Exercícios Envolvendo Cônicas e Quádricas

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5. Exercícios Manoel Azevedo
Resumiremos a discussão que acabamos de fazer no
TEOREMA 30 Consideremos a equação de 2o. grau Ax2 + By2 +
Cz2 +Gx+Hy + Iz + J = 0 (II).
i) Se A, B e C são diferentes de zero e têm mesmo sinal, então
(II) representa um elipsóide, um ponto ou o conjunto vazio.
ii) Se A, B e C são diferentes de zero e não têm mesmo sinal, então
(II) representa um hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas
ou um cone.
iii) Se exatamente um dos coeficientes A, B ou C é nulo e os ou-
tros dois têm mesmo sinal, então (II) representa um parabolóide elítico,
cilindro elítico, cilindro circular, uma reta ou o conjunto vazio.
iv) Se exatamente um dos coeficientes A, B ou C é nulo e os
outros dois têm sinais contrários, então (II) representa um parabolóide
hiperbólico, cilindro hiperbólico ou um par de planos concorrentes.
v) Se dois dos coeficientes A, B e C são nulos, então (II) representa
um cilindro parabólico, dois planos paralelos, um plano ou o conjunto
vazio.
Chamaremos de formas degeneradas das quádricas as seguintes fi-
guras que foram citadas no teorema anterior: um par de planos concor-
rentes, dois planos paralelos, um plano, uma reta, um ponto e o conjunto
vazio.
5. Exercícios
1. Determine o centro da circunferência 2x2+2y2−10x+6y−15 = 0.
2. Determine a equação da circunferência que passa nos pontos (0, 0) ,
(3, 6) e (7, 0) .
3. Qual a posição relativa entre a circunferência x2 + y2 = 1 e a reta
y − x = √2?
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5. Exercícios Manoel Azevedo
4. Se as ordenadas de todos os pontos da circunferência x2 + y2 = 36
são reduzidas a um terço, determine a equação e esboce o gráfico
da curva resultante.
5. Determine a excentricidade, os focos e as diretrizes da elipse 9x2+
25y2 = 225.
6. Os focos de uma elipse são (3, 8) e (3, 2) e o comprimento do seu
eixo menor é 8. Determine sua excentricidade.
7. Determine os focos e a excentricidade da hipérbole 16x2−9y2 = 144.
8. Dê a equação da hipérbole cujos focos são os pontos (0, 0) e (6, 0)
e cuja excentricidade vale 3
2
.
9. Encontre o foco e a diretriz da parábola y2 = 36x.
10. Encontre o foco da parábola y = x2 + 2x+ 1.
11. Identifique o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a cada equa-
ção dada a seguir.
a) x2 + y2 − 2x+ 6y + 6 = 0;
b) 9x2 + 4y2 + 36x− 24y + 36 = 0;
c) 25x2 − 4y2 − 50x− 32y − 139 = 0;
d) y2 − 4x+ 6y + 17 = 0;
e) x2 + y2 − 10x+ 2y + 27 = 0;
f) 2x2 + 5y2 − 20x+ 10y + 55 = 0;
g) 16x2 − 9y2 − 160x− 18y + 391 = 0.
12. Chamaremos de lugar geométrico todo conjunto de pontos que
gozam de uma certa propriedade geométrica. Considere a circun-
ferência x2 + y2 = 25. Determine o lugar geométrico dos pontos
médios de todas as cordas, de comprimento 8, desta circunferência.
13. Definimos a distância de um ponto a uma circunferência como
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5. Exercícios Manoel Azevedo
sendo o valor absoluto da diferença entre a distância do ponto ao
centro e o raio da circunferência. Determine o lugar geométrico dos
pontos do plano que são equidistantes das circunferências (x+ 3)2+
y2 = 1 e (x− 3)2 + y2 = 81.
14. Determine o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidis-
tantes das circunferências (x+ 10)2+y2 = 289 e (x− 10)2+y2 = 1.
15. Determine o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidis-
tantes da circunferência (x− 5)2 + y2 = 9 e da reta x = −2.
16. Determine o lugar geométrico de um ponto que se move no plano
de modo que o quadrado de sua distância ao ponto (4, 1) é igual a
sua distância ao eixo das ordenadas.
17. Determine o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos
de reta com comprimento 6 cujos extremos pertencem, respectiva-
mente, ao eixo das abscissas e ao eixo das ordenadas.
18. Identifique o lugar geométrico dos pontos P de um plano com a
seguinte propriedade: o produto das distâncias de P a duas retas
perpendiculares é uma constante não nula.
19. Sejam A e B as extremidades do eixo maior e M, distinto de A e
de B, um ponto qualquer da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, em que a > b > 0.
Determine a equação e identifique o lugar geométrico do ortocentro
do triângulo ABM .
20. Dados os pontos A e B do plano, determine a equação do lugar
geométrico dos pontos P do plano, de tal modo que a razão entre
as distâncias de P a A e de P a B seja dada por uma constante
k. Justifique a sua resposta analiticamente, discutindo todas as
possibilidades para k.
21. Seja ABC um triângulo qualquer no qual os vétices B e C são
fixos. Determine o lugar geométrico descrito pelo ponto A, variável,
sabendo que os ângulos B e C satisfazem à relação (tgB) (tgC) = k,
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5. Exercícios Manoel Azevedo
k constante real. Discuta a solução para os diversos valores de k.
22. Considere um círculo e uma reta que não se interceptam, ambos
contidos num plano. Determine o lugar geométrico dos centros dos
círculos que são tangentes ao círculo dado (exteriormente) e à reta
dada.
23. Um observador situado num ponto P ouve o disparo de um rifle
e o impacto da bala no alvo ao mesmo tempo. Determine o lugar
geométrico dos pontos P.
24. Determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola y = ax2+bx+c.
25. Seja p �= 0. Demonstre que a equação da reta tangente à parábola α
cuja equação é y2 = 4px num ponto (x0, y0) ∈ α é y0y = 2p(x+x0).
26. Definimos a reta normal a uma curva num ponto P, pertencente a
ela, como sendo a reta perpendicular à reta tangente à curva em P.
Mostre que a reta normal a uma parábola num ponto P, distinto
do vértice, contém a bissetriz de um ângulo cujo vértice é P e cujos
lados estão, respectivamente, contidos na reta determinada por P
e o foco, e, na reta paralela ao eixo da parábola passando em P.
27. Considere a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 e seja (x0, y0) um ponto pertencente
a ela. Demonstre que a equação da reta tangente a esta elipse em
(x0, y0) é
x0x
a2
+
y0y
b2
= 1.
28. Demonstre que o produto das distâncias dos focos de uma elipse a
uma reta tangente qualquer a ela é constante e igual ao quadrado
do semi-eixo menor.
29. Considere as elipses
x2
a2
+
y2
b2
= 1 e
x2
b2
+
y2
a2
= 1, em que a e b são
constantes positivas distintas. Mostre que elas se interceptam em
pontos pertencentes a uma mesma circunferência. Determine seu
centro e seu raio.
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5. Exercícios Manoel Azevedo
30. Demonstre que a reta normal a uma elipse num ponto P pertencente
a ela contém a bissetriz de um ângulo cujo vértice é P e cujos lados
estão, respectivamente, contidos nas retas determinadas por P e
pelos focos da elipse.
31. Mostre que se uma reta r é paralela a uma assíntota de uma hipér-
bole, então r intercepta a hipérbole em apenas um ponto.
32. Demonstre que o produto das distâncias de um ponto qualquer da
hipérbole
x2
a2
− y
2
b2
= 1 às suas assíntotas é igual a a
2b2
a2+b2
.
33. Considere a hipérbole
x2
a2
− y
2
b2
= 1 e seja (x0, y0) um ponto per-
tencente a ela. Demonstre que a equação da reta tangente a esta
hipérbole em (x0, y0) é
x0x
a2
− y0y
b2
= 1.
34. Identifique as seguintes cônicas e esboce seus gráficos:
a) 36x2 − 24xy + 29y2 − 180 = 0;
b) 21x2 + 58xy + 21y2 − 18√2x− 82√2y − 278 = 0;
c) x2 + 2
√
3xy + 3y2 + (2
√
3 + 4)x+ (4
√
3− 2)y + 8 = 0.
35. Identifique o conjunto dos pontos (x, y, z) que satisfazem a cada
equação dada a seguir.
a) 25x2 − 100y2 − 4z2 − 50x− 24z = 111;
b) 4x2 − 9z2 − 24x− 72z = 108;
c) x2 + y2 − 2x+ 2y − 4z + 2 = 0;
d) 12x2 + 20y2 − 15z2 − 40y − 60z − 40 = 0;
e) 6x2 − 3y2 + 4z2 − 40z + 88 = 0;
f) 3x2 − 2z2 − 6x− 6y − 4z = 29.
36. Determine o volume do elipsóide 4x2+3y2+2z2−8x+12y+4 = 0.
37. Identifique o lugar geométrico de um ponto que se move no espaço
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5. Exercícios Manoel Azevedo
de maneira que a soma dos quadrados de suas distâncias aos eixos
X e Y é sempre igual a 4.
38. Sejam π o plano x = −1
4
e F=
(
1
4
, 0, 0
)
. Determine o lugar ge-
ométrico dos pontos equidistantes de F e π.
39. Determine o lugar geométrico do ponto que se move no espaço de
maneira que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos e distintos
é uma constante (maior do que a distância entre esses pontos fixos).
40. Demonstre que a equação do plano tangente à esfera x2+y2+z2 =
r2, num ponto (x0, y0, z0) pertencente a ela, é x0x+y0y+ z0z = r
2.
41. Determine a interseção da reta X = (−1, 2, 3) + t (1, 0,−2) com o
plano tangente à esfera x2+y2+ z2 = 1 no ponto
(√
2/2, 0,
√
2/2
)
.
42. Determine a equação da superfície obtida quando giramos, segundo
um ângulo de 180◦, a parábola y2 = 4px em torno do eixo X.
43. A superfície do espelho de uma lanterna é gerada pela rotação de
uma parábola em torno de seu eixo. O diâmetro do espelho mede
80mm e sua profundidade 24mm. A que distância do vértice da
parábola deve a lâmpada ser colocada?
44. Determine a equação da esfera de centro em (0,−4, 3) que é tan-
gente ao plano x+ 2y − 2z = 2.
45. Sejam l uma reta, F �∈ l um ponto e e ∈ R+, todos fixos. Seja
C o conjunto dos pontos X do plano determinado por l e F que
satisfazem à equação
d (X,F ) = e · d (X, l) .
Demonstre que:
a) se e = 1, então C é uma parábola cuja diretriz é l e cujo foco é
F ;
b) se e < 1, então C é uma elipse de excentricidade e, em que uma
das diretrizes é l e um dos focos é F ;
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5. Exercícios Manoel Azevedo
c) se e > 1, então C é uma hipérbole de excentricidade e, em que
uma das diretrizes é l e um dos focos é F .
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