Concreto 2 - Laje e Pilar (2)

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Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Prof. Ronilson Flávio de Souza
Engenheiro Civil
Especialista em Estruturas
MBA em Construção Civil
Bibliografia
NBR 6118/2008 – Projeto de estruturas de Concreto Procedimento.
NBR 6120/1980 – Cargas para cálculos de estrutura de edificações.
NBR 6123/1980 – Forças devidas ao vento em edificações
NBR 8953/1992 – Concretos para fins estruturais.
1
CARVALHO, C.R. , Cálculo e detalhamento de Estruturas usuais de Concreto Armado – Vol 1 e 2 - Ed. PINI
CLIMACO, J. C. T. S. Estruturas de Concreto Armado. 2ª edição. Editora UNB, 2008.
BORGES, A. N. Curso Prático de Cálculo em Concreto Armado. 2ª edição. Editora Imperial Novomilênio, 2010
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Prof. RonilsonParcial 1 – Valor 10 Pontos
Dimensionar as três lajes abaixo e verificar a diferença quantitativos (aço e concreto) de cada sistema. 
O pé-direito é de 3m
Distribuição da nota:
Apresentar memorial de cálculo contendo:
Planta de forma e armadura das três lajes ( 4 pontos);
Tabela (Excel) contendo toda memória de cálculo com todas as varáveis explicitadas no cálculo ( 3 pontos).
Carga normal (Nsd) em todos os pilares.
O trabalho poderá ser encaminhado em pdf para o meu e-mail, ou ser encadernado com capa contendo título da disciplina e
Grupo de no máximo 5 alunos 
2
O trabalho poderá ser encaminhado em pdf para o meu e-mail, ou ser encadernado com capa contendo título da disciplina e
nome dos membros do grupo. O capricho na realização do trabalho será avaliado podendo reduzir a nota em até 50% caso
não atenda à parâmetros mínimos de qualidade e asseio.
Trabalhos realizados com parâmetros diferentes dos 
especificados para o grupo terão nota “zero”
Data da entrega
até o dia da 2ª prova – 100% da nota
com atraso multa de 10% da nota por dia
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fck (MPa) SC (kN/m
2
) Piso (kN/m
2
) Alvenaria (kN/m
2
)
G1 25 1,5 1 1,8
G2 30 2 1,2 1,5
G3 35 3 1,3 1,3
G4 25 3 1,3 1,3
G5 30 1,5 1 1,8
G6 35 2 1,2 1,8
G7 25 2 1,2 1,8
Parametros para o dimensionamento por Grupo
3
G7 25 2 1,2 1,8
G8 30 3 1,3 1,3
G9 35 1,5 1 1,6
G10 25 1,5 1 1,5
G11 30 1,5 1 1,5
G12 35 1,5 1,2 1,8
G13 25 2 1 1,7
G14 30 2 1 1,6
G15 35 2 1 1,7
Nota: o coeficiente de minoração das cargas acidentais em ELS é ψ2 = 0,4
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P1 P2 P3
4
P4
P5 P6
P7 P8 P9
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P1 P2 P3
5
P4
P5
P6 P7 P8
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P1 P2 P3
30x30
6
P4 P5 P6
P7 P8 P9
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AGRESSIVIDADE AMBIENTAL
7
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8
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Tabela de cálculo de esforços solicitantes em lajes armadas em uma direção
CASO CÁLCULO ELÁSTICO
RL RE MX Ma
1
2
wL
8
2wL
2
3
2
8
3wL
8
5wL
2
wL
8
22,14
2wL
8
2wL
24
2wL
12
2wL
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Tabela de cálculo de esforços solicitantes em lajes armadas em uma direção
CASO CÁLCULO RÍGIDO PLÁSTICO
RL RE MX Ma
1
2
wL
8
2wL
2
3
2
wL387,0
2
wL
8
33,13
2wLMa×5,1
20
2wL
wL613,0
Ma×5,1
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Lajes armadas em duas direções – em regime rígido plástico
Teoria das charneiras plásticas
Por esta teoria admite-se que a ruína ocorra com a formação de linhas de plastificação que transformam a 
laje em um sistema hipostático.
45º
Laje apoiada em seus 4 lados
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A B C
a ≤ b a a ≤ b
b
Tipos de lajes retangulares armadas em cruz
D E E
a ≤ ba a
b
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Reações de apoio laje totalmente apoiada – Tipo A
rb
ra
Reações de apoio laje engastada – Tipo C
r’’b
r’’a
r’b
r’a
Reações de apoio laje engastada – Tipo C
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Cálculo das reações pela tabela de Bares
aprR ××=
Onde:
r é o valor tirado da tabela de Bares
p é a carga distribuída na laje (permanente + acidental)
a é o valor do menor vão ou do vão com o maior número de engastes.
Cálculo dos momentos fletores Ma e MbCálculo dos momentos fletores Ma e Mb
m
apM
2×
= MM x ×= 5,1
Onde:
M é o momento em a ou b
Mx é o momento no engastamento da laje ( momento negativo)
m é o valor retirado da tabela de Bares em regime rígido-plástico
p é a carga distribuída na laje (permanente + acidental)
a é o valor do menor vão ou do vão com o maior número de engastes.
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Prof. RonilsonTabela de Bares 
para Tipo
de
Laje
ra = 0,144
ra = 0,25
b/a rb ra r`b r``b r`b r``b rb r`a r``a rb
0,50 - 0,165 0,125 0,217 - - 0,217 0,125 0,217 0,158
0,55 - 0,172 0,138 0,238 - - 0,238 0,131 0,227 0,174
0,60 - 0,177 0,150 0,260 - - 0,259 0,136 0,236 0,190
0,65 - 0,181 0,163 0,281 - - 0,278 0,140 0,242 0,206
0,70 - 0,183 0,175 0,302 - - 0,294 0,143 0,247 0,222
0,75 - 0,183 0,187 0,325 - - 0,308 0,144 0,249 0,238
0,80 - 0,183 0,199 0,344 - - 0,320 0,144 0,250 0,254
0,85 - 0,183 0,208 0,361 - - 0,330 0,144 0,250 0,268
0,90 - 0,183 0,217 0,376 - - 0,340 0,144 0,250 0,281
0,95 - 0,183 0,225 0,390 - - 0,348 0,144 0,250 0,292
1,00 0,250 0,183 0,232 0,402 0,183 0,317 0,356 0,144 0,250 0,303
Tabela - Reações de Apoio em Lajes Retangulares
r`a = 0,183
r``a = 0,317
1,00 0,250 0,183 0,232 0,402 0,183 0,317 0,356 0,144 0,250 0,303
1,05 0,262 0,183 0,238 0,413 0,192 0,332 0,363 0,144 0,250 0,312
1,10 0,273 0,183 0,244 0,423 0,200 0,246 0,369 0,144 0,250 0,321
1,15 0,283 0,183 0,250 0,432 0,207 0,358 0,374 0,144 0,250 0,329
1,20 0,292 0,183 0,254 0,441 0,214 0,370 0,380 0,144 0,250 0,336
1,25 0,300 0,183 0,259 0,448 0,220 0,380 0,385 0,144 0,250 0,342
1,30 0,308 0,183 0,263 0,455 0,225 0,390 0,389 0,144 0,250 0,348
1,35 0,315 0,183 0,267 0,462 0,230 0,399 0,393 0,144 0,250 0,354
1,40 0,321 0,183 0,270 0,468 0,235 0,408 0,397 0,144 0,250 0,359
1,45 0,328 0,183 0,274 0,474 0,240 0,415 0,400 0,144 0,250 0,364
1,50 0,333 0,183 0,277 0,479 0,244 0,423 0,404 0,144 0,250 0,369
1,55 0,339 0,183 0,280 0,484 0,248 0,429 0,407 0,144 0,250 0,373
1,60 0,344 0,183 0,282 0,489 0,252 0,436 0,410 0,144 0,250 0,377
1,65 0,348 0,183 0,285 0,493 0,255 0,442 0,413 0,144 0,250 0,381
1,70 0,353 0,183 0,287 0,497 0,258 0,448 0,415 0,144 0,250 0,384
1,75 0,357 0,183 0,289 0,501 0,261 0,453 0,418 0,144 0,250 0,387
1,80 0,361 0,183 0,292 0,505 0,264 0,458 0,420 0,144 0,250 0,390
1,85 0,365 0,183 0,294 0,509 0,267 0,463 0,422 0,144 0,250 0,393
1,90 0,368 0,183 0,296 0,512 0,270 0,467 0,424 0,144 0,250 0,396
1,95 0,372 0,183 0,297 0,515 0,272 0,471 0,426 0,144 0,250 0,399
2,00 0,375 0,183 0,299 0,518 0,275 0,475 0,428 0,144 0,250 0,401
O valor da reação é dado por: R = r.p.a
a é o vão com o maior número de engastes.
Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão
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Prof. RonilsonTabela de Bares 
para lajes em 
regime rígido-
plástico
Tipo
de
Laje
b/a ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb
0,50 - - 122,1 50,9 - - 103,2 64,5 215,6 80,8 - -
0,55 - - 92,2 46,5 - - 81,4 61,6 161,2 73,2 - -
0,60 - - 72,6 43,6 - - 66,9 60,2 125,6 67,8 - -
0,65 - - 59,2 41,7 - - 56,9 60,1 101,4 64,2 - -
0,70 - - 49,7 40,6 - - 49,7 60,8 84,2 61,9 - -
0,75 - - 42,7 40,1 - - 44,3 62,3 71,8 60,6 - -
0,80 - - 37,6 40,1 - - 40,3 64,5 62,5 60,0 - -
0,85 - - 33,6 40,5 - - 37,2 67,2 55,5 60,1 - -
0,90 - - 30,5 41,2 - - 34,8 70,4 50,0 60,8 - -
0,95 - - 28,1 42,3 - - 32,8 74,0 45,7 61,8 - -
1,00 24,0 24,0 26,1 43,6 40,0 40,0 31,2 78,0 42,2 63,3 60,0 60,0
1,05 21,8 24,1 24,5 45,1 36,4 40,1 29,9 82,4 39,4 65,2 54,6 60,2
1,10 20,1 24,3 23,2 46,8 33,5 40,5 28,8 87,1 37,1 67,3 50,2 60,7
1,15 18,6 24,6 22,1 48,8 31,0 41,0 27,9 92,2 35,2 69,8 46,6 61,6
1,20 17,4 25,1 21,2 50,9 29,0 41,8 27,1 97,6 33,5 72,5 43,5 62,7
Tabela - Momentos Fletores, Regime Rígido Plástico
1,20 17,4 25,1 21,2 50,9 29,0 41,8 27,1 97,6 33,5 72,5 43,5 62,7
1,25 16,4 25,6 20,4 53,2 27,3 42,7 26,4 103,2 32,2 75,4 41,0 64,4
1,30 15,5 26,3 19,8 55,6 25,9 43,8 25,9 109,2 31,0 78,6 38,8 65,6
1,35 14,8 27,0 19,258,2 24,7 44,9 25,4 115,5 30,0 82,0 37,0 67,4
1,40 14,2 27,8 18,7 61,0 23,6 46,3 24,9 122,1 29,1 85,6 35,4 69,4
1,45 13,6 28,6 18,2 63,9 22,7 47,7 24,5 128,9 28,4 89,4 34,0 71,6
1,50 13,1 29,6 17,8 66,9 21,9 49,3 24,2 136,1 27,7 93,4 32,8 73,9
1,55 12,7 30,6 17,5 70,1 21,2 50,9 23,9 143,5 27,1 97,6 31,8 76,4
1,60 12,4 31,6 17,2 73,4 20,6 52,7 23,6 151,1 26,6 102,0 30,9 79,0
1,65 12,0 32,7 16,9 76,8 20,0 54,5 23,4 159,1 26,1 106,6 30,0 81,8
1,70 11,7 33,9 16,7 80,3 19,5 56,5 23,2 167,3 25,7 111,3 29,3 84,7
1,75 11,5 35,1 16,5 84,0 19,1 58,5 23,0 175,7 25,3 116,2 28,7 87,8
1,80 11,2 36,4 16,3 87,8 18,7 60,6 22,8 184,5 25,0 121,3 28,1 91,0
1,85 11,0 37,7 16,1 91,7 18,4 62,9 22,6 193,5 24,7 126,6 27,6 94,3
1,90 10,8 39,1 15,9 95,8 18,0 65,2 22,5 202,7 24,4 132,0 27,1 97,7
1,95 10,7 40,5 15,8 99,9 17,8 67,5 22,3 212,2 24,1 137,6 26,6 101,3
2,00 10,5 42,0 15,6 104,2 17,5 70,0 22,2 222,0 23,9 143,3 26,3 105,0
O valor do momento fletor positivo é dado por:
O valor do momento fletor negativo na direção de a ou b, se tiver, será dado por:
a é o vão com o maior número de engastes.
Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão
21 pa
m
M ×=
ii MX .5,1=
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonTabela de Bares para lajes em regime elástico
Tipo
de
Laje
 
b/a ma mb ma mb na ma mb na nb ma mb na ma mb na nb ma mb na nb
0,50 - - 119,0 44,1 32,8 - - - - 113,6 47,9 33,7 222,2 72,7 49,3 35,2 - - - -
0,55 - - 91,7 40,0 27,6 - - - - 88,5 44,8 28,6 161,3 64,3 40,5 30,7 - - - -
0,60 - - 74,1 37,2 23,8 - - - - 73,0 42,9 25,0 123,5 58,4 34,4 27,2 - - - -
0,65 - - 61,7 35,3 20,9 - - - - 60,2 42,0 22,2 99,0 54,3 29,8 24,6 - - - -
0,70 - - 52,1 34,1 18,6 - - - - 53,5 41,7 20,1 82,0 51,3 26,2 22,5 - - - -
0,75 - - 45,2 33,4 16,8 - - - - 47,2 42,0 18,5 69,0 49,5 23,4 21,0 - - - -
0,80 - - 40,2 33,1 15,4 - - - - 42,9 43,0 17,3 59,2 48,4 21,2 17,7 - - - -
0,85 - - 36,1 33,2 14,2 - - - - 39,4 44,2 16,3 52,4 47,9 19,5 19,2 - - - -
Tabela - Momentos Fletores, Regime Rígido PlásticoRegime Elástico
0,85 - - 36,1 33,2 14,2 - - - - 39,4 44,2 16,3 52,4 47,9 19,5 19,2 - - - -
0,90 - - 32,9 33,5 13,3 - - - - 36,5 45,7 15,5 47,4 48,0 18,1 18,7 - - - -
0,95 - - 30,3 33,9 12,5 - - - - 34,2 47,8 14,8 43,1 48,6 17,1 18,4 - - - -
1,00 23,6 23,6 28,2 34,4 11,9 37,2 37,2 14,3 14,3 32,4 49,8 14,3 39,7 49,5 16,2 18,3 49,5 49,5 19,4 19,4
1,10 20,0 23,6 25,1 36,2 10,9 31,3 37,4 12,7 13,6 29,9 54,7 13,5 34,8 52,3 14,8 17,7 41,3 50,4 17,1 18,4
1,20 17,4 23,7 22,8 38,6 10,2 27,4 38,2 11,5 13,1 28,0 61,5 13,0 31,6 56,5 13,9 17,4 34,8 53,0 15,6 17,9
1,30 15,5 24,2 21,2 41,4 9,7 24,6 40,0 10,7 12,8 26,7 67,2 12,6 29,4 61,6 13,2 17,4 32,7 56,4 14,5 17,6
1,40 14,1 25,0 20,0 44,4 9,3 22,6 41,8 10,1 12,6 25,8 75,0 12,3 27,9 68,0 12,8 17,4 30,1 60,7 13,7 17,5
1,50 13,0 25,7 19,1 47,3 9,0 21,1 44,4 9,6 12,4 25,3 83,9 12,3 26,7 74,1 12,5 17,5 28,3 67,3 13,2 17,5
1,60 12,1 26,8 18,4 51,4 8,8 20,0 48,2 9,2 12,3 24,8 93,0 12,1 25,9 81,4 12,3 17,7 27,1 73,7 12,8 17,5
1,70 11,4 27,9 17,8 55,8 8,6 19,2 52,4 9,0 12,3 24,4 101,8 12,0 25,3 88,7 12,1 17,9 26,1 82,4 12,5 17,5
1,80 10,9 28,8 17,4 59,4 8,4 18,5 56,1 8,7 12,2 24,2 110,2 12,0 24,9 99,6 12,0 18,0 25,5 88,2 12,3 17,5
1,90 10,5 30,4 17,1 63,0 8,3 18,0 60,2 8,6 12,2 24,0 120,4 12,0 24,5 106,5 12,0 18,0 25,1 98,9 12,1 17,5
2,00 10,1 31,6 16,8 67,6 8,2 17,5 62,5 8,4 12,2 24,0 131,6 12,0 24,3 113,6 12,0 18,0 24,7 104,2 12,0 17,5
O valor do momento fletor positivo é dado por:
O valor do momento fletor negativo na direção de a ou b, se tiver, será dado por:
a é o vão com o maior número de engastes.
Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão
m
paM
2
=
n
pa
X
2
=
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Deformação em lajes armadas e cruz
O valor da flecha imediata é obtido utilizando a tabela de flecha de Bares para lajes retangulares. 
)( 23
4
qgp
hE
apff
cs
i ψ+=→
×
×
×=
Onde:
fi é o valor tirado da tabela de Bares
p é a carga distribuída na laje (g+0,3q para edifícios residenciais e g+0,4q edifícios comerciais)
a é o valor do menor vão ou do vão com o maior número de engastes;
(*)Ecs é o modulo de elasticidade secante do concreto;(*)Ecs é o modulo de elasticidade secante do concreto;
h é a altura da laje 
O valor do módulo de elasticidade, irá depender do mesmo critério de vigas, ou seja se o momento
solicitante for maior que o momento de fissuração a laje estará no estádio I e o Ecs será igual ao valor de
cálculo (0,85x5600x√fck) , para o caso contrário, ou seja, a laje estando no estádio II, calcula inércia no
Estádio II puro e a rigidez equivalente de Branson
rFlecha diferida no tempo ( NBR 6118 - 17.3.2.1.2 )
Para cargas aplicadas aos 14 dias e estruturas simplesmente armadas, basta substituir o valor de p na 
equação por: 
( )qgp 246,2 ψ+=∞
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
No estádio II a equação da flecha para utilização da tabela de bares é igual a :
( )
C
EQ
cs
i
I
I
hE
apff
××
×
×=
3
4
Fórmula da inércia equivalente de Branson (NBR 6118)
II
a
r
c
a
r
EQ IM
MI
M
MI














−+





=
33
1 3
2
,
, 3,0 fckf
y
If
Mr mct
t
mct
=→
××
=
α
αααα é igual a 1,5 para seção retangular e 1,2 para seções T
yt é a distância da linha neutra na seção no estádio I até a fibra mais tracionada
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Cálculo da inércia no Estádio II puro
A posição da linha neutra XII é determinada pela equação:
( )
1
31
2
22
2
4
a
aaaa
xII
×
××−+−
=
Sendo:
21
bf
a = Asa e ×=α2 Asda e ××−= α3
23
O momento de inércia III ( com a seção no estádio II puro) 
2
3
)(
3
)(
IIe
II
II xdAs
xbfI −×+= α
fckE
E
cs
s
e
××
→=
560085,0
210000
α
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonTipo
de
Laje
b/a fi fi fi fi fi fi
0,55 - 0,009 - 0,008 0,005 -
0,60 - 0,011 - 0,010 0,006 -
0,65 - 0,014 - 0,012 0,007 -
0,70 - 0,017 - 0,014 0,009 -
0,75 - 0,020 - 0,015 0,011 -
0,80 - 0,022 - 0,017 0,012 -
0,85 - 0,025 - 0,019 0,014 -
0,90 - 0,031 - 0,020 0,015 -
0,95 - 0,030 - 0,021 0,017 -
1,00 0,048 0,033 0,025 0,023 0,018 0,015
1,05 0,053 0,035 0,027 0,024 0,020 0,016
1,10 0,057 0,037 0,029 0,024 0,021 0,018
1,15 0,062 0,039 0,032 0,025 0,022 0,019
1,20 0,066 0,041 0,034 0,026 0,023 0,020
Tabela - Flecha Elástica em Lajes Retangulares (Bares)
1,20 0,066 0,041 0,034 0,026 0,023 0,020
1,25 0,071 0,043 0,036 0,027 0,024 0,021
1,30 0,075 0,044 0,038 0,027 0,025 0,022
1,35 0,079 0,046 0,040 0,028 0,026 0,023
1,40 0,083 0,047 0,041 0,028 0,026 0,024
1,45 0,087 0,049 0,043 0,029 0,027 0,025
1,50 0,090 0,050 0,045 0,029 0,027 0,026
1,55 0,094 0,051 0,046 0,029 0,028 0,027
1,60 0,097 0,052 0,047 0,029 0,028 0,027
1,65 0,100 0,053 0,048 0,030 0,028 0,027
1,70 0,103 0,053 0,049 0,030 0,028 0,028
1,75 0,106 0,054 0,050 0,030 0,028 0,028
1,80 0,109 0,055 0,050 0,030 0,028 0,028
1,85 0,112 0,056 0,051 0,030 0,029 0,029
1,90 0,114 0,056 0,052 0,030 0,029 0,029
1,95 0,116 0,057 0,054 0,030 0,029 0,029
2,00 0,119 0,058 0,055 0,030 29,000 0,029
O valor da flecha é dada por: 
a é o vão com o maior número de engastes.
Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão






×
×= 3
4
hE
paff
cs
i
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Laje nervurada
É chamada de laje nervurada a laje cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais podem 
ser colocados materiais não estruturais.
25
Grandes vãos entre 7 e 15m
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Prescrições da norma NBR 6118
I. A espessura da mesa, quando não houver tubulações horizontais embutidas, deverá ser sempre
maior ou igual a 1/15 da distancia entre as nervuras e não menor que 3cm. O valor mínimo absoluto
da espessura da mesa deve ser de 4 cm quando existirem tubulações embutidas de diâmetro
máximo de 12,5mm.
II. A espessura das nervuras não devem ser inferiores a 5 cm. Nervuras com espessura menor que 8 cm
não devem conter armadura de compressão.
III. Para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser dispensada a
verificação daflexão da mesa.
26
verificação da flexão da mesa.
IV. Para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm, exige-se a verificação da
flexão da mesa a as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permite-se esta
verificação como lajes (item 19.4.1 NBR 6118/2003), se o espaçamento entre eixos de nervuras for
menor que 90 cm e a espessura média das nervuras for maior que 12 cm.
V. Para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm, a mesa deve ser
projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas.
VI. As lajes nervuradas armadas em uma só direção devem ser analisadas segundo a direção das
nervuras desprezando-se a rigidez transversal e a rigidez à torção.
VII. As lajes nervuradas armadas em cruz podem ser calculadas, para efeito da determinação dos
esforços como laje maciça.
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonAnálise de Lajes Nervuradas Bidirecionais
Caso 1 – Laje nervurada com inércias iguais
Neste caso a laje pode ser resolvida por tabelas em regime elástico (tab. Bares por exemplo)
27
Caso 2 – Laje nervurada com inércias desiguais
Atenção: Lajes unidirecionais devem ser calculadas como vigas, desprezando-se os efeitos 
da rigidez a torção e transversal
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonDimensionamento das Lajes Nervuradas
Momento Fletor Positivo
Neste caso o dimensionamento é feito considerando as nervuras como sendo vigas de seção “T”. 
28



≤
2
1 5,0
10,0
b
a
b



≤
4
3 5,0
10,0
b
a
b
12bbb wf +=
31 bbbb wf ++=
Viga interna
Viga de borda
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Segundo a NBR 6118 , no item 14.6.2.2, a largura colaborante bf deve ser dada pela largura bw
acrescida de no máximo 10% da distancia “a” entre os pontos de momento fletor nulo, para cada lado da
viga que houver laje colaborante.
Simplificadamente, a distância “a” pode ser estimada, em função do comprimento L do tramo da laje na
direção considerada, como se apresenta abaixo:
Lajes simplesmente apoiada.............................................a = L
Lajes com momento em uma só extremidade................ a= 0,75L
Lajes com momento nas duas extremidades ...................a = 0,6L
Momento Fletor negativo
29
Neste caso o dimensionamento é feito considerando as nervuras como vigas de seção retangular com
largura bw.
Verificação do ELS 
1) Definir as características geométricas da seção da nervura, em função da flecha admissível;
Utilizar a tabela de flecha de Bares. A flecha na laje nervurada é dada pela expressão 
)(
)(
)()(
nervurada
maciça
maciçareal I
Iff ×=
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
A flecha deve ser verificada diferida no tempo (f∞), segundo NBR 6118/2003. Para efeito de simplificação,
considerando a retirada do cimbramento com 14 dias e seções simplesmente armadas, como é o caso típico
vigotas da laje nervurada, basta multiplicar o valor da flecha imediata por 2,46.
46,2
)(
)(
)()( ××=∞
nervurada
maciça
maciça I
Iff
250)(
af adm =
350
chaContra Fle )(
a
máx =
30
350
No ELS a carga “p” deve ser dada pela expressão: )( 2qgp ψ+=
Onde ψ2 é o coeficiente de minoração da sobrecarga ( 0,3 para projetos residenciais e 0,4 para comerciais) 
O momento de inércia da laje maciça é dado considerando um bw igual a bf e a altura total da nervura 
No caso da laje nervurada é o momento de inércia da seção T em relação ao seu centro de gravidade.
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Verificação de Cisalhamento em Laje
As lajes maciças ou nervuradas, não precisam ter armadura de cisalhamento se for atendida a verificação 
abaixo:
Sendo: τsd a tensão de cisalhamento solicitante de cálculo iguala a 
( )[ ]11 402,1 ρττ +×= kRdRd
Sendo: 
τRd= 0,25 fctd ( fctd = 0,21fck2/3/γc) que é a tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento;
1RdSd ττ <
db
V
w
d
Sd =τ
31
τRd= 0,25 fctd ( fctd = 0,21fck2/3/γc) que é a tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento;
02,01 ≤
×
=
dbw
Asρ
k é um coeficiente que tem os seguintes valores:
⎯ para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: k = 1;
⎯ para os demais casos: k = 1,6 – d, não menor que 1, com d em metros;
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonTabela de Bares para lajes em regime elástico
Tipo
de
Laje
 
b/a ma mb ma mb na ma mb na nb ma mb na ma mb na nb ma mb na nb
0,50 - - 119,0 44,1 32,8 - - - - 113,6 47,9 33,7 222,2 72,7 49,3 35,2 - - - -
0,55 - - 91,7 40,0 27,6 - - - - 88,5 44,8 28,6 161,3 64,3 40,5 30,7 - - - -
0,60 - - 74,1 37,2 23,8 - - - - 73,0 42,9 25,0 123,5 58,4 34,4 27,2 - - - -
0,65 - - 61,7 35,3 20,9 - - - - 60,2 42,0 22,2 99,0 54,3 29,8 24,6 - - - -
0,70 - - 52,1 34,1 18,6 - - - - 53,5 41,7 20,1 82,0 51,3 26,2 22,5 - - - -
0,75 - - 45,2 33,4 16,8 - - - - 47,2 42,0 18,5 69,0 49,5 23,4 21,0 - - - -
0,80 - - 40,2 33,1 15,4 - - - - 42,9 43,0 17,3 59,2 48,4 21,2 17,7 - - - -
0,85 - - 36,1 33,2 14,2 - - - - 39,4 44,2 16,3 52,4 47,9 19,5 19,2 - - - -
Tabela - Momentos Fletores, Regime Rígido Plástico
0,85 - - 36,1 33,2 14,2 - - - - 39,4 44,2 16,3 52,4 47,9 19,5 19,2 - - - -
0,90 - - 32,9 33,5 13,3 - - - - 36,5 45,7 15,5 47,4 48,0 18,1 18,7 - - - -
0,95 - - 30,3 33,9 12,5 - - - - 34,2 47,8 14,8 43,1 48,6 17,1 18,4 - - - -
1,00 23,6 23,6 28,2 34,4 11,9 37,2 37,2 14,3 14,3 32,4 49,8 14,3 39,7 49,5 16,2 18,3 49,5 49,5 19,4 19,4
1,10 20,0 23,6 25,1 36,2 10,9 31,3 37,4 12,7 13,6 29,9 54,7 13,5 34,8 52,3 14,8 17,7 41,3 50,4 17,1 18,4
1,20 17,4 23,7 22,8 38,6 10,2 27,4 38,2 11,5 13,1 28,0 61,5 13,0 31,6 56,5 13,9 17,4 34,8 53,0 15,6 17,9
1,30 15,5 24,2 21,2 41,4 9,7 24,6 40,0 10,7 12,8 26,7 67,2 12,6 29,4 61,6 13,2 17,4 32,7 56,4 14,5 17,6
1,40 14,1 25,0 20,0 44,4 9,3 22,6 41,8 10,1 12,6 25,8 75,0 12,3 27,9 68,0 12,8 17,4 30,1 60,7 13,7 17,5
1,50 13,0 25,7 19,1 47,3 9,0 21,1 44,4 9,6 12,4 25,3 83,9 12,3 26,7 74,1 12,5 17,5 28,3 67,3 13,2 17,5
1,60 12,1 26,8 18,4 51,4 8,8 20,0 48,2 9,2 12,3 24,8 93,0 12,1 25,9 81,4 12,3 17,7 27,1 73,7 12,8 17,5
1,70 11,4 27,9 17,8 55,8 8,6 19,2 52,4 9,0 12,3 24,4 101,8 12,0 25,3 88,7 12,1 17,9 26,1 82,4 12,5 17,5
1,80 10,9 28,8 17,4 59,4 8,4 18,5 56,1 8,7 12,2 24,2 110,2 12,0 24,9 99,6 12,0 18,0 25,5 88,2 12,3 17,5
1,90 10,5 30,4 17,1 63,0 8,3 18,0 60,2 8,6 12,2 24,0 120,4 12,0 24,5 106,5 12,0 18,0 25,1 98,9 12,1 17,5
2,00 10,1 31,6 16,8 67,6 8,2 17,5 62,5 8,4 12,2 24,0 131,6 12,0 24,3 113,6 12,0 18,0 24,7 104,2 12,0 17,5
O valor do momento fletor positivo é dado por:
O valor do momento fletor negativo na direção de a ou b, se tiver, será dado por:
a é o vão com o maior número de engastes.
Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão
m
paM
2
=
n
pa
X
2
=
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Complemento lajes com inércias diferentes 
Teoria das Grelhas
EI
qLCf
4
1max ×=
Onde:
fmax = flecha máxima da viga;
C1 = fator que depende das condições de apoio da viga;
q = carga uniformemente distribuída que atua na viga;
L = vão da viga;
EI = rigidez a flexão da viga.
33
 
Tipo de Apoio C1 Momento fletor positivo máximo 
Momento fletor 
negativo máximo 
 
384
5
 
8
2qL
 
0 
 
384
1,2
 
22,14
2qL
 
8
2qL
 
 
384
1
 
24
2qL
 
12
2qL
 
 
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Cálculo dos quinhões de carga
34
Flecha da faixa a : 
aa
a
aa IE
aqCf
4
=
Flecha da faixa b : 
bb
b
bb IE
bqCf
4
=
Por hipótese, ba ff =
bb
b
b
aa
a
a IE
bqC
IE
aqC
44
=Então: 
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonComo: ba qqq += ba EE = qKq bb =e Vem,
se fizermos ( )4ba
I
I
K b
a
= e
a
b
C
C
n = temos que 
nK
Kb +
=
1
1
Calculando qb temos que ba qqq −=
35
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonExercício 1
Calcular a laje nervurada com inércias iguais para um edifício comercial. 
36
Dados
fck = 25Mpa
Sc = 2kN/m2
Piso 1,2kN/m2
Alvenaria = 1,6kN/m2
Fôrma de EPS 10kg/m3
Não há tubulações embutidas na mesa
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Lajes sem vigas - lisas e cogumelos
37
Lajes lisa 
Se apoia diretamente nos pilares Lajes Cogumelo 
Se apoia em capitéis sobre os 
pilaresConcreto Armado 2
Prof. Ronilson
Lajes lisas
Vantagens
1. Adaptabilidade a diversas formas ambientais;
2. Simplificação das fôrmas e do cimbramento;
3. Simplificação das armaduras;
4. Simplificação da concretagem;
5. Melhoria da qualidade final e diminuição de 
revestimentos;
6. Redução da altura total do edifício;
7. Simplificação das instalações prediais;
8. Redução do tempo de execução;
38
Desvantagens
1. Elevados esforços de punção;
2. Baixa rigidez do pórtico as ações horizontais;
3. Elevado Custo;
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Lajes lisas
O cálculo de lajes lisas deve ser realizado por processo numérico, como por exemplo elementos finitos,
porém, para os casos abaixo é possível realizar um cálculo aproximado para obtenção dos esforços
solicitantes:
a) Os pilares devem estar dispostos em filas ortogonais;
b) Os vão não podem ser muito diferentes uns dos outros;
c) O cálculo deverá ser feito por processo elástico aproximado;
d) Espessura da laje h ≥ 16cm
e) a dimensão mínima de pilares deve ser 30 x30 não podem ser menores que 1/20 
Método dos pórticos equivalentes - NBR 6118
39
e) a dimensão mínima de pilares deve ser 30 x30 não podem ser menores que 1/20 
da distância entre eixos de pilares ou 1/15 da altura do pilar;
f) Para melhor eficiência do método a relação entre vãos ortogonais deve ficar entre 
0,75 < Lx/Ly < 1,33
Divisão dos momentos nos pórticos equivalentes
I. 45% dos momentos positivos para as duas faixas internas (faixas centrais)
II. 27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas externas
III. 25% dos momentos negativos para as duas faixas internas (faixas centrais)
IV. 37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas.
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
f
a
i
x
a
 
d
e
 
c
á
l
c
u
l
o
40
f
a
i
x
a
 
d
e
 
c
á
l
c
u
l
o
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonExemplo da distribuição de momentos por faixa
Valores em 
negrito são os 
41
negrito são os 
momentos 
positivos
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonDetalhamento da armadura de flexão
I. Diâmetro máximo da armadura h/8;
II. Espaçamento máximo da armadura 2h ou 20cm;
III. Armaduras secundárias de flexão deve ter seção transversal de área igual ou superior 
a 20% da área da armadura principal, com espaçamento entre barras não maior que 
33cm;
IV. As armaduras positivas e negativas nas direções menos solicitadas não podem ter 
seção inferior a 25% das armadura das direções mais solicitadas;
V. Não utilizar diâmetro da armadura principal menor que 10mm
VI. Deverão haver no mínimo 2 barras passando sobre os apoios, alem das barras contra 
colapso progressivo;
VII. O comprimento das barras da armadura negativa deve ser no mínimo 0,35L para cada 
lado dos pilares;
42
lado dos pilares;
VIII. A armadura negativa de reforço das bordas deve ser no mínimo 0,25L alem do eixo do 
pilar. 
Para garantir a segurança da estrutura contra colapso progressivo, é obrigatório uma armadura inferior 
que passa pelo pilar atravessando o contorno C, que deve estar devidamente ancorada além do ponto C’.
yd
sd
CLP f
FAs = Sendo Fsd o valor da força concentrada no ponto de apoio.
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Detalhe da armadura contra colapso progressivo
43
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonAltura mínima da laje
Para atender a NBR 6118, no item 14.6.4.3 (ductilidade da seção), a profundidade relativa da linha 
neutra x/d deve ser no máximo 0,5. Este requisito da norma é atendido quando utilizamos o k limite de 
0,32 para concretos até 35MPa, sendo assim, para concretos dentro desta faixa, o valor de dmin é igual:
32,0 =→=→= MddMdMdk
44
32,0
32,0 (min)2
min
2 ××
=→
××
=→
××
=
bwfcdddbwfcddbwfcdk
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Punção
45
Ruína por punção a força cortante é predominante, a laje se rompe por cisalhamento antes que a
capacidade da laje a flexão seja atingida. É um tipo de colapso frágil, acontece abruptamente sem aviso e
é extremamente perigoso.
Possíveis soluções:
I. Aumentar a espessura da laje ( toda) ou na região dos apoios;
II. Utilização de capitel;
III. Colocar armaduras específicas (estribos) para combater a punção.
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonMétodo de verificação da punção de acordo com a NBR 6118
Determinação dos contornos críticos
46
Dimensão dos contornos para pilares internos:
Contorno C � u = perímetro do pilar
Contorno C’� u’ = perímetro do pilar + 4pid
Contorno C’’� u’’ = perímetro do pilar + 4pid+ 4pip ( “p” é a distância da face do pilar até a 
última linha de estribos.
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonTensão de verificação nos contornos críticos
A tensão resistente da compressão na diagonal do concreto é verificada indiretamente na superfície C. A 
tensão atuante τsd deverá ser menor que as tensões limites para cada caso:
( ) 311 10020113,0 fckdRd ×××





+= ρτ
O fck em MPa
τRd1 – Tensão de cisalhamento resistente de cálculo limite, para que uma laje possa prescindir de 
armadura transversal para resistir a força cortante;
τRd2 – Tensão de cisalhamento resistente de cálculo limite, para verificação da compressão diagonal 
do concreto da laje;
τRd3 – Tensão de cisalhamento resistente de cálculo;
47
d 
ρ é a taxa de armadura nas duas direções ortogonais sobre o pilar
fcdvRd ατ 27,02 =






−=
250
1 fckvα Com fck em MPa
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
( ) 





×
××
×+×××







+=
du
senfA
S
dfck
d
ywdsw
r
Sd
'
5,110020110,0 31
αρτ




+= 5,11
f
A ywdRdττ
3,1
1Rdτ
Cálculo da armadura Asw
Simplificando a equação para estribos a 90°, temos:
48
Onde:
Sr é o espaçamento radial entre linhas da armadura de punção, e deve ser ≤ 0,75d;
Asw é a área da armadura de punção em um contornos paralelos a C’;
u' é o perímetro critico (C’);
fywd é a resistência de cálculo para a armadura de punção, variando de 260 a 435MPa em função da 
altura da laje ( de 16 a 35cm)
Com τSd, τRd1, fck e fywd em MPa






×
+=
'
5,1
3,1
1
uS
f
A
r
ywd
sw
Rd
Sd
τ
τ
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonTensão Solicitante
dW
Mk
du
F
p
SdSd
Sd
×
×
+
×
=τ
Onde:
Msd é o momento solicitante de cálculo;
Wp é o módulo de resistência elástico no contorno crítico;
K é um coeficiente que fornece a parcela do momento que produz cisalhamento na seção crítica 
C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0
k 0,45 0,6 0,7 0,8
Valores de k em função de C1/C2
49
( )21
2
2
1 CC
C
CW p ×+=
Para Pilares RetangularesWp é dado por
No contorno C
( ) ( ) ( ) ( )122121
2
2
1 2164 CddCCCCC
C
CW p ×++×+×+×+= pi
No contorno C’
k 0,45 0,6 0,7 0,8
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonConsiderações de Vigas Contínuas segundo NBR 6118 
Pode ser utilizado um modelo clássico de viga contínua simplesmente apoiadas nos pilares, para o estudo 
das cargas verticais, com as seguintes observações:
a) Não se pode admitir momento positivo menor que:
24
2
)(
wLM sd ≥+
a) Momento negativo em pilares largos:
50
 )( ≥−sdM
4
Hh ≥
Momento de engastamento perfeito
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
c) Quando não for utilizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, deve ser 
considerado nos apoios extremos, momento fletor igual ao de engastamento perfeito multiplicado pelos 
coeficientes : 
supinf
sup
rrr
r
vig ++
51
supinf
inf
rrr
r
vig ++
)(
)(
)(
i
i
i L
I
r =
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonExercício 1
Dimensionar a armadura da laje lisa abaixo, verificar a punção nos apoios 
Dados:
Prédio comercial
52
Prédio comercial
fck 35MPa
Sc= 2,5kN/m2
Piso = 1,1 kN/m2
Alvenaria = 1,85kN/m2
Pilares 30 x 30
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
PILARES 
A seção transversal de pilares e pilares-parede maciços, qualquer que seja a sua forma, não deve apresentar
dimensão menor que 19 cm. Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12
cm, desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente
adicional γn, de acordo oindicado na tabela 13.1 e na seção 11 da NBR 6118/2003. Em qualquer caso, não se
permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2.
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10mm e nem superior a 1/8 da menor dimensão
da seção
A armadura longitudinal mínima deve ser:
As min = (0,15 Nd/fyd) ≥ 0,004 Ac
Asmáx = 8,0% Ac
A maior armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, considerando-se inclusive a sobreposição 
ARMADURA LONGITUDINAL 
A maior armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, considerando-se inclusive a sobreposição 
de armadura existente em regiões de emenda.
As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a adequada
resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada
vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro.
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal,
fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:
⎯ 20 mm;
⎯ diâmetro da barra, do feixe ou da luva;
⎯ 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo.
Para feixes de barras, deve-se considerar o diâmetro do feixe:
Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras.
nn φφ =
Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras.
Quando estiver previsto no plano de concretagem o adensamento através de abertura lateral na face da
forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador.
O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve ser menor ou igual a
duas vezes a menor dimensão da seção no trecho considerado, sem exceder 400 mm.
e eixo



×
≤
seção da dimensão menor2
400 mm
e
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
ARMADURA TRANSVERSAL
A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares,
deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com
vigas e lajes.





→




≥
LL
t
mm
φφφ
4
1
5
O diâmetro dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a ¼ do diâmetro da barra isolada
ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal.
O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para garantir o
posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura das emendas de barras
= diâmetro da barra longitudinal
posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura das emendas de barras
longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores:
⎯ 200 mm;
⎯ menor dimensão da seção;
⎯ 24 φ para CA-25, 12 φ para CA-50.
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
ARMADURA TRANSVERSAL
Os estribos garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles
abrangidas, situadas no máximo à uma distância de 20φt do canto, se nesse trecho de comprimento 20φt,
não houver mais de duas barras, não contando a do canto. Quando houver mais de duas barras nesse trecho
ou fora dele, deve haver estribos suplementares ( grampos)
≤ 20φt ≤ 20φt ≤ 20φt ≤ 20φt
grampo
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS 
Imperfeições Globais
Na análise global das estruturas deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme a
figura
Onde:
θ1min = 1/400 para estruturas de nós fixos;
θ1min = 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais;
θ1máx=1/200;
H é a altura total da edificação em metros
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS 
O desaprumo não deve ser sobreposto ao carregamento de vento, entre os dois, vento e desaprumo, deve
ser considerado apenas o mais desfavorável. Ou seja, aquele que provoca o maior momento total na base do
edifício.
Cargas externas equivalentes às imperfeições geométricas Globais
O valor da força (F) horizontal, devido ao desaprumo pode ser, simplificadamente, considerada igual ao
produto do ângulo de desaprumo θa pelo peso do pavimento considerado:
PF a ∆×= φ
Onde:
F = Força horizontal equivalente ao desaprumo
θa = ângulo de desaprumo em radianos
∆P= peso do pavimento considerado
F
F
F
F
aa tgP
F φφ ≅=
∆
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
IMPERFEIÇÕES LOCAIS
No caso da verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de
retilinidade do eixo do pilar
200
1
100
1
1 ≤≅
iH
φ � Hi = altura do pilar em metros
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Momento Mínimo 
O efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas pela
consideração do momento mínimo de 1ª ordem dado a seguir:
( )hNdM d 03,0015,0min,1 +=
Nd é a força normal solicitante de cálculo.
h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros.
Nota: a este momento ainda deverão ser acrescidos os esforços globais de 2ª ordem e os locais também
de 2ª ordem.
ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS E ESTRUTURAS DE NÓS MÓVEIS
São consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos, as estruturas cujos deslocamentos
horizontais são pequenos e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a
10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e
localizados de 2ª ordem.
As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos, e em
decorrências dos efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços
de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2ª ordem globais como os
locais e localizados.
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Análise de estruturas de nós móveis
Na análise estrutural de estrutura de nós móveis, devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos da
não linearidade geométrica e da não linearidade física, e portanto, no dimensionamento devem ser
obrigatoriamente considerados os efeitos globais e locais de 2ª ordem.
Consideração aproximada da não linearidade física
Para análise dos esforços globais de 2ª ordem, em estruturas reticuladas com no mínimo quatro andares,
pode ser considerada a não linearidade física de uma maneira aproximada, tomando-se como rigidez dos
elementos estruturais os valores seguintes:
⎯⎯ Lajes: (EI)sec= 0,3EciIc
⎯ Vigas: (EI)sec= 0,4EciIc para A’s ≠ As e
(EI)sec = 0,5 EciIc para A’s = As
⎯ Pilares: (EI)sec =0,8ECi.IC
Onde: Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto (estádio I) , incluindo, quando for o caso, as
mesas colaborantes; e Eci é o módulo de elasticidade tangente na origem do concreto igual a :
fckEci 5600=
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Coeficienteα � para edificações de até de 4 pavimentos
Para edificações de pequeno porte com até 4 pavimentos a NBR 6118 permite a solução aproximada
através do parâmetro α.
CCS
K
TOTAL IE
NH=α
Onde:
Htotal é a altura total da edificação a partir da cota de arrasamento da fundação;
Nk é somatória de todas as cargas verticais na edificação com seu valor característico;
Dispensa da consideração dos efeitos globais de 2ª ordem
Nk é somatória de todas as cargas verticais na edificação com seu valor característico;
Ecs é módulo de elasticidade secante do concreto =
Ic é a somatória dos momentos de inércia dos pilares na direção considerada, podendo ser utilizado a
riidez de um pilar equivalente.
fck560085,0 ×
O parâmetro α deve ser comparado com o valor de α1, que varia em função do número de pavimentos:







=≥
=
=
=
=
6,04
5,03
4,02
3,01
1α Se o valor de α for menor que o valor de α1 a estrutura pode serconsiderada de nós fixos. Caso contrário deve ser levado em consideração
os esforços oriundos dos efeitosde 2ª ordem.
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Exercício 1
Para a edificação abaixo verificar se trata-se de uma estrutura de nós fixos ou móveis utilizando-se do 
parâmetro α da NBR 6118
Dados
a. Peso da Alvenaria 18kN/m3
b. Piso 1 kN/m2
c. Cobertura 1,6 kN/m2
d. Sobrecarga 2º Piso 1,5 kN/m2
e. Sobrecarga Forro 0,5 kN/m2
f. Peso próprio do concreto 25 kN/m3f. Peso próprio do concreto 25 kN/m
g. Pilares 15x20
h. Vigas 15x40 1º piso e 15x30 2º piso
i. Laje maciça de h = 10cm
j. Paredes de e = 15cm
k. fck do concreto 25MPa
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Prof. Ronilson
1º Piso
2º Piso
Corte C-C
Concreto Armado 2
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Concreto Armado 2
Prof. RonilsonCálculo da inércia equivalente
Verificação do deslocamento máximo para uma carga horizontal de 30kN
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
( ) ( )
( ) 967.123.785.1
21,13
60030
33
3
33
=
×
×
=
×
×
=→
×
=
EQ
pórtico
EQ
EQ
pórtico
EI
HFEI
EI
HF
δδ
Deslocamento máximo 1,21cm
Cálculo de α
52,0
967.123.785.1
33,1333600 ==α
Cálculo de α
ααα <=→







=≥
=
=
=
= 4,01
6,04
5,03
4,02
3,01
1 Neste caso deve ser considerado nos cálculos os efeitos de 2ª ordem globais. Porem na prática basta enrijecer um pouco os 
pilares.
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Efeitos Globais de 2ª ordem
Coeficiente γz � para edificações acima de 4 pavimentos
O coeficiente γz é obtido a partir da aplicação do método geral ( método não aproximado para análise não
linear de segunda ordem de elementos isolados)
P
F
L
P
F
L
δ1
P
F
L
δ1+δ2
M1 = FL
L
M2 = M1+(Pδ1)
L
M1+(Pδ1+ Pδ2+...+ Pδn)
L
Momento de segunda ordem =
M2 = M1+(Pδ1+ Pδ2)Momento de 
1ª ordem
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson





 ++++
−
=
1
3211
ª2
....1
1
M
PPPPM
M
nδδδδ
Considerando uma condição de equilíbrio da estrutura na posição deformada, sabendo-se que o valor de r
nestas condições será sempre menor que 1, caso contrário a estrutura estaria instável e os deslocamentos
tenderiam a infinito, deduz-se para uma relação entre o momento de 2ª ordem e o momento de 1ª ordem a
seguinte equação:
z
dtot
dtot
M
MM
M γ=







 ∆
−
=
,,1
,1
ª2
1
1
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
O coeficiente γz de avaliação da importância dos esforços de 2ª ordem global é válido para estruturas
reticuladas de no mínimo 4 andares.





















 ∆
−
=
dtot
dtot
z
M
M
,,1
,1
1γ
Onde:
M1,tot,d = momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais daM1,tot,d = momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais da
combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura.
∆M
,tot,d = soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura , na combinação considerada,
com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação,
obtidos na análise de 1ª ordem.
considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição γz ≤ 1,1, e neste caso pode ser
dispensada a consideração dos esforços globais de 2ª ordem.
Para estruturas com γz até 1,3 os esforços de 2ª ordem são muito significativos e por consequência devem
ser levados em consideração nos cálculos. Neste caso o valor dos esforços em 1ª ordem devem ser
majorados em 95% do valor de γz. Para estruturas com γz maiores que 1,3 esta solução aproximada não
pode ser utilizada, devendo para tal ser feito uma análise rigorosa dos reais efeitos de 2ª ordem.
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Determinação dos esforços globais de 2ª ordem
Uma solução aproximada a determinação dos esforços globais de 2ª ordem consiste na avaliação dos
esforços finais ( 1ª ordem + 2ª ordem ) a partir da majoração dos esforços horizontais da combinação de
carregamentos considerada, por 0,95 γz. esse processo só é válido para γz ≤ 1,3
Análise dos efeitos locais de 2ª ordem
A análise global de 2ª ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das barras, devendo ser
realizada uma análise dos efeitos locais de 2ª ordem, ao longo dos eixos das barras comprimidas. Os
elementos isolados, para fim de verificação local, devem ser formados pelas barras comprimidas, retiradas
da estrutura com comprimento le, porém, aplicando-se às duas extremidades os esforços obtidos através
da análise global de 2ª ordem.
Podemos ter, então, as três situações distintas que podem ocorrer no pilares:Podemos ter, então, as três situações distintas que podem ocorrer no pilares:
P
P P P
P P
a
b
a
b
a
b
(a) (b) (c)
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Para as três situações acima, constata-se que o caso (a) é a pior situação. para este caso, o maior
deslocamento transversal do eixo ocorre na seção central. Para o pilar do caso (b), o deslocamento máximo
ocorre em uma seção mais próxima do extremo a , No caso (c), o deslocamento da seção central é nulo e,
provavelmente, a ruína ocorrerá na seção de extremidade, sendo desprezível o efeito de segunda ordem
local.
O comprimento equivalente le, do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as
extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores:


 +
=
l
l
l
ho
eOnde:
lo = distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar;lo = distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar;
h = altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo;
l = distância entre eixos dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar;
Viga
Viga
h
lo l
Nota:
No caso de pilar engastado na 
base e livre no topo le = 2 l
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem
Os esforços locais de 2ª ordem (flambagem) em elementos isolados podem ser desprezados quando o
índice de esbeltez λ for menor que o limite λ1.
onde:
bh
I
el
=λ
h
bh
bh
ee ll 46,3
123
=→
÷
= λλ, para uma seção usual retangular de concreto �
O valor de λ1 depende de:
- A excentricidade relativa de 1ª ordem
- A vinculação dos extremos da coluna isolada;
- A forma do diagrama de momento fletor de 1ª ordem;






h
e1
O valor de λ1 é dado pela expressão:
90
5.1225
35
1
1 ≤





+
=≤
b
h
e
α
λ
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonOnde:
9035 1 ≤≤ λ
e1 é a excentricidade inicial ( não inclui a excentricidade acidental)
h = dimensão da seção na direção considerada.
O valor de αb é dado pela expressão:
40,00,140,04,06,0 ≥≥→≥+= b
A
B
b M
M
αα
MA e MB são momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar. Deve ser adotado para MA o maior valor
absoluto ao longo do pilar e para M o sinal positivo se tracionar a mesma face do pilar e negativo emabsoluto ao longo do pilar e para MB o sinal positivo se tracionar a mesma face do pilar e negativo em
caso contrário:
Para pilares biapioados com cargas transversais significativas ao longo da altura, ou submetidos a
momentos menores ou iguais ao momento mínimo:
αb = 1,0
Para pilares em balanço:
85,00,185,02,080,0 ≥≥→≥+= b
A
C
b M
M
αα
MA é o momento no engaste e MC é o momento de 1ª ordem no meio do pilar.
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Determinação dos efeitos locais de 2ª ordem
Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada
se λ1 ≤ λ ≤ 90 , deve se considerar uma excentricidade de segunda ordem e2 ( flambagem), sendo:
( )
r
e e
1
10
2
2 ×=
l
, sendo 1/r o valor da curvatura na seção crítica, dado por:
( ) hvhr
005,0
5,0
005,01 ≤
+
=





5,0
.
≥=
cdc
sd
fA
N
ve,
. cdc fA
h = dimensão da seção na direção considerada
Para pilares com esbeltez acima de 90 e inferiores a 200 deve ser feito um estudo de instabilidade
através de algum processo rigoroso. Pilares com esbeltez acima de 200 não são permitidos
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Situações usuais de projeto para pilares
Dependendo do seu posicionamento na estrutura, os pilares podem ser classificados como piares
intermediários,pilares de extremidade ou pilares de canto
Pilar de Canto
Pilar Intermediário
Pilar de extremidade
Pilar Intermediário: Os momentos que as vigas transmitem a esses pilares são pequenos e, em geral,
podem ser desprezados. Quando os vãos da viga , adjacente ao pilar, forem muito diferentes entre si, ou
quando houver significativa diferença no carregamento desses vãos, pode ser necessário considerar os
momentos iniciais transmitidos pelas vigas. Dessa forma um pilar intermediário está em uma situação de
projeto de compressão centrada, a menos que por razoes construtivas, a força de compressão não atue no
seu eixo.
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Pilar de extremidade: Neste caso, os momentos transmitidos pelas vigas devem ser considerados. Dessa
maneira , a situação de projeto é de flexo-compressão normal.
Pilar de canto: Neste caso, os momentos são transmitidos pelas duas vigas que chegam ao pilar. Dessa
maneira , a situação de projeto é de flexo-compressão oblíqua.
Cálculo dos Pilares
Pilares Intermediários: Mesmo sabendo que neste caso admiti-se, para efeito de projeto, que a força normal
atuante é aplicada no centroide da seção, a NBR 6118/2003, exige a verificação da seção através de umatuante é aplicada no centroide da seção, a NBR 6118/2003, exige a verificação da seção através de um
momento total máximo no pilar, dado pela expressão :
2min,1, eNMM ddtotd ×+=
Onde:
( )0,03h0,015NM dmin1d, +=
e2 é a excentricidade de 2ª ordem (flambagem)
h = altura total da seção na direção considerada, em metros.
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonPilar Intermediário
DMF
“Esta situação só é válida para casos de carregamento e inércias parecidas nas quatro direções”
Modelo em elementos finitos mostra
que não há momento fletor no pilar
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Pilar Intermediário
Mesmo estando em uma situação de projeto de compressão centrada, pilares
intermediários devem ser dimensionados à flexo-compressão normal.
y
xx
x
y y
ex
eyNd
Nd
Onde:
xddtotd
d
totd
x eNMMN
M
e 2min,1,
, ×+=→=
yddtotd
d
totd
y eNMMN
M
e 2min,1,
, ×+=→=
Momento total máximo na direção x ( em torno de y)
Momento total máximo na direção y ( em torno de x)
( )xdmin1d, 0,03h0,015NM +=
( )ydmin1d, 0,03h0,015NM +=
hx e hy são as dimensões da seção na direção considerada em metros
e2x e e2y são as excentricidades de 2ª ordem em cada direção , sendo�
( )
r
e e
1
10
2
2 ×=
l
Concreto Armado 2
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Exercício 1
Dimensionar o pilar intermediário
5
0 x
y Nc= 875kN 
20
Dados:
fck = 30MPa – aço CA50
Classe de agressividade II – moderada ambientes internos e secos 
4
0
0
Seção
Elevação
Planta
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Pilar de extremidade
DMF
Modelo em elementos finitos mostra que há
momento fletor em uma das direções do pilar
situação de flexo-compressão normal
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Pilar de extremidade
As situação de projeto é a indicada na figura abaixo, onde se admite que a força normal de cálculo atuando 
no eixo X com uma excentricidade inicial eix. essa excentricidade é devida aos momentos fletores 
transmitidos pela viga.
y
y
Nh
eix
x
x
ex
Nd
hx
hy
d
d
x N
M
e =
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Neste caso deve ser feito o dimensionamento para o momento máximo no pilar, verificando as extremidades 
e a seção intermediária, adotando o maior momento fletor encontrado. 
Verificação da seção de extremidade
AAd MM ×= 4,1,1 BA MM ≥com
Verificação da seção intermediária
Situação (a) 
míndAd MM ,1,1 ≥e
MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos 
extremos do pilar 
1λλ ≤
Neste caso não é necessário considerar os efeitos locais de segunda ordem (flambagem) e o momento 
máximo na seção intermediária será:
( ) min,1, * dimpTotald MeeNdM ≥+=






≥





+





=
d
A
d
B
d
A
N
M
N
M
N
M
e 4,04,06,0*
MA
MB
Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar e para MB o sinal positivo, se tracionar a 
mesma face que MA, e negativo em caso contrário
Concreto Armado 2
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MA
MB
MACaso em que o sinal de MB deve ser 
tomado como NEGATIVO
MB
tomado como NEGATIVO
Caso em que o sinal de MB deve ser 
tomado como POSITIVO
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





=
21
H
eimp θ (exceto no caso de pilares em balanço)





 ≤→
×
=
200
1
100
1
15,01 θθ H
sendo H igual a altura total do pilar em metros (pé-
direito)
( )xd hNdM 03,0015,0min,1 += com hx em metros
Situação (b) 
901 ≤≤ λλ 901 ≤≤ λλ
Neste caso deve ser considerado os efeitos locais de segunda ordem (flambagem) e o momento 
máximo na seção intermediária será:
( ) xdimpdTotald eNeeNM 2, * ×++= sendo maior que o momento mínimo M1d,min( )impd eeN +*
e2x é a excentricidade de 2ª ordem 
( )
r
e exx
1
10
2
2 ×=
l ( ) xx hvhr
005,0
5,0
005,01 ≤
+
=




 5,0
.
≥=
cdc
sd
fA
N
vonde : e
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Direção y ( eixo sobre o qual não existe excentricidade inicial)
A NBR 6118/2003 exige a verificação da seção nessa direção, através de um momento total máximo no 
pilar, dado pela expressão:
yddtotald eNMM 2min,1, ×+=
e2y é a excentricidade de 2ª ordem (flambagem) na direção y
( )hNdM 03,0015,0 += onde, hy é a altura total da seção na direção y em metros( )yd hNdM 03,0015,0min,1 += onde, hy é a altura total da seção na direção y em metros
Observe que a seção do pilar é dimensionada à flexo-compressão normal nas duas direções de cálculo. A 
armadura a ser adotada deve atender as duas situações acima, não é feita a superposição das armaduras. 
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Exercício 2
Dimensionar o pilar de extremidade
6
0 x
y Nc= 1070kN 
MA= 25kN.m 
20
Dados:
fck = 25MPa – aço CA50
Classe de agressividade II – moderada ambientes externos não revestidos
4
0
0
Seção
Elevação
Planta
MB= 12kN.m 
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Pilar de Canto
DMF
Modelo em elementos finitos mostra que há
momento fletor em duas direções do pilar
situação de flexo-compressão obliqua
Concreto Armado 2
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Pilar de Canto
As situação de projeto é a indicada na figura abaixo, onde se admite que a força normal de cálculo atuando 
no eixo X e Y com uma excentricidade inicial eix e eiy essas excentricidades é são devidas aos momentos 
fletores transmitidos pelas vigas.
y
y
e
Nd
h
eix
eiy ex
x
x
ey
hx
hy
d
dx
x N
M
e =
d
dy
y N
M
e =
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Em virtude a forma do diagrama de momentos iniciais, não se sabe a priori qual é a seção do pilar que é a 
mais solicitada. Deve ser feito um dimensionamento para o momento total máximo no pilar, verificando as 
extremidades e a seção intermediária, adotando a maior armadura encontrada.
Verificação da seção de extremidade de topo (parte superior)
AAd MM ×= 4,1,1 Momento aplicado na direção X em torno do eixo Y
Direção X
1ª SITUAÇÃO DE CÁLCULO
MA
míndAd MM ,1,1 ≥ onde, ( )xdd hNM 03,0015,0min,1 += com hx em metros
AAd MM ×= 4,1,1 Momento aplicado na direção Y em torno do eixo X
Direção Y
míndAd MM ,1,1 ≥ onde, ( )ydd hNM 03,0015,0min,1 += com hy em metros
Com os momentos encontrados é feito o dimensionamento a flexo-compressão obliqua 
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Verificação da seção de extremidade de base (parte inferior)
BAd MM ×= 4,1,1 Momento aplicado na direção X em torno do eixo Y
Direção X
míndBd MM ,1,1 ≥ onde,
2ª SITUAÇÃO DE CÁLCULO
( )xdd hNM 03,0015,0min,1 += com hx em metros
×=
Direção Y
BBd MM ×= 4,1,1 Momento aplicado na direção Y em torno do eixo X
míndBd MM ,1,1 ≥ onde, ( )ydd hNM 03,0015,0min,1 += com hy em metros
MB
Com os momentos encontrados é feito o dimensionamento a flexo-compressão obliqua 
Concreto Armado 2
Prof. Ronilson
Verificação da seção de intermediária do pilar (centro)
Direção X
3ª SITUAÇÃO DE CÁLCULO
M
( ) xdimpdTotald eNeeNM 2, * ×++= Momento aplicado na direção X em torno do eixo Y
sendomaior que o momento mínimo M1d,min( )impd eeN +*
( ) min,1, * dimpTotald MeeNdM ≥+=
Mi






≥





+





=
d
A
d
B
d
A
N
M
N
M
N
M
e 4,04,06,0*






=
21
H
eimp θ (exceto no caso de pilares em balanço)





 ≤→
×
=
200
1
100
1
15,01 θθ H
sendo H igual a altura total do pilar (pé-direito)
( )xd hNdM 03,0015,0min,1 += com hx em metros
Concreto Armado 2
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e2x é a excentricidade de 2ª ordem 
( )
r
e exx
1
10
2
2 ×=
l ( ) xx hvhr
005,0
5,0
005,01 ≤
+
=




 5,0
.
≥=
cdc
sd
fA
N
vonde : e
Direção Y
( ) ydimpdTotald eNeeNM 2, * ×++= Momento aplicado na direção Y em torno do eixo X
sendo maior que o momento mínimo M1d,min( )impd eeN +*
( ) min,1, * dimpTotald MeeNdM ≥+=






≥





+





=
d
A
d
B
d
A
N
M
N
M
N
M
e 4,04,06,0*
Concreto Armado 2
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





=
21
H
eimp θ (exceto no caso de pilares em balanço)





 ≤→
×
=
200
1
100
1
15,01 θθ H
sendo H igual a altura total do pilar (pé-direito)
( )yd hNdM 03,0015,0min,1 += com hy em metros
e2y é a excentricidade de 2ª ordem 
( )
r
e
ey
x
1
10
2
2 ×=
l
( ) yy hvhr
005,0
5,0
005,01 ≤
+
=




 5,0
.
≥=
cdc
sd
fA
N
vonde : e
Concreto Armado 2
Prof. RonilsonExercício 3
Dimensionar o pilar de extremidade
6
5 x
y Nc= 2000kN 
MA= 46kN.m 
25
Dados:
fck = 30MPa – aço CA50
Classe de agressividade II – moderada ambientes externos não revestidos
4
5
0
Seção
Elevação
Planta
MB= 22kN.m