EP12-MB-2014-1

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Matemática Básica 2014 - 1 EP12 
 
Prezado aluno, 
nas próximas semanas você deverá estudar a noção matemática chamada função. Este 
conhecimento é base para vários outros conhecimentos matemáticos. Contudo, em 
Matemática Básica, você verá somente uma iniciação ao estudo das funções. 
Essencialmente, a Unidade 9 apresenta a linguagem relacionada ao conceito de função. 
Você perceberá que o conhecimento matemático necessário para acompanhar a Unidade 
9 é bem tranquilo e as ferramentas necessárias para resolver exercícios já foram vistas no 
curso, tais como intervalos, estudo de equações, inequações, entre outros. O foco principal 
deve ser na compreensão e fixação dos objetos e termos envolvidos no conceito de função. 
Aliás, a noção de função tem suas particularidades também. Este deve ser o primeiro 
objeto matemático que o aluno estuda que tem formação complexa. O aluno irá notar que 
o conceito de função envolve vários objetos, de naturezas diferentes. 
O nosso conselho é que o aluno estude todo o material esta semana e realize as 
atividades contidas na apostila. Para a próxima semana, vamos nos concentrar nas 
representações gráficas do conceito de função e em exercícios de fixação. 
Aluno, tente compreender a noção de função. A abordagem aqui é só introdutória, 
mas este conceito é importantíssimo para as disciplinas de Cálculo, pois é o ambiente 
onde este é desenvolvido. No entanto, para terminar a disciplina de Matemática Básica, 
ainda teremos mais uma unidade para estudar. Na Unidade 10, vamos estudar em detalhes 
o caso particular de função chamado função afim. Mas, isto é só na próxima unidade. Até 
lá, prepare-se bem! 
 Neste EP também apresentamos alguns exercícios de revisão dos 
conteúdos já abordados. 
 
Bom estudo! 
Coordenadores da disciplina 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
Miriam Abdón 
 
Exercícios de Revisão 
1) A sequência, (x, y, z), é uma PG de razão 2. Sabendo que o segundo termo é igual a 5, 
determine os outros termos da PG. 
 
2) Simplifique completamente a expressão 
−6𝑥(𝑥+1)+9𝑥3(𝑥+1)2
𝑥2−1
. 
 
3) Resolva, se possível, cada equação: 
a) x  
4
𝑥
 = 0 b) 
𝑥−1
𝑥
=
𝑥
2
 c) √5𝑥 −
 √5
2
=
3
2
𝑥 + 3 
 
4) Simplifique a expressão 
√2−1
0,5.√2
. 
 
5)Um avião decola sob um ângulo de 55°. Depois de 6 km, seguindo uma trajetória com 
a mesma angulação, determine a altura aproximada em que o avião se encontra. 
Dados: 𝑠𝑒𝑛 55° ≅ 0,81, cos 55° ≅ 0,57, 𝑡𝑔 55° ≅ 1,42. 
 
6) Na figura abaixo CD = BD = 5 cm e AD = 3 cm. Calcule o valor de sen(90°  x) e 
tg(90°  x). 
 
 
7) Para construir uma ponte sobre um riacho foram colhidas as informações abaixo. 
 
Dados: 𝑠𝑒𝑛 65° ≅ 0,9 , cos 65° ≅ 0,42 , 𝑡𝑔 65° ≅ 2,14. 
Determine a largura aproximada do riacho. 
8) Dado um triângulo de lados medindo 5,11 e 13, determine se esse triângulo é 
acutângulo, obtusângulo ou retângulo. 
 
Gabarito do EP11 
 
1) O seno do suplemento de um ângulo é 0,6. Dê o seno do ângulo. 
Solução: Por simetria, o seno do ângulo procurado é 0,6. 
 
2) O seno do complemento de um ângulo é 0,8. Dê o cosseno do ângulo. 
Solução: Pense num triângulo retângulo de ângulos 90°, x e 90°-x. Então, cosx =sen(90°-
x)= 0,8. 
 
3) O cosseno de  é 0,3. Dê o seno do seu suplementar. 
Solução: O ângulo  é obtuso, pois o cosseno é negativo . Temos 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 ⇒
𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 − (−0,3)2 = 1 − 0,09 = 0,91. Logo, 𝑠𝑒𝑛𝑥 = ±√0,91 , mas como x está no 1º 
quadrante , segue que 𝑠𝑒𝑛𝑥 = √0,91. 
 
4) Se um ângulo tem seno igual 0,341 , determine o seno do seu suplemento. 
Solução: Por simetria, o seno do ângulo procurado é 0,341. 
 
5) Se um ângulo tem seno igual a 0,001 , determine o cosseno de seu complementar. 
Solução: Pense num triângulo retângulo de ângulos 90°, x e 90°-x. Então, senx =cos(90°-
x)= 0,001. 
6) Se 𝑡𝑔𝑥 = √2 , calcule 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑥. 
 
Solução: Dividindo a identidade trigonométrica fundamental por 𝑐𝑜𝑠2𝑥, obtemos 
1 + 𝑡𝑔2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥. 
Assim, podemos calcular o 𝑐𝑜𝑠𝑥, pois 1 + (√2) 2 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 ⇒ 𝑠𝑒𝑐𝑥 = √ 3 ⇒
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = ±
1
√3 
. Observe que como nesse curso trabalhamos com ângulos entre 0° e 
180°, sendo 𝑡𝑔𝑥 > 0, temos que 0<x<90° e portanto 𝑐𝑜𝑠 𝑥 > 0. Logo, 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
1
√3 
. 
Pela identidade trigonométrica fundamental, temos 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 −
1
3
=
2
3
 
⇒ 𝑠𝑒𝑛𝑥 = √
2
3
 . 
 
 
 
7) Um ângulo x agudo é tal que cos x = 4/9. Determine o valor de tg x. 
 
8) Calcule o valor de 𝛾 = 𝑡𝑔𝑎. 𝑡𝑔𝑏, sabendo que 𝒂 e 𝒃 são ângulos agudos de um 
triângulo retângulo. 
 
Note que 𝑏 = 90° − 𝑎 . Chamando os catetos do triângulo de 𝛼 𝑒 𝛽, então, se 𝑡𝑔𝑎 = 
𝛼
𝛽
 , 
teremos 𝑡𝑔𝑏 =
𝛽
𝛼
, donde 𝑡𝑔𝑎 . 𝑡𝑔𝑏 = 
𝛼
𝛽
.
𝛽
𝛼
= 1. 
 
9) Determine a soma das raízes da equação 2cos²(x) + cos(x) = 0, pertencentes ao 
intervalo [0, π]. 
2cos²(x) + cos(x) = 0⇔ 𝑐𝑜𝑠𝑥. (2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1) = 0 ⇔ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 𝑜𝑢 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 0 ⇔
 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −
1
2
 ⇔ 𝑥 =
π
2
 𝑜𝑢 𝑥 =
2π
3
 , pois 𝑥 ∈ [0, π]. Assim, a soma das raízes 
é igual a 
π
2
+
2π
3
=
7𝜋
6
. 
 
 
10) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo-se que o 
perímetro mede 57cm, calcule o comprimento do maior cateto. 
 
11) Determine a área do triângulo abaixo. 
 
Solução: Precisamos calcular a altura ℎ e o comprimento da base 𝑏. Então, 
1
2
=
𝑠𝑒𝑛 30° =
ℎ
6
⇒ ℎ = 3. Também, 
√3
2
= cos 30° =
𝑏
6
⇒ 𝑏 = 3√3 . Logo, a área é dada 
por 𝐴 =
𝑏ℎ
2
=
9√3
2
. 
 
12) Com base nas definições de grau e radiano, faça as seguintes conversões: 
a) 300° em radianos. 
 b) 
11𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 em graus. 
Solução: a) Fazendo uma regra de três 
180°____𝜋 
300°____x 
Logo,x=300
𝜋
180
=
5𝜋
3
. 
b) Fazendo uma regra de três 
11𝜋
6
______x 
 𝜋 _____ 180° 
Logo, x=330°. 
13)) (UERJ – 1ªFase) Millôr Fernandes, e uma bela homenagem à Matemática, escreveu 
um poema do qual extraímos o fragmento abaixo: 
 
Às folhas tantas de um livro de Matemática, 
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma Incógnita. 
Olhou-a com seu olhar inumerável 
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar; 
olhos rombóides, boca trapezóide, 
corpo retangular, seios esferóides. 
Fez da sua vida paralela à dela, até que se encontraram no Infinito. 
“Quem és tu?” - indagou ele em ânsia radical. 
“Sou a soma dos quadrados dos catetos. 
Mas pode me chamar de hipotenusa.” 
 
........................................................................ 
(Millôr Fernandes, Trinta Anos de Mim Mesmo.) 
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria 
dar a seguinte resposta: 
 
a) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.” 
b) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.” 
c) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da 
hipotenusa.” 
d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da 
hipotenusa.” 
Solução: O item correto é o d), observe a que correspondem as afirmações, supondo os 
catetos a e b e a hipotenusa c: 
a) a+b=c; b) (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑐 ; c) (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑐2; 
d) 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2. 
 
14) Observe a figura e siga as instruções abaixo para fazer uma demonstração geométrica 
do Teorema de Pitágoras. 
 
 
i. Desenvolva a expressão (𝑎 + 𝑏)2que dá a área do quadrado maior. 
ii. Some as áreas do quadrado menor de lados 𝑐 e dos quatro triângulos de lados 𝑎, 𝑏, 𝑐. 
iii. Igualeas áreas de i. e ii., faça um cancelamento e chegue à identidade 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2. 
Solução: 
i. (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2. 
ii. 𝑆 = 𝑐2 + 4
𝑎𝑏
2
= 𝑐2 + 2𝑎𝑏. 
iii. 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑐2 + 2𝑎𝑏 ⇒ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2. 
 
 
14) Considere um rio de margens paralelas. Um observador num ponto A de uma das 
margens visa um ponto fixo B na margem oposta (suponha que AB é perpendicular às 
margens). De A, ele traça uma perpendicular à linha AB e marca sobre ela um ponto C, 
distando 30 metros de A. Em seguida ele se desloca para C, visa os pontos B e A, e mede 
o ângulo 𝐵𝐶�̂� = 70º. Sabendo que tg 70º = 2,75 , calcule a largura do rio. 
Solução: 
 
 Temos que tg 𝐵𝐶�̂� = 
AC
AB
, tg 𝐵𝐶�̂� = 2,75 e AC = 30. Então, AB = 2,75×30 = 
82,5. 
Resposta: A largura do rio é AB = 82,5 metros. 
 
 
15) Um determinado engenheiro precisa fazer as medições de um terreno na forma 
triangular. Um dos lados mede 40 metros, outro mede 50 metros e o ângulo formado por 
este dois lados é de 60°. Para encontrar o valor do terceiro lado é necessário fazer uma 
nova medição ou podemos simplesmente efetuar um cálculo? 
 
Solução: Podemos simplesmente efetuar o cálculo, usando a Lei dos cossenos 
 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴. 
A C 
B 
 No nosso caso, a=x, b=50, c=40 e A=60°, portanto 
𝑥2 = 502 + 402 − 2 × 50 × 40 × 𝑐𝑜𝑠60° = 25 × 102 + 16 × 102 − 2 × 102 × 5 ×
4 ×
1
2
 = 102 × (41 − 20) = 102 × 21 ⇒ 𝑥 = 10√21. 
Assim, o terceiro lado mede 10√21 𝑚. 
 
 
16) Considere o triângulo retângulo abaixo: 
 
a) Determine x de modo que a hipotenusa seja igual a 8. 
b) Determine x de modo que tenhamos o ângulo θ = 30º. 
Solução: 
a) Pelo Teorema de Pitágoras, devemos ter 
𝑥2 + (𝑥 + 2)2 = 82 ⇔ 
2𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 64 ⇔ 
2𝑥2 + 4𝑥 − 60 = 0 ⇔ 
𝑥2 + 2𝑥 − 30 = 0. 
As raízes da equação acima são 𝑥 =
−2±√22+120
2 
=
−2±√124
2 
=
−2±2√31
2 
=
2(−1±√31)
2
= −1 ± √31. Como 𝑥 é positivo (lado do triângulo), temos 
𝑥=−1 + √31. 
b) Para que 𝜃 = 30º, devemos ter tg 30º = 
𝑥
𝑥+2
. Como tg 30º = 
1
√3
 , segue que 
𝑥
𝑥+2
=
1
√3
 ⇔ √3x = x + 2 ⇔ √3x − x = 2 ⇔ (√3 − 1)𝑥 = 2 ⇔ 𝑥 =
2
√3−1
 . 
Racionalizando, 𝑥 = √3 + 1. 
 
17) 
 
 
 
 
b) Seja 𝑥 a distância entre o cento do gol e o ponto onde a bola cruzou a 
linha de fundo,,conforme a figura no item a). Então, 𝑡𝑔30° =
𝑥
11
 , donde 
√3
3
=
𝑥
11
 ⇒ 𝑥 =
11√3
3
≅
11×1,7
3
=
18,7
3
≅ 6,23. Como a metade do gol 
mede 3,66 m e 6,23>3,66, podemos concluir que a bola foi fora do gol, 
cruzando a linha de fundo a uma distância da trave maior do que 2 
metros! Portanto, o jogador não marcou o gol.