Apostila - Métodos Numéricos

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Métodos Numéricos
Notas de Aula
ESCOLA DE ENGENHARIA E TECNOLOGIA
Aluno:
Professor Izaias Cordeiro Néri
Contém exercícios resolvidos e propostos
2014
CONTEÚDO
1 Revisão de Gráficos 3
1.1 Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Processos Iterativos 9
2.1 Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Método da Bissecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Exercícios - Bissecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Exercícios - Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Regra de Crammer 14
3.0.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1 Exercícios - Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Interpolação Polinomial 16
4.1 Polinômio Interpolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Interpolação de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4 Exercícios-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.5 Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.5.1 Diferença dividida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.5.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.5.3 Polinômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.6 Exercícios - Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Integração Numérica 26
5.1 Método dos Trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1.1 Fórmula Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 Exercícios - Integração Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1
Revisão de Gráficos
1.1 Funções Polinomiais
Função do Primeiro Grau
Função do primeiro grau f(x) = ax+ b com a, b ∈ R, a 6= 0
Função do Segundo Grau
Função do segundo grau f(x) = ax2+bx+c com a, b, c ∈ R, a 6= 0. O gráfico é uma parábola,
porém seu posicionamento depende da quantidade de raízes.
Figura 1.1: Duas raízes reais e distintas
3
1.2. FUNÇÃO EXPONENCIAL Universidade Anhembi Morumbi
Figura 1.2: Uma raiz real
Figura 1.3: Não Há raízes reais
1.2 Função Exponencial
Função Exponencial com formato f(x) = ax com a > 1 ou 0 < a < 1.
1.3 Função Logarítmica
Função Logarítmica f(x) = loga(x) com a > 1 ou 0 < a < 1.
4 Professor Izaias C Néri
1.4. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Universidade Anhembi Morumbi
1.4 Funções Trigonométricas
Função Seno
Função seno f(x) = sen(x).
Função Cosseno
Função cosseno f(x) = cos(x)
1.5 Atividades
1. Faça o esboço das seguintes funções:
(a) f(x) = 2x+ 4
(b) f(x) = −3x− 6
(c) f(x) = sen(x)
(d) f(x) = cos(x)
(e) f(x) = 2x
(f) f(x) = x2 − 5x+ 6
(g) f(x) = −x2 + 4
(h) f(x) = ex
5 Professor Izaias C Néri
1.5. ATIVIDADES Universidade Anhembi Morumbi
2. Faça o esboço das curvas no mesmo plano cartesiano
(a) f(x) = −x e g(x) = ex
(b) f(x) = x+ 3 e g(x) = x2
6 Professor Izaias C Néri
1.5. ATIVIDADES Universidade Anhembi Morumbi
(c) f(x) = −x2 + 3 e g(x) = x2 + 1
(d) f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x)
3. Observe o gráfico a seguir:
7 Professor Izaias C Néri
1.5. ATIVIDADES Universidade Anhembi Morumbi
A função que representa o gráfico é:
(a) f(x) = x2 − 2x+ 4
(b) f(x) = x2 − 2x− 3
(c) f(x) = x2 + 3x− 2
(d) f(x) = x2 − 2x− 1
4. Observe o gráfico a seguir:
A função que representa o gráfico é:
(a) f(x) = −x+ 2
(b) f(x) = x− 1
(c) f(x) = −x+ 1
(d) f(x) = x+ 1
5. Determine a(s) raíz(es) das funções:
(a) f(x) = x2 − 4x+ 4
(b) f(x) = −3x+ 6
(c) f(x) = x+ 3
(d) f(x) = x2 − 5x+ 6
Respostas
1. Resposta Pessoal
2. Resposta Pessoal
3. b
4. c
5. (a) x1 = x2 = 2 (b) x = 2 (c) x = −3 (d) x1 = 2 x2 = 3
8 Professor Izaias C Néri
2
Processos Iterativos
2.1 Teorema de Bolzano
Teorema 2.1.1 (Bolzano) Seja f uma função contínua no intervalo [a,b], tal que
f(a).f(b) < 0. Então essa função possui pelo menos uma raíz real nesse intervalo [a,b].
2.2 Método da Bissecção
Considere o intervalo [a,b] para o qual f(a).f(b) < 0. No método da bisseccão calculamos o
valor da função f(x) no ponto médio: x1 =
a+ b
2
. Portanto teremos com isso três possibilidades:
1. f(x1) = 0, então x1 é a raíz. Nada a se fazer!!
2. f(a).f(x1) < 0, então f(x) tem um zero (raíz) em [a, x1]. Repete-se o processo.
3. Se f(a).f(x1) > 0 segue que f(b).f(x1) < 0, entãof(x) tem um zero (raíz) em [x1, b].
Repete-se o processo.
A repetição desse método é chamado iteração. A quantidade n de iterações é dada por:
n >
log(b− a)− log(E)
log(2)
9
2.2. MÉTODO DA BISSECÇÃO Universidade Anhembi Morumbi
onde E é o erro.
Exemplos
1. Determinar um valor aproximado da raiz quadrada de 5. Com erro menor ou igual a 0,01.
i a b xi f(a) f(b) f(xi) 1/2*|b-a|
1 2 3 2,5 -1 4 1,25 0,5
2 2 2,5 2,25 -1 1,25 0,0625 0,25
3 2 2,25 2,125 -1 0,0625 -0,484375 0,125
4 2,125 2,25 2,1875 -0,484375 0,0625 -0,2148438 0,0625
5 2,1875 2,25 2,21875 -0,2148438 0,0625 -0,0771484 0,03125
6 2,21875 2,25 2,234375 -0,0771484 0,0625 -0,0075684 0,015625
7 2,234375 2,25 2,2421875 -0,0075684 0,0625 0,02740479 0,0078125
Portanto,
√
5 = 2, 2421875± 0, 0075684
2. Estime o valor da raíz de f(x) = ex + x com erro de 0,05.
Primeiro vamos ver a quantidade de iterações. n >
log(0− (−1))− log(0, 05)
log(2)
= 4, 32 ≈ 5
i a b xi f(a) f(b) f(xi) 1/2*|b-a|
1 -1 0 -0,5 -0,632120559 1 0,10653066 0,5
2 -1 -0,5 -0,75 -0,632120559 0,10653066 -0,277633447 0,25
3 -0,75 -0,5 -0,625 -0,277633447 0,10653066 -0,089738571 0,125
4 -0,625 -0,5 -0,5625 -0,089738571 0,10653066 0,007282825 0,0625
5 -0,625 -0,5625 -0,59375 -0,089738571 0,007282825 -0,04149755 0,03125
10 Professor Izaias C Néri
2.3. EXERCÍCIOS - BISSECÇÃO Universidade Anhembi Morumbi
2.3 Exercícios - Bissecção
1. Use o método da bissecção para estimar o valor de
√
7 com erro de 0,1.
2. Estime o valor de uma das raízes da função f(x) = x2 + x− 1 no intervalo [0,1] com erro
de 0,01.
3. Calcule a raíz positiva da função f(x) = x2 + ln(x) com erro menor igual a 0,01 no
intervalo
[
1
2
, 1
]
.
4. Calcule a raíz positiva da função f(x) = x2 − 3 com erro menor igual a 0,01.
5. Calcular a raíz da função f(x) = x3 − 10 com erro menor igual a 0,1 no intervalo [2,3].
6. Calcule uma raíz real de f(x) = 3x− cos(x) com erro de 10−2 no intervalo
[
0,
1
2
]
.
Respostas
1. 2,65625
2. 0,61719
3. 0,64844
4. 1,72656
5. 2,14844
6. 0,32031
11 ProfessorIzaias C Néri
2.4. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Universidade Anhembi Morumbi
2.4 Método de Newton-Raphson
xn+1 = xn − f(xn)
f ′(xn)
com n = 0, 1, 2, · · ·
2.4.1 Exemplos
1. Determine a raíz de f(x) = x2 − 5 com erro de 0, 01.
Resolução
Fazendo x2 − 5 = 0 → x =
√
5. Sabemos que a raíz está em [2,3], usaremos o 2 como
x0. Devemos calcular também a derivada de f. f
′(x) = 2x.
n = 0 → x1 = x0 − f(x0)
f ′(x0)
→ x1 = 2− f(2)
f ′(2)
= 2− (−1)
4
= 2, 25 ⇒ x1 = 2.25
n = 1 → x2 = x1 − f(x1)
f ′(x1)
→ x2 = 2, 25− f(2, 25)
f ′(2, 25)
= 2, 25− 0, 0625
4, 5
= 2, 2361
⇒ x2 = 2, 2361
Como |x2 − x1| < 0, 01, já podemos parar de realizar iterações.
2. Determine, usando o método de Newton, a menor raiz positiva da equação
4.cos(x)− ex = 0. Com um erro de 10−2 no intervalo [1,2].
Resolução
Usaremos o número 1 como valor inicial (x0). f(x) = 4.cox(x)−ex e f ′(x) = −4.sen(x)−
ex.
n = 0 → x1 = x0 − f(x0)
f ′(x0)
→ x1 = 1− f(1)
f ′(1)
= 1− (−0, 5571)
(−6, 0842) = 0, 9084
n = 1 → x2 = x1 − f(x1)
f ′(x1)
→ x2 = 0, 908− f(0, 908)
f ′(0, 908)
= 0, 908− (−0, 019)
(−5, 631) = 0, 905
|0, 905− 0, 9084| < 10−2, já podemos parar de realizar iterações.
12 Professor Izaias C Néri
2.5. EXERCÍCIOS - NEWTON-RAPHSON Universidade Anhembi Morumbi
2.5 Exercícios - Newton-Raphson
1. Calcule uma raíz de f(x) = x2 + x − 6, usando método de Newton, com x0 = 3 e erro
< 0, 02.
2. Calcular pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com � ≤ 10−3, usando o método
de Newton.
a) f(x) = 2x− sen(x) + 4
b) f(x) = ex − tg(x)
c) f(x) = 10x + x3 + 2
d) f(x) = x3 − x2 − 12x
3. Estimar a raíz da equação ln(x)− x2 + 4 = 0 no intervalo de [2,3] com uma iteração.
4. Faça a estimativa da raíz usando o método de Newton para f(x) = ex − 4x2 com erro
� < 10−1. Considere x0 = 1.
5. Dada a função f(x) = e−x + x2 − 2. Estime a raíz com erro � ≤ 0, 05, no intervalo [1,2].
6. Sabemos que f(x) = x3 − 3x+ 1 possui uma raíz no intervalo [0,1]. Estime por Newton-
Raphson o valor desta raíz. Considere � ≤ 0, 002.
7. Usando o método de Newton-Raphson, com erro inferior a 10−2, determinar uma raiz das
seguintes equações: Obs.: Colocar a calculadora em radianos para as trigonométricas.
a) 2x = tg(x) No intervalo [1;
3
2
]
b) 5x3 + x2 − 12x+ 4 = 0 No intervalo [0; 1]
c) sen(x)− ex = 0 No intervalo [−7
2
; 3]
d) x4 − 8 = 0 No intervalo [1,2]
Respostas
1. 2
2. a) −2, 3542 b) 1, 3063
c) −1, 2711 d) −3
3. 2,198
4. 0,71
5. 1,316
6. 0,3472
7. a) 1,1656 b) 0,3646
c)−3, 1859 d)1,6818
13 Professor Izaias C Néri
3
Regra de Crammer
Considere um sistema linear onde o número de equações é igual ao número de incógnitas.
Teremos então uma matriz quadrada A e seja D = det(A).
Teorema 3.0.1 Seja S um sistema linear com o número de equações igual ao de incógnitas.
Se D 6= 0 , então o sistema será possível e terá solução única (α1, α2, α3, · · · , αn) , tal que:
αi =
Di
D
,∀i ∈ {1, 2, 3, ..., n}
3.0.1 Exemplo
1. Determine os valores de x, y e z para o sistema

x + y + z = 6
x − y − z = −4
2x − y + z = 1
Temos D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
1 −1 −1
2 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −4 Depois para cada um: Dx =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6 1 1
−4 −1 −1
1 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −4
Dy =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 6 1
1 −4 −1
2 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −12 Dz =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 6
1 −1 −4
2 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −8
x =
Dx
D
=
−4
−4 = 1 x =
Dy
D
=
−12
−4 = 3 x =
Dz
D
=
−8
−4 = 2
∴ (x, y, z) = (1, 2, 3)
14
3.1. EXERCÍCIOS - REGRA DE CRAMER Universidade Anhembi Morumbi
3.1 Exercícios - Regra de Cramer
1. Resolva o sistema

2x + y − z = 0
x − y + z = 3
3x − y + 2z = 6
2. Determine x+ y + z para

x + y + z = 7
2x + y − z = 0
x − 2y + 2z = 2
3. Considere o sistema

3x − y + 4z = −5
2x + y + z = 0
x + 2y − 3z = 9
Podemos afirmar que:
(a) x+ z = −1
(b) z − y = −4
(c) y + z = −2
(d) x+ y = 0
4. Sabendo que a+ b = 1200, b+ c = 1100 e a+ c = 1500, então a+ b+ c vale?
5. Numa loja, os artigos A e B, juntos custam R$ 70,00; dois artigos A mais um C custam
R$ 105,00, a diferença de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual o
preço do artigo C?
6. No sistema

2x + 3y + z = 1
3x − 3y + z = 8
2y + z = 0
o valor de z − xy é:
(a) −1 (b) −3 (c) 3 (d) 0
Respostas
1. x = 1, y = −1 e z = 1
2. x = 4, y = 2, z = 1→ x+ y + z = 7
3. (a)
4. a + b + c = 1900
5. R$25,00
6. (c)
15 Professor Izaias C Néri
4
Interpolação Polinomial
4.1 Polinômio Interpolador
Um polinômio construído com o intuito de aproximar uma função é denominado polinômio
interpolador. Existem vários métodos para construir um polinômio interpolador a partir de
um conjunto de pares de dados. Aqui, estudaremos o Polinômio Interpolador de Lagrange e o
de Newton.
Definição 4.1.1 Chama-se polinômio de interpolação de uma função y = f(x) sobre um con-
junto de pontos distintos x0, x1, x2, · · · , xn ao polinômio de grau no máximo n que coincide com
f(x) em x0, x1, x2, · · · , xn. Pode ser denotado por Pn(x).
Figura 4.1: Polinômio Interpolador sobre um conjunto de pontos
16
4.2. EXERCÍCIOS Universidade Anhembi Morumbi
4.1.1 Exemplo
1. Dados os pares de pontos (−1, 15) , (0, 8) e (3,−1) determinar o polinômio de interpolação
para a função definida por esse conjunto de pares de pontos.
Temos x0 = −1, x1 = 0 e x2 = 3 → f(x0) = 15, f(x1) = 8 e f(x2) = −1
O polinômio é de grau no máximo 2 e será dado por p(x) = a0+a1x+a2x
2
, com isso montamos
o sistema.

a0 + a1.x0 + a2.x
2
0 = f(x0)
a0 + a1.x1 + a2.x
2
1 = f(x1)
a0 + a1.x2 + a2.x
2
2 = f(x2)
⇒

a0 + a1.(−1) + a2.(−1)2 = 15
a0 + a1.(0) + a2.(0)
2 = 8
a0 + a1.(3) + a2.(3)
2 = −1

a0 − a1 + a2 = 15
a0 = 8
a0 + 3.a1 + 9.a2 = −1
⇒ a0 = 8, a1 = −6 e a2 = 1
∴ p(x) = 8− 6x+ x2
4.2 Exercícios
1. Dados o conjunto de pontos a seguir, determine o polinômio interpolador usando sistemas.
(a) (−1, 2); (2, 1)
(b) (−1, 1); (1, 2); (2, 1)
Respostas
(a) p(x) =
5
3
− x
3
(b) p(x) = −0.5x2 + 0.5x+ 2
17 Professor Izaias C Néri
4.3. INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE Universidade Anhembi Morumbi
4.3 Interpolação de Lagrange
Dado um conjunto de pontos no plano cartesiano x0, x1, · · · , xn e suas respectivas imagens
f(x0), f(x1), · · · , f(xn), o polinômio interpolador de Lagrange é dado por p(x) =
n∑
i=0
f(xi).Li(x),
onde:
L(xi) =
n∏
i=0, i6=j
(x− xi)
(xi − xj)
4.3.1 Exemplos
1. Observe o gráfico abaixo. Determine o polinômio interpolador de Lagrange.
Observamos que x0 = −1, x1 = 0 e x2 = 2 → f(x0) = 1, f(x1) = −1 e f(x2) = 1
Calculando L0, L1 e L2.
L0(x) =
(x− x1).(x− x2)
(x0 − x1).(x0 − x2) =
(x− 0).(x− 2)
(−1− 0).(−1− 2) =
x2 − 2x
3
L1(x) =
(x− x0).(x− x2)
(x1 − x0).(x1 − x2) =
(x− (−1)).(x− 2)
(0− (−1)).(0− 2) =
x2 − x− 2
−2
L2(x) =
(x− x0).(x− x1)
(x2 − x0).(x2 − x1) =
(x− (−1)).(x− 0)
(2− (−1)).(2− 0) =
x2 + x
6
p(x) = f(x0).L0(x)+f(x1).L1(x)+f(x1).L2(x) = (1).
x2 − 2x
3
+(−1).x
2 − x− 2
−2 +(1).
x2 + x
6
=
p(x) = x2 − x− 1
18 Professor Izaias C Néri
4.4. EXERCÍCIOS-LAGRANGE Universidade Anhembi Morumbi
2. Encontre o polinômio que interpola f(x) =
1
x2
nos pontos x0 = 2 x1 = 2.5 x2 = 4.
Resolução:
f(x0) =
1
4
= 0.25, f(x1) =
1
6.25
= 0.16 e f(x2) =
1
16
= 0.0625
L0(x) =
(x− x1).(x− x2)
(x0 − x1).(x0 − x2) =
(x− 2.5).(x− 4)
(2− 2.5).(2− 4) = x
2 − 6.5x+ 10
L1(x) =
(x− x0).(x− x2)
(x1 − x0).(x1 − x2) =
(x− 2).(x− 4)
(2.5− 2).(2.5− 4) =
−4x2 + 24x+ 32
3
L2(x) =
(x− x0).(x− x1)
(x2 − x0).(x2 − x1) =
(x− 2).(x− 2.5)
(4− 2).(4− 2.5) =
x2 − 4.5x+ 5
3
p(x) = 0.25× (x2 − 6.5x+ 10) + 0.16×
(−4x2 + 24x+ 323
)
+ 0.0625×
(
x2 − 4.5x+ 5
3
)
p(x) = 0, 0575x2 − 0, 4388x+ 0, 8975
4.4 Exercícios-Lagrange
1. Observe o gráfico a seguir e determine o polinômio interpolador de grau 2 usando método
de Lagrange.
2. Obtenha o polinômio interpolador de Lagrange para a função f(x) = Ln(x) nos pontos
x0 = 1, x1 = 1.2 e x2 = 1.5.
3. Conhecendo-se a seguinte tabela:
x −1 0 3
f(x) 15 8 −1
Determine o polinômio de interpolação na forma de Lagrange.
19 Professor Izaias C Néri
4.4. EXERCÍCIOS-LAGRANGE Universidade Anhembi Morumbi
4. Considere a tabela:
x 1 3 4 5
f(x) 0 6 24 60
a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange
b) Calcule f(3, 5)
5. Os resultados da densidade da água ρ em várias temperaturas foram coletados de um
experimento e colocados numa tabela.
T 5 10 15 20
ρ 0.9998 0.9997 0.9991 0.9982
a) Determine o polinômio interpolador usando o método de Lagrange
b) Estime o valor de ρ(13).
6. Usar o método de Lagrange para determinar o polinômio interpolador a partir dos dados
fornecidos na tabela a seguir.
x f(x)
0 0
0,2 2,008
0,4 4,064
0,5 5,125
Respostas
1. p(x) = 0.5x2 − 0.5x− 1
2. p(x) = −0, 335x2 + 1, 6485x− 1, 3135
3. p(x) = x2 − 6x+ 8
4. a) p(x) = x3 − 3x2 + 2x b) f(3, 5) = 13, 125
5. a) p(x) = −0, 00001x2 + 0, 00013x+ 0, 9994 b) ρ(13) = 0, 9994
6. p(x) = x3 + 10x
20 Professor Izaias C Néri
4.5. MÉTODO DE NEWTON Universidade Anhembi Morumbi
4.5 Método de Newton
4.5.1 Diferença dividida
Define-se como diferença dividida f [xk] = f(xk) , k = 1, 2, · · · , n;
f [x0, x1, · · · , xn] = f [x1, x2, · · · , xn]− f [x0, x1, · · · , xn−1]
xn − x0
Para facilitar os cálculos montaremos uma tabela com as diferenças divididas.
4.5.2 Exemplos
1. Para seguinte tabela construir uma tabela de diferenças divididas.
x −2 −1 0 1 2
f(x) −2 29 30 31 62
21 Professor Izaias C Néri
4.5. MÉTODO DE NEWTON Universidade Anhembi Morumbi
Observação: Como veremos adiante, os resultados a serem utilizados na construção do
polinômio de interpolação na forma de Newton são os primeiros valores em cada coluna de
diferenças embora tenhamos que construir toda a tabela pois os valores não são independentes
uns dos outros.
4.5.3 Polinômio de Newton
p(x) = f [x0] + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] + · · · + (x − x0)(x − x1) · · ·
(x− xn−1)f [x0, x1, · · · , xn]
4.5.4 Exemplos
1. Conhecendo-se a seguinte tabela:
x −1 0 3
f(x) 15 8 −1
Determine o polinômio de interpolação na forma de Newton.
Resolução:
x f(x) f [xi, xj] f [xi, xj, xk]
-1 15
8− 15
0− (−1) = −7
0 8
−3− (−7)
3− (−1) = 1
−1− 8
3− 0 = −3
3 -1
22 Professor Izaias C Néri
4.5. MÉTODO DE NEWTON Universidade Anhembi Morumbi
O polinômio será dado por p(x) = f [x0] + (x− x0)f [x0, x1] + (x− x0)(x− x1)f [x0, x1, x2]
p(x) = 15+ (x− (−1)).(−7)+ (x− (−1)).(x− 0).1 = 15+ (x+1)(−7)+ (x+1)x = x2− 6x+8
∴ p(x) = x2 − 6x+ 8
2. Considere a tabela:
x 1 3 4 5
f(x) 0 6 24 60
a) Determine o polinômio interpolador de Newton
b) Calcule f(4.5).
Resolução:
x f [x0] f [xi, xj] f [xi, xj, xk] f [xi, xj, xk, xn]
x0 = 1 0
6− 0
3− 1 = 3
x1 = 3 6
18− 3
4− 1 = 5
24− 6
4− 3 = 18
9− 5
5− 1 = 1
x2 = 4 24
36− 18
5− 3 = 9
60− 24
5− 4 = 36
x3 = 5 60
O polinômio será dado por p(x) = f [x0] + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] +
+(x− x0)(x− x1)(x− x2)f [x0, x1, x2, x3]
p(x) = 0 + (x− 1).3 + (x− 1)(x− 3).5 + (x− 1)(x− 3)(x− 4).1 = x3 − 3x2 + 2x
∴ p(x) = x3 − 3x2 + 2x
b) f(4.5) = (4.5)3 − 3.(4.5)2 + 2(4.5) = 91, 125− 60, 75 + 9 = 39, 375
∴ f(4, 5) = 39, 375
23 Professor Izaias C Néri
4.6. EXERCÍCIOS - NEWTON Universidade Anhembi Morumbi
4.6 Exercícios - Newton
1. Seja a função tabelada
x -2 -1 1 2
f(x) 0 1 -1 0
Determine o polinômio interpolador de Newton
2. Observe o gráfico a seguir
Determine o polinômio interpolador de Newton
3. Observe o gráfico a seguir e determine o polinômio interpolador de grau 2 usando método
de Newton.
4. Para o conjunto de pontos da tabela, determine o polinômio interpolador usando o método
de Newton.
x 0 1 1,5 2,5
f(x) 1.0 0.5 0.4 0.286
24 Professor Izaias C Néri
4.6. EXERCÍCIOS - NEWTON Universidade Anhembi Morumbi
5. A tabela abaixo apresenta a população dos EUA (em milhões) de 1940 a 1980.
Estime a população no ano de 1965 com um polinômio interpolador de Newton de grau
quatro.
6. Um parquedista realizou um salto e sua velocidade em função do tempo está descrita na
tabela a seguir.
Tempo (s) 1 3 5 7 20
Velocidade (cm/s) 800 2310 3090 3940 8000
Estime o valor da velocidade em t = 10s, utilizando um polinômio interpolador de grau
três.
7. Observe o gráfico a seguir. Determine o polinômio interpolador de Newton.
Respostas
1. f(x) = 0, 33x3 − 1, 33x
2. f(x) = −1, 5x2 + 6, 5x− 6
3. p(x) = 0.5x2 − 0.5x− 1
4. p(x) = −0, 06x3 + 0, 34x2 − 0, 79x+ 1
5. População em 1965 de 191.987930 mi-
lhões de habitantes.
6. p(10) = 5245.803167 cm/s
7. p(x) = 0.5x3 − 2.5x
25 Professor Izaias C Néri
5
Integração Numérica
5.1 Método dos Trapézios
Integral numericamente uma função y = f(x) num dado intervalo [a, b] é integrar um
polinômio Pn(x) que aproxime f(x) no dado intervalo.
∫ b
a
f(x)dx ≈ (b− a)
2
[f(a) + f(b)]
5.1.1 Fórmula Composta
Uma maneira de se calcular usando a regra dos trapézios é subdividindo o intervalo [a, b]
em n subintervalos de amplitude iguais a h e a cada subintervalo aplica-se a regra.
∫ b
a
f(x) ≈ h
2
.
(
y0 + 2y1 + 2y2 + ...+ 2yn−1 + yn
)
26
5.1. MÉTODO DOS TRAPÉZIOS Universidade Anhembi Morumbi
5.1.2 Exemplos
1. Calcular a integral
∫ 1
0
2x + 3 dx utilizando a regra dos Trapézios composta e
subdividindo o intervalo em 5 partes. Compare com o resultado se resolver a integral
de forma "tradicional".
Resolução:
Calculando o incremento dos subintervalos h =
1− 0
5
= 0, 2
Vamos construir uma tabela para saber o valor das bases dos trapézios.
i xi f(xi)
0 x0 = 0, 0 f(x0) = 3, 0
1 x1 = 0.2 f(x1) = 3, 4
2 x2 = 0, 4 f(x2) = 3, 8
3 x3 = 0, 6 f(x3) = 4, 2
4 x4 = 0, 8 f(x4) = 4, 6
5 x5 = 1, 0 f(x5) = 5, 0
∫ 1
0
2x+ 3 dx =
1− 0
2
(
3 + 2.(3, 4 + 3, 8 + 4, 2 + 4, 6) + 5
)
= 4, 0
2. Calcular a integral
∫ 3.6
3.0
1
x
dx utilizando a regra dos Trapézios composta e subdi-
vidindo o intervalo em 6 partes.
Resolução:
Primeiro calcularemos o incremento dos subintervalos. h =
b− a
n
=
3.6− 3.0
6
=
0.6
6
= 0.1
Vamos construir uma tabela para saber o valor das bases dos trapézios.
i xi yi = f(xi)
0 x0 = 3.0 y0 = 0.333333
1 x1 = 3.1 y1 = 0.322581
2 x2 = 3.2 y2 = 0.312500
3 x3 = 3.3 y3 = 0.303030
4 x4 = 3.4 y4 = 0.294118
5 x5 = 3.5 y5 = 0.285714
6 x6 = 3.6 y6 = 0.277778
∫ 3.6
3.0
1
x
dx =
h
2
(
y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + 2y5 + y6
)
= 0, 182350
27 Professor Izaias C Néri
5.1. MÉTODO DOS TRAPÉZIOS Universidade Anhembi Morumbi
3. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da função f(x) = sen(x)+2 em
torno do eixo x no intervalo de 0 ≤ x ≤ 2pi.
Resolução:
Lembrando que a fórmula do volume é V = pi.
∫ b
a
[f(x)]2dx, então o volume pedido é
V = pi.
∫ 2pi
0
[sen(x) + 2]2dx.
Para o intervalo dado vamos escolher subdividí-lo em 4 partes. O que fica h =
2pi − 0
4
=
pi
2
obs.: A função usada para o método dos trapézios será g(x) = [f(x)]2 = (sen(x) + 2)2.
i xi f(xi)
0 0 f(x0) = (sen(0) + 2)
2 = 4
1
pi
2
f(x1) = (sen
(pi
2
)
+ 2)2 = 9
2 pi f(x2) = (sen(pi) + 2)
2 = 4
3
3pi
2
f(x3) = (sen
(
3pi
2
)
+ 2)2 = 1
4 2pi f(x4) = (sen(2pi) + 2)
2 = 4
V = pi.
∫ 2pi
0
[sen(x) + 2]2dx = pi.
pi/2
2
.(4 + 2.(9 + 4 + 1) + 4) =
pi2
4
.36 = 9pi2 u.v
28 ProfessorIzaias C Néri
5.2. EXERCÍCIOS - INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Universidade Anhembi Morumbi
5.2 Exercícios - Integração Numérica
1. Calcule usando a regra dos Trapézios o valor de
∫ 1,2
0
ex.cos(x) dx. Subdividindo em 6
partes.
2. Dada a tabela:
x 0 0,2 0,4 0,6 0,8
ex 1 1,22 1,49 1,82 2,22
Determine o valor de
∫ 0,8
0
x.ex dx usando a regra dos Trapézios.
3. Use a regra dos Trapézios para aproximar as integrais. Usar n= 8.
(a)
∫ 1.5
1
x2.ln(x)dx
(b)
∫ pi/4
0
x.sen(x)dx
(c)
∫ pi/4
0
e3x.sen(2x)dx
(d)
∫ 1
0
x2.e−xdx
4. Calcule a integral aproximando seu valor pela regra dos Trapézios
∫ 2
0
1
x2 + 4
dx com
n = 8.
5. Use a regra dos Trapézios para calcular
∫ 5
2
x√
x2 − 4 dx com n = 10.
Respostas
1. 1,639
2. 0,5649
3. (a) 0,192818 (b) 0,152761 (c) 2,612463 (d) 0,16108
4. 0,392374
5. 2,347558
29 Professor Izaias C Néri
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