Cálculo Diferencial e Integral I

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(2o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
A derivada como func¸a˜o
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 1 / 34
A derivada como func¸a˜o
Definic¸a˜o
A derivada de uma func¸a˜o f (x) em relac¸a˜o a` varia´vel x a´
a func¸a˜o f ′ dada por
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
desde que o limite exista.
D(f ′) = {x ∈ D(f ); o limite anterior existe}.
Se f ′ existe em x , dizemos que f e´ deriva´vel em x .
Se f ′ existe em D(f ), dizemos que f e´ deriva´vel.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 2 / 34
A derivada como func¸a˜o
Definic¸a˜o
A derivada de uma func¸a˜o f (x) em relac¸a˜o a` varia´vel x a´
a func¸a˜o f ′ dada por
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
desde que o limite exista.
D(f ′) = {x ∈ D(f ); o limite anterior existe}.
Se f ′ existe em x , dizemos que f e´ deriva´vel em x .
Se f ′ existe em D(f ), dizemos que f e´ deriva´vel.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 2 / 34
A derivada como func¸a˜o
Definic¸a˜o
A derivada de uma func¸a˜o f (x) em relac¸a˜o a` varia´vel x a´
a func¸a˜o f ′ dada por
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
desde que o limite exista.
D(f ′) = {x ∈ D(f ); o limite anterior existe}.
Se f ′ existe em x , dizemos que f e´ deriva´vel em x .
Se f ′ existe em D(f ), dizemos que f e´ deriva´vel.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 2 / 34
A derivada como func¸a˜o
Definic¸a˜o
A derivada de uma func¸a˜o f (x) em relac¸a˜o a` varia´vel x a´
a func¸a˜o f ′ dada por
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
desde que o limite exista.
D(f ′) = {x ∈ D(f ); o limite anterior existe}.
Se f ′ existe em x , dizemos que f e´ deriva´vel em x .
Se f ′ existe em D(f ), dizemos que f e´ deriva´vel.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 2 / 34
A derivada como func¸a˜o
Definic¸a˜o
A derivada de uma func¸a˜o f (x) em relac¸a˜o a` varia´vel x a´
a func¸a˜o f ′ dada por
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
desde que o limite exista.
D(f ′) = {x ∈ D(f ); o limite anterior existe}.
Se f ′ existe em x , dizemos que f e´ deriva´vel em x .
Se f ′ existe em D(f ), dizemos que f e´ deriva´vel.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 2 / 34
A derivada como func¸a˜o
Uma forma equivalente de escrever a derivada e´ a
seguinte:
(Fo´rmula alternativa para a derivada)
f ′(x) = lim
z→x
f (z)− f (x)
z − x
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 3 / 34
A derivada como func¸a˜o
Uma forma equivalente de escrever a derivada e´ a
seguinte:
(Fo´rmula alternativa para a derivada)
f ′(x) = lim
z→x
f (z)− f (x)
z − x
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 3 / 34
Calculando a derivada a partir de sua definic¸a˜o
Exemplo (1)
Sendo f (x) = mx + b e g(x) = 1/x mostre que
f ′(x) = m e g ′(x) = −1/x2.
Exemplo (2)
Derive f (x) =
x
x − 1 .
Exemplo (3)
(a) Encontre a derivada de y =
√
x para x > 0.
(b) Encontre a reta tangente a` curva y =
√
x para x = 4.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 4 / 34
Calculando a derivada a partir de sua definic¸a˜o
Exemplo (1)
Sendo f (x) = mx + b e g(x) = 1/x mostre que
f ′(x) = m e g ′(x) = −1/x2.
Exemplo (2)
Derive f (x) =
x
x − 1 .
Exemplo (3)
(a) Encontre a derivada de y =
√
x para x > 0.
(b) Encontre a reta tangente a` curva y =
√
x para x = 4.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 4 / 34
Calculando a derivada a partir de sua definic¸a˜o
Exemplo (1)
Sendo f (x) = mx + b e g(x) = 1/x mostre que
f ′(x) = m e g ′(x) = −1/x2.
Exemplo (2)
Derive f (x) =
x
x − 1 .
Exemplo (3)
(a) Encontre a derivada de y =
√
x para x > 0.
(b) Encontre a reta tangente a` curva y =
√
x para x = 4.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 4 / 34
Notac¸o˜es
Sendo y = f (x) temos as notac¸o˜es
f ′(x) = y ′ =
dy
dx
=
df
dx
=
d
dx
f (x) = D(f )(x) = Dx f (x)
d/dx e D sa˜o chamados operadores de derivac¸a˜o.
Temos ainda
f ′(a) =
dy
dx
∣∣∣
x=a
=
df
dx
∣∣∣
x=a
=
d
dx
f (x)
∣∣∣
x=a
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 5 / 34
Notac¸o˜es
Sendo y = f (x) temos as notac¸o˜es
f ′(x) = y ′ =
dy
dx
=
df
dx
=
d
dx
f (x) = D(f )(x) = Dx f (x)
d/dx e D sa˜o chamados operadores de derivac¸a˜o.
Temos ainda
f ′(a) =
dy
dx
∣∣∣
x=a
=
df
dx
∣∣∣
x=a
=
d
dx
f (x)
∣∣∣
x=a
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 5 / 34
Notac¸o˜es
Sendo y = f (x) temos as notac¸o˜es
f ′(x) = y ′ =
dy
dx
=
df
dx
=
d
dx
f (x) = D(f )(x) = Dx f (x)
d/dx e D sa˜o chamados operadores de derivac¸a˜o.
Temos ainda
f ′(a) =
dy
dx
∣∣∣
x=a
=
df
dx
∣∣∣
x=a
=
d
dx
f (x)
∣∣∣
x=a
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 5 / 34
Notac¸o˜es
Sendo y = f (x) temos as notac¸o˜es
f ′(x) = y ′ =
dy
dx
=
df
dx
=
d
dx
f (x) = D(f )(x) = Dx f (x)
d/dx e D sa˜o chamados operadores de derivac¸a˜o.
Temos ainda
f ′(a) =
dy
dx
∣∣∣
x=a
=
df
dx
∣∣∣
x=a
=
d
dx
f (x)
∣∣∣
x=a
.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 5 / 34
Derivada em um intervalo; derivadas laterais
y = f (x) sera´ deriva´vel em um intervalo aberto se tiver
derivada em cada ponto deste intervalo. Sera´ deriva´vel
em [a, b] se for deriva´vel em (a, b) e se os limites
lim
h→0+
f (a + h)− f (a)
h
Derivada a` direita em a
lim
h→0−
f (b + h)− f (b)
h
Derivada a` esquerda em b
existirem nas extremidades.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 6 / 34
Derivada em um intervalo; derivadas laterais
y = f (x) sera´ deriva´vel em um intervalo aberto se tiver
derivada em cada ponto deste intervalo. Sera´ deriva´vel
em [a, b] se for deriva´vel em (a, b) e se os limites
lim
h→0+
f (a + h)− f (a)
h
Derivada a` direita em a
lim
h→0−
f (b + h)− f (b)
h
Derivada a` esquerda em b
existirem nas extremidades.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 6 / 34
Derivada em um intervalo; derivadas laterais
Exemplo
Mostre que a func¸a˜o y = |x | e´ deriva´vel em (−∞, 0) e
(0,∞), mas na˜o tem derivada em x = 0.
Exemplo
Mostre que y =
√
x na˜o e´ deriva´vel em x = 0.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 7 / 34
Derivada em um intervalo; derivadas laterais
Exemplo
Mostre que a func¸a˜o y = |x | e´ deriva´vel em (−∞, 0) e
(0,∞), mas na˜o tem derivada em x = 0.
Exemplo
Mostre que y =
√
x na˜o e´ deriva´vel em x = 0.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 7 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
1. Quando possui um bico (derivadas laterais diferentes).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 8 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
1. Quando possui um bico (derivadas laterais diferentes).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 8 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
1. Quando possui um bico (derivadas laterais diferentes).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 8 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜oapresenta derivada em um ponto?
1. Quando possui um bico (derivadas laterais diferentes).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 9 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
1. Quando possui um bico (derivadas laterais diferentes).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 10 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
1. Quando possui um bico (derivadas laterais diferentes).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 11 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
1. Quando possui um bico (derivadas laterais diferentes).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 12 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
1. Quando possui um bico (derivadas laterais diferentes).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 13 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
1. Quando possui um bico (derivadas laterais diferentes).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 14 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
1. Quando possui um bico (derivadas laterais diferentes).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 15 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
1. Quando possui um bico (derivadas laterais diferentes).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 16 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
1. Quando possui um bico (derivadas laterais diferentes).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 17 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
2. Quando possui um ponto cuspidal (coeficiente angular
de PQ tende a ∞ de um lado, e a −∞ do outro).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 18 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
2. Quando possui um ponto cuspidal (coeficiente angular
de PQ tende a ∞ de um lado, e a −∞ do outro).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 18 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
2. Quando possui um ponto cuspidal (coeficiente angular
de PQ tende a ∞ de um lado, e a −∞ do outro).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 19 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
2. Quando possui um ponto cuspidal (coeficiente angular
de PQ tende a ∞ de um lado, e a −∞ do outro).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 20 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
2. Quando possui um ponto cuspidal (coeficiente angular
de PQ tende a ∞ de um lado, e a −∞ do outro).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 21 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
2. Quando possui um ponto cuspidal (coeficiente angular
de PQ tende a ∞ de um lado, e a −∞ do outro).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 22 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
2. Quando possui um ponto cuspidal (coeficiente angular
de PQ tende a ∞ de um lado, e a −∞ do outro).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 23 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
2. Quando possui um ponto cuspidal (coeficiente angular
de PQ tende a ∞ de um lado, e a −∞ do outro).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 24 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
2. Quando possui um ponto cuspidal (coeficiente angular
de PQ tende a ∞ de um lado, e a −∞ do outro).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 25 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
2. Quando possui um ponto cuspidal (coeficiente angular
de PQ tende a ∞ de um lado, e a −∞ do outro).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 26 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
2. Quando possui um ponto cuspidal (coeficiente angular
de PQ tende a ∞ de um lado, e a −∞ do outro).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 27 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
3. Quando possui uma tangente vertical (coeficiente
angular de PQ tende a ±∞).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 28 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
4. Quando possui uma descontinuidade (coeficiente
angular de PQ tende a ±∞).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 29 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
4. Quando possui uma descontinuidade (coeficiente
angular de PQ tende a ±∞).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 29 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
4. Quando possui uma descontinuidade (coeficiente
angular de PQ tende a ±∞).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 30 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
4. Quando possui uma descontinuidade (coeficiente
angular de PQ tende a ±∞).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 31 / 34
Quando uma func¸a˜o na˜o apresenta derivada em um ponto?
4. Quando possui uma descontinuidade (coeficiente
angular de PQ tende a ±∞).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 32 / 34
As func¸o˜es deriva´veis sa˜o cont´ınuas
Teorema (Diferenciabilidade (derivabilidade) implica
continuidade)
Se f tem uma derivada em x = c, enta˜o f e´ cont´ınua em
x = c.
Observac¸a˜o
A rec´ıproca na˜o e´ verdadeira.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 33 / 34
As func¸o˜es deriva´veis sa˜o cont´ınuas
Teorema (Diferenciabilidade (derivabilidade) implica
continuidade)
Se f tem uma derivada em x = c, enta˜o f e´ cont´ınua em
x = c.
Observac¸a˜o
A rec´ıproca na˜o e´ verdadeira.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 33 / 34
As func¸o˜es deriva´veis sa˜o cont´ınuas
Teorema (Diferenciabilidade (derivabilidade) implica
continuidade)
Se f tem uma derivada em x = c, enta˜o f e´ cont´ınua em
x = c.
Observac¸a˜o
A rec´ıproca na˜o e´ verdadeira.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 33 / 34
Propriedade do valor intermedia´rio para derivadas
Teorema (Teorema de Darboux)
Se a e b sa˜o dois pontos quaisquer de um intervalo em
que f e´ deriva´vel, enta˜o f ′ assume todos os valores entre
f ′(a) e f ′(b) (propriedade do valor intermedia´rio).
Este teorema diz que uma func¸a˜o na˜o pode ser uma
derivada de uma func¸a˜o em um intervalo a menos que
ela satisfac¸a a propriedade do valor intermedia´rio.
Por exemplo, a func¸a˜o salto unita´rio na˜o pode ser a
derivada de nenhuma func¸a˜o.
Veremos, mais adiante, que toda func¸a˜o cont´ınua e´
uma derivada de outra func¸a˜o.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 34 / 34
Propriedade do valor intermedia´rio para derivadas
Teorema (Teorema de Darboux)
Se a e b sa˜o dois pontos quaisquer de um intervalo em
que f e´ deriva´vel, enta˜o f ′ assume todos os valores entre
f ′(a) e f ′(b) (propriedade do valor intermedia´rio).
Este teorema diz que uma func¸a˜o na˜o pode ser uma
derivada de umafunc¸a˜o em um intervalo a menos que
ela satisfac¸a a propriedade do valor intermedia´rio.
Por exemplo, a func¸a˜o salto unita´rio na˜o pode ser a
derivada de nenhuma func¸a˜o.
Veremos, mais adiante, que toda func¸a˜o cont´ınua e´
uma derivada de outra func¸a˜o.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 34 / 34
Propriedade do valor intermedia´rio para derivadas
Teorema (Teorema de Darboux)
Se a e b sa˜o dois pontos quaisquer de um intervalo em
que f e´ deriva´vel, enta˜o f ′ assume todos os valores entre
f ′(a) e f ′(b) (propriedade do valor intermedia´rio).
Este teorema diz que uma func¸a˜o na˜o pode ser uma
derivada de uma func¸a˜o em um intervalo a menos que
ela satisfac¸a a propriedade do valor intermedia´rio.
Por exemplo, a func¸a˜o salto unita´rio na˜o pode ser a
derivada de nenhuma func¸a˜o.
Veremos, mais adiante, que toda func¸a˜o cont´ınua e´
uma derivada de outra func¸a˜o.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 34 / 34
Propriedade do valor intermedia´rio para derivadas
Teorema (Teorema de Darboux)
Se a e b sa˜o dois pontos quaisquer de um intervalo em
que f e´ deriva´vel, enta˜o f ′ assume todos os valores entre
f ′(a) e f ′(b) (propriedade do valor intermedia´rio).
Este teorema diz que uma func¸a˜o na˜o pode ser uma
derivada de uma func¸a˜o em um intervalo a menos que
ela satisfac¸a a propriedade do valor intermedia´rio.
Por exemplo, a func¸a˜o salto unita´rio na˜o pode ser a
derivada de nenhuma func¸a˜o.
Veremos, mais adiante, que toda func¸a˜o cont´ınua e´
uma derivada de outra func¸a˜o.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) A derivada como func¸a˜o 9 de julho de 2013 34 / 34
Propriedade do valor intermedia´rio para derivadas
Teorema (Teorema de Darboux)
Se a e b sa˜o dois pontos quaisquer de um intervalo em
que f e´ deriva´vel, enta˜o f ′ assume todos os valores entre
f ′(a) e f ′(b) (propriedade do valor intermedia´rio).
Este teorema diz que uma func¸a˜o na˜o pode ser uma
derivada de uma func¸a˜o em um intervalo a menos que
ela satisfac¸a a propriedade do valor intermedia´rio.
Por exemplo, a func¸a˜o salto unita´rio na˜o pode ser a
derivada de nenhuma func¸a˜o.
Veremos, mais adiante, que toda func¸a˜o cont´ınua e´
uma derivada de outra func¸a˜o.
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