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Lista Derivadas e Integrais indefinidas
prof. Alexandre
Turma: 4◦Semestre Engenharia(Civil e Mecaˆnica)
Assunto : Revisa˜o : Ca´lculo de Derivadas e de Integrais
1 Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es dadas abaixo:
(a) f(x) = 2x2 + x (b) f(x) =
x√
x
(c) f(x) = x3 · sen(x) (d) f(x) = x3 · ln(x)
(e) f(x) =
(x2 + 1)
(x− 1) (f) f(x) =
x
ln(x)
(g) f(x) =
2− sen(x)
2 + cos(x)
(h) f(x) = sec(x)
Lembrete : Regra da Cadeia: (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x) ou na notac¸a˜o de Leibniz
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
2 Calcule as derivadas:
(a) f(x) = (x3 + 2x)3 (b) f(x) =
√
x4 + 1 (c) f(x) = sen2(x) (d) f(x) = cos(sen(x))
(e) f(x) = x2 · sen(3− 5x) (f) f(t) = esen(t) (g) f(x) = cos(ex) (h)f(x) = ex · cos(2x)
(i) f(x) =
cos(x)
sen2(x)
(j) f(x) = t3 · e−3t (k) f(x) = ln3(x2 + 1)
3 Seja y = e2x . Verifique que :
d2y
dx2
− 4y = 0 , onde d
2y
dx2
representa a derivada segunda de y em
relac¸a˜o a` x.
4 Determine o valor de α de modo que y = eα·x verifique a equac¸a˜o :
d2y
dx2
− 3dy
dx
+ 2y = 0
5 Calcule as integrais indefinidas dadas abaixo:
(a)
∫
x5dx (b)
∫
1
x3
dx (c)
∫
e5xdx (d)
∫
x5 + x+ 1
x2
dx (e)
∫
x
1 + x2
dx (f)
∫
x
1 + x4
dx
(g)
∫
x2
1 + x3
dx (h)
∫
5
4 + x2
dx (i)
∫
sen(x)
cos2(x)
dx (j)
∫
x · ex2dx (k)
∫
cos3(x) · sen(x)dx
Lembrete : Integrac¸a˜o por partes:
∫
udv = u · v −
∫
vdu
6 Usando integrac¸a˜o por partes , calcule as integrais indefinidas abaixo:
(a)
∫
x · cos(x)dx (b)
∫
ex · sen(x)dx (c)
∫
ln(x)dx (Sugesta˜o: Fac¸a :u = ln(x) e dv = dx)
(d)
∫
(x+ 1) · cos(x)dx (e)
∫
x2 · e−xdx (f)
∫
x2 · ln(x)dx
Gabarito:(LISTA 1)
(∗) 1
1 (a) 4x + 1 (b) 1
2
√
x
(c) 3x2 · sen(x) + x3 · cos(x) (d) 2x · ln(x) + x
(e) 2x(x−1)−(x
2+1)
(x−1)2 (f)
ln(x)−1
ln2(x)
(g) 2(sen(x)−cos(x))−1
(2+cos(x))2
(h) tg(x) · sec(x)
2 (a)(x3 + 2x)2 · (9x2 + 6) (b) 2x3√
x4+1
(c) 2sen(x) · cos(x) (d) −sen(sen(x)) · cos(x)
(e)2x ·sen(3−5x)−5x2 ·cos(3−5x) (f)esen(t) ·cos(t) (g)−ex ·sen(ex) (h) ex ·(cos(2x)−2sen(2x))
(i) − sen2(x)+2cos2(x)
sen3(x)
(j) 3t2 · e−3t · (1− t) (k)6x·ln2(x2+1)
x2+1
3 Basta derivar duas vezes a func¸a˜o dada e substituir na equac¸a˜o.
4 1 ou 2
5 (a) x
6
6 + C (b) − 12x2 + C (c) 15 · e5x + C (d) x
4
4 + ln|x| − 1x + c (e) 12 · ln(1 + x2) + C
(f) (sugesta˜o: fac¸a u = x2) 12 · arctg(x2) +C (g) 13 · ln(1 + x3) +C (h) 52 · arctg(x2 ) +C (i) 1cos(x) +C
(j) 12 · ex
2
+ C (k) −14 · cos4(x)
6 (a) x·sen(x)+cos(x)+C (b) 12 ·ex(sen(x)−cos(x)) (c) x·(ln(x)−1) (d) (x+1)·sen(x)+cos(x)+C
(e) −(x2 + 2x + 2) · e−x (f) x33 · (ln(x)− 13) + C
1Para qualquer correc¸a˜o envie uma menssagem para tioxyko@rantac.com.br