Aula13

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(2o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
A derivada como taxa de variac¸a˜o
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como taxa de variac¸a˜o 16 de julho de 2013 1 / 8
Taxas de variac¸a˜o instantaˆneas
Definic¸a˜o (Taxa de variac¸a˜o instantaˆnea)
A taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em relac¸a˜o a x
em x0 e´ a derivada
f ′(x0) = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
desde que o limite exista.
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Taxas de variac¸a˜o instantaˆneas
Definic¸a˜o (Taxa de variac¸a˜o instantaˆnea)
A taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em relac¸a˜o a x
em x0 e´ a derivada
f ′(x0) = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
desde que o limite exista.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como taxa de variac¸a˜o 16 de julho de 2013 2 / 8
Taxas de variac¸a˜o instantaˆneas
Exemplo (A´rea de um c´ırculo variando com o diaˆmetro)
A a´rea A de um c´ırculo esta´ relacionada com seu diaˆmetro
pela equac¸a˜o
A =
pi
4
D2.
A que taxa a a´rea muda em relac¸a˜o ao diaˆmetro, quando
o diaˆmetro e´ igual a 10 m?
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Deslocamento, velocidade, acelerac¸a˜o e sobreacelerac¸a˜o
Exemplo (Velocidade (velocidade instantaˆnea))
Velocidade e´ a derivada da posic¸a˜o s em relac¸a˜o ao
tempo t. Se s = s(t), enta˜o sua velocidade no instante t
e´
v(t) =
ds
dt
= lim
∆t→0
s(t + ∆t)− s(t)
∆t
.
Exemplo (Mo´dulo da velocidade)
Mo´dulo da velocidade e´ o valor absoluto da velocidade,
ou seja,
|v(t)| =
∣∣∣∣dsdt
∣∣∣∣ .
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Deslocamento, velocidade, acelerac¸a˜o e sobreacelerac¸a˜o
A taxa com que a velocidade de um corpo varia e´ a
acelerac¸a˜o do corpo.
Uma mudanc¸a repentina na acelerac¸a˜o e´ chamada
sobreacelerac¸a˜o.
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Deslocamento, velocidade, acelerac¸a˜o e sobreacelerac¸a˜o
A taxa com que a velocidade de um corpo varia e´ a
acelerac¸a˜o do corpo.
Uma mudanc¸a repentina na acelerac¸a˜o e´ chamada
sobreacelerac¸a˜o.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como taxa de variac¸a˜o 16 de julho de 2013 5 / 8
Deslocamento, velocidade, acelerac¸a˜o e sobreacelerac¸a˜o
Definic¸a˜o
Se a posic¸a˜o de um corpo no instante t e´ s = s(t), enta˜o
sua acelerac¸a˜o nesse instante e´
a(t) =
dv
dt
=
d2s
dt2
.
Ja´ a sobreacelerac¸a˜o e´
j(t) =
da
dt
=
d3s
dt3
.
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Deslocamento, velocidade, acelerac¸a˜o e sobreacelerac¸a˜o
Exemplo (Tarefa)
Pro´ximo a` superf´ıcie da Terra, todos os corpos caem com
acelerac¸a˜o segundo a` equac¸a˜o s =
1
2
gt2,
onde s e´ a distaˆncia e g = 9, 8 m/s2 = 32 pe´s/s2 a
acelerac¸a˜o da gravidade da Terra. Suponha que uma bola
pesada esteja em queda livre partindo do repouso no
instante t = 0 s.
(a) Quantos metros a bola cai nos primeiros 2 s?
(b) Quais sa˜o sua velocidade, o mo´dulo de sua velocidade
e sua acelerac¸a˜o nesse instante?
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Deslocamento, velocidade, acelerac¸a˜o e sobreacelerac¸a˜o
Exemplo (Tarefa)
Uma carga de dianamite lanc¸a uma pedra pesada para cima com uma
velocidade de lanc¸amento de 160 pe´s/s (aproximadamente 109 mi/h).
A pedra atinge uma altura de s = 160t − 16t2 pe´s apo´s t segundos.
(a) Qual e´ a altura ma´xima atingida pela pedra?
(b) Quais sa˜o a velocidade e o mo´dulo da velocidade da
pedra quando ela esta´ a 256 pe´s do solo na subida? E na
descida?
(c) Qual e´ a acelerac¸a˜o da pedra em qualquer instante t
durante sua trajeto´ria (depois da explosa˜o)?
(d) Quando a pedra atingira´ o solo novamente?
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