Geometria Analitica 1

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
1 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
CAPÍTULO 1 
 
VETORES 
 
Acredita-se que as primeiras noções intuitivas sobre operações com segmentos 
tenham surgido com Aristóteles (384-322 A.C.). Muito tempo depois, na tentativa da 
representação geométrica dos números complexos Wessel (1745-1818), Argand 
(1768-1822) e Gauss (1777-1855), propõem a representação do vetor como utilizada 
até hoje. A idéia de representá-los por um par ordenado (a,b) de números reais, 
possivelmente deva-se a Hamilton (1805-1865). No entanto, todos os méritos do 
desenvolvimento do Cálculo Vetorial são creditados a Gibbs (1839-1903). Mas, foi 
somente em 1901 que Wilson (1879-1964), o qual foi aluno de pós-graduação de 
Gibbs, publicou o primeiro livro sobre análise vetorial, com base em notas que Gibbs 
imprimia e distribuía os seus alunos. Já a Geometria Analítica foi desenvolvida por 
René Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665), os quais 
transformaram os cálculos baseados em figuras geométricas para resolução de 
equações, usados pelos gregos antigos, em equações que representam as relações 
geométricas. 
 
1. Grandeza Escalar e Grandeza Vetorial 
 
Na natureza encontramos dois tipos de grandezas (físicas): as grandezas 
escalares e as grandezas vetoriais. Para se operar com as grandezas escalares são 
utilizadas as mesmas operações definidas no conjunto dos números reais. Para operar 
com grandezas vetoriais são necessárias outras operações e outras definições 
também chamadas de Cálculo Vetorial. 
 
Grandeza Escalar: É toda grandeza que para estar bem definida é necessário 
caracterizar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida. 
 
Exemplos de grandezas escalares: 
1) Massa: Se estamos interessados em dizer qual é a massa de um determinado 
corpo, basta dizer, por exemplo: um corpo com massa de 75 kg, onde, 75 é o 
módulo da grandeza e kg (quilograma) é a unidade de medida. 
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2) Temperatura: Para você informar sobre a temperatura de um determinado 
ambiente, basta dizer, por exemplo: a temperatura do ambiente é de 36 oC, onde, 
36 é o módulo da grandeza e oC (grau Celsius) a unidade de medida. 
 
Grandeza Vetorial: É toda grandeza que para estar bem definida é necessário 
caracterizar seu módulo e uma unidade de medida, direção e sentido. 
 
Exemplos de grandezas vetoriais: 
1) Força: Quando uma força é aplicada em um corpo, ela é aplicada com certa 
intensidade (seu módulo), numa determinada direção e num determinado sentido. 
Por exemplo: uma força de intensidade 20 N (Newtons), na direção horizontal com 
sentido para direita. 
 
 
 
2) Velocidade: A velocidade indica movimento de um corpo, assim, se um corpo 
possui uma velocidade diferente de zero, este corpo está se deslocando com certa 
velocidade, numa determinada direção e num determinado sentido. Por exemplo: 
uma velocidade de 12m/s (metros por segundo), numa direção vertical com sentido 
para cima. 
 
 
 
 
2. Vetor 
Definição: Um segmento orientado é um par ordenado (A,B) de pontos do espaço 
e representado pela "seta" com abaixo. O ponto A (início da seta) é a origem e B (a 
ponta da seta) é a extremidade. Um segmento orientado do tipo (A,A) é chamado 
segmento orientado nulo. 
 
Observe que, se A≠B, então (A,B) é diferente de (B,A). No caso do segmento 
orientado (B,A), B passa ser a origem e A a extremidade. 
 
Dado um segmento orientado (A,B), vamos definir os seus três elementos básicos: 
módulo, direção e sentido. 
20N 
12 m/s 
 
B 
A 
B 
A 
3 
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(a) módulo: representa o tamanho ou comprimento do segmento orientado (A,B) 
que é definido como sendo do tamanho do segmento geométrico AB . 
(b) direção: é a reta suporte do segmento orientado (A,B), caso A≠B, ou seja, se 
prolongarmos o segmento orientado além da sua origem e da sua extremidade 
através de uma reta tracejada, a reta obtida indica sua direção. O vetor nulo não 
possui direção e sentido. 
(c) sentido: o sentido do segmento orientado (A,B) é indicado pela ponta da seta o 
representa. 
 
 
 
 
Definição: 
(a) Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são de mesmo comprimento se os 
segmentos geométricos AB e CD têm comprimentos iguais. 
(b) Os segmentos orientados (A,B) e (C,D), não nulos, são paralelos se eles têm a 
mesma direção, ou seja, se as retas suportes de ambos são coincidentes ou paralelas. 
Considere os vetores abaixo e note que, conforme as definições acima temos: 
 
 
 
 
 
- Os segmentos orientados (A,B) e (E,F) têm o mesmo módulo, mesma direção (são 
paralelos) e o mesmo sentido; 
- Os segmentos orientados (A,B) e (G,H) têm módulos diferentes, direções diferentes 
(não são paralelos) e sentidos diferentes; 
ponta da seta: sentido de (A,B) 
reta suporte: 
direção de (A,B) 
módulo:AB 
B 
A 
A 
B 
E 
F 
D 
C G 
H 
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- Os segmentos orientados (E,F) e (D,C) tem módulos diferentes, mesma direção (são 
paralelos) e sentidos opostos. 
 
Definição: Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se forem de 
mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Indica-se a equipolência entre 
(A,B) e (C,D) por: (A,B)~(C,D). 
OBS: Decorre da definição que: 
(a) se ambos os segmentos forem nulos então eles são equipolentes; 
(b) equipolente a um segmento orientado nulo, somente outro segmento orientado 
nulo. 
Proposição: A relação de equipolência é uma relação de equivalência, ou seja, 
quaisquer que sejam os segmentos orientados (A,B), (C,D) e (E,F): 
(a) (A,B)~(A,B) (Propriedade Reflexiva) 
(b) (A,B)~(C,D) ⇒ (C,D)~(A,B) (Propriedade Simétrica) 
(c) (A,B)~(C,D) e (C,D)~(E,F) ⇒ (A,B)~(E,F) (Propriedade Transitiva) 
Proposição: Considere os segmentos orientados (A,B) e (C,D). Se (A,B)~(C,D) então 
(A,C)~(B,D). 
 
 
Definição: Dado o segmento orientado (A,B), a classe de equipolência de (A,B) é 
o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a (A,B). O segmento 
orientado (A,B) é um representante da classe. 
OBS: Decorre da definição de classe de equipolência o que segue: 
(a) Todos os segmentos orientados pertencentes a uma classe de equipolência são 
equipolentes entre si. O próprio (A,B) é um deles, pela propriedade reflexiva; 
(b) Se (C,D) pertence à classe de equipolência de (A,B), então (A,B) pertence à 
classe de equipolência de (C,D), devido a propriedade simétrica. Na verdade, essa 
duas classes coincidem, pois quem for equipolente a (C,D) será equipolente a (A,B), e 
vice-versa, pela propriedade transitiva; 
A 
B D 
C 
5 
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(c) Qualquer segmento pertencente a uma classe de equipolência pode ser o seu 
representante. 
Definição: Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se 
(A,B) é um segmento orientado, o vetor que tem (A,B) como representante será 
indicado por AB ou simplesmente por uma letra minúscula, por exemplo v
r
. Logo, 
vAB
r
= . 
OBS: Deve estar claro que, se os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são 
equipolentes, então os vetores AB e CD são iguais. Cuidado para não usar a 
expressão "vetores equipolentes",pois a equipolência é uma relação entre segmentos 
orientados, não entre vetores; 
Portanto, o vetor vAB
r
= , com um significado geométrico, nada mais é que um 
objeto matemático representado por um segmento orientado. 
 
 
 
Assim, o vetor v
r
, tem o ponto A como origem e B é sua extremidade. Outra 
notação usada para denotar o vetor v
r
 é AB (sempre a origem primeiro e depois a 
extremidade), assim escrevemos ABv =
r
. O vetor representado pelo segmento 
orientado (A,A) será chamado de vetor nulo e denotado por 0 . 
Para definirmos bem o vetor é necessário caracterizar seu módulo, direção e 
sentido. Como estamos representando o vetor por um segmento orientado, essas 
noções já foram introduzidas. Então: 
 
Módulo: é o tamanho do vetor, ou seja, o comprimento do segmento orientado 
(A,B), e será denotado por |AB||v| =
r
. 
 
Direção: é a reta suporte do segmento orientado (A,B), caso A≠B, ou seja, se 
prolongarmos o segmento orientado além da sua origem e da sua extremidade 
através de uma reta tracejada, a reta obtida indica sua direção. O vetor nulo não 
possui direção e sentido. 
 
 
 
 
a
r
 
B 
A 
reta suporte que indica a 
direção do vetor 
v
r
 A B 
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Sentido: é indicado pela ponta da seta do segmento orientado. 
 
 
 
 
Uma particularidade entre os vetores, e muito importante, é que vetores 
paralelos têm a mesma direção, assim como os segmentos orientados que os 
representam. Na figura abaixo, os vetores têm a mesma direção (são paralelos), têm 
módulos (tamanhos) diferentes, a
r
 e c
r
 têm o mesmo sentido e b
r
 tem sentido oposto 
dos vetores a
r
 e c
r
. 
 
 
 
 
 
 
Vetores que têm o mesmo módulo, a mesma direção (paralelos) e o mesmo 
sentido são vetores iguais. Na figura abaixo os vetores são iguais. 
 
 
 
 
OBS: Existe uma definição muito mais ampla do conceito de vetor (não 
necessariamente geométrica) que envolve uma gama bastante variada de objetos 
matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, 
etc. Inicialmente, trabalharemos apenas com o vetor como definido acima. 
 
3 Operações com vetores 
 
3.1 Adição: Para os vetores u
r
 e v
r
, sua soma vu
rr
+ , é determinada da seguinte 
forma: Adotar um ponto A qualquer e, com origem nele, traçar o segmento orientado 
(A,B) que representa o vetor ABu =
r
. Utilizar a extremidade B para traçar o segmento 
orientado (B,C) que representa o vetor BCv =
r
. O vetor representado pelo segmento 
v
r
 
sentido 
do vetor 
B 
A 
a
r
 
b
r
 
c
r
 
a
r
 b
r
 
c
r
 
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orientado (A,C) é, por definição, o vetor soma de u
r
 com v
r
, isto é, ACvu =+
rr
, ou 
seja, ACBCAB =+ . 
 
 
 
 
 
Note que, a ordem em que se somam os vetores não altera o resultado, pois: 
 
Este método para somar dois vetores é conhecido como "método da poligonal", o 
qual pode ser aplicado para a soma de mais de dois vetores. Veja o exemplo a seguir. 
 
Exemplo (1): Considere os vetores wev,u
rrr
 dados abaixo. Determinar wvu
rrr
++ e 
uwv
rrr
++ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: Uma variação do método da poligonal e o que chamamos de "método do 
paralelogramo" (muito usado na soma de dois vetores). O método do 
paralelogramo consiste em: dados dois vetores veu
rr
, adotamos um ponto O 
qualquer, transportamos as origens dos dois vetores para este ponto O. Pela 
extremidade do vetor u
r
 traçamos uma reta paralela ao vetor v
r
 e, pela extremidade 
do vetor v
r
 traçamos uma reta paralela ao vetor u
r
. Estas duas retas se interceptam 
num ponto O'. A figura obtida é um paralelogramo, cuja diagonal determinada pelos 
pontos OO' é o vetor soma 'OOvu =+
rr
. 
 
 
 
 
 
u
r
 v
r
 
w
r
 
ADwvu =++
rrr
 
D 
C 
B A 
w
r
v
r
 
u
r
 
ADuwv =++
rrr
 
B 
C D 
A w
r
 
u
r
 
v
r
 
u
r
 v
r
 
'OOvu =+
rr
 
O' 
O 
u
r
 
v
r
 
u
r
 
v
r
 ACvu =+
rr
 
v
r
 
u
r
 
C 
B 
A 
ACuv =+
rr
 
A 
v
r
 
u
r
 
C 
B 
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Propriedades da Adição. 
1) Comutativa: uvvu
rrrr
+=+ 
 
 
 
 
2) Associativa: w)vu()wv(u
rrrrrr
++=++ 
 
 
 
 
 
 
3) Elemento Neutro: 0,u ∃∀
r
(o vetor nulo) tal que uu00u
rrr
=+=+ . 
4) Elemento Oposto (ou simétrico): u
r
∀ , com ABu =
r
, u
r
−∃ (o vetor oposto do vetor 
u
r
), com BAu =−
r
 tal que 0u)u()u(u
rrrrr
=+−=−+ . 
 
3.2 Subtração: Considere os vetores veu
rr
. O vetor diferença entre veu
rr
, indicado 
por vu
rr
− , é a soma do vetor u
r
com o oposto do vetor v
r
, ou seja, )v(uvu
rrrr
−+=− . 
 
Cuidado! Não vale a propriedade comutativa, caso vu
rr
≠ isto é, uvvu
rrrr
−≠− . Note 
que, )uv(vu
rrrr
−−=− . Esta propriedade é chamada de anti-comutativa. Considerando 
que sempre se interpreta a subtração )v(uvu
rrrr
−+=− , neste caso as propriedades são 
as mesmas da adição. 
 
 
 
 
 
Exemplo (2): Considere os vetores veu
rr
, como abaixo, determinar vu
rr
− . 
 
 
 
 
 
uv
rr
− 
u
r
− 
vu
rr
+ 
vu
rr
− 
u
r
 
v
r
− 
v
r
 
u
r
 
ACvu =−
rr
 
C 
B A 
v
r
− 
u
r
 
v
r
 v
r
− 
O' 
uv
rr
+ vu
rr
+ 
v
r
 
u
r
 
O 
u
r
 
v
r
 
w)vu()wv(u
rrrrrr
++=++ 
wv
rr
+ 
vu
rr
+ 
w
r
 
v
r
 
u
r
 
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OBS: Dados dois vetores veu
rr
, vamos determinar adição vu
rr
+ e a subtração vu
rr
− , 
usando o método do paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
Assim, dados dois vetores quaisquer, não paralelos, eles determinam um 
paralelogramo onde uma diagonal é vu
rr
+ e a outra vu
rr
− . Isso é muito útil na 
resolução de problemas. 
 
3.3 Multiplicação por Escalar: Sejam qualquer vetor ℜ∈α∀ev
r
. Então a 
multiplicação do número real α pelo vetor v
r
, denotado por v
r
⋅α , ou simplesmente 
por v
r
α , é um vetor que satisfaz: 
a) 0vou00v
rrrr
==α⇔=α 
b) Se vvetoro,0ve0
rrr
α≠≠α caracteriza-se por: 
• v
r
α é paralelo a v
r
; 
• vev
rr
α são de mesmo sentido se 0>α , e de sentidos contrários se 0<α ; 
• |v||||v|
rr
⋅α=α . 
 
Exemplo (3): Seja v
r
 um vetor qualquer. Note que os vetores v
2
1
ev2,v2
rrr
− , 
representados abaixo, são todos paralelos, ou seja, têm a mesma direção. 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades da Multiplicação por escalar: 
1) ℜ∈β∀ℜ∈α∀βα=αβ e,v)()v(
rr
 3) ℜ∈β∀ℜ∈α∀β±α=β±α e,vvv)(
rrr
 
2) ℜ∈α∀α±α=±α ,uv)uv(
rrrr
 4) vv1
rr
=⋅ 
 
u
r
 
v
r
 vu
rr
− 
vu
rr
− 
u
r
 
v
r
− 
v
r
 vu
rr
+ 
v2
r
v
2
1 r 
v2
r
− 
v
r
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3.4 Translação de um ponto porum vetor: Dados um ponto P e um vetor u
r
, o 
ponto Q tal que o segmento orientado (P,Q) é representante de u
r
 é chamado 
translação de P por u
r
 e indicado por uP
r
+ (figura abaixo). Em símbolos: 
PQuQuP =⇔=+
rr
. 
 
 
 
 
Decorre da definição que, quaisquer que sejam os pontos P e Q, QPQP =+ . 
Intuitivamente, podemos entender uP
r
+ como o resultado do deslocamento de um 
ponto material, inicialmente na origem do vetor, até sua extremidade. Usaremos a 
notação uP
r
− para indicar a translação do ponto P pelo oposto de u
r
, ou seja, 
)u(PuP
rr
−+=− . 
 
Propriedades: Quaisquer que sejam os pontos A e B e os vetores veu
rr
, valem: 
1) )vu(Av)uA(
rrrr
++=++ 
2) vuvAuA
rrrr
=⇔+=+ (lei do cancelamento de pontos) 
3) BAuBuA =⇔+=+
rr
 (lei do cancelamento de vetores) 
4) Au)uA( =+−
rr
 
 
Definição: O versor de um vetor não nulo v
r
, denotado por ov
r
, é um vetor unitário, 
ou seja, 1|v| o =
r
, como mesma direção e sentido do vetor v
r
, definido por 
v
|v|
1
|v|
v
vo
r
rr
r
r
== . 
Por exemplo: se o vetor v
r
 tem módulo 3|v| =
r
 e o vetor u
r
 tem módulo 
2
1
|u| =
r
, 
então seus versores são, respectivamente, v
3
1
vo
rr
= e u2uo
rr
= . Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
u
r
 
P 
uPQ
r
+= 
u
r
 
ov
r
 
v
r
 
ou
r
 
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4 Ângulo entre dois vetores 
O ângulo entre dois vetores veu
rr
, não nulos, denotado por CAˆB)v,u(ang ==θ
rr
, 
é o ângulo entre os segmentos orientados que representam os vetores, tomado no 
intervalo oo 1800 ≤θ≤ , quando as origens dos vetores são transportadas para um 
mesmo ponto A. 
 
 
 
 
Da geometria plana sabemos que α−+= cosuv2vuw 222 , chamada de Lei dos 
cossenos, onde u, v e w são os lados de um triângulo qualquer e α é um ângulo 
interno ao triângulo, oposto ao lado w. 
 
 
 
 
Vetorialmente vuw
rrr
+= . 
 
 
 
 
 
Note que o ângulo entre os vetores veu
rr
 é θ e não o α . Temos que 
o180=θ+α e θ−=α coscos . Logo, de α−+= cosuv2vuw 222 vem que: 
θ++=+= cosuv2vu|vu|w 2222
rr
. Quando o ângulo entre dois vetores é 900, dizemos 
que eles são ortogonais. 
 
Exemplo (4): Dois vetores bea
rr
, onde 6|b|e2|a| ==
rr
 formam entre si um ângulo 
de 120o. Determine o módulo da soma de ba
rr
+ e da diferença de ab
rr
− . 
Solução: 
 
 
 
 
Aplicando a lei dos co-senos temos: 
α v 
w 
u 
α 
θ 
u
r
 
v
r
 
w
r
 
u
r
 
ab
rr
− 
ba
rr
+ 
b
r
 
a
r
− 
a
r
 120
o 
60o 
u
r
 
v
r
 
C 
B 
v
r
 
u
r
 
A 
θ 
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28
2
1
62262)120cos(ab2ba|ba| 22o222 =





−⋅⋅⋅++=++=+
rr
 ⇒ 7228|ba| ==+
rr
 
52
2
1
62262)60cos(ab2ba|ab| 22o222 =





⋅⋅⋅++=++=−
rr
 ⇒ 13252|ab| ==−
rr
 
 
Exemplo (5): Seja um triângulo ABC. Mostre, vetorialmente, que o segmento que 
une os pontos médios M e N de dois lados do triângulo é paralelo ao terceiro lado e 
tem metade do comprimento deste. O segmento MN é chamado de base média do 
triângulo. 
Solução: Basta mostrar que: AC
2
1
MN = . A operação produto por escalar conserva a 
direção, logo, os vetores ACeMN são paralelos. 
 
 
 
 
 
Como M é ponto médio de AB , então AM2AB = e N sendo ponto médio de BC , 
então NC2BC = . Pela figura acima temos: 




=+
=++
ACBCAB
ACNCMNAM)I( . Em (I) 
multiplicando a primeira equação por 2 e na segunda equação substituindo AM2AB = 
e NC2BC = , obtém-se: 




=+
=++
ACNC2AM2
AC2NC2MN2AM2 . Subtraindo a segunda da primeira 
equação: AC
2
1
MNACMN2 =⇒= . 
 
Exemplo (6): Três forças de mesmo módulo F e aplicadas no mesmo ponto P podem 
equilibrar-se? 
Solução: Sim, desde que elas estejam defasadas de um ângulo de α=120o. Aplicando 
a lei dos cossenos para duas forças de mesmo módulo F, cujo ângulo entre elas é 
120o, a resultante terá a direção da bissetriz do ângulo entre elas e módulo igual a F, 
pois: 
F|FF|FFF2
2
1
F2F2)120cos(FF2FF|FF| 22222o222 =+⇒=−=





−⋅+=++=+ 
Portanto, a resultante é zero e as três forças estão em equilíbrio. 
 
N M 
B 
C A 
α α 
α F
F
F 
F 
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OBS: Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano, ou seja, existe um 
plano que os contém. A Figura (a) ilustra a situações em que os vetores são 
coplanares e a Figura (b) quando eles não são coplanares. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura (a): Vetores coplanares. Figura (b): Vetores não coplanares. 
 
Operando-se geometricamente com vetores, obtém-se como resultado que, vetores 
coplanares quando operados resulta em vetor no mesmo plano (são coplanares). 
 
Exemplo (7): Provar que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. 
Solução: Suponhamos que M e N sejam os pontos médios de BDeAC , 
respectivamente, como na figura abaixo. Basta provar que NM = . 
 
 
 
 
Temos que: AM2AC = e ND2BD = . Por construção temos: NDANAD += e 




=−
=+
BDABAD
ACABAD . Somando as equações vem que: ND2AM2BDACAD2 +=+= ⇒ 
( ) ND2AM2NDAN2 +=+ ⇒ AMAN = ⇒ AMAN −=− ⇒ MN = 
 
Exercícios Propostos: 
1) Sejam os vetores ceb,a
rrr
, de módulos 3, 5 e 7, respectivamente, e coplanares. 
Sabendo que o ângulo entre a
r
 e b
r
 é 30o e entre c
r
 e b
r
 é 30o, determine 
22 |ba||cb|R
rrrr
−−+= . 
Resp: 35040R += 
2) Na figura abaixo AD2DC = . Vetorialmente, exprimir BD em função de BA e BC . 
u
r
v
r
 
w
r
 
u
r
 
v
r
 
w
r
 
M N 
D 
C B 
A 
C 
B 
A 
D 
14 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
 
 
Resp: 
3
AB2BC
BD
−
= 
 
3) Demonstrar, vetorialmente, que o segmento que une os pontos médios dos lados 
não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual a sua semi-soma. 
4) Demonstrar que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um 
trapézio é paralelo às bases e igual à semi-diferença das referidas bases. 
5) As forças 521 f,...,f,f
rrr
 dispostas como mostra a figura, determinam um hexágono 
regular. Determine o módulo da resultante dessas forças em função do módulo da 1f
r
. 
Resp: 1R f6F = 
 
 
 
6) Sejam os vetores bea
rr
, de módulos 1e3 , e ortogonais entre si. Sendo 
bam
rrr
+= , determine o módulo do vetor bmR
rr
+= . Resp: 7|R| = 
7) Sabendo que 2|vu|e4|vu| =−=+
rrrr
, determine 22 |v||u|R
rr
+= . Resp: 10R = 
8) Determine BA em função de u
r
, sabendo que uBuA
rr
+=− . Resp: u2BA
r
= 
9) Determine a relação entre u
r
 e v
r
, sabendo que, para um dado ponto A, temos: 
Av)uA( =++
rr
. Resp: vu
rr
−= 
10) Dizer se é falsa ou verdadeira cada uma das afirmações: 
a) Se vu
rr
= , então |v||u|
rr
= 
b) Se |v||u|
rr
= , então vu
rr
= 
c) Se v//u
rr
, então vu
rr
= 
d) Se vu
rr
= , então v//u
rr
 
e) Se vuw
rrr
+= , então |v||u||w|
rrr
+= 
f) |v||u||w|
rrr
+= , então wev,u
rrr
 são paralelos 
g) Se CDAB = , então ABCD (vértices nestaordem) é um paralelogramo 
h) |v|5|v5||v5|
rrr
=−= 
i) Os vetores v4ev3
rr
− são paralelos e de mesmo sentido 
j) Se v//u
rr
, 4|v|e2|u| ==
rr
, então u2vouu2v
rrrr
−== 
k) Se 3|v| =
r
, o versor de 
3
v
év10
r
r
−− 
Resp: a) V b) F c) F d) V e) F f) V g) F h) V i) F j) V k) V 
5f
r
 
4f
r
 
3f
r
 
2f
r
 1f
r
 
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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
 
 
 
COMENTÁRIOS IMPORTANTES: 
• Não existe interseção de vetores. Os vetores não são constituídos de pontos como 
uma reta, apenas são representados pelos segmentos orientados, para 
caracterizar uma grandeza vetorial que deve ter seu módulo, direção e sentido 
bem definidos. 
• Como não há interseção entre vetores, não é conveniente chamá-los de vetores 
perpendiculares, ou seja, quando o ângulo entre dois vetores for de 90o é mais 
conveniente chamá-los de ortogonais. 
• As operações elementares com vetores são apenas três: adição, subtração e 
produto por escalar. Não existe multiplicação e nem divisão entre vetores. Logo, 
escrever, por exemplo: 2u
r
 ou 
u
v
r
r
, é um erro comum. No entanto, podemos 
calcular 2|u|
r
 ou 
|u|
|v|
r
r
, que ambos são números reais, com 0|u| ≠
r
. 
• Todas as operações elementares obedecem à propriedade do fechamento, ou seja, 
qualquer operação elementar realizada entre vetores o resultado será um vetor. 
Em particular, observe que 0vv
rrr
=− (0
r
 é o vetor nulo) e não 0vv =−
rr
 (0 é o 
escalar zero). Correto seria 0|v||v| =−
rr
.