Prova 1 - resolucao

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ENE - UnB - Prova de Eletromagnetismo 1 – Prova 3 – Data 03/07/2024 
Professor: Achiles Fontana da Mota 
 
Nome:_______________________________________________ Matrícula:_________________ 
 
 
1- O interferômetro de Mach-Zehnder é um dispositivo óptico utilizado para modular a luz, ou seja, 
transformar um sinal contínuo em 1’s e 0’s. O dispositivo consiste em guiar a luz por um guia, 
que se divide em 2, conforme ilustrado. Em um dos dois braços do dispositivo, existe um material 
eletro-óptico, onde ao se aplicar uma tensão elétrica, seu índice de refração é alterado, alterando 
propriedades de propagação (o índice efetivo do guia muda de 𝑛𝑔𝑢𝑖𝑎 = 𝑎 + j𝑏 para 𝑛𝑔𝑢𝑖𝑎 + 𝛿). 
Ao propagar pelos dois braços, as ondas são novamente combinadas (somadas). Dependendo da 
diferença da fase entre a onda do braço superior e inferior, a interferência pode ser construtiva 
(gerando 1’s) ou destrutiva (gerando 0’s). Neste contexto, (a) calcule o L para necessário para 
que esse dispositivo funcione corretamente (2 pontos) e (b) a atenuação sofrida pela onda (razão 
entre amplitude de entrada e de saída) (1 ponto). 
 
(a) 
1. O campo elétrico da entrada é definido como (fasor): 
�⃗� = 𝐸0�̂�, 𝑜𝑛𝑑𝑒 {
𝛽𝑔𝑢𝑖𝑎 =
2𝜋
𝜆
Re{𝑛𝑔𝑢𝑖𝑎} =
2𝜋
𝜆
𝑎
𝛼𝑔𝑢𝑖𝑎 =
2𝜋
𝜆
Im{𝑛𝑔𝑢𝑖𝑎} =
2𝜋
𝜆
𝑏
 
2. Depois do divisor de potência 
{
�⃗� 𝑖𝑛
1 (𝑥 = 0) =
𝐸0
2
�̂�, �⃗� 𝑜𝑢𝑡
1 (𝑥 = 𝐿) =
𝐸0
2
e−
2𝜋
𝜆
𝑏𝐿e−j
2𝜋
𝜆
(𝑎+𝛿)𝐿�̂�
�⃗� 𝑖𝑛
2 (𝑥 = 0) =
𝐸0
2
�̂�, �⃗� 𝑜𝑢𝑡
2 (𝑥 = 𝐿) =
𝐸0
2
𝑒−
2𝜋
𝜆
𝑏𝐿e−j
2𝜋
𝜆
(𝑎)𝐿�̂�
 
3. Na saída do comutador 
𝐸𝑜𝑢𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗� 𝑜𝑢𝑡
1 + �⃗� 𝑜𝑢𝑡
2 =
𝐸0
2
e−
2𝜋
𝜆
𝑏𝐿e−j
2𝜋
𝜆
(𝑎+𝛿)𝐿�̂� +
𝐸0
2
𝑒−
2𝜋
𝜆
𝑏𝐿e−j
2𝜋
𝜆
(𝑎)𝐿�̂� 
𝐸𝑜𝑢𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =
𝐸0
2
�̂�e−
2𝜋
𝜆
𝑏𝐿e−j
2𝜋
𝜆
(𝑎)𝐿 (e−j
2𝜋
𝜆
𝛿𝐿 + 1) 
4. O campo elétrico medido será: 
ℰ𝑜𝑢𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = Re {𝐸𝑜𝑢𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑒j𝜔𝑡} =
𝐸0�̂�
2
e−
2𝜋
𝜆
𝑏𝐿 cos (𝜔𝑡 −
2𝜋
𝜆
a𝐿) (e−j
2𝜋
𝜆
𝛿𝐿 + 1) 
5. Em estado de OFF (𝛿 = 0 ) 
ℰ𝑜𝑢𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = Re {𝐸𝑜𝑢𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑒𝑗𝜔𝑡} = 𝐸0�̂�e
−
2𝜋
𝜆
𝑏𝐿 cos (𝜔𝑡 −
2𝜋
𝜆
a𝐿) 
6. Em estado de ON 
ℰ𝑜𝑢𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = Re {𝐸𝑜𝑢𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑒𝑗𝜔𝑡} = 𝐸0�̂�e
−
2𝜋
𝜆
𝑏𝐿 cos (𝜔𝑡 −
2𝜋
𝜆
a𝐿) (e−j
2𝜋
𝜆
𝛿𝐿 + 1) 
 Para zeras a transmissão, é necessário que 
e−j
2𝜋
𝜆
𝛿𝐿 = −1 =>
2𝜋
𝜆
𝛿𝐿 = 𝜋 => 𝐿 =
𝜆
2𝛿
 
(b) Atenuação: 
𝐴𝑡𝑡 = 1 −
|𝐸𝑜𝑢𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
2
|�⃗� |
2 = 1 −
𝐸0
2e
−2
2𝜋
𝜆
𝑏𝐿
𝐸0
2 = 1 − e−
4𝜋
𝜆
𝑏
𝜆
2𝛿 = 1 − e−
2𝜋
2𝛿
𝑏
 
2- Considere um meio anisotrópico, onde 𝜀 = 𝜀 0 e 𝜇 = 𝜇0 [
𝜇𝑥 0 0
0 𝜇𝑦 0
0 0 𝜇𝑧
]. Se neste meio propaga uma 
onda eletromagnética com �⃗� = 𝐸0e
−j(𝑘𝑥𝑥+𝛽𝑦)ej𝜔𝑡�̂�, (a) Encontre o valor de β (1 ponto), (b) calcule a 
impedância do meio (1 ponto) e (c) Ache o vetor de Poynting médio da Onda (1 ponto). 
(a) 
∇⃗⃗ × E⃗⃗ = (
d𝐸0e
−j(𝑘𝑥𝑥+𝛽𝑦)ej𝜔𝑡
d𝑦
)𝑥 + (−
d𝐸0e
−j(𝑘𝑥𝑥+𝛽𝑦)ej𝜔𝑡
d𝑥
) �̂�
= [−𝑗𝛽𝑥 + 𝑗𝑘𝑥�̂�]𝐸0e
−j(𝑘𝑥𝑥+𝛽𝑦)ej𝜔𝑡 
𝜇�⃗⃗� = −∫ ∇⃗⃗ × E⃗⃗ d𝑡 =
[𝑗𝛽𝑥 − 𝑗𝑘𝑥�̂�]
j𝜔
𝐸0e
−j(𝑘𝑥𝑥+𝛽𝑦)ej𝜔𝑡 =
[𝛽𝑥 − 𝑘𝑥�̂�]
𝜔
𝐻0e
−j(𝑘𝑥𝑥+𝛽𝑦)ej𝜔𝑡 
�⃗⃗� =
[
𝛽
𝜇𝑥
𝑥 −
𝑘𝑥
𝜇𝑦
�̂�]
𝜇0𝜔
𝐸0e
−j(𝑘𝑥𝑥+𝛽𝑦)ej𝜔𝑡 
Utilizando a Lei de Faraday (somente a componente z) 
(∇⃗⃗ × H⃗⃗ )
𝑧
= −j
[
𝛽2
𝜇𝑥
+
𝑘𝑥
2
𝜇𝑦
]
𝜇0𝜔
𝐸0e
−j(𝑘𝑥𝑥+𝛽𝑦)ej𝜔𝑡 
−𝜀
𝑑�⃗� 
𝑑𝑡
= −j𝜔𝜀𝐸0e
−j(𝑘𝑥𝑥+𝛽𝑦)ej𝜔𝑡�̂� 
Juntando as equações, 
−j
[
𝛽2
𝜇𝑥
+
𝑘𝑥
2
𝜇𝑦
]
𝜇0𝜔
𝐸0e
−j(𝑘𝑥𝑥+𝛽𝑦)ej𝜔𝑡 = −j𝜔𝜀𝐸0e
−j(𝑘𝑥𝑥+𝛽𝑦)ej𝜔𝑡 
[
𝛽2
𝜇𝑥
+
𝑘𝑥
2
𝜇𝑦
]
𝜇0𝜔
= 𝜔𝜀0 => 𝛽 = √𝜔2𝜇0𝜀0𝜇𝑥 − 𝑘𝑥
2
𝜇𝑥
𝜇𝑦
 
(b) A impedância é dada pela relação entre o campo elétrico e magnético: 
𝑍 =
𝐸
𝐻
=
𝐸0
√
𝛽2
𝜇
𝑥
2 +
𝑘𝑥
2
𝜇
𝑦
2
𝜇0𝜔
𝐸0
=
𝜇0𝜔
√
𝜔2𝜇0𝜀0
𝜇𝑥
− 𝑘𝑥
2 1
𝜇𝑥𝜇𝑦
+
𝑘𝑥
2
𝜇𝑦
2
=
𝜇0𝜔
√
𝜔2𝜇0𝜀0
𝜇𝑥
+ 𝑘𝑥
2 (
1
𝜇
𝑦
2 −
1
𝜇𝑥𝜇𝑦
)
 
(c) 
〈𝑆 〉 =
1
2
Re{�⃗� × �⃗⃗� ∗} =
1
2
Re
{
 
 
 
 
𝐸0e
−j(𝑘𝑥𝑥+𝛽𝑦)ej𝜔𝑡�̂�×
[−
𝛽
𝜇𝑥
�̂� +
𝑘𝑥
𝜇𝑦
�̂�]
𝜇0𝜔
𝐸0e
j(𝑘𝑥𝑥+𝛽𝑦)e−j𝜔𝑡
}
 
 
 
 
= 
〈𝑆 〉 =
1
2
Re
{
 
 
 
 
𝐸0�̂� ×
[
𝛽
𝜇𝑥
�̂� −
𝑘𝑥
𝜇𝑦
�̂�]
𝜇0𝜔
𝐸0
}
 
 
 
 
=
1
2
𝐸0
𝜇0𝜔
[
𝛽
𝜇𝑥
�̂� +
𝑘𝑥
𝜇𝑦
�̂�] 
 
3- Deduza (a) a equação dos coeficientes de transmissão e reflexão TE e TM de um slab com 
espessura d, permissividade relativa 𝜀1, sendo que a onda incide na interface do slab com um 
ângulo 𝜃1 em relação a normal, conforme a imagem abaixo (2 pontos). (b) Calcule a potência 
que atravessa a superfície S destacada na imagem abaixo para uma onda TE (a superfícia tem 
dimensões a na direção y e a na direção z)(2 pontos). 
 
(a) Irei fazer pelo método da somatória. Irei considerar os meios como 1,2 e 3 para a notação. 
Primeiramente, vamos definir o ângulo de propagação dentro do slab com a Lei de Snell, 
sin 𝜃𝑖 = sin 𝜃𝑡 = √𝜀1 sin𝜃1 => 𝜃𝑖 = 𝜃𝑡 𝑒 𝜃1 = asin(sin 𝜃𝑖 /√𝜀1) 
(b) As impedâncias são dadas por: 
𝑍1 = 𝑍0; 𝑍2 =
𝑍0
√𝜀1
; 𝑍3 = 𝑍0 
(c) Vamos definir os coeficientes de transmissão e reflexão: 
𝑅𝑠
12 =
𝑍2 cos 𝜃𝑖 − 𝑍0 cos 𝜃1
𝑍2 cos 𝜃𝑖 + 𝑍0 cos 𝜃1
, 𝑅𝑠
21 =
𝑍0 cos 𝜃1 − 𝑍2 cos 𝜃𝑖
𝑍0 cos 𝜃1 + 𝑍2 cos 𝜃𝑖
, 𝑅𝑠
23 =
𝑍0 cos 𝜃1 − 𝑍2 cos 𝜃𝑡
𝑍0 cos 𝜃1 + 𝑍2 cos 𝜃𝑡
 
𝑇𝑠
12 =
2𝑍2 cos 𝜃𝑖
𝑍2 cos 𝜃𝑖 + 𝑍0 cos 𝜃1
; 𝑇𝑠
21 =
2𝑍0 cos 𝜃1
𝑍0 cos 𝜃1 + 𝑍2 cos 𝜃𝑖
; 𝑇𝑠
23 =
2𝑍0 cos 𝜃1
𝑍0 cos 𝜃1 + 𝑍2 cos 𝜃𝑖
 
(d) Vamos definir os 𝑘𝑥 de cada camada: 
𝑘1⃗⃗⃗⃗ = 𝑘0(cos 𝜃𝑖 �̂� + sin 𝜃𝑖 �̂�)
𝑘2⃗⃗⃗⃗ = 𝑘0√𝜀1(cos 𝜃1 �̂� + sin 𝜃1 �̂�) => 𝑘𝑥
2 = 𝑘0√𝜀1
𝑘𝑡⃗⃗ ⃗ = 𝑘0(cos 𝜃𝑡 �̂� + sin 𝜃𝑡 �̂�)
cos 𝜃1 
Fazendo a somatório para o TE, 
𝑇𝑠 = 𝑇𝑠
12𝑒−j𝑘𝑥
2𝑑𝑇𝑠
23 + 𝑇𝑠
12(𝑅𝑠
23e−3j𝑘𝑥
2𝑑𝑅𝑠
21)𝑇𝑠
23 ++𝑇𝑠
12 (𝑅𝑠
232e−5j𝑘𝑥
2𝑑𝑅𝑠
212)𝑇𝑠
23 +⋯ 
𝑇𝑠 = 𝑇𝑠
12𝑒−j𝑘𝑥
2𝑑𝑇𝑠
23∑(𝑅𝑠
23e−2j𝑘𝑥
2𝑑𝑅𝑠
21)
𝑛
∞
𝑛=0
=
𝑇𝑠
12𝑇𝑠
23𝑒−j𝑘𝑥
2𝑑
1 − 𝑅𝑠
23𝑅𝑠21e−2j𝑘𝑥
2𝑑
 
 
𝑅𝑠 = 𝑅𝑠
12 + 𝑇𝑠
12𝑒−2j𝑘𝑥
2𝑑𝑅𝑠
23𝑇𝑠
21 + 𝑇𝑠
12𝑒−4j𝑘𝑥
2𝑑𝑅𝑠
232𝑅𝑠
21𝑇𝑠
21 + 𝑇𝑠
12𝑒−6j𝑘𝑥
2𝑑𝑅𝑠
233𝑅𝑠
212𝑇𝑠
21… 
𝑅𝑠 = 𝑅𝑠
12 + 𝑇𝑠
12𝑒−2j𝑘𝑥
2𝑑𝑇𝑠
21𝑅𝑠
23∑(𝑅𝑠
23e−2j𝑘𝑥
2𝑑𝑅𝑠
21)
𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑅𝑠
12 +
𝑇𝑠
12𝑇𝑠
21𝑅𝑠
23𝑒−2j𝑘𝑥
2𝑑
1 − 𝑅𝑠
23𝑅𝑠21e−2j𝑘𝑥
2𝑑
 
(e) Para o TM, vamos definir os coeficientes de transmissão e reflexão: 
𝑅𝑝
12 =
𝑍2 cos 𝜃1 − 𝑍0 cos 𝜃𝑖
𝑍2 cos 𝜃1 + 𝑍0 cos 𝜃𝑖
, 𝑅𝑝
21 =
𝑍0 cos 𝜃1 − 𝑍0 cos 𝜃𝑖
𝑍0 cos 𝜃1 + 𝑍0 cos 𝜃𝑖
, 𝑅𝑝
23 =
𝑍0 cos 𝜃1 − 𝑍0 cos 𝜃𝑖
𝑍0 cos 𝜃1 + 𝑍0 cos 𝜃𝑖
 
𝑇𝑝
12 =
2𝑍2 cos 𝜃𝑖
𝑍2 cos 𝜃1 + 𝑍0 cos 𝜃𝑖
; 𝑇𝑝
21 =
2𝑍0 cos 𝜃1
𝑍0 cos 𝜃𝑖 + 𝑍2 cos 𝜃1
; 𝑇𝑝
23 =
2𝑍0 cos 𝜃1
𝑍0 cos 𝜃𝑖 + 𝑍2 cos 𝜃1
 
O restante para R e T é a mesma coisa. 
b. Para a potência, vamos calcular o campo elétrico transmitido 
𝐸𝑡⃗⃗ ⃗ = 𝐸𝑡e
−j𝑘𝑡⃗⃗⃗⃗ 𝑟 �̂�, 𝐸𝑇 = 𝑇𝑠𝐸0 
O campo magnético: 
𝐻𝑡⃗⃗⃗⃗ = 𝑇𝑠
𝐸0
𝑍0
(− cos 𝜃𝑖 �̂� + sin 𝜃𝑖 �̂�)e
−j𝑘𝑡⃗⃗⃗⃗ 𝑟 
O Vetor de Poynting médio 
〈𝑆 〉 =
1
2
Re{�⃗� × �⃗⃗� ∗} =
1
2
Re {𝑇𝑠𝐸0e
−j𝑘𝑡⃗⃗⃗⃗ 𝑟 �̂� × 𝑇𝑠
𝐸0
𝑍0
(− cos 𝜃𝑖 �̂� + sin 𝜃𝑖 �̂�)e
j𝑘𝑡⃗⃗⃗⃗ 𝑟 }
=
𝐸0𝑇
2
2𝑍0
(cos 𝜃𝑖 �̂� + sin 𝜃𝑖 �̂�) [
w
m2
] 
Sabendo que 𝑑𝑆 = 𝑑𝑦𝑑𝑧�̂�, a potência média é calculada por 
𝑃𝑚 =∬〈𝑆 〉𝑑𝑆 
𝑆
= ∫∫
𝐸0𝑇
2
2𝑍0
(cos 𝜃𝑖 �̂� + sin 𝜃𝑖 �̂�)𝑑𝑦𝑑𝑧�̂� =
𝐸0𝑇
2𝑎2
2𝑍0
𝑎
0
𝑎
0
cos 𝜃𝑡 [W] 
 
 
4- Escreva um pseudo-código que gere 4 vetores com os coeficientes de transmissão e reflexão 
TE e TM, sendo que cada elemento do vetor corresponde a um comprimento de onda entre 
𝜆𝑖𝑛𝑖 e 𝜆𝑓𝑖𝑚 (2 pontos extras). 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO 
∇⃗⃗ × H⃗⃗ = 𝜀
𝑑�⃗� 
𝑑𝑡
 ∇⃗⃗ × E⃗⃗ = −𝜇
𝑑�⃗⃗� 
𝑑𝑡
 
∇⃗⃗ ∙ E⃗⃗ =
𝜌𝑣
𝜀
 ∇⃗⃗ ∙ H⃗⃗ = 0 
𝑉𝑚 = ∮ �⃗⃗� d𝐿⃗⃗⃗⃗ = 𝑁𝐼 Φ𝑚 =∬�⃗� d𝑆⃗⃗⃗⃗ 
𝑍 =
|�⃗� |
|�⃗⃗� |
 ∑(𝑎)𝑛
∞
𝑛=0
=
1
1 − 𝑎
 
 𝑉 = 𝑅𝐼 
𝑅𝑠 =
𝑍2 cos 𝜃𝑖 − 𝑍1 cos𝜃𝑡
𝑍2 cos 𝜃𝑖 + 𝑍1 cos 𝜃𝑡
 𝑇𝑠 =
2𝑍2 cos 𝜃𝑖
𝑍2 cos 𝜃𝑖 + 𝑍1 cos 𝜃𝑡
 
𝑅𝑝 =
𝑍2 cos 𝜃𝑡 − 𝑍1 cos 𝜃𝑖
𝑍2 cos 𝜃𝑡 + 𝑍1 cos 𝜃𝑖
 𝑇𝑝 =
2𝑍2 cos 𝜃𝑖
𝑍2 cos 𝜃𝑡 + 𝑍1 cos 𝜃𝑖
 
{
𝑘𝑖⃗⃗ ⃗ = 𝑘0𝑛1(cos 𝜃𝑖 �̂� + sin 𝜃𝑖 �̂�)
𝑘𝑟⃗⃗⃗⃗ = 𝑘0𝑛1(−cos 𝜃𝑟 �̂� + sin 𝜃𝑟 �̂�)
𝑘𝑡⃗⃗ ⃗ = 𝑘0𝑛2(cos 𝜃𝑡 �̂� + sin 𝜃𝑡 �̂�)
 𝑘0 =
𝜔
𝑐
 
{
𝐸𝑟⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑟e
−j𝑘𝑟⃗⃗ ⃗⃗ 𝑟 �̂�, 𝐸𝑟 = 𝑅𝐸0
𝐸𝑡⃗⃗ ⃗ = 𝐸𝑡e
−j𝑘𝑡⃗⃗⃗⃗ 𝑟 �̂�, 𝐸𝑇 = 𝑇𝐸0
 {
�⃗� = 𝐸0⃗⃗⃗⃗ e
−j�⃗� 𝑟 , 𝐸0⃗⃗⃗⃗ = 𝐸0�̂� 
�⃗⃗� = 𝐻0⃗⃗ ⃗⃗ e
−j�⃗� 𝑟 , 𝐻0⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐻0�̂�
 
𝐻0⃗⃗ ⃗⃗ =
1
𝑍
�̂� × 𝐸0⃗⃗⃗⃗ 〈𝑆 〉 =
1
2
Re{�⃗� × �⃗⃗� ∗} 
𝐴𝑡𝑡 = 1 −
|𝐸𝑜𝑢𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |
2
|𝐸𝑖𝑛⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
2