FÍSICA 07

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Oscilações e Ondas 
Oscilações são fenômenos em que pelo menos uma grandeza 
de um sistema varia periodicamente com o tempo. 
Propagação de 
energia em uma 
região do espaço, 
através de uma 
perturbação, sem 
haver transporte de 
matéria 
Ondas 
Ondas Mecânicas 
São perturbações 
que se propagam 
através de meios 
materiais 
Não precisa 
de meio 
material para 
se propagar 
Ondas eletromagnéticas 
Ondas Transversais 
Quando a perturbação 
for perpendicular à 
direção de propagação 
da onda 
Ondas Longitudinais 
Quando a direção da 
perturbação for a mesma 
da direção de propagação 
da onda. 
Corresponde ao lugar geométrico onde os pontos do 
meio são alcançados ao mesmo tempo. 
 
Pode corresponder a um ponto, uma linha ou a uma 
superfície conforme a onda se propague em uma, duas 
ou três dimensões. 
Onda unidimensional Onda bidimensional Onda tridimensional 
Frente de onda 
A propagação de uma onda mecânica consiste numa 
sucessão de perturbações no meio em torno de uma 
posição de equilíbrio. 
 
Propagação de uma onda mecânica 
Não há deslocamento de partículas do meio na direção de 
propagação, apenas oscilações em torno da posição de 
equilíbrio. 
 
Ondas Mecânicas 
Surf e ondas 
Com é 
possível o 
surf se 
uma onda 
não 
transporta 
matéria? 
O fenômeno conhecido como 
"ARREBENTAÇÃO" é muito 
conhecido dos surfistas, uma vez 
que este fica impossibilitado de se 
deslocar sobre a crista da onda caso 
a onda em questão não se arrebente. 
De um modo geral, só é possível se 
praticar o surfe em regiões próximas 
da praia. Isto ocorre pois o refluxo 
das águas que acontece na parte na 
região inferior acaba causando uma 
diferença de velocidades nas partes 
inferior e superior da onda, tendo 
como resultado que a parte superior 
passa por cima da parte inferior. 
Caso uma onda não tenha 
arrebentado, o surfista não pode se 
deslocar em direção à praia pois não 
ocorre o arrastamento, mas sim, 
apenas uma oscilação vertical da 
prancha. 
Surf e ondas 
Surf e ondas 
A combinação de ondas separadas na mesma 
região do espaço para produzir uma onda resultante 
se chama interferência 
Uma consequência do princípio da superposição é 
que duas ondas progressivos podem se cruzar sem 
ser destruídas ou mesmo alteradas. 
Se duas ou mais ondas progressivas estão se movendo 
em um meio e se combinam em um dado ponto, o 
deslocamento resultante do meio nesse ponto é a soma 
dos deslocamentos das ondas individuais. 
Princípio da Superposição 
Interferência 
construtiva: 
Quando o 
pulso 
resultante da 
superposição 
é maior que 
qualquer de 
seus 
componentes. 
Princípio da Superposição 
Interferência 
destrutiva: 
Se um dos 
pulsos for 
invertido com 
relação ao 
outro durante a 
superposição 
eles tendem a 
se anular. 
Princípio 
da 
Superposição 
Princípio da Superposição 
Fone de ouvido com 
“cancelamento de ruído” (ou 
“cancelamento de ruído ativo”) 
utilizam tecnologia electrônica 
para cancelar o ruído ambiente. 
Embora os diferentes fabricantes 
utilizem diferentes tecnologias, a 
maior parte incorpora um pequeno 
microfone que identifica as fontes 
principais de ruído ambiente 
permitindo depois a emissão de 
um sinal oposto de modo a 
cancelar o som por elas produzido. 
Estes auscultadores funcionam 
especialmente em ruídos 
constantes. 
Ruido 
Anti-
Ruído 
Residual 
Note que Cancelamento de Ruído Ativo 
não anula o ruído, mas remove uma porção 
significante do ruído do ambiente. 
Cancelamento de ruído 
 Revisão: Trigonometria 
A unidade mais comum para medir ângulos é o grau, definida a partir 
do ângulo reto: 1 ângulo reto = 90 graus = 90o. Entretanto, quando a 
trigonometria é usada para representar oscilações, os ângulos 
costumam ser medidos em radianos; 
Um radiano é o ângulo que, tendo 
seu vértice no centro de um 
círculo, subentende um arco cujo 
comprimento é igual ao 
comprimento do raio desse 
círculo. 
 Revisão: Trigonometria 
O número de radianos de um 
ângulo central em um círculo 
de raio é definido como sendo 
a razão entre o comprimento l 
do arco subentendido e o 
comprimento do raio 
π rad = 180o 
Equivalências 
2π rad = 360o π/2 rad = 90o π/4 rad = 45o 3π/2 rad = 270o 
A onda pode ser descrita matematicamente pela função 
seno, e portanto esse tipo de onda é mais comumente 
chamado de onda senoidal. 
Uma onda harmônica simples pode ser produzida numa 
corda longa movendo-se uma de suas extremidades 
para cima e para baixo com igual deslocamento vertical. 
 Onda Harmônica Simples 
A 
A 
Amplitude (A) 
É o deslocamento vertical 
máximo da onda 
Nó 
Crista 
Parte alta da onda 
Vale 
A parte baixa 
 Características de uma onda 
A 
A 
λ 
λ 
Comprimento de onda (λ) 
Distância mínima em que a forma da onda se repete 
 Características de uma onda 
Equação 
da 
onda 
y 
A 
900 1800 2700 3600 
4
λ λ
2
λ 3
4
λ
θ (o) 
x (λ) 
O deslocamento vertical y de uma onda senoidal em 
termos do ângulo θ é descrito por 
seny A θ=
 Equação da onda 
y 
A 
900 1800 2700 3600 
4
λ λ
2
λ 3
4
λ
θ (o) 
x (λ) 
Como o comprimento de onda λ corresponde um ângulo de θ 
de 360º ou de 2π radianos, o deslocamento vertical y também 
pode ser escrito em função da distância. 
0360 2sen seny A x A xπ
λ λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
 Equação da onda 
( ) ( )
0360 2sen seny A x vt A x vtπ
λ λ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
Se, com o decorrer do tempo, essa onda se propagar para a 
direita com velocidade v, após um tempo t, a onda terá 
percorrido uma distância vt. Portanto, a equação da onda no 
instante t será 
y 
x 
vt 
Instante inicial 
Instante t 
Período (T) 
é o tempo necessário para a 
fonte produzir uma onda 
completa. No SI é medido em 
segundos. 
Freqüência (f) 
é o número de oscilações da onda, 
por um certo período de tempo. A 
unidade de frequência do Sistema 
Internacional (SI), é o hertz (Hz), que 
equivale a 1 segundo 
T
v
λ
= 1f
T
=
v fλ=
0sen 360 sen 2x t x ty A A
T T
π
λ λ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( )
0360 2sen seny A x vt A x vtπ
λ λ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
Número de onda (k) 
é	
  o	
  número	
  de	
  comprimento	
  de	
  onda	
  λ	
  
na	
  distância	
  2π 
2k π
λ
=
Frequência angular (ω) 
é	
  o	
  número	
  de	
  período	
  con3do	
  na	
  
distância	
  2π 
2 2 f
T
π
ω π= =
sen 2 x ty A
T
π
λ
⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
( )seny A kx tω= −⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )seny A kx tω= +⎡ ⎤⎣ ⎦
Onda	
  que	
  progride	
  para	
  a	
  
esquerda 
Onda	
  que	
  progride	
  para	
  a	
  
direita 
Exercício: Uma onda senoidal tem amplitude A = 
1cm e comprimento de onda λ = 30 cm. Qual é 
seu deslocamento vertical em x = 15cm? 
Exercício: A equação de uma onda transversal 
progressiva numa corda é 
( )20sen 0,01 2,00y x tπ= −⎡ ⎤⎣ ⎦
na qual x e y são medidos em centímetros e t em 
segundos. Determine a amplitude, o comprimento 
de onda, a velocidade e a frequência da onda. 
Ondas sonoras 
Ondas sonoras 
Um meio elástico é constituído de qualquer material que 
tende a preservar seu comprimento, forma e volume 
contra forças externas 
A velocidade de 
propagação da onda em 
meios elásticos depende, 
em geral, das 
características da 
elasticidade e da 
densidade do meio. 
Velocidade de Propagação em meios elásticos 
Para ondas 
transversais numa 
corda 
Tv
µ
=
T = Tensão na corda 
(Unidade em N) 
µ = Densidade linear 
(massa por unidade de 
comprimento) 
Velocidade de Propagação em meios elásticos 
Para ondas longitudinais 
num fluido 
Bv
ρ
=
Módulo Volumétrico 
Densidade do fluido 
F
AB V
V
=
Δ
O módulo volumétrico B é definido como uma medida da tendência de um 
material em manter seu volume contra as forças externas 
F é a intensidade da força externa que 
age sobre a área A, ΔV é a variação no 
volume e V o volume inicial 
Velocidadede Propagação em meios elásticos 
Para ondas longitudinais num sólido 
Yv
ρ
=
Módulo de Young 
Densidade do sólido 
F
AB L
L
=
Δ
O módulo de Young é definido como uma medida da tendência de um 
material em manter o seu comprimento contra as forças externas. 
F é a intensidade da força externa que 
age sobre a área A, ΔL é a variação no 
comprimento e L o comprimento inicial 
Sabe-se que a densidade e as características de elasticidade 
do meio variam com a temperatura e a pressão desse meio 
Velocidade de Propagação em meios elásticos 
Y 
1) Qual é a velocidade da onda numa corda de violão cuja 
massa por unidade de comprimento é de 0,015 kg/m, na qual é 
aplicada uma tensão de 30N? 
2) O módulo volumétrico da água doce é (1/49)x1011Pa, uma 
onda longitudinal de 262 Hz está se propagando na água. 
Determine: 
a) A velocidade dessa onda 
b) O comprimento de onda 
Exercício 
É importante notar que essa 
velocidades são 
independentes do 
comprimento de onda e da 
frequência das ondas. 
constantef vλ = =
Toda vez que a frequência da onda aumentar ou diminuir, o 
comprimento de onda deve diminuir ou aumentar a fim de manter v 
constante. 
Exemplo: A velocidade do som no ar a 20oC independe da 
frequência e é igual a 344m/s, isto é, a velocidade é a mesma 
para o som audível, o infra-som e o ultra som. 
Meio não dispersível 
Quando uma onda passa de um meio para outro, a velocidade e 
comprimento de onda mudam, enquanto que a frequência 
permanece, se mantém constante. 
constantevf
λ
= =
Meio não dispersível 
1) Qual é a velocidade da onda numa corda de violão cuja 
massa por unidade de comprimento é de 0,015 kg/m, na qual é 
aplicada uma tensão de 30N? 
2) O módulo volumétrico da água doce é (1/49)x1011Pa, uma 
onda longitudinal de 262 Hz está se propagando na água. 
Determine: 
a) A velocidade dessa onda 
b) O comprimento de onda 
Exercício 
Onda Harmônica Sonora 
Um onda harmônica sonora 
unidimensional pode ser produzida 
efetuando-se um movimento harmônico 
simples num pistão, que impele uma 
coluna de ar em um tubo muito longo e 
estreito. 
(a) 
(b) 
(c) 
(a) Variação na densidade do ar no 
interior do tubo no instante t; 
(b) Deslocamento horizontal y dos 
elementos do ar em função da 
posição x no instante t; 
(c) Variação da pressão P em função da 
posição x no instante t. 
Onda Harmônica Sonora 
Se o pistão executar um movimento 
harmônico simples de frequência angular 
ω, formar-se-á uma onda de pressão que 
pode ser descrita pela fórmula. 
(a) 
(b) 
(c) 
)(0 tkxsenPP ω−=
É importante observar que P é a variação da 
pressão em relação à pressão de equilíbrio 
(não-perturbada), na ausência da onda, e a 
amplitude P0 é o valor máximo dessa 
variação de pressão, comumente chamada 
amplitude de pressão. 
Outra função válida é, 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
T
txsenPP
λ
π20
O som é uma onda longitudinal, que se propaga em um 
meio material (sólido, líquido ou gasoso), cuja frequência 
está compreendida, aproximadamente, entre 20 hertz e 
20.000 hertz. 
Freq. < 20 hertz: infra-som 
Freq. > 20.000 hertz: ultra-som }
Não provoca 
sensação sonora ao 
atingirem o ouvido 
humano 
Som 
Anatomia do Ouvido 
Revista Veja de 21/Jun/06 pág 94 
http://w
w
w
.freem
osquitoringtones.org/ 
R
ingtones com
 frequências altas 
http://www.freemosquitoringtones.org/ 
Ringtones com frequências altas 
Quanto maior for a quantidade de energia por 
unidade de tempo que a onda sonora transportar até 
nosso ouvido, maior será a intensidade do som que 
se percebe. 
No SI [I] = J/m2.s = W/m2 
Intensidade do Som 
S
P
tS
EI =
Δ
Δ
=
Se as ondas se expandem 
igualmente em todas as 
direções a partir de uma fonte, 
a intensidade a uma distância 
r da fonte é inversamente 
proporcional a r2. 
Intensidade do Som 
24 r
PI
π
=
Quanto maior a distância de uma fonte de ondas, maior a 
área sobre a qual a potência da onda é distribuída e menor 
a intensidade da onda. 
Sabe-se que a quantidade de energia transportada por uma 
onda é tanto maior quanto maior for a amplitude (A) da onda 
( )2
2
vI Aρ ω=
sendo ρ, v e ω, respectivamente, a densidade do meio, a 
velocidade de propagação da onda nesse meio e a frequência 
angular. 
Intensidade do Som 
O ouvido humano pode detectar 
intensidades sonoras que vão 
desde 10-12 W/m2 até 1 W/m2. 
Devido a esse grande intervalo, 
uma escala logarítmica de base 
dez é usado para definir o nível de 
intensidade sonora β (decibel-dB) 
0
( ) 10log IdB
I
β
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
onde I é a intensidade sonora e I0 a intensidade de 
referência de 10-12 W/m2 . 
Nível de intensidade sonora 
decibel - dB 
Som Intensidade 
(W/m2) 
Nível de 
intensidade (dB) 
Limiar de audição 10-12 0 
Respiração normal 10-11 
Murmúrio (a 5m) 10-9 
Conversação normal 
(1m) 
10-6 
 
Tráfego pesado 10-5 
Concerto de rock (limiar 
doloroso) 
100 
 
120 
Decolagem de jato (nas 
vizinhanças) 
103 
 
150 
0
( ) 10log IdB
I
β
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
decibel - dB 
Som Intensidade 
(W/m2) 
Nível de 
intensidade (dB) 
Limiar de audição 10-12 0 
Respiração normal 10-11 
Murmúrio (a 5m) 10-9 
Conversação normal 
(1m) 
10-6 
 
Tráfego pesado 10-5 
Concerto de rock (limiar 
doloroso) 
100 
 
120 
Decolagem de jato (nas 
vizinhanças) 
103 
 
150 
0
( ) 10log IdB
I
β
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
decibel - dB 
log( ) log( ) log( )ab a b= + log( / ) log( ) log( )a b a b= −
log( ) log( )ba b a=
http://migre.me/8UAai 
Uma (an-echoic, sem eco) é uma sala projetada para 
conter reflexões, tanto de ondas sonoras quanto 
eletromagnéticas. Elas também são isoladas de fontes 
externas de ruído. A combinação de ambos os 
aspectos significa que elas simulam um espaço aberto 
de dimensão infinita, que é uma característica útil 
quando influências externas podem interferir nos 
resultados. 
http://migre.me/8UAgD 
Câmara 
Anecoica 
http://migre.me/8UAai http://migre.me/8UAgD 
Câmara 
Anecoica 
“Quando está quieto, seus ouvidos se adaptam. Quanto mais quieta a sala, 
mais coisas você escuta. Você ouve seu coração batendo, às vezes você 
consegue ouvir seus pulmões, seu estômago barulhento trabalhando. ‘Na 
câmara anecóica, você vira o som.’ E essa é uma experiência bastante 
desorientadora. O sr. Orfield explicou que é tão desconcertante que sentar é 
uma necessidade. ‘A forma como você se orienta é através dos sons que 
escura quando caminha. Na câmara anecóica, você não tem nenhum auxílio. 
Lhe são tirados os auxílios perceptíveis que lhe permitem se equilibrar e 
manobrar. Se você ficar lá por meia hora, você vai precisar de uma cadeira.’” 
Decibéis muito acima 
do tolerável ocupam 
hoje o terceiro lugar 
no ranking de 
problemas 
ambientais que mais 
afetam populações 
do mundo inteiro, 
segundo a 
Organização Mundial 
da Saúde (OMS) — a 
poluição do ar e a da 
água estão na 
dianteira. 
Poluição sonora 
Poluição sonora 
A dificuldade para os cientistas está em determinar em 
quantos decibéis começa exatamente o que se 
considera barulho. 
 
Por definição, barulho é todo som desagradável e neste ponto o problema 
torna-se bastante subjetivo -- depende até do local onde as pessoas se 
encontrem. Um trabalho do Instituto de Pesquisas Tecnológicas da USP 
mostra que em casa, em salas de leitura ou em escritórios, as pessoas 
consideram o ambiente muito barulhento quando o som ultrapassa 50 
decibéis, o ruído de um carro pouco ruidoso. Mas o trabalhadores de 
oficinas acham que, com essa mesma intensidade de som, o ambiente 
está calmíssimo -- para eles, por força do hábito, o inferno só começa a 
partir de 70 decibéis, o som da passagem de um trem de passageiros. 
Enquanto os outros sentidos descansam durante o sono, os 
ouvidos, ao contrário, se mantêm em estado de alerta 
 
Quando os sons não passam dos 35 decibéis — nível encontrado 
em uma biblioteca, por exemplo —, a noite corre tranqüila e sem 
sobressaltos. 
 
Se, durante a noite, o nível de ruídoatinge os 75 decibéis, como 
em uma rua movimentada, há uma perda de 70% nos estágios 
profundos do descanso, fundamentais para a consolidação da 
memória e do aprendizado e também para a renovação das 
células do corpo 
Poluição sonora 
Poluição sonora 
Qualquer som acima dos 55 decibéis é interpretado pelo organismo como uma 
agressão. Para preparar sua defesa, o cérebro ordena que as supra-renais, glândulas 
localizadas acima dos rins, liberem boas doses de cortisol e adrenalina, os hormônios 
do estresse. Esse é o gatilho para uma série de reações: 
Órgãos genitais: passam a receber menos sangue. O homem fica com dificuldade 
de ereção e a mulher pode perder o desejo sexual. 
Cérebro: a pressão intracraniana sobe e a cabeça dói. A concentração e a memória 
ficam prejudicadas pela ação dos hormônios do estresse, que ainda levam a uma 
sensação de exaustão, gerando agressividade. 
Músculos: eles se contraem ao máximo e começam a liberar na corrente sangüínea 
uma série de substâncias inflamatórias. 
Pulmões: a respiração se acelera e esses órgãos passam a funcionar a toda 
velocidade. Com o tempo, a sensação de cansaço é inevitável. 
Coração: ele começa a bater rapidamente e de maneira descompassada. Os vasos 
sangüíneos se contraem e a pressão arterial sobe. O risco de infarto e derrame 
cresce. 
Sistema digestivo: o estômago passa a fabricar suco gástrico além da conta, o que 
pode levar à gastrite e à úlcera. Já o intestino praticamente trava. O resultado é 
prisão de ventre. 
O Programa de Silêncio Urbano (PSIU) da Prefeitura de São Paulo 
O órgão trabalha com base em duas leis: a da 1 hora e a do ruído. A primeira 
determina que, para funcionarem após à 1 hora da manhã, os bares e 
restaurantes devem ter isolamento acústico, estacionamento e segurança. 
Antes desse horário, a Lei do Ruído controla a quantidade de decibéis 
emitidos pelos estabelecimentos, a qualquer hora do dia ou da noite. 
Poluição sonora 
Lei do Silêncio em Belo Horizonte, em vigor desde 2008 
Fiscalização de Postura em Ouro Preto 31 3559 3244 
Fiscalização na medição de poluição sonora com decibelímetro 
Poluição 
sonora 
1) Qual a intensidade em W.m-2 de um som de 100 dB? 
2) Um alto falante de 50 dB é associado a outro de 40dB. Qual a 
intensidade sonora resultante? 
Obs.: É necessário calcular as intensidades I em W.m-2 de cada 
alto-falante, para aplicar a fórmula decibélica à soma obtida. 
Exercício 
A altura de um som é caracterizada pela frequência da 
onda sonora. Um som de pequena frequência é grave 
(baixo) e um som de grande frequência é agudo (alto). 
Cantores de música 
clássica 
 
Baixos: 
voz grave-homem 
 
Tenores: 
voz aguda-homem 
 
Sopranos: 
voz aguda-mulher 
Altura do som 
O timbre se refere a 
todas as 
características do 
som que não sejam 
determinadas pela 
intensidade, altura e 
duração. 
Em termos da forma de onda, é o timbre que diferencia 
duas ondas de mesma amplitude e freqüência. Dessa 
forma, ainda que tenham a mesma intensidade, altura e 
duração, os timbres das vozes de duas pessoas diferentes 
são diferentes, assim como são diferentes os timbres de um 
piano e de um violino. 
Timbre 	
   Diapasão 
Flauta 
Violino 
Voz (letra a) 
Clarineta 
Onda que se propaga para 
direita 
Onda que se propaga para 
esquerda 
Duas ondas que são idênticas que se propagam em 
sentidos opostos no mesmo meio. 
Ondas 
estacionárias 
De acordo com o princípio da superposição, a soma dessas 
duas funções fornece a função de onda y resultante: 
Ondas 
estacionárias 
Usando a identidade trigonométrica 
chegamos a equação, 
Função de onda estacionária 
De acordo com o princípio da superposição, a soma dessas 
duas funções fornece a função de onda y resultante: 
Ondas 
estacionárias 
Função de onda 
estacionária 
•  Cada partícula da corda vibra em movimento 
harmônico simples com a mesma frequência angular 
ω (o fator cos ωt) 
 
•  A amplitude do movimento de uma dada partícula 
depende de sua posição ao longo da corda, descrita 
pela variável x (fator 2A sen kx) 
Função de onda 
estacionária 
Amplitude da onda estacionária 
Quando a amplitude máxima do movimento harmônico simples 
tem valor de 2A 
Isso ocorre quando a coordenada x 
satisfaz a condição senkx=1, ou quando 
Como k=2π/λ, as posições de máxima 
amplitude, chamadas de antinodos são: 
onde n = 1, 3, 5 ... 
Função de onda 
estacionária 
Amplitude mínima da onda estacionária 
Quando o movimento harmônico simples tem valor igual a zero 
Isso ocorre quando a coordenada x 
satisfaz a condição senkx=0, ou quando 
Isso fornece onde n = 0,1, 2, 3 ... 
Estes pontos de amplitude nula são chamados nodos. 
Padrões de ondas estacionárias 
em diversos instantes 
produzidos por duas ondas de 
mesma amplitude propagando-
se em sentidos opostos 
t =0 t =T/4 t =T/2 
Corda de comprimento L fixa 
nas extremidades 
A corda tem vários padrões naturais de 
vibração, chamados de modos 
normais. Cada um desses modos tem 
uma frequência característica 
Ondas estacionárias 
em cordas 
O padrão mais simples é o que possui 
os nodos nas extremidades da corda e 
um antinodo no ponto central. Para 
esse modo normal, o comprimento da 
corda iguala λ/2 
O modo normal seguinte, de 
comprimento de onda λ2, ocorre 
quando o comprimento de onda igual a 
um comprimento de onda. 
No geral, os comprimentos de onda 
dos vários modos normais podem ser 
expressos convenientemente como 
No geral, os comprimentos de onda 
dos vários modos normais podem ser 
expressos convenientemente como 
Frequência dos modos normais. 
Como v = (T/µ)1/2 , podemos expressar 
as frequências naturais de uma corda 
esticada como 
Ondas estacionárias em cordas 
Ondas estacionárias numa corda. 
Meia onda. 
Ondas estacionárias numa corda. 
Onda inteira. 
Ondas estacionárias numa corda. 
1½ de onda. 
Ondas estacionárias longitudinais 
podem ser produzidas em uma coluna 
de ar, tal como em um tubo de órgão, 
como resultada interferência entre as 
ondas sonoras longitudinais se 
propagando em sentidos opostos. 
 
Se ocorrerá um nodo ou um antinodo 
na extremidade de uma coluna de ar 
vai depender se a extremidade estiver 
aberta ou fechada. 
Ondas estacionárias 
em colunas de ar 
Frequências naturais de vibração 
v = velocidade do som no ar. 
Ondas estacionárias longitudinais em uma coluna de ar 
aberta dos dois lados 
Frequências naturais de vibração 
v = velocidade do som no ar. 
Ondas estacionárias longitudinais em uma coluna de ar 
fechada em uma extremidade e aberta em outra. 
I-doser é um programa de 
computador que produz “doses” de 
ondas sonoras, que procura interferir 
nas ondas cerebrais do usuário, 
simulando o efeito de várias drogas 
reais em seres humanos. 
As "doses digitais" se baseiam na 
técnica de pulsações auriculares, 
ou seja, a emissão em cada ouvido 
de dois sons similares, mas nos 
quais a frequência difere, o que 
tem por efeito alterar as ondas 
cerebrais, explica à AFP a 
neuropsicóloga Brigitte Forgeot. 
http://migre.me/90tP7 
I-doser é um programa de 
computador que produz “doses” de 
ondas sonoras, que procura interferir 
nas ondas cerebrais do usuário, 
simulando o efeito de várias drogas 
reais em seres humanos. 
Escutar Bob 
Marley deve ser 
mais eficiente 
Batimento 
Designamos por batimento ao fenômeno que acontece 
quando existe uma superposição entre duas fontes emissoras 
de ondas que produzam ondas que possuam a mesma 
direção, amplitude e freqüências próximas f1 e f2. Pelo fato das 
freqüências diferirem uma da outra, haverá momentos de 
interferência construtiva, onde a amplitude resultante será 
grande e momentos de interferência destrutiva, acarretando 
numa amplitude diminuta. 
http://www.youtube.com/watch?v=gQK21572oSU&feature=youtu.be 
Ressonância 
Duelo com o fantasma 
Visões estranhas atemorizam 
pesquisadores num laboratório inglês. 
Veja como um cientista de verdade 
enfrenta assombrações. 
por DenisRusso Burgierman 
Edição 133 
 outubro/1998 
http://super.abril.com.br/cotidiano/duelo-fantasma-437673.shtml 
Ressonância 
1) As cordas graves em um piano são mais longas e mais grossas do que as 
cordas agudas. Por quê? 
3) Duas ondas propagando-se em sentidos opostos produzem uma onda 
estacionária. As funções de onda individuais são 
onde x e y estão em centímetros. (a) Encontre o deslocamento máximo de uma 
partícula do meio em x=2,3cm. (b) Encontre as posições dos nodos e dos 
antinodos. 
2) Uma corda de 0,5m de comprimento está fixa nas duas extremidades, sob 
uma tensão de 18 N. Se a densidade linear da corda for de 2x10-2 kg/m, calcule: 
a) a velocidade de propagação do som na corda; 
b) a frequência da segunda harmônica nessa corda; 
c) a frequência fundamental. 
Exercício 
http://migre.me/8UJnA