Aula4

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(1o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Diogo de Santana Germano AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Num passeio de moto foram registadas algumas distaˆncias ao
ponto de partida, em Km, e os respectivos tempos de percurso, em
horas. Com eles foi elaborado o gra´fico seguinte que representa a
distaˆncia percorrida em func¸a˜o do tempo d(t):
Diogo de Santana Germano AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Num passeio de moto foram registadas algumas distaˆncias ao
ponto de partida, em Km, e os respectivos tempos de percurso, em
horas. Com eles foi elaborado o gra´fico seguinte que representa a
distaˆncia percorrida em func¸a˜o do tempo d(t):
Diogo de Santana Germano AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
A taxa me´dia de variac¸a˜o da func¸a˜o d(t) quando t varia de 0 a 4
(velocidade me´dia) e´
TMV[0,4] =
d(4)− d(0)
4− 0 =
60− 0
4− 0 = 15 km/h.
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Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
A taxa me´dia de variac¸a˜o da func¸a˜o d(t) quando t varia de 2 a 4
(velocidade me´dia) e´
TMV[2,4] =
d(4)− d(2)
4− 2 =
60− 40
2
= 10 km/h.
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Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
A taxa me´dia de variac¸a˜o da func¸a˜o d(t) quando t varia de 4 a 5
(velocidade me´dia) e´
TMV[4,5] =
d(5)− d(4)
5− 4 =
0− 60
5− 4 = −60 km/h.
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Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Definic¸a˜o (Taxa me´dia de variac¸a˜o num intervalo)
A taxa me´dia de variac¸a˜o TMV[x1,x2] de y = f (x)
em relac¸a˜o a x no intervalo [x1, x2] e´
∆y
∆x
=
f (x2)− f (x1)
x2 − x1 =
f (x1 + h)− f (x1)
h
, h 6= 0
onde ∆y = f (x2)− f (x1) e ∆x = x2 − x1 = h.
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Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Definic¸a˜o (Taxa me´dia de variac¸a˜o num intervalo)
A taxa me´dia de variac¸a˜o TMV[x1,x2] de y = f (x)
em relac¸a˜o a x no intervalo [x1, x2] e´
∆y
∆x
=
f (x2)− f (x1)
x2 − x1 =
f (x1 + h)− f (x1)
h
, h 6= 0
onde ∆y = f (x2)− f (x1) e ∆x = x2 − x1 = h.
Diogo de Santana Germano AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Geometricamente,
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Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Geometricamente,
Diogo de Santana Germano AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Geometricamente,
Figura: Reta secante a gra´fico de y = f (x). Seu coeficiente angular e´
∆y/∆x , a taxa me´dia de variac¸a˜o de f no intervalo [x1, x2].
Diogo de Santana Germano AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
A Figura mostra
como uma
populac¸a˜o de
moscas-das-frutas
cresceu num
experimento de 50
dias.
a) Calcule a taxa
me´dia de
crescimento do dia
23 ao dia 45.
Diogo de Santana Germano AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
A Figura mostra
como uma
populac¸a˜o de
moscas-das-frutas
cresceu num
experimento de 50
dias.
a) Calcule a taxa
me´dia de
crescimento do dia
23 ao dia 45.
Diogo de Santana Germano AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
A Figura mostra
como uma
populac¸a˜o de
moscas-das-frutas
cresceu num
experimento de 50
dias.
a) A taxa me´dia de
variac¸a˜o ao longo
de 22 dias e´ o
coeficiente angular
∆p/∆t da reta
secante por P e Q.
Diogo de Santana Germano AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Mas com que rapidez a populac¸a˜o estava
variando no dia 23 em si?
Vamos examinar intervalos mais pro´ximos
ao dia em questa˜o!
Diogo de Santana Germano AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Mas com que rapidez a populac¸a˜o estava
variando no dia 23 em si?
Vamos examinar intervalos mais pro´ximos
ao dia em questa˜o!
Diogo de Santana Germano AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Coef. angular
Q de PQ = ∆p
∆t
(moscas/dia)
(45, 340)
340−150
45−23 ≈ 8, 6
(40, 330)
330−150
40−23 ≈ 10, 6
(35, 310)
310−150
35−23 ≈ 13, 3
(30, 265)
265−150
30−23 ≈ 16, 4
Diogo de Santana Germano AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Coef. angular
Q de PQ = ∆p
∆t
(moscas/dia)
(45, 340)
340−150
45−23 ≈ 8, 6
(40, 330)
330−150
40−23 ≈ 10, 6
(35, 310)
310−150
35−23 ≈ 13, 3
(30, 265)
265−150
30−23 ≈ 16, 4
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Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Coef. angular
Q de PQ = ∆p
∆t
(moscas/dia)
(45, 340)
340−150
45−23 ≈ 8, 6
(40, 330)
330−150
40−23 ≈ 10, 6
(35, 310)
310−150
35−23 ≈ 13, 3
(30, 265)
265−150
30−23 ≈ 16, 4
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Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Coef. angular
Q de PQ = ∆p
∆t
(moscas/dia)
(45, 340)
340−150
45−23 ≈ 8, 6
(40, 330)
330−150
40−23 ≈ 10, 6
(35, 310)
310−150
35−23 ≈ 13, 3
(30, 265)
265−150
30−23 ≈ 16, 4
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Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Coef. angular
Q de PQ = ∆p
∆t
(moscas/dia)
(45, 340)
340−150
45−23 ≈ 8, 6
(40, 330)
330−150
40−23 ≈ 10, 6
(35, 310)
310−150
35−23 ≈ 13, 3
(30, 265)
265−150
30−23 ≈ 16, 4
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Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Coef. angular
Q de PQ = ∆p
∆t
(moscas/dia)
(45, 340)
340−150
45−23 ≈ 8, 6
(40, 330)
330−150
40−23 ≈ 10, 6
(35, 310)
310−150
35−23 ≈ 13, 3
(30, 265)
265−150
30−23 ≈ 16, 4
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Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Coef. angular
Q de PQ = ∆p
∆t
(moscas/dia)
(45, 340)
340−150
45−23 ≈ 8, 6
(40, 330)
330−150
40−23 ≈ 10, 6
(35, 310)
310−150
35−23 ≈ 13, 3
(30, 265)
265−150
30−23 ≈ 16, 4
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Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Coef. angular
Q de PQ = ∆p
∆t
(moscas/dia)
(45, 340)
340−150
45−23 ≈ 8, 6
(40, 330)
330−150
40−23 ≈ 10, 6
(35, 310)
310−150
35−23 ≈ 13, 3
(30, 265)
265−150
30−23 ≈ 16, 4
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Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
Coef. angular
Q de PQ = ∆p
∆t
(moscas/dia)
(45, 340)
340−150
45−23 ≈ 8, 6
(40, 330)
330−150
40−23 ≈ 10, 6
(35, 310)
310−150
35−23 ≈ 13, 3
(30, 265)
265−150
30−23 ≈ 16, 4
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Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
As secantes
esta˜o se
aproximando da
reta vermelha,
quando nos
aproximamos de
t = 23;
O coeficiente
angular da reta
vermelha e´:
350− 0
35− 14 ≈ 16, 7
moscas/dia.
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Taxas me´dias de variac¸a˜o e retas secantes
As secantes
esta˜o se
aproximando da
reta vermelha,
quando nos
aproximamos de
t = 23;
O coeficiente
angular da reta
vermelha e´:
350− 0
35− 14 ≈ 16, 7
moscas/dia.
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Taxasme´dias de variac¸a˜o e retas secantes
No dia 23 a
populac¸a˜o
estava
crescendo a
uma taxa de
cerca de 16, 7
moscas/dia.
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Limites dos valores das func¸o˜es
Seja f (x) definida num intervalo aberto em
torno de x0, exceto talvez em x0;
Se f (x) fica arbitrariamente pro´ximo de L, para
todos os valores de x suficientemente pro´ximos
de x0, dizemos que f tem limite L quando x
tende a x0 e escrevemos
lim
x→x0
f (x) = L.
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Limites dos valores das func¸o˜es
Seja f (x) definida num intervalo aberto em
torno de x0, exceto talvez em x0;
Se f (x) fica arbitrariamente pro´ximo de L, para
todos os valores de x suficientemente pro´ximos
de x0, dizemos que f tem limite L quando x
tende a x0 e escrevemos
lim
x→x0
f (x) = L.
Diogo de Santana Germano AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Limites dos valores das func¸o˜es
Seja f (x) definida num intervalo aberto em
torno de x0, exceto talvez em x0;
Se f (x) fica arbitrariamente pro´ximo de L, para
todos os valores de x suficientemente pro´ximos
de x0, dizemos que f tem limite L quando x
tende a x0 e escrevemos
lim
x→x0
f (x) = L.
Diogo de Santana Germano AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Limites dos valores das func¸o˜es
Seja f (x) definida num intervalo aberto em
torno de x0, exceto talvez em x0;
Se f (x) fica arbitrariamente pro´ximo de L, para
todos os valores de x suficientemente pro´ximos
de x0, dizemos que f tem limite L quando x
tende a x0 e escrevemos
lim
x→x0
f (x) = L.
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Limites dos valores das func¸o˜es
Exemplo
Trace o gra´fico da func¸a˜o
f (x) =
x2 − 1
x − 1
e analise o seu comportamento pro´ximo de x = 1.
Diogo de Santana Germano AULA 4: Taxas de variac¸a˜o e limites
Limites dos valores das func¸o˜es
Tabela: Quanto mais pro´ximo x estiver de 1, mais pro´ximo
f (x) = (x2 − 1)/(x − 1) parece estar de 2.
Valores de x acima
e abaixo de 1 f (x) =
x2 − 1
x − 1 = x + 1, x 6= 1
0,9
1,9
1,1
2,1
0,99
1,99
1,01
2,01
0,999
1,999
1,001
2,001
0,999999
1,999999
1,000001
2,000001
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Limites dos valores das func¸o˜es
Tabela: Quanto mais pro´ximo x estiver de 1, mais pro´ximo
f (x) = (x2 − 1)/(x − 1) parece estar de 2.
Valores de x acima
e abaixo de 1 f (x) =
x2 − 1
x − 1 = x + 1, x 6= 1
0,9 1,9
1,1
2,1
0,99
1,99
1,01
2,01
0,999
1,999
1,001
2,001
0,999999
1,999999
1,000001
2,000001
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Limites dos valores das func¸o˜es
Tabela: Quanto mais pro´ximo x estiver de 1, mais pro´ximo
f (x) = (x2 − 1)/(x − 1) parece estar de 2.
Valores de x acima
e abaixo de 1 f (x) =
x2 − 1
x − 1 = x + 1, x 6= 1
0,9 1,9
1,1 2,1
0,99
1,99
1,01
2,01
0,999
1,999
1,001
2,001
0,999999
1,999999
1,000001
2,000001
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Limites dos valores das func¸o˜es
Tabela: Quanto mais pro´ximo x estiver de 1, mais pro´ximo
f (x) = (x2 − 1)/(x − 1) parece estar de 2.
Valores de x acima
e abaixo de 1 f (x) =
x2 − 1
x − 1 = x + 1, x 6= 1
0,9 1,9
1,1 2,1
0,99 1,99
1,01
2,01
0,999
1,999
1,001
2,001
0,999999
1,999999
1,000001
2,000001
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Limites dos valores das func¸o˜es
Tabela: Quanto mais pro´ximo x estiver de 1, mais pro´ximo
f (x) = (x2 − 1)/(x − 1) parece estar de 2.
Valores de x acima
e abaixo de 1 f (x) =
x2 − 1
x − 1 = x + 1, x 6= 1
0,9 1,9
1,1 2,1
0,99 1,99
1,01 2,01
0,999
1,999
1,001
2,001
0,999999
1,999999
1,000001
2,000001
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Limites dos valores das func¸o˜es
Tabela: Quanto mais pro´ximo x estiver de 1, mais pro´ximo
f (x) = (x2 − 1)/(x − 1) parece estar de 2.
Valores de x acima
e abaixo de 1 f (x) =
x2 − 1
x − 1 = x + 1, x 6= 1
0,9 1,9
1,1 2,1
0,99 1,99
1,01 2,01
0,999 1,999
1,001
2,001
0,999999
1,999999
1,000001
2,000001
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Limites dos valores das func¸o˜es
Tabela: Quanto mais pro´ximo x estiver de 1, mais pro´ximo
f (x) = (x2 − 1)/(x − 1) parece estar de 2.
Valores de x acima
e abaixo de 1 f (x) =
x2 − 1
x − 1 = x + 1, x 6= 1
0,9 1,9
1,1 2,1
0,99 1,99
1,01 2,01
0,999 1,999
1,001 2,001
0,999999
1,999999
1,000001
2,000001
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Limites dos valores das func¸o˜es
Tabela: Quanto mais pro´ximo x estiver de 1, mais pro´ximo
f (x) = (x2 − 1)/(x − 1) parece estar de 2.
Valores de x acima
e abaixo de 1 f (x) =
x2 − 1
x − 1 = x + 1, x 6= 1
0,9 1,9
1,1 2,1
0,99 1,99
1,01 2,01
0,999 1,999
1,001 2,001
0,999999 1,999999
1,000001
2,000001
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Limites dos valores das func¸o˜es
Tabela: Quanto mais pro´ximo x estiver de 1, mais pro´ximo
f (x) = (x2 − 1)/(x − 1) parece estar de 2.
Valores de x acima
e abaixo de 1 f (x) =
x2 − 1
x − 1 = x + 1, x 6= 1
0,9 1,9
1,1 2,1
0,99 1,99
1,01 2,01
0,999 1,999
1,001 2,001
0,999999 1,999999
1,000001 2,000001
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Limites dos valores das func¸o˜es
Neste caso temos
lim
x→1
f (x) = 2 ou lim
x→1
x2 − 1
x − 1 = 2.
Observac¸a˜o
O valor do limite na˜o depende do modo
como a func¸a˜o e´ definida em x0.
Se
redefinirmos a func¸a˜o anterior em 1 o limite
permanece o mesmo.
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Limites dos valores das func¸o˜es
Neste caso temos
lim
x→1
f (x) = 2 ou lim
x→1
x2 − 1
x − 1 = 2.
Observac¸a˜o
O valor do limite na˜o depende do modo
como a func¸a˜o e´ definida em x0.
Se
redefinirmos a func¸a˜o anterior em 1 o limite
permanece o mesmo.
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Limites dos valores das func¸o˜es
Neste caso temos
lim
x→1
f (x) = 2 ou lim
x→1
x2 − 1
x − 1 = 2.
Observac¸a˜o
O valor do limite na˜o depende do modo
como a func¸a˜o e´ definida em x0.
Se
redefinirmos a func¸a˜o anterior em 1 o limite
permanece o mesmo.
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Limites dos valores das func¸o˜es
Neste caso temos
lim
x→1
f (x) = 2 ou lim
x→1
x2 − 1
x − 1 = 2.
Observac¸a˜o
O valor do limite na˜o depende do modo
como a func¸a˜o e´ definida em x0. Se
redefinirmos a func¸a˜o anterior em 1 o limite
permanece o mesmo.
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Limites dos valores das func¸o˜es
(a) Se f e´ a func¸a˜o identidade f (x) = x ,
enta˜o para cada valor de x0,
lim
x→x0
f (x) = lim
x→x0
x = x0.
(b) Se f e´ a func¸a˜o constante f (x) = k ,
enta˜o para qualquer valor de x0,
lim
x→x0
f (x) = lim
x→x0
k = k .
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Limites dos valores das func¸o˜es
(a) Se f e´ a func¸a˜o identidade f (x) = x ,
enta˜o para cada valor de x0,
lim
x→x0
f (x) = lim
x→x0
x = x0.
(b) Se f e´ a func¸a˜o constante f (x) = k ,
enta˜o para qualquer valor de x0,
lim
x→x0
f (x) = lim
x→x0
k = k .
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Limites dos valores das func¸o˜es
(a) Se f e´ a func¸a˜o identidade f (x) = x ,
enta˜o para cada valorde x0,
lim
x→x0
f (x) = lim
x→x0
x = x0.
(b) Se f e´ a func¸a˜o constante f (x) = k ,
enta˜o para qualquer valor de x0,
lim
x→x0
f (x) = lim
x→x0
k = k .
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Limites dos valores das func¸o˜es
Exemplo
Discuta o comportamento das seguintes func¸o˜es
quando x → 0
(a) U(x) =
{
0, x < 0
1, x ≥ 0
(b) g(x) =
{
1/x , x 6= 0
0, x = 0
(c) f (x) =
{
0, x ≤ 0
sin(1/x), x > 0
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