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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE POÇOS DE CALDAS 
Curso: Engenharia Civil – 1°período 
Disciplina: Álgebra Linear 
Professora: Suelainy Silveira Miquele de Melo 
Aluno (a): _______________________________________________ 
 
 
Vetor 
 
Considere um ponto P no plano tendo para coordenadas cartesianas o par ordenados de reais 
( ) 2, IRba ! . Ou seja, P(a, b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao ponto P associamos um vetor v! tal que OP é um de seus representantes e ),( bav =
! ; isto é, o par 
ordenado de reais ),( ba são as componentes do vetor v! em relação à base canônica { }jiB !!,= , sendo ( )0,1=i! 
e ( )1,0=j
!
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, para cada posição do plano (ponto ),( baP ) temos um vetor do espaço vetorial 22 IRV = , o vetor 
),( bav =! . 
Analogamente, a cada posição do espaço associamos um vetor do espaço vetorial 33 IRV = . Ou seja, 
sendo P o terno ordenado de reais (a,b,c) são coordenadas do ponto PP e também as componentes do vetor 
OPv =! em relação à base canônica { }kjiB !!! ,,= , sendo ( ),0,0,1=i! )0,1,0(=j! e )1,0,0(=k! . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 0 a X 
Y 
 
b 
P 
 0 a X 
Y 
 
b 
P 
 
1 
 
1 
 
a 
X 
P 
b 
Y 
0 
Z 
 
c 
 
1 
1 
1 
 
 
 
 
RETA 
 
1º) No plano ( IR2 ) 
Consideremos a reta “r” que passa pelo ponto ),( 00 yxA e tem a direção do vetor não nulo ),( bav =
! . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Estes elementos são suficientes para determinar a reta “r” e, portanto, também são suficientes para 
equacioná-la como veremos a seguir. 
Seja ),( yxP um ponto qualquer de “r”. ( P é ponto variável sobre “r”). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por construção qualquer vetor AP é paralelo ao vetor v! (denominado vetor diretor) . Assim, para cada 
ponto P o vetor AP é proporcional ao vetor v! , onde o coeficiente de proporcionalidade é a variável real t 
chamada parâmetro. Assim, 
 IRtvtAP != ,! 
 
 ou 
 
 
 
ou 
 
 
 
ou 
 
 ! Equação Vetorial da Reta “r” 
Daí, 
 
 ! Equações Paramétricas da Reta “r” 2 
IRtvtAP !+= ,!
( ) ( ) ( ) IRtbatyxyx !+= ,,,, 00
( ) ( ) !"++= ttbytaxyx ,,, 00
IRt
tbyy
taxx
!
"
#
$
+=
+=
,
0
0
r 
0 
X 
Y 
 
A 
P 
P 
P 
P 
A 
0 
X 
Y r 
 
Por exemplo, a reta “r”que passa pelo ponto )2,1(!A e tem a direção do vetor )2,2( !=v! tem equação 
vetorial 
( ) ( ) IRtttyxr !"+"=# ,22,21, 
 
 Atribuindo valores reais para o parâmetro t obtemos pontos de da reta “r”: 
 
rAPt !"=#= )2,1(0 
rBPt !="= )0,1(1 
rCPt !"=#= )2,3(2 
rDPt !"=#"= )4,3(1 
 rEPt !="= )1,0(
2
1 (referência para o exercício 1) 
 
 
2º) No espaço ( IR3 ) 
 
 O desenvolvimento é análogo mudando apenas o fato de que os pontos possuem uma 3ª coordenada e os 
vetores uma 3ª componente. 
 
Consideremos a reta “r”determinada por: 
! o ponto ),,( 000 zyxA 
! o vetor não nulo ),,( cbav =! 
 
 
 
 
 
Sendo ),,( zyxP um ponto qualquer (variável) de “r” temos: 
 
IRtvtAP != ,! 
 
ou 
 
 
 
ou 
 
 
 
ou 
 
 ! Equação Vetorial da Reta “r” 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Paramétricas da Reta “r” 
3 
IRtvtAP !+= ,!
( ) ( ) ( ) IRtcbatzyxzyx !+= ,,,,,,, 000
( ) ( ) IRttcztbytaxzyx !+++= ,,,,, 000
 
r 
A 
0 Y 
X 
Z 
 
Donde 
!!!!
++= kcjbiav . Das equações paramétricas 
!
"
!
#
$
+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
 , supondo ,0!abc vem: 
c
zzt
b
yyt
a
xxt
0
0
0
!
=
!
=
!
=
 , logo: 
.111
c
zz
b
yy
a
xx !
=
!
=
!
 ! Equações simétricas da reta “r” 
 
 
Estas equações são denominadas equações simétricas ou normais de uma reta que passa por um ponto ),,( 000 zyxA e tem 
a direção do vetor ),,( cbav =
!
. 
 
Ex: Determinar as equações simétricas e paramétrica da reta que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem a direção do vetor 
.22
!!!!
"+= kjiv 
 
 
 
 
 
 
 
 
Às equações simétricas da reta 
c
zz
b
yy
a
xx 111 !=!=! pode-se dar outra forma, isolando as variáveis y e z e 
expressando-as em função de x. 
Assim =
!
b
yy 1
a
xx 1! ! nmxy += e 
c
zz 1! =
a
xx 1! qpxz +=! . ! Equações reduzidas da reta “r 
onde m = ba , n = y1 !
bx1
a , p =
c
a e q = z1 !
cx1
a . 
 
Ex: Estabelecer a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A(2,1,-3) e B(4,0,-2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reta definida por dois pontos 
 
A reta definida pelos pontos ),,( ),,( 222111 zyxBezyxA é a reta que passa pelo ponto A (ou B) e tem a direção do vetor 
).,,( 121212 zzyyxxABv !!!==
""
 
 
Ex: Determine as equações paramétricas da reta r que passam pelos pontos A (1,-2,-3) e B (3,1,-4). 
 
 
 
 
 
4 
Condição de alinhamento de três pontos (colinearidade) 
 
 A condição para que três pontos ),,( ),,(),,,( 333322221111 zyxAezyxAzyxA estejam em linha reta é que os vetores !!!! e !!!! sejam colineares, isto é: !!!! ! !!!!!!, para algum !"m ou .
13
12
13
12
13
12
zz
zz
yy
yy
xx
xx
!
!
=
!
!
=
!
!
 
 
Ex: Dada a reta (r): X=(1,1,-3) + t (2,3,1), verificar se os pontos P (5,7,-1) e Q (-5, -8, -2) pertencem à reta. 
 
 
 
 
 
Ângulo entre duas retas 
Sejam as retas r1, que passa pelo ponto ),,( 1111 zyxA e tem direção de um vetor ),,( 1111 cbav =
!
, e r2 , que passa 
pelo ponto ),,( 2222 zyxA e tem a direção de um vetor ),,( 2222 cbav =
!
. 
Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de r1 e de um vetor diretor de r2. Logo, 
sendo este ângulo, tem- se: 
 
 
cos! = v1.v2v1 . v2
 ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: Encontre o ângulo entre as reta r : X = (1,2,1)+(1,1,0)t e s : x ! 212
=
y+3
12
=
z+ 7
1
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
!
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
.
cos
cbacba
ccbbaa
++++
++
=!
 
 
Distância entre um ponto e uma reta 
 
Sejam r: X = A + tv r ,t R! uma reta e P ( ),, 000 zyx um ponto no espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: Dado o ponto P (5, -3, 10) e a reta r: (0, 4, 2) + t ( 4, 2, 1), Obtenha a distância de P a (r). 
Obs: Um ponto Q qualquer da reta (r) pode ser Q (0, 4, 2), considerando t = 0 na equação dada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condição de Coplanaridade de duas retas 
 
A reta r1, que passa por um ponto ),,( 1111 zyxA e tem a direção de um vetor ),,( 1111 cbav =
!
, e a reta r2, que passa por 
um ponto ),,( 2222 zyxA e tem a direção de um vetor ),,( 2222 cbav =
!
, são coplanares se os vetores 
!!!
2121 , AAevv 
forem coplanares, isto é, se for nulo o produto misto (
!!!
2121 , AAevv ) 6 
 
 
Logo, 
 
 
 
 0),,(
121212
222
111
2121 =
!!!
=
"""
zzyyxx
cba
cba
AAvv
 
 
Obs: A igualdade 0),,( 2121 =
!!!
AAvv é a condição de coplanaridade de duas retas r1 e r2 que passam, respectivamente, 
pelos pontos A1 e A2, e têm por vetores diretores os vetores 
!!
21,vv . 
 
 
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS 
 
1- Retas Coplanares 
Se as retas !! e !! são coplanares então, como vimos, o produto misto deve ser zero, isto é: A1A2! "!!! ,v1!",v2!"!!" #$= 0 . 
 
1.1- Retas Paralelas 
A condição de paralelismo das retas !! e !! é a mesma dos vetores ),,( 1111 cbav =! e ),,( 2222 cbav =! , que definem as 
direções dessas retas, isto é: 
!!
= 21 vmv ou 
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
==
 
. Analisando a dependência linear entre os vetores, temos:
 
 
 
 
 
 
 
1.2- Retas Concorrentes 
São retas coplanares, se interceptam num ponto P e o ângulo entre elas é ! " 90° . O produto escalar entre os vetores 
diretores é igual a zero. Analisando a dependência linear, conclui-se que: 
 
 
 
1.3- Retas perpendiculares 
São retas coplanares, se interceptam num ponto P e o ângulo entre elas é ! = 90° . Analisando a dependência linear e o 
produto escalar entre os vetores podemos concluir:7 
Ex: 
2- Retas não Coplanares: 
 
Sejam as retas !! e !! com as direções dos vetores não nulos ),,( 1111 cbav =! e ),,( 2222 cbav =! , respectivamente e os 
pontos e pertencentes, respectivamente as retas !! e !! então, [ A1A2! "!!! , !!! !! ] " 0.
 
 
2.1- Retas Ortogonais 
 A condição de ortogonalidade da reta r1 e r2 é a mesma dos vetores ),,( 1111 cbav =
!
 e ),,( 2222 cbav =
!
 que definem as 
direções dessas retas, isto é: 
 
 
 
Observação: 
Uma reta r, cujo vetor diretor 
!
v é ortogonal (ou normal) a um plano ! , é ortogonal a qualquer reta contida nesse plano. 
Assim, existem infinitas retas que passam por um ponto A !" e são ortogonais à reta r. 
 
 
2.2- Retas reversas 
 
Retas não coplanares, ou seja, não se interceptam, o ângulo entre elas é ! " 90° e o produto escalar produto escalar entre 
os vetores !!!!!!! é diferente de zero. Analisando a dependência linear, temos: 
 
 
 
 
 
Ex: Dadas as retas verificar a posição relativa entre elas 
e determinar a interseção se houver. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
),,( 1111 zyxA ),,( 2222 zyxA
 
 ou !!!! ! !!!! ! !!!! ! !