Unidade_6_-_progressões_geométricas

Prévia do material em texto

Matemática Básica Unidade 6 
1 
 
 
Unidade 6 
Progressões geométricas 
 
 
 
 
Metas 
Esta unidade é sobre sequências na qual a taxa de crescimento de cada termo para o 
seguinte é sempre a mesma. 
 
Objetivos 
Ao final desta unidade você deve: 
 conhecer a noção de progressão geométrica; 
 saber determinar os elementos de uma progressão geométrica; 
 conhecer e saber aplicar a fórmula da soma de uma progressão geométrica. 
 
 
 
Matemática Básica Unidade 6 
2 
 
Revisão de potência 
 
 Vamos relembrar a definição de potência. Dados a  e n  *, dizemos que a 
potência de a de expoente n é o número 
a
n
 = a.a.a. ... .a (n fatores). 
Note que, no caso n = 1, a
n
 = a
1
 reduz a a
1
 = a (um único fator). 
 
 O uso de produtos sucessivos é bastante comum em Matemática, e até em 
situações do cotidiano. 
 
Exemplo: Vamos usar números de 3 dígitos para cadastrar determinados produtos de 
uma empresa. Com esta codificação, quantos produtos podem ser cadastrados? Esta é 
mais uma situação que pode ser resolvida pelo simples ato de contar. Vejamos as 
possibilidades enumeradas em forma de ternos: (0,0,0), (0,0,1), (0,0,2), ... , (0,0,9), 
(0,1,0), (0,1,1), (0,1,2), ... , (0,1,9), (0,2,0), ... , (0,2,9), ... , (9,9,9). Se procedermos com 
a contagem completa, é imediato verificar que existem 1000 produtos podem ser 
cadastrados. (Resolver esta questão por contagem pode ser trabalhoso, mas é uma forma 
simples de resolvê-la.) 
 Vejamos uma ação mais organizada para a contagem destes ternos numéricos de 
códigos. Precisamos ver como podemos preencher três dígitos e para o primeiro dígito, 
temos 10 possibilidades. Para cada uma destas possibilidades, temos para o segundo 
dígito 10 possibilidades. Como são 10 possibilidades para cada 10 possibilidades, temos 
100 possibilidades de escolha para o preenchimento dos dois primeiros dígitos. Para 
cada uma destas 100 possibilidades temos 10 possibilidades para escolher o terceiro 
dígito. Logo, temos 100.10 possibilidades de escolha de 3 dígitos, isto é, 1000 
possibilidades ao todo. 
 
 A segunda estratégia usada na contagem dos possíveis códigos é baseada no 
princípio fundamental da enumeração ou princípio da multiplicação, o qual diz: 
 
Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez tomada a 
decisão d1, a decisão d2 puder ser tomada de y maneiras então o número de 
maneiras de se tomarem as decisões d1 e d2 é xy. 
Matemática Básica Unidade 6 
3 
 
 
 Por exemplo, se quisermos generalizar este último exemplo e trabalhar com 
códigos formados por n dígitos, com n representando um número natural positivo, 
vemos que o número de códigos possíveis é 10.10.....10 (n vezes), isto é, é 10
n
. 
 
Atividade 1 As placas dos automóveis são formadas por três letras (incluindo K, Y e 
W) seguidas de 4 algarismos. Determine quantas placas podem ser formadas. 
 
 O exemplo a seguir é uma bela ilustração de como potências de expoente 
arbitrário podem aparecer naturalmente em problemas de cálculos matemáticos. 
 
Exemplo: (Juros compostos) A operação de empréstimo, em Matemática Financeira, se 
dá quando uma pessoa empresta determinado capital, C, chamado de principal, por um 
certo período de tempo, e o recebe de volta acrescido de uma remuneração, J, chamada 
de juro. A soma, C + J, obtida na operação de empréstimo, é chamada de montante e é 
representada por M. A razão i = 
C
J
 é chamada de taxa de juros. Em resumo, temos as 
relações 
M = C + J, i = 
C
J
, M = C + iC = C(1 + i) 
 Só como ilustração, vejamos quanto Carlos tem que pagar pelo empréstimo de 
R$ 100,00 a juros de taxa de 8% ao mês. Neste caso, o juro é dado por J = iC = 8%.100 
= 
100
8
.100 = 8. Assim, ao fim de um mês de empréstimo, Carlos tem que pagar M = 
100 + 8 = 108 reais. O que aconteceria se Carlos não pudesse pagar o empréstimo no 
fim do período? O que se faz nestes casos é imaginar que Carlos pegou emprestado R$ 
108,00 e, ao fim de mais um mês, agora tem que pagar 108 + 8%.108 = 116,64 reais 
(veja como a taxa de juros incide sobre o montante, 108, e não sobre o principal da 
transação). 
 Quando um capital é emprestado por vários períodos e a taxa de juros é aplicada 
sucessivamente, após cada período, sobre o novo montante de cada período, dizemos 
que o empréstimo é a juros compostos. 
 Vejamos como fica a expressão do montante ao fim de cada período sem pagar o 
empréstimo. 
Matemática Básica Unidade 6 
4 
 
 M1 = C(1 + i)  montante no fim do 1º período 
 M2 = M1 + iM1 = M1(1 + i) = C(1 + i)
2
  montante no fim do 2º período 
 M3 = M2 + iM2 = M2(1 + i) = C(1 + i)
3
  montante no fim do 3º período 
 

 
 Mn = Mn1 + iM n1 = M n1(1 + i) = C(1 + i)
n
  montante no fim do nº período 
Logo, o montante do empréstimo de um capital C a juros compostos, com taxa i, no fim 
de n períodos, é dado pela expressão (em termos de potência), 
Mn = C(1 + i)
n
. 
 
Atividade 2 Uma aplicação oferece 12% ao mês de juros. Determine o montante gerado 
da aplicação de R$ 150,00 por 3 meses. 
 
Progressão geométrica 
 
Definição: Uma sequência é chamada progressão geométrica se o quociente da divisão 
de cada termo pelo termo anterior é constante. Se q é tal constante, é chamada de razão 
e a sequência é chamada progressão geométrica de razão q. 
 
 Assim, se (a1, a2, a3, a4, ...) representa uma progressão geométrica de razão q 
temos que 
1n
n
a
a
 = q. Mais ainda, cada termo da sequência pode ser escrito em função do 
primeiro termo e da razão. De fato, temos a2 = a1q, a3 = a2q = a1 q
2
, a4 = a3q = a1 q
3
, ... , 
an = a1q
n  1
. Neste caso, a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é 
an = a1q
n  1
. 
 
Atividade 3 
a) Verifique se a sequência (1000, 800, 640, 512, ...) pode representar uma progressão 
geométrica. Se for assim, determine o 6º termo. 
b) Escreva os cinco primeiros termos de cada progressão geométrica, sendo dados: 
i. a1 = 2 e q = 3 
ii. a1 = 3 e q = 1 
iii. a1 = 2 e q = 5/4 
c) As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão em progressão 
geométrica, nessa ordem. A área do quadrado será: 
Matemática Básica Unidade 6 
5 
 
 a) 256 b) 64 c) 16 d) 243 e) 729 
d) O primeiro termo de uma progressão geométrica é 1 e o terceiro termo é 4. É possível 
determinar o segundo termo? (Cuidado com a resposta!) 
e) O 6º termo de uma progressão geométrica é 30 e o 8º termo é 270. Determine o 4º 
termo da progressão. 
f) Qual é a razão da progressão geométrica crescente que se obtém inserindo três termos 
entre os números 30 e 480? 
g) Considere uma progressão geométrica cujos termos são todos positivos e, além disso, 
qualquer termo é igual à soma dos dois termos seguintes. Determine a razão desta 
progressão geométrica. 
h) A soma do 2
o
 com o 3
o
 termo de uma progressão geométrica vale 16 e o produto do 
1
o
 com o 3
o
 é 16. Determine essa sequência sabendo que ela é crescente. 
 
Soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica 
 
 A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de razão q é dada 
pela fórmula 
Sn = na1, q = 1; 
Sn = 
1
)1(1


q
qa n
, q  1; 
 
 
Atividade 4 
a) Escreva o número 33333 como a expressão de uma soma de progressão geométrica. 
Explicite, na sua resposta, o primeiro termo e a razão da progressão. 
b) Uma progressão geométrica de razão 
2
1

 tem o valor 3 como primeiro termo. 
Calcule a soma dos 6 primeiros termos da progressão geométrica. 
 
c) Uma pessoa acordou doente. Nodia seguinte ela já estava boa, mas havia 
contaminado duas novas pessoas e estas acordaram doentes. No segundo dia, as duas 
pessoas contaminadas ficaram boas, mas cada uma delas deixou mais duas novas 
pessoas doentes. Admitindo que este fenômeno se repetiu por muito tempo, responda: 
i) Quantas pessoas ficaram doentes no décimo dia? 
ii) Quantas pessoas ficaram doentes durante os dez primeiros dias? 
Matemática Básica Unidade 6 
6 
 
iii) Em que dia tivemos 8192 doentes? 
d) Quantos termos da progressão geométrica, (1, 3, 9, ...), devem ser somados para que 
a soma seja 3280? 
 
Resposta das atividades 
 
Atividade 1 As placas dos automóveis são formadas por três letras (incluindo K, Y e 
W) seguidas de 4 algarismos. Determine quantas placas podem ser formadas. 
Solução: 
O alfabeto possui 26 letras, incluindo x,y e w, e há 10 algarismos. Portanto, temos 
 placas diferentes. 
 
Atividade 2 Uma aplicação oferece 12% ao mês de juros. Determine o montante gerado 
da aplicação de R$ 150,00 por 3 meses. 
 Solução: 
O montante gerado em 3 meses é 
 
 
Atividade 3 
a) Verifique se a sequência (1000, 800, 640, 512, ...) pode representar uma 
progressão geométrica. Se for assim, determine o 6º termo. 
Solução: 
Sim, pode representar, pois as razões são iguais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Nesse caso, o 6º termo é dado por (
 
 
)
 
 
 
 
. 
 
b) Escreva os cinco primeiros termos de cada progressão geométrica, sendo dados: 
i. a1 = 2 e q = 3 
Solução: 
2,6,18,54,162,... 
 
ii. a1 = 3 e q = 1 
Solução: 
3,-3,3,-3,3,... 
iii. a1 = 2 e q = 5/4 
Matemática Básica Unidade 6 
7 
 
Solução: 
-2, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão em progressão 
geométrica, nessa ordem. A área do quadrado será: 
Solução: 
Como as medidas são l , 4l , e estão em pg, temos que as razões são iguais 
 
 
 
 
 
. Então, 
 
 
 . A área do quadrado será Item a). 
d) O primeiro termo de uma progressão geométrica é 1 e o terceiro termo é 4. É possível 
determinar o segundo termo? (Cuidado com a resposta!) 
Solução: 
Nesse caso, a pg seria 1, , onde a razão e 
 =4. Daí, teríamos 
duas possibilidades . Logo, não é possível determinar 
e) O 6º termo de uma progressão geométrica é 30 e o 8º termo é 270. Determine o 4º 
termo da progressão. 
Solução: 
Observe que 
 e 
 . Logo, 
 
 
 e portanto 
 
 
 Assim, se q=3 temos 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
. Note que nesse caso, a pg é 
 
 
 , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , 10, 30,.... 
Se q=-3, então 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
. Nesse caso, a pg é dada por 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ,- 10, 30,.... Logo, em ambos os casos temos o mesmo valor para o 4º 
termo das progressões, embora sejam progressões diferentes. 
f) Qual é a razão da progressão geométrica crescente que se obtém inserindo três termos 
entre os números 30 e 480? 
Solução: 
Tomemos e , logo 
 
 Como a pg é crescente, segue que q=2. 
g) Considere uma progressão geométrica cujos termos são todos positivos e, além disso, 
qualquer termo é igual à soma dos dois termos seguintes. Determine a razão desta 
progressão geométrica. 
Solução: 
Matemática Básica Unidade 6 
8 
 
Como qualquer termo é igual à soma dos dois termos seguintes, em particular, 
 
 e como , temos que 
 
 
 √ 
 
 ou 
 √ 
 
 . Sendo os termos da pg positivos, temos que 
 √ 
 
 
h) A soma do 2
o
 com o 3
o
 termo de uma progressão geométrica vale 16 e o produto do 
1
o
 com o 3
o
 é 16. Determine essa sequência, sabendo que ela é crescente. 
Solução: 
Por hipótese, 16= 
 e 
 
 . Se , substituindo em *, temos que 
 , o que não pode ocorrer, pois por hipótese a pg é crescente. Assim, e de * 
 e a sequência é 
 
 
 . 
Atividade 4 
a) Escreva o número 33333 como a expressão de uma soma de progressão 
geométrica. Explicite, na sua resposta, o primeiro termo e a razão da progressão. 
Solução: 
Observe que 
 
 
 
 
 
 , onde 
b) Uma progressão geométrica de razão 
2
1

 tem o valor 3 como primeiro termo. 
Calcule a soma dos 6 primeiros termos da progressão geométrica. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
c) Uma pessoa acordou doente. No dia seguinte ela já estava boa, mas havia 
contaminado duas novas pessoas e estas acordaram doentes. No segundo dia, as 
duas pessoas contaminadas ficaram boas, mas cada uma delas deixou mais duas 
novas pessoas doentes. Admitindo que este fenômeno se repetiu por muito 
tempo, responda: 
iv) Quantas pessoas ficaram doentes no décimo dia? 
v) Quantas pessoas ficaram doentes durante os dez primeiros dias? 
vi) Em que dia tivemos 8192 doentes? 
Solução: i)A sequência de pessoas doentes forma uma pg de razão 2. No 10º dia, 
pessoas ficaram doentes. 
ii)Ficaram doentes até o 10º dia 1023 pessoas, pois esse número é a soma dos 10 
primeiros termos da pg com 1º termo 1 e razão 2. 
Matemática Básica Unidade 6 
9 
 
iii)O número de pessoas doentes no n-ésimo dia é dado por 
 , logo 
8192 e como , segue que n=14, ou seja será no 14º dia. 
 
d) Quantos termos da progressão geométrica, (1, 3, 9, ...), devem ser somados para 
que a soma seja 3280? 
Solução: 
A razão é 3 e, nesse caso, 
 
 
 
 
 
 
 . Como , segue que devemos somar 8 termos.