Avaliando o aprendizado CALCULO I

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Avaliando o aprendizado – Calculo I
Aula 1
Encontre a derivada da função V(r) = (4/3) pi r3
R: V´(r) = 4 pi r 2
Seja a função f definida por
Determine se f(x) no ponto 1 é contínua.
R: Sim. As derivadas laterais no ponto 1, a direira e a esquerda são iguais a 2, logo a função é contínua no ponto 1.
Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-5x+20 no ponto (x1,y1)
R: m(x1) = 2x1 – 5
Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-2x+1 no ponto (x1,y1)
R: m(x1) = 2x1 – 2
Indique a derivada de f(x)=(x)23:
R: dfdx=23x1⁄3;
Considerando que função derivada de f(x) é o cálculo da derivada em um ponto genérico x, considerando ainda que o domínio dessa função é o conjunto dos valores de x para os quais existe a derivada de f(x), bem como as afirmativas sobre as propriedades operatórias
(I) se f(x) = k . g(x) então f´(x) = k . g´(x).
(II) se f(x) = u(x) + v(x) então f´(x) = u´(x) + v´(x).
É correto afirmar que:
R: Ambas são verdadeiras.
Aula 2
A derivada da função f(x)=3x2+4xé:
R: f´(x)=-6x3-4x2
Encontre a derivada da função f(x) = sen x / ln x
R: f ´(x) = (ln x cos x - (1/x) sen x)/ ((ln x)2)
Calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico da função f(x)=3x+2 no ponto (1,1).
R: -1/3
Use as regras de derivaçao para calcular a derivada da funçao
f(x) = ( 1/ sqrt(x)) + (2x)1/5 + sqrt(7)
R: f '(x) = (-1/2) { 1/ (x sqrt(x))} + [(2)1/5/5][1/( x4)1/5]
Diferencie a função aplicando as regras básicas para diferenciação
R: -6x-3+7x-2
A derivada da função F(x)=1ln(x) é:
R: -1x⋅ln2(x)
Aula 3
Encontre a derivada de tan (5x3 - 13)
R: f´(x) = 15x 2 sec 2 (5x3 - 13)
Determine a primeira e a segunda derivadas da função f(x) = x 3 (x+2) 2
R: Primeira derivada: f´(x) = 5x4 +16x 3 12x 2
Segunda derivada: f´´(x) = 20x3 +48x 2 24x
Encontre a derivada da função ln(sen 3x)
R: 3cotg (3x)
Encontre a derivada da função ln(3x)
R: 1/x
Determine a derivada da função f(x) = esec 3x
R: f ´(x) = 3 esec 3x sec 3x tg 3x
Calcule a derivada de cada função f(x) = e sen x
R: f´(x) = cos x e sen x
Aula 4
Determine o coeficiente angular da circunferência dada por x2 + y2 = r2
R: coeficiente angular é - x/y
Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a função posição s = s(t) de um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo assim a derivada terceira da função s(t) é chamada de arranco. Portanto calcule o arranco da função s(t) = y = x3 - 6 x2 - 3x + 3
R: y ´´´ = 6
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x3 no ponto (8,2).
R: y=x+1612
A reta normal ao gráfico de f no ponto (x,y) é definida como sendo
R: A linha reta através de (x,y) que é perpendicular a reta tangente em (x,y)
Determine a derivada da função f(x)=5xln(cosx)
R: f´(x)=5ln(cosx)-5xsenxcosx
Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada no ponto indicado f(x) = x2 + x + 1 no ponto (1,3).
R: reta tangente : y = 3x reta normal : y = (-1/3)x + (10/3)
Aula 5
Supondo que um certo fenômeno físico é descrito pela equaçao, definida a seguir. Utilize o Teorema do valor Intermediário, para verificar que a equação 2 x 4 - 9 x 2 + 4 = 0 tem pelo menos uma solução no intervalo ( 0 , 1 ) .
R: Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que:
f é contínua em [0,1].
f(0) = 4 > 0
f(1) = -3 < 0
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1).
Verifique que a equação 2x4-9x2+4=0 tem pelo menos uma solução no intervalo ( 0 , 1 ) .
R: Podemos afirmar pelo Teorema do Valor intermediário que existe pelo menos uma solução da equação 2x4-9x2+4=0 no intervalo (0,1) .
Seja f a função definida por f(x) = x 3 + 2x2 + 1. Encontre um número c entre 0 e 3 tal que a tangente ao gráfico de f no ponto (c,f(c)) seja paralela a secante entre os dois pontos (0,f(0)) e (3, f(3)).
R: c = 5/3
Seja a função f(x)=2x-12x-4 se x diferente de 2 e f(x) = 1 se x = 2, no intervalo [1,2]. Utilizando o Teorema do Valor Médio (TVM) verifique se a função f(x) satisfaz as hipótese do Teorema.
R: A função não satisfaz todas as hipótese do TVM. Houve falha na hipótese que garante a continuidade, ou seja, a função não é continua a esquerda de 2.
Seja f a função polinomial definida pela equação f(x) = x5 - 2 x3 -1. Usando o teorema do valor intermediário podemos afirmar que existe uma raiz de f(x) entre:
R: 1,5 e 1,6
Usando o Teorema do Valor Intermediário (T.V.I.), verifique que a equação 7x2015-2x+1=0 possui alguma raiz negativa.
R: Temos f(0) = 1 , f(-1) = -4 assim, basta adotar k = 0 (que esta entre [-4,1] e, com base no teorema do valor intermediário, garantimos que existe um c no intervalo [-1,0] tal que f(c) = k = 0.
Aula 6
Sabendo-se que a função f(x) satisfaz as seguintes condições abaixo.
a) f´(x) > o em ]-oo,1[
b) f´(x) < 0 em ]1,oo[
c) f´´(x) > 0 em ]-oo,-2[ e ]2,oo[
d) f´´(x) < 0 em ]-2,2[
e) O limite de f(x) quando x tende a menos infinito tem valor -2
f) O limite de f(x) quando x tende a infinito tem valor 0
Podemos afirmar que a função f(x) possui intervalo crescente ou/e decrescente em:
R: A função é crescente em ]-oo,1[ e decrescente ]1,oo[
Determine o intervalo onde a função f(x) = 3x2 - 3 é crescente e onde é decrescente
R: f é crescente no intervalo ] - oo, - 1] e do intervalo [1. + oo[ f é decrescente no intervalo [-1. 1]
Entre 0 oC e 20 o C, o volume ( em centímetros cúbicos) de 1 000 centímetros cúbicos de água a uma temperatura T é aproximadamente dado pela fórmula V = 999 - 0,064 T + 0,0085 T2 - 0,000067 T3. Encontre a temperatura na qual a água tem sua densidade máxima. ( densidade= massa/ volume ).
R: 3,96
Tem-se 1000 metros de grade com os quais pretende-se construir uma varanda retangular. Supondo x a largura e y o comprimento. Quais as dimensões do cercado retangular de área máxima ?
R: x = 250 e y = 250, ou seja, o cercado máximo é um quadrado
Um pedaço de papel retangular é usado para construir uma caixa sem tampa, para isso corta-se quadrados iguais de cada canto do papel. O papel retangular possui 8 centímetros de largura por 15 centímetros de comprimento. Determine o comprimento x dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo.
R: x = 5/3 centímetros
Uma cervejaria quer produzir suas próprias latinhas para isso solicitou uma análise para determinar as dimensões da latinha fabricada de forma que a quantidade de matéria prima para a fabricação fosse mínima. Para isso foneceu as seguintes informações:
A lata deve ter formato cicídrico (sem tampa)
Tem volume de 5 centímetros cúbicos
Quais as dimensões encontradas ?
R: raio é aproximadamente 1,17 cm e altura aproximadamente 1,7 cm
Aula 7
Sabendo que uma partícula está se movendo ao longo de um eixo de acordo com a equação do movimento S = 4t3+ 3t2 + 2t + 1, sendo S a distância em metros e t o tempo em segundos. É correto afirmar que:
R: para t = 1 s temos a aceleração instantânea de 30 m/s2 .
Uma partícula se move sobre uma linha reta de modo que, no final de t segundos, sua distância s em metros do ponto de partida é dada por s(t)=3t2+t. Indique a velocidade da partícula no instante em que t=2 segundos:
R: 13 metros por segundo;
Para uma epidemia em uma cidade, o setor de saúde indicou que o número de P pessoas infectadas no instante t (a partir do início da epidemia), é P (t) = 60 t2 - t3 entre os dias t = 0 e t = 40. Obter a taxa instantanea de variação quando t = 30.
R: 900
Uma partícula se move sobre uma linha reta de acordo com a equação s= t2+t, onde s é a distância em metros da partícula ao seu ponto de partida no final de t segundos. Determine a velocidade instantânea para t1=3.
R: 7m/s
De uma janela de um prédio localizada a 25 m do solo, solta-se verticalmente para baixo, uma bola com velocidade inicialde 5m/s. A partir desses dados é possível escrever a equação que descreve a velocidade em relação ao tempo que é dada por v(t)=5+9,80.t. Sabendo-se que a aceleração é dada pela derivada da velocidade em função do tempo, podemos afirmar que o seu valor em m/s2 é igual a :
R: 9,80
Um automóvel viaja a uma velocidade média de 80 Km/h durante 3 horas. Qual é a distância percorrida pelo automóvel ?
R: 240 km
Aula 8
Para estudar o metabolismo do cálcio em um animal (taxa que o corpo assimila e usa o cálcio), injetamos uma quantidade de cálcio controlada na corrente sanguínea do animal e medimos a velocidade que este cálcio é removido do corpo do animal. Se t dias após injetar cálcio, a quantidade de cálcio controlado C que fica no sangue é dada por C(t) = t -3/2 , (t >= 0,5), qual é a quantidade de cálcio que é removido do corpo do animal, após t = 1 dias ?
R: -3/2
Um estudo de impacto ambiental revelou que a concentração P de um certo poluente no ar, em pares por milhão pode ser modelada pela equaç o P=0,5.n2+0,02.n , onde n é o número de residentes, em milhares de pessoas. Sabendo-se que esse cálculo é feito a partir da derivada de P em relação a n, podemos afirmar que a taxa de aumento da concentração do poluente para uma dada população é dada por:
R: n + 0,02
O suor expelido (em mililitros) por uma pessoa após t horas é dada pela função ajustada f(t) = (-1/15) t3 + t2 + 2t , quando 0 <= t <= 12. Qual a taxa de suor expelido em 5 horas
R:7
Considerando-se uma função f(x), utiliza-se o conceito de função marginal para se avaliar o efeito causado em f(x) por conta de uma pequena variação de x. Assim, se considerarmos C(q) como o custo de produção de q unidades de um certo produto, então o Custo Marginal, quando q=q1, é dada pela derivada C´(q1), caso esta exista.
A função C´ é dita Função Custo Marginal e podemos dizer que é uma boa aproximação do custo de produção de uma unidade adicional.
Considerando que a função custo de determinada mercadoria é expressa por C(x)=5x2+10x+3, podemos afirmar que a função custo marginal será expressa por:
R: C´(x)=10x+10
A função lucro de uma empresa pode ser expressa por L(x)=10x2 -4x+3. O lucro marginal desta empresa pode ser expresso como:
R: L´(x)=20x-4
Considerando-se uma função f(x), utiliza-se o conceito de função marginal para se avaliar o efeito causado em f(x) por conta de uma pequena variação de x. Assim, se considerarmos R(q) como a função receita quando q unidades de um certo produto são vendidas, então a Receita Marginal, quando q=q1, é dada pela derivada R´(q1), caso esta exista. A função R¿ é chamada Função Receita Marginal e fpodemos dizer que ela é uma boa aproximação da receita quando se vende uma unidade adicional. Note que que R´(q1) pode ser interpretada como a taxa de variação da receita total quando q1 unidades são vendidas. Assim, considerando R(x)=-2x2+1000x, a função receita de vendas de x unidades de um produto, determine a função receita marginal.
R: R´(x)=-4x+1000
Aula 9
Uma mancha de óleo expande-se em forma de círculo onde a área cresce a uma taxa constante de 26 km2/h. Com que rapidez estará variando o raio da mancha quando a área for de 9km2 ?
R: 13π3πkm/h
Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm3/s. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é 50 cm ? Lembre-se volume da esféra é (4/3) pi r2
R: cresce a taxa 1/(25 pi) cm/s
Um cubo de metal com aresta x é expandido uniformemente como conseqüência de ter sido aquecido. Calcule a taxa de variação instantânea de seu volume em relação à aresta no instante em que x=3cm
R :27
O volume de um balão esférico, cresce a uma taxa de 100 cm3/s. Qual é a taxa de crescimento do raio quando o mesmo mede 50 cm? 
Dado: V = 4πr33
R: 1100πcm/s
Se a área de um círculo é crescente a uma taxa constante de 4cm2 /s, a que taxa está crescendo o raio no instante em que o raio é de 5 cm? 
R: 25πcm/s
Um cubo de metal com aresta x é expandido uniformemente como conseqüência de ter sido aquecido. Calcule a taxa de variação média de seu volume em relação à aresta quando x aumenta de 3 para 3,01cm
R: 27,0901
Aula 10
Sabendo que ln x tende a infinito e que x 1/3 tende para infinito quando x tende a infinito. Podemos afirmar que o limite de ln x dividido por x 1/3 quando x tende a infinito é:
R:zero
Determine o valor do limite:
R:0
Determine através da Regra de L´Hopital o limx→03x-10xsenx
R: ln(310)
Calcule através da Regra de L´Hopital o limx→0xlnx.
R:0
Calcule através da Regra de L´Hopital o limx→0senx-xcosx-ex.
R:0
Calcule através da Regra de L´Hopital o limx→1lnxx-1.
R:1