Ep07-MB_2014-1 aula 5 P.A.

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Matemática Básica 2014 - 1  EP7 
 
 Prezado aluno, 
 
De acordo com o cronograma, você deve estudar progressões aritméticas nesta semana. 
Você pode estudar este assunto pela aula 10 do seu livro do Cederj, ou pode seguir a Unidade 
5 da apostila da disciplina, disponível na plataforma. Resolva os exercícios propostos na 
apostila e também do livro. 
Incluímos nesse EP exercícios sobre resolução de equações envolvendo módulos. Leia os 
exercícios resolvidos, refaça-os sozinho para ver se entendeu. Depois, resolva os exercícios 
propostos. 
 Lembre-se: a Unidade 5 e este EP são os últimos assuntos a serem estudados para a 
primeira avaliação presencial (AP1). Se você “zerar” as dúvidas dos exercícios propostos, 
principalmente, os dos EPs, fará uma ótima avaliação. Portanto, não perca tempo, estude! 
 Na próxima semana teremos somente exercícios de revisão. 
Coordenadores da disciplina 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
 
Miriam Abdón 
 
Resolução de equações envolvendo módulo: 
 
Exemplos: 
 Determine o conjunto solução de cada equação. 
1) |𝑥| = 3 
Solução: Pela definição de módulo, x=3 ou x= -3. S={-3,3}. 
 
2) |𝑥 − 1| = 2 
Solução: 𝑥 − 1 = 2 𝑜𝑢 𝑥 − 1 = −2 ⟺ 𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = −1. S={-1,3}. 
 
3) |𝑥 + 1| = −1 
Solução: S=∅, pois |𝑎| ≥ 0, ∀𝑎 ∈ ℝ. 
 
4) |𝑥|(
 𝑥
2
− 1) = 𝑥 
Solução: Vamos dividir em 3 casos, a saber, x=0, x>0 e x<0. 
Se x=0, temos |0|(
 0
2
− 1) =0⟺ 0 (
 0
2
− 1) = 0 ⟺ 0 = 0, portanto x=0 é uma solução. 
Se x>0, temos |x|=x e portanto |𝑥| (
 𝑥
2
− 1) = 𝑥 ⟺ 𝑥 (
 𝑥
2
− 1) = 𝑥 ⟺⏟
÷𝑥
(
 𝑥
2
− 1) = 1 ⟺ 𝑥 =
4. Donde, x=4 também é solução. 
Se x<0, temos |x|=-x e portanto |𝑥| (
 𝑥
2
− 1) = 𝑥 ⟺ −𝑥 (
 𝑥
2
− 1) = 𝑥 ⟺⏟
÷𝑥
− (
 𝑥
2
− 1) =
1 ⟺ 𝑥 = 0. Como estamos no caso x<0, desta conta não temos solução. Assim, S={0,4}. 
 
5) (|𝑥| − 4)(√2 − 𝑥)|𝑥| = 0 
Solução: O produto de n números reais é zero se e somente se um dos fatores é zero. 
Portanto, temos 
 (|𝑥| − 4)(√2 − 𝑥)|𝑥| = 0 ⟺ (|𝑥| − 4) = 0 𝑜𝑢 (√2 − 𝑥) = 0 𝑜𝑢 |𝑥| = 0 ⟺ |𝑥| =
4 𝑜𝑢 𝑥 = √2 𝑜𝑢 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 4 𝑜𝑢 𝑥 = −4 𝑜𝑢 𝑥 = √2 𝑜𝑢 𝑥 = 0. 
Logo, S={-4,0,√2,4}. 
 
6) (|𝑥| + 1)(√3𝑥 − 1)|𝑥 − 2| = 0 
Solução: O produto de n números reais é zero se e somente se um dos fatores é zero. 
Portanto, temos 
 (|𝑥| + 1)(√3𝑥 − 1)|𝑥 − 2| = 0 ⟺ (|𝑥| + 1) = 0 𝑜𝑢 √3𝑥 − 1 = 0 𝑜𝑢 |𝑥 − 2| = 0 ⟺
|𝑥| = −1(𝑛ã𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜) 𝑜𝑢 𝑥 =
1
√3
𝑜𝑢 𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 =
1
√3
𝑜𝑢 𝑥 = 2. Logo, 𝑆 =
{2,
1
√3
}. 
 
7) |𝑥| − 2𝑥 + 1 = 3 
Solução: 1º caso: seja 𝑥 ≥ 0, então |𝑥| = 𝑥 e |𝑥| − 2𝑥 + 1 = 3 ⟺ 𝑥 − 2𝑥 + 1 = 3 ⟺
−𝑥 + 1 = 3 ⟺ 𝑥 = −2 . Como 𝑥 ≥ 0, desprezamos x= -2. 
2º caso: seja x<0, então |𝑥| = −𝑥 e |𝑥| − 2𝑥 + 1 = 3 ⟺ −𝑥 − 2𝑥 + 1 = 3 ⟺ −3𝑥 +
1 = 3 ⟺ 𝑥 = −2/3. Logo, S={-2/3}. 
 
 Exercícios 
 
1) Resolva e marque o conjunto solução na reta orientada. 
a) |𝑥 + 1| = 2 
b) (|𝑥| − 1)(𝜋𝑥 + 5)|𝑥 + 2| = 0 
c) −|𝑥| − 𝑥 + 1 = 2𝑥 
d) |𝑥|(
 𝑥
4
− 1) = 2𝑥 
 
 
2) Determine os valores reais de x, para os quais a expressão 𝐸(𝑥) =
𝑥+1
𝑥
|𝑥−1|−2
 está bem definida 
em ℝ. 
 
3) Um adolescente, querendo comprar um ipod de R$ 987,00, começou a guardar parte de 
sua mesada, sempre R$ 9,00 a mais do que no mês anterior. O projeto de 14 meses de 
duração teve início com o adolescente guardando: 
a) R$ 6,00 
b) R$ 9,00 
c) R$ 12,00 
 d) R$ 15,00 
e) R$ 18,00 
4) A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é dada por Sn = 2n² + 3n. Determine o quinto 
termo da progressão. 
 
 
Resposta dos Exercícios do EP6 
 
1) Resolva as equações no conjunto dos reais e represente o conjunto solução numa reta 
graduada. 
a) 
1
𝑥−1
=
3
2𝑥+2
 
b) 
𝑥
𝑥+1
= 60% 
c) 2𝑎𝑥 + 2𝑥 − √9
3
= 1, onde 𝑎 = √2  1. 
 
Solução: 
a) Para 𝑥 ≠ 1, −1, temos 
1
𝑥−1
=
3
2𝑥+2
⟺ 2𝑥 + 2 = 3𝑥 − 3 ⟺ 𝑥 = 5. 
 
b) Para 𝑥 ≠ −1, 
𝑥
𝑥+1
= 60% ⟺
𝑥
𝑥+1
=
60
100
=
3
5
⟺ 5𝑥 = 3𝑥 + 3 ⟺ 2𝑥 = 3 ⟺ 𝑥 =
3
2
. 
 
c) Substituindo o valor de a na equação, obtemos (2√2 − 2)𝑥 + 2𝑥 − √9 = 1 ⟺
2√2 𝑥 = 1 + √9 = 1 + 3 ⟺ 𝑥 =
4 
2√2
=
2
√2
= √2. 
 
 
 
2) Resolva os sistemas no conjunto dos reais. 
a) {
2𝑥 − 𝑦 = 3
3𝑥 + 𝑦 = 1
 
 
b) {
√3𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = (1 + √3 )2
 
 
c) {
2𝑥 − 5 ≤ 0
−2𝑥 < 1
 
Solução: 
a) Somando as duas equações, obtemos 5𝑥 = 4 ⟺ 𝑥 =
4
5
. Substituindo o valor de x 
encontrado na 2ª equação , obtemos 3
4
5
+ 𝑦 = 1 ⟺
12
5
+ 𝑦 = 1 ⟺ 𝑦 = 1 −
12
5
⟺ 𝑦 =
−7
5
. 
b) Somando as duas equações, obtemos √3𝑥 + 𝑥 = (1 + √3 )2 ⟺ (√3 + 1)𝑥 =
(1 + √3 )2 ⟺ 𝑥 = 1 + √3. Substituindo esse valor na 1ª equação, obtemos 
𝑦 = √3 (√3 + 1) = 3 + √3 . 
c) 2𝑥 − 5 ≤ 0 ⟺ 2𝑥 ≤ 5 ⟺ 𝑥 ≤
5
2
⟺ 𝑥 ∈ 𝑆1 = (−∞,
5
2
] 
 e −2𝑥 < 1 ⟺ 𝑥 > −
1
2
⟺ 𝑥 ∈ 𝑆2 = (−
1
2
, ∞) . Logo, o conjunto solução do sistema é 
formado pela interseção 𝑆 = 𝑆1 ∩ 𝑆2 = (−
1
2
,
5
2
]. 
 
3) Desenhe uma representação da reta graduada e represente os seguintes valores 
sobre o seu desenho: 3 – √18; 2 −3; √4 + ; 5,2. Você pode usar que √2 é 
aproximadamente 1,4 e  é aproximadamente 3,1. 
Solução: 
3 – √18 = 3 − 3√2 ≅ 3(1 − 1,4) = −1,2; 
2 −3≅ 2 − 3 × 3,1 = 2 − 9,3 = −7,3; 
√4 + =2+𝜋 ≅ 5,1; 
Como 𝜋 < 3,2, então 2+𝜋 < 5,2. 
 
 
4) Resolva as inequações. Dê a resposta em termos de intervalos e represente o conjunto 
solução na reta graduada. 
a) 2x + 5 < 6 
b) 3𝑥 − 2 ≤ −𝑥 + 2 
c) −2 < 𝑥 + 1 ≤ 4 
d) −2 < −𝑥 + 1 ≤ 4 
e) |𝑥 + 2| ≤3 
f) |𝑥 + 2| > 3 
 
Solução: 
a) 2x + 5 < 6⟺ −2𝑥 < −11 ⟺ 𝑥 >
11
2
. Logo, S=(
11
2
, +∞). 
 
b) 3𝑥 − 2 ≤ −𝑥 + 2 ⟺ 4𝑥 ≤ 4 ⟺ 𝑥 ≤ 1. Logo, S=(−∞, 1]. 
 
c) Somando -1 em ambos os membros, obtemos −2 < 𝑥 + 1 ≤ 4 ⟺ −3 < 𝑥 ≤ 3. Logo, 
S=(-3,3]. 
 
d) Somando -1 em ambos os membros, obtemos −2 < −𝑥 + 1 ≤ 4 ⟺ −3 < −𝑥 ≤ 3 ⟺
3 > 𝑥 ≥ −3. Logo, S=[−3,3). 
 
e) |𝑥 + 2| ≤3⟺ −3 ≤ 𝑥 + 2 ≤ 3 ⟺ −5 ≤ 𝑥 ≤ 1. Logo, S=[-5,1]. 
 
f) |𝑥 + 2| > 3 ⟺ 𝑥 + 2 > 3 𝑜𝑢 𝑥 + 2 < −3 ⟺ 𝑥 > 1 𝑜𝑢 𝑥 < −5. Logo, S=
 (−∞, −5) ∪ (1, +∞). 
 
 
4) Desenvolva e simplifique o máximo possível a seguinte expressão:  + √3 + 
√9
3
 + 
1
√3
3 + . Observação: Não use aproximações. 
 
 Solução:  + √3 + √9
3
 + 
1
√3
3 +  = 2 + √3 + 
4
√3
3 = 2 + √3 + 
4
3
√9
3
. 
 
 
 
 
6) Represente num desenho da reta numérica os números reais que satisfazem às 
inequações, 3 < x + 1  2. Dê a solução do sistema de inequações com notação 
de intervalos. 
 
Solução: Temos 3 < x + 1, donde 4 < x. E temos x + 1  2, donde x  1. Logo, 
x  (4, 1]. Ou seja, o conjunto solução é (4, 1]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta dos exercícios complementares: 
 
1. Analisando a raiz quadrada: 
Lembremos que : 
Dado um número real 𝑎 ≥ 0, a raiz quadrada de a é o número real 𝑏 ≥ 0, tal que 𝑏2 = 𝑎. 
 Usamos a notação √𝑎 para denotar b. Portanto, (√𝑎)
2
= 𝑎, onde √𝑎 ≥ 0. 
a) Calcule √9. 
b) Determine todas as soluções da equação 𝑥2 = 9. 
c) Analisando a definição de √𝑎, é correto escrever √9 = ±3 ou √16 = ±4 ? 
Justifique. 
d) Calcule √𝑥2, para 𝑥 = 2, 𝑥 = −2 𝑒 𝑥 = −3. Pensando nesses exemplos, podemos 
escrever que √𝑥2 = 𝑥, ∀𝑥𝜖ℝ ? 
e) Complete a lacuna √𝑥2 = _____, ∀𝑥𝜖ℝ 
Solução: 
a) √9 = 3. 
b) As soluções são 𝑥 = √9 = 3 e 𝑥 = − √9 = −3 
c) NÃO! A raiz quadrada de um número real positivo é um outro número real positivo, 
por definição. Então, o correto é √9= 3 e √16 = 4. 
d) Por definição da raiz quadrada, √22 = 2 e √(−2)2 = 2 ( pois 2>0 e 22 =
(−2)2 = 4) . Analogamente, √(−3)2 = 3 . Portanto, NÃO podemos escrever que 
√𝑥2 = 𝑥, ∀𝑥𝜖ℝ , isso é falso! 
e) Observe que √𝑥2 = |𝑥|, ∀𝑥𝜖ℝ , pois |𝑥| = {
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
. 
 
OBS: Agora, não escreva mais como no item c), você já aprendeu a escrever 
corretamente: √4=2, √9 = 3,√16 = 4 ... 
 
2. Dê um contraexemplo para mostrar que a igualdade √𝑥 + 𝑦 = √𝑥 + √𝑦, 𝑥, 𝑦 >
0 é FALSA! 
Solução: Tome 𝑥 = 𝑦 = 1, então √2 = √1 + 1 ≠ √1 + √1 = 2. 
 
3. Determine o conjunto solução: 
a) (5𝑥 − 2)(𝑥 + 4) = (𝑥 + 4)(𝑥) 
b) √𝑥 + 2 = √2𝑥 + 12 
c) 𝑥(𝑥 + 1) = 𝑥2(𝑥 + 1) 
Solução: 
a) (5𝑥 − 2)(𝑥 + 4) = (𝑥 + 4)(𝑥) ⟺ 𝑥 + 4 = 0 𝑜𝑢 5𝑥 − 2 = 𝑥 [se 𝑥 + 4 ≠ 0, 
podemos dividir por (𝑥 + 4)] ⟺ 𝑥 = −4 𝑜𝑢 𝑥 = 1/2. 
S={-4,1/2}. 
b) √𝑥 + 2 = √2𝑥 + 12 ⇒⏟
𝑒𝑙𝑒𝑣𝑜 
𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑥 + 2 = 2𝑥 + 12 ⇔ 𝑥 = −10. Observe que -10 
não está no domínio da equação inicial, logo 𝑆 = ∅. 
c) 𝑥(𝑥 + 1) = 𝑥2(𝑥 + 1) ⟺ 𝑥(𝑥 + 1) = 𝑥. 𝑥(𝑥 + 1) ⟺ 𝑥(𝑥 + 1) = 0 𝑜𝑢 1 = 𝑥 ⟺
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = 1. S={-1,0,1}.