Derivadas de Funções Inversas e Logaritmos

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(2o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
Derivadas de func¸o˜es inversas e logaritmos
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 1 / 18
Derivadas de func¸o˜es inversas
Teorema (Regra da derivada para func¸o˜es inversas)
Se f e´ injetiva e deriva´vel num intervalo I e f ′(x) nunca
se anula em I , enta˜o f −1 e´ deriva´vel em qualquer ponto
de seu dom´ınio. Sendo f (a) = b (ou a = f −1(b)) o valor
de (f −1)′ em b e´ dado por
(f −1)′(b) =
1
f ′(f −1(b))
ou
df −1
dx
∣∣∣∣
x=b
=
1
df
dx
∣∣∣∣
x=f −1(b)
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 2 / 18
Derivadas de func¸o˜es inversas
Exemplo
Derive f (x) = x2, x ≥ 0 e sua inversa f −1(x) = √x em
x = 2 e em x = f −1(f (2)).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 3 / 18
Derivadas de func¸o˜es inversas
Exemplo
Derive f (x) = x2, x ≥ 0 e sua inversa f −1(x) = √x em
x = 2 e em x = f −1(f (2)).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 3 / 18
Derivadas de func¸o˜es inversas
Exemplo
Derive f (x) = x2, x ≥ 0 e sua inversa f −1(x) = √x em
x = 2 e em x = f −1(f (2)).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 4 / 18
Derivadas de func¸o˜es inversas
Exemplo
Derive f (x) = x2, x ≥ 0 e sua inversa f −1(x) = √x em
x = 2 e em x = f −1(f (2)).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 5 / 18
Derivadas de func¸o˜es inversas
Exemplo
Seja f (x) = x3 − 2. Determine o valor de df −1/dx em
x = 6 = f (2) sem achar uma fo´rmula para f −1(x).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 6 / 18
Derivada da func¸a˜o logaritmo natural
Use o Teorema anterior para mostrar que
d
dx
(ln x) =
1
x
.
Da´ı, se u = u(x), usando a regra da cadeia temos
d
dx
(ln u) =
1
u
du
dx
, u > 0.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 7 / 18
Derivada da func¸a˜o logaritmo natural
Use o Teorema anterior para mostrar que
d
dx
(ln x) =
1
x
.
Da´ı, se u = u(x), usando a regra da cadeia temos
d
dx
(ln u) =
1
u
du
dx
, u > 0.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 7 / 18
Derivada da func¸a˜o logaritmo natural
Use o Teorema anterior para mostrar que
d
dx
(ln x) =
1
x
.
Da´ı, se u = u(x), usando a regra da cadeia temos
d
dx
(ln u) =
1
u
du
dx
, u > 0.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 7 / 18
Derivada da func¸a˜o logaritmo natural
Exemplo
Determine as derivadas das func¸o˜es f (x) = ln 2x,
g(x) = ln(x2 + 3) e h(x) = ln(bx), bx > 0.
Exemplo
Mostre que
d
dx
ln |x | = 1
x
.
Exemplo
Uma reta cujo coeficiente angular m passa pela origem e´
tangente a` curva y = ln x. Qual e´ o valor de m?
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 8 / 18
Derivada da func¸a˜o logaritmo natural
Exemplo
Determine as derivadas das func¸o˜es f (x) = ln 2x,
g(x) = ln(x2 + 3) e h(x) = ln(bx), bx > 0.
Exemplo
Mostre que
d
dx
ln |x | = 1
x
.
Exemplo
Uma reta cujo coeficiente angular m passa pela origem e´
tangente a` curva y = ln x. Qual e´ o valor de m?
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 8 / 18
Derivada da func¸a˜o logaritmo natural
Exemplo
Determine as derivadas das func¸o˜es f (x) = ln 2x,
g(x) = ln(x2 + 3) e h(x) = ln(bx), bx > 0.
Exemplo
Mostre que
d
dx
ln |x | = 1
x
.
Exemplo
Uma reta cujo coeficiente angular m passa pela origem e´
tangente a` curva y = ln x. Qual e´ o valor de m?
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 8 / 18
A derivada de au
Usando a regra da cadeia mostre que
d
dx
ax = ax ln a, a > 0.
De forma mais geral temos
Se a > 0 e u = u(x) for deriva´vel em x, enta˜o au e´
deriva´vel em x e
d
dx
au = au ln a
du
dx
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 9 / 18
A derivada de au
Usando a regra da cadeia mostre que
d
dx
ax = ax ln a, a > 0.
De forma mais geral temos
Se a > 0 e u = u(x) for deriva´vel em x, enta˜o au e´
deriva´vel em x e
d
dx
au = au ln a
du
dx
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 9 / 18
A derivada de au
Usando a regra da cadeia mostre que
d
dx
ax = ax ln a, a > 0.
De forma mais geral temos
Se a > 0 e u = u(x) for deriva´vel em x, enta˜o au e´
deriva´vel em x e
d
dx
au = au ln a
du
dx
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 9 / 18
A derivada de au
Se f (x) = ax vimos que
f ′(0) = lim
h→0
ah − 1
h
.
Logo,
lim
h→0
ah − 1
h
= ln a
e
lim
h→0
eh − 1
h
= ln e = 1
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 10 / 18
A derivada de au
Se f (x) = ax vimos que
f ′(0) = lim
h→0
ah − 1
h
.
Logo,
lim
h→0
ah − 1
h
= ln a
e
lim
h→0
eh − 1
h
= ln e = 1
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 10 / 18
A derivada de au
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 11 / 18
A derivada de au
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 12 / 18
A derivada de au
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 13 / 18
A derivada de loga u
Sendo a > 0, a 6= 1 e lembrando que
loga x =
ln x
ln a
mostre que
d
dx
loga x =
1
x ln a
.
Para u func¸a˜o deriva´vel de x, u > 0, a > 0 e a 6= 1, temos
d
dx
loga u =
1
u ln a
du
dx
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 14 / 18
A derivada de loga u
Sendo a > 0, a 6= 1 e lembrando que
loga x =
ln x
ln a
mostre que
d
dx
loga x =
1
x ln a
.
Para u func¸a˜o deriva´vel de x, u > 0, a > 0 e a 6= 1, temos
d
dx
loga u =
1
u ln a
du
dx
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 14 / 18
A derivada de loga u
Exemplo
Determine dy/dx se y = loga a
sen x .
Exemplo (Usando a derivac¸a˜o logar´ıtmica)
Determine dy/dx se
y =
(x2 + 1)(x + 3)1/2
x − 1 , x > 1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 15 / 18
A derivada de loga u
Exemplo
Determine dy/dx se y = loga a
sen x .
Exemplo (Usando a derivac¸a˜o logar´ıtmica)
Determine dy/dx se
y =
(x2 + 1)(x + 3)1/2
x − 1 , x > 1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 15 / 18
Regra da potenciac¸a˜o (forma geral)
Seja xn, onde x > 0 e n sa˜o nu´meros reais quaisquer.
Definimos
xn = en ln x .
Usando a definic¸a˜o anterior, mostre que
d
dx
xn = nxn−1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 16 / 18
Regra da potenciac¸a˜o (forma geral)
Seja xn, onde x > 0 e n sa˜o nu´meros reais quaisquer.
Definimos
xn = en ln x .
Usando a definic¸a˜o anterior, mostre que
d
dx
xn = nxn−1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 16 / 18
Regra da potenciac¸a˜o (forma geral)
Seja xn, onde x > 0 e n sa˜o nu´meros reais quaisquer.
Definimos
xn = en ln x .
Usando a definic¸a˜o anterior, mostre que
d
dx
xn = nxn−1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 16 / 18
Regra da potenciac¸a˜o (forma geral)
Em geral temos
Se u = u(x) e´ positiva, deriva´vel em x e n ∈ R, enta˜oun
e´ deriva´vel em x e
d
dx
un = nun−1
du
dx
.
Exemplo
Determine as derivadas de f (x) = x
√
2 (x > 0),
g(x) = (2 + sen 3x)pi e h(x) = xx (x > 0).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 17 / 18
Regra da potenciac¸a˜o (forma geral)
Em geral temos
Se u = u(x) e´ positiva, deriva´vel em x e n ∈ R, enta˜o un
e´ deriva´vel em x e
d
dx
un = nun−1
du
dx
.
Exemplo
Determine as derivadas de f (x) = x
√
2 (x > 0),
g(x) = (2 + sen 3x)pi e h(x) = xx (x > 0).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 17 / 18
O nu´mero e expresso como um limite
Mostre que
Teorema
e = lim
x→0
(1 + x)1/x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 18 / 18
O nu´mero e expresso como um limite
Mostre que
Teorema
e = lim
x→0
(1 + x)1/x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o de inversas 29 de julho de 2013 18 / 18