∩ D(g), definimos
f + g, f − g e fg por
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f − g)(x) = f (x)− g(x)
(fg)(x) = f (x)g(x).
Em qualquer ponto de D(f )∩D(g) podemos definir(
f
g
)
(x) =
f (x)
g(x)
, desde que g(x) 6= 0.
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Somas, diferenc¸as, produtos e quocientes
Definic¸a˜o
Se f e g sa˜o func¸o˜es e x ∈ D(f ) ∩ D(g), definimos
f + g, f − g e fg por
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f − g)(x) = f (x)− g(x)
(fg)(x) = f (x)g(x).
Em qualquer ponto de D(f )∩D(g) podemos definir(
f
g
)
(x) =
f (x)
g(x)
, desde que g(x) 6= 0.
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Somas, diferenc¸as, produtos e quocientes
Exemplo
Determine o dom´ınio das func¸o˜es definidas pelas
fo´rmulas
f (x) =
√
x e g(x) =
√
1− x .
Em seguida determine a intersec¸a˜o dos dom´ınios.
Por fim, crie uma tabela para f e g com as poss´ıveis
operac¸o˜es entre elas, as fo´rmulas e os dom´ınios.
Diogo de Santana Germano AULA 3: Combinando func¸o˜es; transladando e mudando...
Func¸o˜es compostas
Figura: Diagrama de setas para f ◦ g .
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Func¸o˜es compostas
Figura: Diagrama de setas para f ◦ g .
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Func¸o˜es compostas
Figura: Diagrama de setas para f ◦ g .
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Func¸o˜es compostas
Definic¸a˜o (Composic¸a˜o de func¸o˜es)
Sejam f e g func¸o˜es tais que a imagem de g esta´
contida no dom´ınio de f . Definimos a func¸a˜o
composta por
(f ◦ g)(x) = f (g(x)).
Figura: Diagrama de setas para f ◦ g .
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Func¸o˜es compostas
Exemplo
Se f (x) =
√
x e g(x) = x + 1, determine as
seguintes fo´rmulas e os dom´ınios das composic¸o˜es:
(a) (f ◦ g)(x);
(b) (g ◦ f )(x);
(c) (f ◦ f )(x);
(d) (g ◦ g)(x).
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Como transladar um gra´fico
(Fo´rmulas para translac¸a˜o)
Translac¸a˜o vertical
y = f (x) + k Translada o gra´fico k unidades
para cima se k > 0
Translada o gra´fico |k | unidades
para baixo se k < 0
Translac¸a˜o horizontal
y = f (x + h) Translada o gra´fico h unidades
para esquerda se h > 0
Translada o gra´fico |h| unidades
para direita se h < 0
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Como transladar um gra´fico
(Fo´rmulas para translac¸a˜o)
Translac¸a˜o vertical
y = f (x) + k Translada o gra´fico k unidades
para cima se k > 0
Translada o gra´fico |k | unidades
para baixo se k < 0
Translac¸a˜o horizontal
y = f (x + h) Translada o gra´fico h unidades
para esquerda se h > 0
Translada o gra´fico |h| unidades
para direita se h < 0
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Como transladar um gra´fico
Translac¸a˜o vertical
Figura: Gra´fico de y = x2.
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Como transladar um gra´fico
Translac¸a˜o vertical
Figura: Gra´fico de y = x2 e y = x2 + 1.
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Como transladar um gra´fico
Translac¸a˜o vertical
Figura: Gra´fico de y = x2, y = x2 + 1 e y = x2 − 2.
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Como transladar um gra´fico
Translac¸a˜o horizontal
Figura: Gra´fico de y = x2.
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Como transladar um gra´fico
Translac¸a˜o horizontal
Figura: Gra´fico de y = x2 e y = (x + 3)2.
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Como transladar um gra´fico
Translac¸a˜o horizontal
Figura: Gra´fico de y = x2, y = (x + 3)2 e y = (x − 2)2.
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Como transladar um gra´fico
Exemplo
Trace o gra´fico da func¸a˜o f (x) = |x − 2| − 1.
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Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
(Fo´rmulas para mudanc¸a vertical ou horizontal e
para reflexa˜o)
Para c > 1:
y = cf (x) Alonga o gra´fico de f verticalmente
por um fator de c .
y =
1
c
f (x) Comprime o gra´fico de f
verticalmente por um fator de c .
y = f (cx) Comprime o gra´fico de f
horizontalmente por um fator de c .
y = f (x/c) Alonga o gra´fico de f horizontalmente
por um fator de c .
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Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
(Fo´rmulas para mudanc¸a vertical ou horizontal e
para reflexa˜o)
Para c > 1:
y = cf (x) Alonga o gra´fico de f verticalmente
por um fator de c .
y =
1
c
f (x) Comprime o gra´fico de f
verticalmente por um fator de c .
y = f (cx) Comprime o gra´fico de f
horizontalmente por um fator de c .
y = f (x/c) Alonga o gra´fico de f horizontalmente
por um fator de c .
Diogo de Santana Germano AULA 3: Combinando func¸o˜es; transladando e mudando...
Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
(Fo´rmulas para mudanc¸a vertical ou horizontal e
para reflexa˜o)
Para c = −1:
y = −f (x) Reflete o gra´fico de f em torno
do eixo x .
y = f (−x) Reflete o gra´fico de f em torno
do eixo y .
Diogo de Santana Germano AULA 3: Combinando func¸o˜es; transladando e mudando...
Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Alongamento e compressa˜o vertical
Figura: Alongando e comprimindo y =
√
x por um fator de 3, 6 e 10.
Diogo de Santana Germano AULA 3: Combinando func¸o˜es; transladando e mudando...
Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Alongamento e compressa˜o vertical
Figura: Alongando e comprimindo y =
√
x por um fator de 3, 6 e 10.
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Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Alongamento e compressa˜o vertical
Figura: Alongando e comprimindo y =
√
x por um fator de 3, 6 e 10.
Diogo de Santana Germano AULA 3: Combinando func¸o˜es; transladando e mudando...
Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Alongamento e compressa˜o vertical
Figura: Alongando e comprimindo y =
√
x por um fator de 3, 6 e 10.
Diogo deSantana Germano AULA 3: Combinando func¸o˜es; transladando e mudando...
Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Alongamento e compressa˜o vertical
Figura: Alongando e comprimindo y =
√
x por um fator de 3, 6 e 10.
Diogo de Santana Germano AULA 3: Combinando func¸o˜es; transladando e mudando...
Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Alongamento e compressa˜o vertical
Figura: Alongando e comprimindo y =
√
x por um fator de 3, 6 e 10.
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Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Alongamento e compressa˜o horizontal
Figura: Alongando e comprimindo y =
√
x por um fator de 3, 6 e 10.
Diogo de Santana Germano AULA 3: Combinando func¸o˜es; transladando e mudando...
Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Alongamento e compressa˜o horizontal
Figura: Alongando e comprimindo y =
√
x por um fator de 3, 6 e 10.
Diogo de Santana Germano AULA 3: Combinando func¸o˜es; transladando e mudando...
Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Alongamento e compressa˜o horizontal
Figura: Alongando e comprimindo y =
√
x por um fator de 3, 6 e 10.
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Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Alongamento e compressa˜o horizontal
Figura: Alongando e comprimindo y =
√
x por um fator de 3, 6 e 10.
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Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Alongamento e compressa˜o horizontal
Figura: Alongando e comprimindo y =
√
x por um fator de 3, 6 e 10.
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Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Reflexo˜es
Figura: Gra´fico de y =
√
x .
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Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Reflexo˜es
Figura: Reflexa˜o de y =
√
x em torno do eixo x .
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Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Reflexo˜es
Figura: Reflexa˜o de y =
√
x em torno do eixo y .
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Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Exemplo
Dada a func¸a˜o f (x) = x4 − 4x3 + 10, determine
fo´rmulas para
(a) comprimir o gra´fico horizontalmente por um
fator de 2 e, em seguida, refleti-lo em torno do eixo
y .
(b) comprimir o gra´fico verticalmente por um fator
de 2 e, em seguida, refleti-lo em torno do eixo x.
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Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Gra´ficos do Exemplo anterior
Figura: Gra´fico de y = x4 − 4x3 + 10.
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Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Gra´ficos do Exemplo anterior
Figura: Gra´fico de y = f (2x).
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Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Gra´ficos do Exemplo anterior
Figura: Compressa˜o horizontal de y = f (x) seguida de uma reflexa˜o em
torno do eixo y : y = 16x4 + 32x3 + 10.
Diogo de Santana Germano AULA 3: Combinando func¸o˜es; transladando e mudando...
Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Gra´ficos do Exemplo anterior
Figura: Gra´fico de y = x4 − 4x3 + 10.
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Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Gra´ficos do Exemplo anterior
Figura: Gra´fico de y = (1/2)f (x).
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Como mudar a escala ou refletir o gra´fico de uma func¸a˜o
Gra´ficos do Exemplo anterior
Figura: Compressa˜o vertical de y = f (x) seguida de uma reflexa˜o em
torno do eixo x : y = −(1/2)x4 + 2x3 − 5.
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