Continuidade de Funções

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(1o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
Continuidade
Diogo de Santana Germano Continuidade
Continuidade em um ponto
Exemplo (1)
Encontre os pontos nos quais a func¸a˜o f e´ cont´ınua
e aqueles em que e´ descont´ınua.
Figura:
A func¸a˜o e´ cont´ınua em [0, 4], exceto em x = 1, x = 2 e x = 4.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Continuidade em um ponto
Exemplo (1)
Encontre os pontos nos quais a func¸a˜o f e´ cont´ınua
e aqueles em que e´ descont´ınua.
Figura:
A func¸a˜o e´ cont´ınua em [0, 4], exceto em x = 1, x = 2 e x = 4.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Continuidade em um ponto
Exemplo (1)
Encontre os pontos nos quais a func¸a˜o f e´ cont´ınua
e aqueles em que e´ descont´ınua.
Figura: A func¸a˜o e´ cont´ınua em [0, 4], exceto em x = 1, x = 2 e x = 4.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Continuidade em um ponto
Definic¸a˜o
Ponto interior: Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua
em um ponto interior c de seu dom´ınio quando
lim
x→c f (x) = f (c).
Extremidades: Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua
na extremidade esquerda a ou e´ cont´ınua na
extremidade direita b de seu dom´ınio quando
lim
x→a+
f (x) = f (a) ou lim
x→b−
f (x) = f (b),
respectivamente.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Continuidade em um ponto
Definic¸a˜o
Ponto interior: Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua
em um ponto interior c de seu dom´ınio quando
lim
x→c f (x) = f (c).
Extremidades: Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua
na extremidade esquerda a ou e´ cont´ınua na
extremidade direita b de seu dom´ınio quando
lim
x→a+
f (x) = f (a) ou lim
x→b−
f (x) = f (b),
respectivamente.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Continuidade em um ponto
Exemplo (2)
A func¸a˜o f (x) =
√
4− x2 (figura) e´ cont´ınua em
todos os pontos de seu dom´ınio, [−2, 2], inclusive
em x = −2, onde f e´ cont´ınua a` direita, e x = 2,
onde f e´ cont´ınua a` esquerda.
Figura: Gra´fico de y =
√
4− x2.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Continuidade em um ponto
Exemplo (2)
A func¸a˜o f (x) =
√
4− x2 (figura) e´ cont´ınua em
todos os pontos de seu dom´ınio, [−2, 2], inclusive
em x = −2, onde f e´ cont´ınua a` direita, e x = 2,
onde f e´ cont´ınua a` esquerda.
Figura: Gra´fico de y =
√
4− x2.
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Continuidade em um ponto
Exemplo (3)
A func¸a˜o “salto unita´rio” U(x) (figura) e´ cont´ınua a`
direita em x = 0, mas na˜o e´ nem cont´ınua a`
esquerda nem cont´ınua em x = 0.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Continuidade em um ponto
Definic¸a˜o
Uma func¸a˜o f (x) sera´ cont´ınua em x = c se e
somente se ela obedece a`s treˆs condic¸o˜es seguintes:
1 f (c) existe;
2 lim
x→c f (x) existe;
3 lim
x→c f (x) = f (c).
Exemplo (4)
Determine os pontos onde a func¸a˜o y = bxc e´
cont´ınua.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Continuidade em um ponto
Definic¸a˜o
Uma func¸a˜o f (x) sera´ cont´ınua em x = c se e
somente se ela obedece a`s treˆs condic¸o˜es seguintes:
1 f (c) existe;
2 lim
x→c f (x) existe;
3 lim
x→c f (x) = f (c).
Exemplo (4)
Determine os pontos onde a func¸a˜o y = bxc e´
cont´ınua.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Continuidade em um ponto
Figura: Func¸a˜o Cont´ınua em x = 0.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Continuidade em um ponto
Figura: Estas func¸o˜es sa˜o descont´ınuas em x = 0. Mas, se fosse f (0) = 1
seriam cont´ınuas. Estas descontinuidades sa˜o remov´ıveis.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Continuidade em um ponto
Figura: Limites laterais em x = 0 existem, mas tem valores distintos.
Neste caso temos uma descontinuidade de salto.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Continuidade em um ponto
Figura: Descontinuidade infinita.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Continuidade em um ponto
Figura: A func¸a˜o oscila demais para ter um limite quando x → 0. Neste
caso temos uma descontinuidade oscilante.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Func¸o˜es cont´ınuas
Uma func¸a˜o e´ cont´ınua em um intervalo se o for
em cada ponto do intervalo. Uma func¸a˜o
cont´ınua e´ aquela que e´ cont´ınua em cada ponto
de seu dom´ınio.
Exemplo (5)
a) A func¸a˜o y = 1/x e´ cont´ınua.
b) A func¸a˜o f (x) = x e´ cont´ınua.
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Func¸o˜es cont´ınuas
Uma func¸a˜o e´ cont´ınua em um intervalo se o for
em cada ponto do intervalo. Uma func¸a˜o
cont´ınua e´ aquela que e´ cont´ınua em cada ponto
de seu dom´ınio.
Exemplo (5)
a) A func¸a˜o y = 1/x e´ cont´ınua.
b) A func¸a˜o f (x) = x e´ cont´ınua.
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Func¸o˜es cont´ınuas
Teorema (Propriedades de func¸o˜es cont´ınuas)
Se as func¸o˜es f e g sa˜o cont´ınuas em x = c, enta˜o
as seguintes func¸o˜es tambe´m sa˜o cont´ınuas em
x = c:
1 f ± g;
2 f · g;
3 k · f , para qualquer nu´mero k.
4 f /g, uma vez que g(c) 6= 0;
5 f r/s , r e s inteiros.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Func¸o˜es cont´ınuas
Exemplo (6)
a) Todo polinoˆmio
P(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a0 e´
cont´ınio.
b) A func¸a˜o racional P(x)/Q(x) e´ cont´ınua
em todos os pontos na qual e´ definida.
Exemplo (7)
A func¸a˜o f (x) = |x | e´ cont´ınua em qualquer x ∈ R.
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Func¸o˜es cont´ınuas
Exemplo (6)
a) Todo polinoˆmio
P(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a0 e´
cont´ınio.
b) A func¸a˜o racional P(x)/Q(x) e´ cont´ınua
em todos os pontos na qual e´ definida.
Exemplo (7)
A func¸a˜o f (x) = |x | e´ cont´ınua em qualquer x ∈ R.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Func¸o˜es cont´ınuas
Exemplo (8)
As func¸o˜es y = sen x e y = cos x sa˜o cont´ınuas em
x = 0. Ambas sa˜o cont´ınuas na verdade em
qualquer ponto (exerc´ıcio).
Observac¸a˜o
A func¸a˜o inversa de qualquer func¸a˜o cont´ınua
tambe´m e´ cont´ınua em todo o seu dom´ınio, pois o
gra´fico de f −1 e´ uma reflexa˜o em torno de y = x.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Compostas
Teorema
Se f e´ cont´ınua em c e g e´ cont´ınua
em f (c), enta˜o a composta g ◦ f e´
cont´ınua em c.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Compostas
Exemplo (9)
Mostre que as seguintes func¸o˜es sa˜o cont´ınuas em
qualquer ponto de seus respectivos dom´ınios.
(a) y =
√
x2 − 2x − 5
(b) y =
x2/3
1 + x4
(c) y =
∣∣∣∣ x − 2x2 − 2
∣∣∣∣
(d) y =
∣∣∣∣x sen xx2 + 2
∣∣∣∣
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Compostas
Teorema
Se g e´ cont´ınua no ponto b e lim
x→c f (x) = b, enta˜o
lim
x→c g(f (x)) = g(b) = g( limx→c(f (x)).
Exemplo (11)
Calcule os limites.
(a) lim
x→1
sen−1
(
1− x
1− x2
)
;
(b) lim
x→0
√
x + 1etan x .
Diogo de Santana Germano Continuidade
Extensa˜o cont´ınua ate´ um ponto
Exemplo (12)
A func¸a˜o f (x) = sen x/x e´ cont´ınua em qualquer
ponto? Se na˜o for, e´ poss´ıvel estender o dom´ınio da
func¸a˜o de maneira que a func¸a˜o estendida seja
cont´ınua em todos os reais?
Se f (c) na˜o for definida, mas lim
x→c f (x) = L existe,
podemos definir F pela regra
F (x) =
{
f (x), se x esta´ no dom´ınio de f
L, se x = c
F e´ a extensa˜o cont´ınua de f em x = c e, claro,
F e´ cont´ınua em x = c .
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Extensa˜o cont´ınua ate´ um ponto
Exemplo (12)
A func¸a˜o f (x) = sen x/x e´ cont´ınua em qualquer
ponto? Se na˜o for, e´ poss´ıvel estender o dom´ınio da
func¸a˜o de maneira que a func¸a˜o estendida seja
cont´ınua em todos os reais?
Se f (c) na˜o for definida, mas lim
x→c f (x) = L existe,
podemos definir F pela regra
F (x) =
{
f (x), se x esta´ no dom´ınio de f
L, se x = c
F e´ a extensa˜o cont´ınua de f em x = c e, claro,
F e´ cont´ınua em x = c .
Diogo de SantanaGermano Continuidade
Extensa˜o cont´ınua ate´ um ponto
Exemplo (13)
Mostre que
f (x) =
x2 + x − 6
x2 − 4 , x 6= 2
tem uma extensa˜o cont´ınua em x = 2 e determine
essa extensa˜o.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Teorema do valor intermedia´rio para func¸o˜es cont´ınuas
Teorema (Valor Intermedia´rio)
Seja y = f (x) cont´ınua em um intervalo
fechado [a, b]. Se y0 e´ um valor qualquer
entre f (a) e f (b), enta˜o y0 = f (c) para
algum c em [a, b].
Diogo de Santana Germano Continuidade
Teorema do valor intermedia´rio para func¸o˜es cont´ınuas
Diogo de Santana Germano Continuidade
Teorema do valor intermedia´rio para func¸o˜es cont´ınuas
Diogo de Santana Germano Continuidade
Teorema do valor intermedia´rio para func¸o˜es cont´ınuas
Diogo de Santana Germano Continuidade
Teorema do valor intermedia´rio para func¸o˜es cont´ınuas
(Consequeˆncia no esboc¸o de gra´ficos)
Devido o Teorema anterior o gra´fico de uma func¸a˜o
cont´ınua em um intervalo na˜o pode ter qualquer
quebra nesse intervalo.
(Consequeˆncia para determinar ra´ızes)
Se f for cont´ınua, enta˜o qualquer intervalo em que
f muda de sinal conte´m um zero da func¸a˜o.
Diogo de Santana Germano Continuidade
Teorema do valor intermedia´rio para func¸o˜es cont´ınuas
(Consequeˆncia no esboc¸o de gra´ficos)
Devido o Teorema anterior o gra´fico de uma func¸a˜o
cont´ınua em um intervalo na˜o pode ter qualquer
quebra nesse intervalo.
(Consequeˆncia para determinar ra´ızes)
Se f for cont´ınua, enta˜o qualquer intervalo em que
f muda de sinal conte´m um zero da func¸a˜o.
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