Regras de Derivação em Cálculo Diferencial e Integral

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(2o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
Regras de derivac¸a˜o
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 1 / 14
Poteˆncias, multiplicac¸a˜o, somas e diferenc¸as
(Regra 1: derivada da func¸a˜o constante)
Se f e´ uma func¸a˜o constante f (x) = c, enta˜o
df
dx
=
d
dx
(c) = 0.
(Regra 2: potenciac¸a˜o para inteiros positivos)
Se n for um inteiro positivo, enta˜o
d
dx
xn = nxn−1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 2 / 14
Poteˆncias, multiplicac¸a˜o, somas e diferenc¸as
(Regra 1: derivada da func¸a˜o constante)
Se f e´ uma func¸a˜o constante f (x) = c, enta˜o
df
dx
=
d
dx
(c) = 0.
(Regra 2: potenciac¸a˜o para inteiros positivos)
Se n for um inteiro positivo, enta˜o
d
dx
xn = nxn−1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 2 / 14
Poteˆncias, multiplicac¸a˜o, somas e diferenc¸as
(Regra 1: derivada da func¸a˜o constante)
Se f e´ uma func¸a˜o constante f (x) = c, enta˜o
df
dx
=
d
dx
(c) = 0.
(Regra 2: potenciac¸a˜o para inteiros positivos)
Se n for um inteiro positivo, enta˜o
d
dx
xn = nxn−1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 2 / 14
Poteˆncias, multiplicac¸a˜o, somas e diferenc¸as
(Regra 3: multiplicac¸a˜o por constante)
Se u e´ uma func¸a˜o deriva´vel de x e c e´ constante, enta˜o
d
dx
(cu) = c
du
dx
.
(Regra 4: derivada da soma)
Se u e v sa˜o func¸o˜es deriva´veis de x, enta˜o a soma u + v
e´ deriva´vel em qualquer ponto onde ambas sejam
deriva´veis. Nesses pontos,
d
dx
(u ± v) = du
dx
± dv
dx
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 3 / 14
Poteˆncias, multiplicac¸a˜o, somas e diferenc¸as
(Regra 3: multiplicac¸a˜o por constante)
Se u e´ uma func¸a˜o deriva´vel de x e c e´ constante, enta˜o
d
dx
(cu) = c
du
dx
.
(Regra 4: derivada da soma)
Se u e v sa˜o func¸o˜es deriva´veis de x, enta˜o a soma u + v
e´ deriva´vel em qualquer ponto onde ambas sejam
deriva´veis. Nesses pontos,
d
dx
(u ± v) = du
dx
± dv
dx
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 3 / 14
Poteˆncias, multiplicac¸a˜o, somas e diferenc¸as
Se u1, u2, . . ., un sa˜o deriva´veis em x , enta˜o
u1 + u2 + · · ·+ un tambe´m sera´ e
d
dx
(u1 + u2 + · · ·+ un) = du1
dx
+
du2
dx
+ · · ·+ dun
dx
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 4 / 14
Poteˆncias, multiplicac¸a˜o, somas e diferenc¸as
Se u1, u2, . . ., un sa˜o deriva´veis em x , enta˜o
u1 + u2 + · · ·+ un tambe´m sera´ e
d
dx
(u1 + u2 + · · ·+ un) = du1
dx
+
du2
dx
+ · · ·+ dun
dx
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 4 / 14
Poteˆncias, multiplicac¸a˜o, somas e diferenc¸as
Exemplo
Determine a derivadas das func¸o˜es
(a) y = x4 + 12x;
(b) y = x3 +
4
3
x2 − 5x + 1.
Exemplo
A curva y = x4 − 2x2 + 2 tem alguma tangente
horizontal? Se tem, onde esta´?
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 5 / 14
Poteˆncias, multiplicac¸a˜o, somas e diferenc¸as
Exemplo
Determine a derivadas das func¸o˜es
(a) y = x4 + 12x;
(b) y = x3 +
4
3
x2 − 5x + 1.
Exemplo
A curva y = x4 − 2x2 + 2 tem alguma tangente
horizontal? Se tem, onde esta´?
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 5 / 14
Derivadas de func¸o˜es exponenciais
(Derivada das func¸o˜es exponenciais)
Seja f (x) = ax . Temos
d
dx
(ax) = ax ln a.
Em particular,
d
dx
(ex) = ex .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 6 / 14
Derivadas de func¸o˜es exponenciais
Exemplo
Determine uma equac¸a˜o para uma reta que seja tangente
ao gra´fico de y = ex e passe pela origem.
Observac¸a˜o
As u´nicas func¸o˜es que satisfazem a condic¸a˜o f ′(x) = f (x)
sa˜o as func¸o˜es f (x) = c · ex , onde c e´ constante.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 7 / 14
Derivadas de func¸o˜es exponenciais
Exemplo
Determine uma equac¸a˜o para uma reta que seja tangente
ao gra´fico de y = ex e passe pela origem.
Observac¸a˜o
As u´nicas func¸o˜es que satisfazem a condic¸a˜o f ′(x) = f (x)
sa˜o as func¸o˜es f (x) = c · ex , onde c e´ constante.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 7 / 14
Derivadas de func¸o˜es exponenciais
Exemplo
Determine uma equac¸a˜o para uma reta que seja tangente
ao gra´fico de y = ex e passe pela origem.
Observac¸a˜o
As u´nicas func¸o˜es que satisfazem a condic¸a˜o f ′(x) = f (x)
sa˜o as func¸o˜es f (x) = c · ex , onde c e´ constante.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 8 / 14
Derivadas de func¸o˜es exponenciais
Exemplo
Determine uma equac¸a˜o para uma reta que seja tangente
ao gra´fico de y = ex e passe pela origem.
Observac¸a˜o
As u´nicas func¸o˜es que satisfazem a condic¸a˜o f ′(x) = f (x)
sa˜o as func¸o˜es f (x) = c · ex , onde c e´ constante.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 8 / 14
Produtos e quocientes
(Regra 5: derivada do produto)
Se u e v sa˜o deriva´veis em x, enta˜o o produto uv tambe´m
e´, e
d
dx
(uv) = u′v + uv ′ =
du
dx
v + u
dv
dx
.
Exemplo
Encontre a derivada de
y =
1
x
(
x2 + ex
)
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 9 / 14
Produtos e quocientes
(Regra 5: derivada do produto)
Se u e v sa˜o deriva´veis em x, enta˜o o produto uv tambe´m
e´, e
d
dx
(uv) = u′v + uv ′ =
du
dx
v + u
dv
dx
.
Exemplo
Encontre a derivada de
y =
1
x
(
x2 + ex
)
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 9 / 14
Produtos e quocientes
(Regra 5: derivada do produto)
Se u e v sa˜o deriva´veis em x, enta˜o o produto uv tambe´m
e´, e
d
dx
(uv) = u′v + uv ′ =
du
dx
v + u
dv
dx
.
Exemplo
Encontre a derivada de
y =
1
x
(
x2 + ex
)
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 9 / 14
Produtos e quocientes
Exemplo
Seja y = uv o produto das func¸o˜es u e v . Determine
y ′(2) se
u(2) = 3, u′(2) = −4, v(2) = 1 e v ′(2) = 2.
Exemplo
Determine a derivada de y = (x2 + 1)(x3 + 3).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 10 / 14
Produtos e quocientes
Exemplo
Seja y = uv o produto das func¸o˜es u e v . Determine
y ′(2) se
u(2) = 3, u′(2) = −4, v(2) = 1 e v ′(2) = 2.
Exemplo
Determine a derivada de y = (x2 + 1)(x3 + 3).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 10 / 14
Produtos e quocientes
(Regra 6: derivada do quociente)
Se u e v sa˜o deriva´veis em x e se v(x) 6= 0, enta˜o o
quociente u/v e´ deriva´vel em x, e
d
dx
(u
v
)
=
du
dx
v − u dv
dx
v 2
=
u′v − uv ′
v 2
Exemplo
Encontre a derivada de
(a) y =
t2 − 1
t2 + 1
(b) y = e−x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 11 / 14
Produtos e quocientes
(Regra 6: derivada do quociente)
Se u e v sa˜o deriva´veis em x e se v(x) 6= 0, enta˜o o
quociente u/v e´ deriva´vel em x, e
d
dx
(u
v
)
=
du
dx
v − u dv
dx
v 2
=
u′v − uv ′
v 2
Exemplo
Encontre a derivada de
(a) y =
t2 − 1
t2 + 1
(b) y = e−x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 11 / 14
Produtos e quocientes
(Regra 6: derivada do quociente)
Se u e v sa˜o deriva´veis em x e se v(x) 6= 0, enta˜o o
quociente u/v e´ deriva´velem x, e
d
dx
(u
v
)
=
du
dx
v − u dv
dx
v 2
=
u′v − uv ′
v 2
Exemplo
Encontre a derivada de
(a) y =
t2 − 1
t2 + 1
(b) y = e−x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 11 / 14
Produtos e quocientes
Vamos usar a derivada do quociente para provar a
seguinte regra:
(Regra 7: Potenciac¸a˜o para inteiros negativos)
Se n e´ um inteiro negativo e x 6= 0, enta˜o
d
dx
(xn) = nxn−1.
Exemplo
Sem usar a regra do quociente, determine a derivada de
y =
(x − 1)(x2 − 2x)
x4
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 12 / 14
Produtos e quocientes
Vamos usar a derivada do quociente para provar a
seguinte regra:
(Regra 7: Potenciac¸a˜o para inteiros negativos)
Se n e´ um inteiro negativo e x 6= 0, enta˜o
d
dx
(xn) = nxn−1.
Exemplo
Sem usar a regra do quociente, determine a derivada de
y =
(x − 1)(x2 − 2x)
x4
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 12 / 14
Produtos e quocientes
Vamos usar a derivada do quociente para provar a
seguinte regra:
(Regra 7: Potenciac¸a˜o para inteiros negativos)
Se n e´ um inteiro negativo e x 6= 0, enta˜o
d
dx
(xn) = nxn−1.
Exemplo
Sem usar a regra do quociente, determine a derivada de
y =
(x − 1)(x2 − 2x)
x4
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 12 / 14
Derivadas de segunda ordem e de ordem superior
Se y = f (x) e´ deriva´vel, temos a func¸a˜o f ′(x);
Se f ′ tambe´m for deriva´vel teremos f ′′ = (f ′)′
chamada segunda derivada de f :
f ′′(x) =
d2y
dx2
=
d
dx
(
dy
dx
)
=
dy ′
dx
= y ′′ = D2(f )(x) = D2x f (x).
Em geral podemos ter a ene´sima derivada de y em
relac¸a˜o a x , para qualquer inteiro positivo n:
y (n) =
d
dx
y (n−1) =
dny
dxn
= Dny .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 13 / 14
Derivadas de segunda ordem e de ordem superior
Exemplo
Sendo y = x6, determine y ′ e y ′′.
Exemplo
Determine as quatro primeiras derivadas de
y = x3 − 3x2 + 2.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 14 / 14
Derivadas de segunda ordem e de ordem superior
Exemplo
Sendo y = x6, determine y ′ e y ′′.
Exemplo
Determine as quatro primeiras derivadas de
y = x3 − 3x2 + 2.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Regras de derivac¸a˜o 16 de julho de 2013 14 / 14