Aplicações das Derivadas - Extremos de Funções

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(3o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
Aplicac¸o˜es das derivadas
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 1 / 9
Extremos de func¸o˜es
(Extremos Absolutos, ou Extremos Globais)
Seja f : D −→ R uma func¸a˜o. f tem um valor ma´ximo
absoluto em D em um ponto c se
f (x) ≤ f (c) para qualquer x ∈ D
e um valor de m´ınimo absoluto em D no ponto c se
f (x) ≥ f (c) para qualquer x ∈ D.
Exemplo
Determine os extremos absolutos das func¸o˜s f (x) = cos x
e g(x) = sen x no intervalo [−pi/2, pi/2].
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 2 / 9
Extremos de func¸o˜es
(Extremos Absolutos, ou Extremos Globais)
Seja f : D −→ R uma func¸a˜o. f tem um valor ma´ximo
absoluto em D em um ponto c se
f (x) ≤ f (c) para qualquer x ∈ D
e um valor de m´ınimo absoluto em D no ponto c se
f (x) ≥ f (c) para qualquer x ∈ D.
Exemplo
Determine os extremos absolutos das func¸o˜s f (x) = cos x
e g(x) = sen x no intervalo [−pi/2, pi/2].
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 2 / 9
Extremos de func¸o˜es
(Extremos Absolutos, ou Extremos Globais)
Seja f : D −→ R uma func¸a˜o. f tem um valor ma´ximo
absoluto em D em um ponto c se
f (x) ≤ f (c) para qualquer x ∈ D
e um valor de m´ınimo absoluto em D no ponto c se
f (x) ≥ f (c) para qualquer x ∈ D.
Exemplo
Determine os extremos absolutos das func¸o˜s f (x) = cos x
e g(x) = sen x no intervalo [−pi/2, pi/2].
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 2 / 9
Extremos de func¸o˜es
Exemplo
Determine os extremos absolutos da func¸a˜o f (x) = x2 nos
intervalos (−∞,∞), [0, 2], (0, 2] e (0, 2).
Teorema (O teorema do valor extremo)
Se f e´ cont´ınua em [a, b] (fechado), enta˜o f assume tanto
um valor ma´ximo M como um valor m´ınimo m em [a, b].
Ou seja, existem x1, x2 ∈ [a, b] tais que f (x1) = m e
f (x2) = M e m ≤ f (x) ≤ M para qualquer x ∈ [a, b].
Observac¸a˜o
Fac¸a ilustrac¸o˜es.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 3 / 9
Extremos de func¸o˜es
Exemplo
Determine os extremos absolutos da func¸a˜o f (x) = x2 nos
intervalos (−∞,∞), [0, 2], (0, 2] e (0, 2).
Teorema (O teorema do valor extremo)
Se f e´ cont´ınua em [a, b] (fechado), enta˜o f assume tanto
um valor ma´ximo M como um valor m´ınimo m em [a, b].
Ou seja, existem x1, x2 ∈ [a, b] tais que f (x1) = m e
f (x2) = M e m ≤ f (x) ≤ M para qualquer x ∈ [a, b].
Observac¸a˜o
Fac¸a ilustrac¸o˜es.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 3 / 9
Extremos de func¸o˜es
Exemplo
Determine os extremos absolutos da func¸a˜o f (x) = x2 nos
intervalos (−∞,∞), [0, 2], (0, 2] e (0, 2).
Teorema (O teorema do valor extremo)
Se f e´ cont´ınua em [a, b] (fechado), enta˜o f assume tanto
um valor ma´ximo M como um valor m´ınimo m em [a, b].
Ou seja, existem x1, x2 ∈ [a, b] tais que f (x1) = m e
f (x2) = M e m ≤ f (x) ≤ M para qualquer x ∈ [a, b].
Observac¸a˜o
Fac¸a ilustrac¸o˜es.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 3 / 9
Extremos de func¸o˜es
Definic¸a˜o (Ma´ximo local, m´ınimo local)
Uma func¸a˜o f tem um valor ma´ximo local em um ponto
interior c de seu dom´ınio se
f (x) ≤ f (c)
para qualquer x num intervalo aberto contendo c. Uma
func¸a˜o f tem um valor m´ınimo local em um ponto
interior c de seu dom´ınio se
f (x) ≥ f (c)
para qualquer x num intervalo aberto contendo c.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 4 / 9
Extremos de func¸o˜es
Definic¸a˜o (Ma´ximo local, m´ınimo local)
Uma func¸a˜o f tem um valor ma´ximo local em um ponto
interior c de seu dom´ınio se
f (x) ≤ f (c)
para qualquer x num intervalo aberto contendo c. Uma
func¸a˜o f tem um valor m´ınimo local em um ponto
interior c de seu dom´ınio se
f (x) ≥ f (c)
para qualquer x num intervalo aberto contendo c.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 4 / 9
Extremos locais (relativos)
Observac¸a˜o
O mesmo conceito vale em uma extremidade c se a desigualdade
apropriada vale para qualquer x em um intervalo semi-aberto que
contenha c.
Figura: Como classificar os ma´ximos e m´ınimos.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 5 / 9
Extremos locais (relativos)
Observac¸a˜o
O mesmo conceito vale em uma extremidade c se a desigualdade
apropriada vale para qualquer x em um intervalo semi-aberto que
contenha c.
Figura: Como classificar os ma´ximos e m´ınimos.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 5 / 9
Determinando extremos
Teorema
Se f possui um valor ma´ximo ou m´ınimo local em um
ponto c interior de seu dom´ınio e se f ′ e´ definida em c,
enta˜o
f ′(c) = 0.
(Justifique!)
Observac¸a˜o
A rec´ıproca do teorema anterior na˜o e´ verdadeira, como
podemos verificar com a func¸a˜o f (x) = x3.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 6 / 9
Determinando extremos
Teorema
Se f possui um valor ma´ximo ou m´ınimo local em um
ponto c interior de seu dom´ınio e se f ′ e´ definida em c,
enta˜o
f ′(c) = 0.(Justifique!)
Observac¸a˜o
A rec´ıproca do teorema anterior na˜o e´ verdadeira, como
podemos verificar com a func¸a˜o f (x) = x3.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 6 / 9
Determinando extremos
Teorema
Se f possui um valor ma´ximo ou m´ınimo local em um
ponto c interior de seu dom´ınio e se f ′ e´ definida em c,
enta˜o
f ′(c) = 0.(Justifique!)
Observac¸a˜o
A rec´ıproca do teorema anterior na˜o e´ verdadeira, como
podemos verificar com a func¸a˜o f (x) = x3.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 6 / 9
Determinando extremos
Assim, os u´nicos lugares onde f podera´ ter valores
extremos sa˜o
pontos interiores onde f ′ ≡ 0;
pontos interiores onde f ′ na˜o existe;
extremidades do dom´ınio de f .
Resumiremos isto na definic¸a˜o:
Definic¸a˜o (Ponto cr´ıtico)
Um ponto interior do dom´ınio de uma func¸a˜o f onde f ′ e´
zero ou indefinida e´ um ponto cr´ıtico de f .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 7 / 9
Determinando extremos
Assim, os u´nicos lugares onde f podera´ ter valores
extremos sa˜o
pontos interiores onde f ′ ≡ 0;
pontos interiores onde f ′ na˜o existe;
extremidades do dom´ınio de f .
Resumiremos isto na definic¸a˜o:
Definic¸a˜o (Ponto cr´ıtico)
Um ponto interior do dom´ınio de uma func¸a˜o f onde f ′ e´
zero ou indefinida e´ um ponto cr´ıtico de f .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 7 / 9
Determinando extremos
Assim, os u´nicos lugares onde f podera´ ter valores
extremos sa˜o
pontos interiores onde f ′ ≡ 0;
pontos interiores onde f ′ na˜o existe;
extremidades do dom´ınio de f .
Resumiremos isto na definic¸a˜o:
Definic¸a˜o (Ponto cr´ıtico)
Um ponto interior do dom´ınio de uma func¸a˜o f onde f ′ e´
zero ou indefinida e´ um ponto cr´ıtico de f .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 7 / 9
Determinando extremos
Assim, os u´nicos lugares onde f podera´ ter valores
extremos sa˜o
pontos interiores onde f ′ ≡ 0;
pontos interiores onde f ′ na˜o existe;
extremidades do dom´ınio de f .
Resumiremos isto na definic¸a˜o:
Definic¸a˜o (Ponto cr´ıtico)
Um ponto interior do dom´ınio de uma func¸a˜o f onde f ′ e´
zero ou indefinida e´ um ponto cr´ıtico de f .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 7 / 9
Determinando extremos
Assim, os u´nicos lugares onde f podera´ter valores
extremos sa˜o
pontos interiores onde f ′ ≡ 0;
pontos interiores onde f ′ na˜o existe;
extremidades do dom´ınio de f .
Resumiremos isto na definic¸a˜o:
Definic¸a˜o (Ponto cr´ıtico)
Um ponto interior do dom´ınio de uma func¸a˜o f onde f ′ e´
zero ou indefinida e´ um ponto cr´ıtico de f .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 7 / 9
Determinando extremos
Assim, os u´nicos lugares onde f podera´ ter valores
extremos sa˜o
pontos interiores onde f ′ ≡ 0;
pontos interiores onde f ′ na˜o existe;
extremidades do dom´ınio de f .
Resumiremos isto na definic¸a˜o:
Definic¸a˜o (Ponto cr´ıtico)
Um ponto interior do dom´ınio de uma func¸a˜o f onde f ′ e´
zero ou indefinida e´ um ponto cr´ıtico de f .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 7 / 9
Determinando extremos
(Determinando extremos absolutos de uma func¸a˜o cont´ınua em um
intervalo fechado)
1 Calcule f em todos os pontos cr´ıticos e extremidades.
2 Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos.
Exemplo
Determine os valores ma´ximo e m´ınimo absolutos de
f (x) = x2 no intervalo [−2, 1].
Exemplo
Determine os valores ma´ximo e m´ınimo absolutos de
f (x) = 10x(2− ln x) no intervalo [1, e2].
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 8 / 9
Determinando extremos
(Determinando extremos absolutos de uma func¸a˜o cont´ınua em um
intervalo fechado)
1 Calcule f em todos os pontos cr´ıticos e extremidades.
2 Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos.
Exemplo
Determine os valores ma´ximo e m´ınimo absolutos de
f (x) = x2 no intervalo [−2, 1].
Exemplo
Determine os valores ma´ximo e m´ınimo absolutos de
f (x) = 10x(2− ln x) no intervalo [1, e2].
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 8 / 9
Determinando extremos
(Determinando extremos absolutos de uma func¸a˜o cont´ınua em um
intervalo fechado)
1 Calcule f em todos os pontos cr´ıticos e extremidades.
2 Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos.
Exemplo
Determine os valores ma´ximo e m´ınimo absolutos de
f (x) = x2 no intervalo [−2, 1].
Exemplo
Determine os valores ma´ximo e m´ınimo absolutos de
f (x) = 10x(2− ln x) no intervalo [1, e2].
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 8 / 9
Determinando extremos
(Determinando extremos absolutos de uma func¸a˜o cont´ınua em um
intervalo fechado)
1 Calcule f em todos os pontos cr´ıticos e extremidades.
2 Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos.
Exemplo
Determine os valores ma´ximo e m´ınimo absolutos de
f (x) = x2 no intervalo [−2, 1].
Exemplo
Determine os valores ma´ximo e m´ınimo absolutos de
f (x) = 10x(2− ln x) no intervalo [1, e2].
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 8 / 9
Determinando extremos
(Determinando extremos absolutos de uma func¸a˜o cont´ınua em um
intervalo fechado)
1 Calcule f em todos os pontos cr´ıticos e extremidades.
2 Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos.
Exemplo
Determine os valores ma´ximo e m´ınimo absolutos de
f (x) = x2 no intervalo [−2, 1].
Exemplo
Determine os valores ma´ximo e m´ınimo absolutos de
f (x) = 10x(2− ln x) no intervalo [1, e2].
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 8 / 9
Determinando extremos
(Determinando extremos absolutos de uma func¸a˜o cont´ınua em um
intervalo fechado)
1 Calcule f em todos os pontos cr´ıticos e extremidades.
2 Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos.
Exemplo
Determine os valores ma´ximo e m´ınimo absolutos de
f (x) = x2 no intervalo [−2, 1].
Exemplo
Determine os valores ma´ximo e m´ınimo absolutos de
f (x) = 10x(2− ln x) no intervalo [1, e2].
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 8 / 9
Determinando extremos
Exemplo
Determine os valores ma´ximo e m´ınimo absolutos de
f (x) = x2/3 no intervalo [−2, 3].
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Aplicac¸o˜es das derivadas 18 de agosto de 2013 9 / 9