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Lista de Execícios Resolvida - Controle I

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SUMÁRIO 
Lista de Figuras .................................................................... Erro! Indicador não definido. 
Sumário ............................................................................................................................. 1 
1. Engenharia de Controle Moderno, Ogata, 3ª Ed. ........................................................... 2 
1.1. Problema B-12-1 ....................................................................................................................... 2 
1.2. Problema B-12-3 ....................................................................................................................... 4 
1.3. Problema B-12-5 ....................................................................................................................... 6 
1.4. Problema B-12-7 ....................................................................................................................... 7 
1.5. Problema B-12-9 ....................................................................................................................... 8 
1.6. Problema B-12-11...................................................................................................................... 9 
1.7. Problema B-12-13 ................................................................................................................... 11 
1.8. Problema B-12-15 ................................................................................................................... 14 
2. Sistemas de Controle Modernos, DORF, R. C., 8ª Ed. ................................................. 23 
2.1. Problema P13.1....................................................................................................................... 23 
2.2. Problema P13.3....................................................................................................................... 24 
2.3. Problema P13.5....................................................................................................................... 25 
2.4. Problema P13.7....................................................................................................................... 26 
2.5. Problema P13.9....................................................................................................................... 26 
2.6. Problema P13.11 ..................................................................................................................... 28 
2.7. Problema P13.13..................................................................................................................... 31 
2.8. Problema P13.15..................................................................................................................... 33 
2.9. Problema P13.17..................................................................................................................... 34 
 
1. Engenharia de Controle Moderno, Ogata, 3ª Ed. 
Neste capítulo será apresentada a resolução dos problemas do capítulo 12 da terceira 
edição do livro Engenharia de Controle Moderno do autor Ogata. Os problemas a serem 
solucionados são B-12-1, B-12-3, B-12-5, B-12-7, B-12-9, B-12-11, B-12-13 e B-12-15. 
1.1. Problema B-12-1 
Considere o sistema definido por 
�̇� = 𝑨𝒙 + 𝑩𝑢 
𝑦 = 𝑪𝒙 
Onde 
𝑨 = [
−1 0 1
1 −2 0
0 0 −3
] 𝑩 = [
0
0
1
] 𝑪 = [1 1 0] 
Transformar a equação do sistema (a) na forma canônica controlável e (b) na forma 
canônica observável. 
Solução: 
Primeiramente será obtida a função de transferência do sistema a partir das equações de 
espaço estados, para isso a equação (1.1) será utilizada. 
 𝐺(𝑠) = 𝑪(𝑠𝑰 − 𝑨)−1𝑩 (1.1) 
 𝐺(𝑠) = [1 1 0] {𝑠 [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] − [
−1 0 1
1 −2 0
0 0 −3
]}
−1
[
0
0
1
] (1.2) 
 𝐺(𝑠) = [1 1 0] [
𝑠 + 1 0 −1
−1 𝑠 + 2 0
0 0 𝑠 + 3
]
−1
[
0
0
1
] (1.3) 
 𝐺(𝑠) = [1 1 0]
[
 
 
 
 
 
 
1
(𝑠 + 1)
0
1
(𝑠 + 1)(𝑠 + 3)
1
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
1
(𝑠 + 2)
1
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
0 0
1
(𝑠 + 3) ]
 
 
 
 
 
 
[
0
0
1
] (1.4) 
 𝐺(𝑠) =
𝑠 + 3
𝑠3 + 6𝑠2 + 11𝑠 + 6
 (1.5) 
 𝐺(𝑠) =
𝑏0𝑠
3 + 𝑏1𝑠
2 + 𝑏2𝑠 + 𝑏3
𝑠3 + 𝑎1𝑠
2 + 𝑎2𝑠 + 𝑎3
 (1.6) 
Fazendo uma comparação entre as equações (1.5) e (1.6) pode-se obter: 
 𝑎1 = 6, 𝑎2 = 11, 𝑎3 = 6, 𝑏0 = 0, 𝑏1 = 0, 𝑏2 = 1 e 𝑏3 = 3 (1.7) 
(a) Para obter a equação do sistema na forma canônica controlável, as equações (1.8) e 
(1.9) serão utilizadas. 
 [
𝑥1̇
𝑥2̇
𝑥3̇
] = [
0 1 0
0 0 1
−𝑎3 −𝑎2 −𝑎1
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] + [
0
0
1
] 𝑢 (1.8) 
 𝑦 = [𝑏3 − 𝑎3𝑏0 𝑏2 − 𝑎2𝑏0 𝑏1 − 𝑎1𝑏0] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] + 𝑏0𝑢 (1.9) 
Com os valores de (1.7) sendo substituídos nas equações (1.8) e (1.9) pode-se obter o 
sistema na forma canônica controlável, como desejado. 
 [
𝑥1̇
𝑥2̇
𝑥3̇
] = [
0 1 0
0 0 1
−6 −11 −6
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] + [
0
0
1
] 𝑢 (1.10) 
 𝑦 = [3 1 0] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] (1.11) 
É possível notar que nas equações (1.10) e (1.11) são controláveis, mas não observáveis. 
(b) Para obter a equação do sistema na forma canônica observável, as equações (1.8) e 
(1.9) serão utilizadas. 
 [
𝑥1̇
𝑥2̇
𝑥3̇
] = [
0 0 −𝑎3
1 0 −𝑎2
0 1 −𝑎1
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] + [
𝑏3 − 𝑎3𝑏0
𝑏2 − 𝑎2𝑏0
𝑏1 − 𝑎1𝑏0
] 𝑢 (1.12) 
 𝑦 = [0 0 1] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] + 𝑏0𝑢 (1.13) 
Com os valores de (1.7) sendo substituídos nas equações (1.12) e (113) pode-se obter o 
sistema na forma canônica observável, como desejado. 
 [
𝑥1̇
𝑥2̇
𝑥3̇
] = [
0 0 −6
1 0 −11
0 1 −6
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] + [
3
1
0
] 𝑢 (1.14) 
 𝑦 = [0 0 1] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] (1.15) 
É possível notar que nas equações (1.14) e (1.15) são observáveis, mas não controláveis. 
Um ponto importante é que os sistemas em questão, podem ser controláveis, mas não 
observáveis ou então observáveis, mas não controláveis, isso depende diretamente das equações 
de estados e das equações de saída. 
1.2. Problema B-12-3 
Considere o sistema definido por 
�̇� = 𝑨𝒙 + 𝑩𝑢 
Onde 
𝑨 = [
0 1 0
0 0 1
−1 −5 −6
] 𝑩 = [
0
1
1
] 
Deseja-se, por meio do controle por retroação de estado 𝑢 = −𝑲𝒙, ter pólos a malha 
dfechada situados em 𝑠 = −2 ± 𝑗4, 𝑠 = −10. Determinar a matriz de ganho de retroação de 
estado 𝑲. 
Solução: 
Utilizando a fórmula de Ackermann para a determinação da matriz de ganho de 
retroação 𝑲, temos: 
 𝑲 = [0 0 1] [𝑩 𝑨𝑩 𝑨𝟐𝑩]
−1𝜙(𝑨) (1.16) 
Sendo que 
 𝜙(𝑨) = 𝑨𝟑 + 𝛼1𝑨
𝟐 + 𝛼2𝑨
 + 𝛼3𝑰 (1.17) 
Com base nos polos desejados, é possível determinar os valores de 𝛼1, 𝛼2 e 𝛼3 por meio 
da equação (1.18). 
 |𝑠𝑰 − 𝑨 + 𝑩𝑲| = (𝑠 + 2 − 𝑗4)(𝑠 + 2 − 𝑗4)(𝑠 + 10) (1.18) 
 = 𝑠3 + 14𝑠2 + 60𝑠 + 200 (1.19) 
 = 𝑠3 + 𝛼1𝑠
2 + 𝛼2𝑠 + 𝛼3 (1.20) 
Logo 
 𝛼1 = 14, 𝛼2 = 60 e 𝛼3 = 200 (1.21) 
Então a equação (1.17) fica da seguinte forma: 
 
𝜙(𝑨) = [
0 1 0
0 0 1
−1 −5 −6
]
3
+ 14 [
0 1 0
0 0 1
−1 −5 −6
]
2
+ 60 [
0 1 0
0 0 1
−1 −5 −6
] + 200 [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
(1.22) 
 𝜙(𝑨) = [
199 55 8
−8 159 7
−7 −43 117
] (1.23) 
Sendo que 
 [𝑩 𝑨𝑩 𝑨𝟐𝑩]
 = [
0 1 1
1 1 −11
1 −11 60
] (1.24) 
Com isso, temos que a equação (1.16) ficará da seguinte forma: 
 𝑲 = [0 0 1] [
0 1 1
1 1 −11
1 −11 60
]
−1
[
199 55 8
−8 159 7
−7 −43 117
] (1.25) 
 𝑲 = [0 0 1] [
0.7349 0.8554 0.1446
0.8554 0.0120 −0.0120
0.1446 −0.0120 0.0120
] [
199 55 8
−8 159 7
−7 −43 117
] (1.26) 
 𝑲 = [0 0 1] [
138.3976 170.2169 28.7831
170.2169 49.4819 5.5181
28.7831 5.5181 2.4819
] (1.27) 
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