Exercícios Capítulo 1 Stewart seção 1_2

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Exercícios Comentados de Cálculo 1Exercícios Comentados de Cálculo 1Exercícios Comentados de Cálculo 1Exercícios Comentados de Cálculo 1 
(Stewart, Vol. 1, 7ª ed.) 
 
1.2 Alguns tipos essenciais de funções 
 
 
Exercício 01. Classifique cada função em: função potência, 
função raiz, função polinomial, função racional, função 
algébrica, função trigonométrica, função exponencial, função 
logarítmica. 
 
a) ( ) ( )2logf x x= ; 
b) ( ) 4g x x= ; 
c) ( )
3
2
2
1
x
h x
x
=
−
; 
d) ( ) 21 1.1 2.54u t t t= − + ; 
e) ( ) 5tv t = ; 
f) ( ) ( ) ( )2sen cosw θ θ θ= . 
 
Resolução. 
 
a) ( ) ( )2logf x x= . 
 
A sentença matemática ou representação algébrica que define a 
função mostra que ela é uma função logarítmica. 
 
b) ( ) 4g x x= . 
 
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A representação algébrica que define a função mostra que ela é 
uma função raiz. 
c) ( )
3
2
2
1
x
h x
x
=
−
. 
 
A representação algébrica mostra que a função é uma função 
definida como um quociente (uma razão) de polinômios, 
portanto é uma função racional. 
 
d) ( ) 21 1.1 2.54u t t t= − + . 
 
A representação algébrica que define a função é uma função 
polinomial. 
 
e) ( ) 5tv t = . 
 
A representação algébrica que define a função mostra que ela é 
uma função exponencial. 
 
f) ( ) ( ) ( )2sen cosw θ θ θ= . 
 
A representação algébrica que define a função mostra que ela é 
uma função trigonométrica. 
 
 
 
Exercício 02. Classifique cada função em: função potência, 
função raiz, função polinomial, função racional, função 
algébrica, função trigonométrica, função exponencial, função 
logarítmica. 
 
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a) xy π= ; 
b) y xπ= ; 
c) ( )2 32y x x= − ; 
d) ( ) ( )tg cosy t t= − ; 
e) 
1
s
y
s
=
+
; 
f) 
3
3
1
1
x
y
x
−
=
+
; 
 
Resolução. 
 
a) xy π= . 
 
A representação algébrica que define a função mostra que ela é 
uma função exponencial. Ela é uma exponencial de base π . 
 
b) y xπ= . 
 
A representação algébrica que define a função mostra que ela é 
uma função potência na qual o expoente não é um número 
inteiro. 
 
c) ( )2 32y x x= − . 
 
A representação algébrica apresentada mostra que a função é 
uma função polinomial. Para que ela se apresente como uma 
típica função polinomial, basta que seja efetuado o produto. 
 
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d) ( ) ( )tg cosy t t= − . 
 
Essa representação mostra que esta é uma função 
trigonométrica. 
e) 
1
s
y
s
=
+
. 
 
A representação mostra que a função é definida como uma 
razão (quociente) de polinômios, logo a função é uma função 
racional. 
 
f) 
3
3
1
1
x
y
x
−
=
+
. 
 
A representação mostra que essa função é uma função definida 
mediante o uso de potências e operações algébricas com a 
variável x, logo é uma função algébrica. 
 
 
Exercício 03. Identifique a equação com o respectivo gráfico. 
Não use softwares ou calculadoras. Explique suas razões. 
 
a) 2y x= ; b) 5y x= ; c) 8y x= 
 
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Resolução. 
A primeira observação que pode ser feita é a de que o traço 
associado com a letra f assume valores negativos quando a 
variável x é negativa. 
Das três funções elencadas no enunciado, apenas a função 
5y x= satisfaz tal condição. Para números x negativos, a 
quinta potência deles é negativa. 
As funções 2y x= e 8y x= atribuem números positivos a 
quaisquer números reais, sejam eles positivos ou negativos. 
Essas duas funções devem ser associadas aos traços nomeados 
como g ou h. 
Percebemos que se x é um números entre zero e 1, então 8x é 
menor que 2x . E percebemos que se x é um número maior que 
1, então 8x é maior que 2x . 
Assim o traço associado à função 2y x= é o da letra h, e o 
traço associado à função 8y x= é o da letra g. 
 
 
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Exercício 04. Identifique a equação com o respectivo gráfico. 
Não use softwares ou calculadoras. Explique suas razões. 
 
a) 3y x= ; b) 3xy = ; c) 3y x= ; d) 3y x= . 
 
 
 
Resolução. 
A função linear 3y x= tem gráfico representado por uma reta, 
então a identificação mais visível é a associação G com a 
função linear 3y x= . 
 
A função exponencial 3xy = é uma exponencial com base 
maior que 1, logo é uma função crescente, tem gráfico 
crescente, sempre positivo e intercepta o eixo dos yy na altura 
1y = . Lembre: ( ) 00 3 1y = = . Os três gráficos restantes são 
crescentes, mas F e g são gráficos que mostram que a função 
assume valores negativos quando x é negativo, e isso não 
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acontece com a função exponencial. O gráfico crescente que 
não assume valores negativos é o f. 
Então, a segunda associação que fazemos é o gráfico f e a 
função exponencial 3xy = . 
 
Consideremos a função cubica 3y x= . Ela é crescente, assume 
valores negativos quando x é negativo e valore positivos cada 
vez maiores quando x é positivo. A partir de certo valor 
positivo, vemos que os valores 3x são maiores que os valores 
3x . O gráfico de 3y x= deve ser superior ao gráfico da função 
linear 3y x= a partir de algum x positivo. Isso acontece com o 
traço associado à letra F e não acontece com o traço associado 
à letra g. 
Então a terceira associação que fazemos é traço F com função 
cúbica 3y x= . 
Como curiosidade, podemos descobrir quando é que os valores 
de 3y x= são iguais aos valores de 3y x= . Basta resolver a 
equação: 
 
( )3 3 23 3 0 3 0x x x x x x= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ 
0x = ou 2 3 3x x= ⇔ = ± . 
 
Então é a partir de 3x = que o gráfico de 3y x= situa-se 
acima do gráfico de 3y x= . 
 
O último gráfico, o da letra g, fica associado à função 3y x= , 
que também é uma função crescente, mas que à medida que x 
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cresce tem-se que 3x é maior que 3 x . Veja, por exemplo, que 
( )3 27 81= e 3 27 3= . 
 
 
Exercício 05. 
a) Determine equações para descrever uma família de funções 
lineares cujo coeficiente angular de seu gráfico seja igual a 2, e 
esboce o gráfico de alguns membros dessa família. 
 
b) determine equações para descrever uma família de funções 
lineares tais que ( )2 1f = e esboce o gráfico de alguns 
membros dessa família. 
 
c) Que funções pertencem a ambas as famílias? 
 
Resolução. 
 
a) Uma função linear, cujo coeficiente angular do gráfico é 
igual a 2, é por exemplo, definida por 2y x= . Outra pode ser 
definida por 2 1y x= + , outra por 2 7y x= − . Percebemos 
assim que podemos descrever uma família que satisfaça a 
condição exigida no enunciado escrevendo: 
 
2 ,y x k k= + ∈ℝ . 
 
Os gráficos das funções dessa família são obtidos mediante 
translação para cima e para baixo do gráfico da função 2y x= . 
Quando adicionamos um valor k positivo à definição da função 
2y x= , obtemos uma função definida por 2y x k= + cujo 
gráfico está situado k unidades para cima do gráfico de 2y x= . 
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Quando adicionamos um valor k negativo à definição da 
função 2y x= , obtemos uma função definida por 2y x k= + 
cujo gráfico estásituado k unidades para baixo do gráfico de 
2y x= . 
 
Com a ajuda do Geogebra, esboçamos parte dos gráficos de 
2 5y x= − , 2 3y x= − , 2y x= , 2 2y x= + e 2 4y x= + . 
 
 
 
b) Podemos encontrar algumas funções lineares que satisfaçam 
( )2 1f = . Funções lineares são funções definidas por 
representações da forma y mx b= + . 
Por exemplo: 
Se escolhermos 1m = , devemos tomar 1b = − e teremos que 
1y x= − satisfaz ( )2 2 1 1y = − = . 
Se escolhermos 2m = devemos tomar 3b = − e teremos que 
2 3y x= − satisfaz ( ) ( )2 2 2 3 1y = − = . 
Se escolhermos 3m = devemos tomar 5b = − e teremos que 
3 5y x= − satisfaz ( ) ( )2 3 2 5 1y = − = . 
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Se escolhermos 4m = devemos tomar 7b = − e teremos que 
4 7y x= − satisfaz ( ) ( )2 4 2 7 1y = − = . 
 
Em geral, pensamos da seguinte maneira: 
Na expressão ( )1 2m b= + , assim que escolhemos um valor 
para m, devemos escolher 1 2b m= − . 
 
Então, uma família de funções lineares que possuem gráfico 
passando pelo ponto ( )2,1 é dada pela expressão: 
 
( )1 2 ,y k x k k= + − ∈ℝ . 
 
Na seguinte ilustração mostramos parte dos gráficos das 
funções 1y x= − , 2 3y x= − , 3 5y x= − e 4 7y x= − . 
 
 
 
c) Existe apenas uma função que pertence às duas famílias ao 
mesmo tempo, é a função linear definida por 2 3y x= − . Ela 
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possui um gráfico com coeficiente angular igual a 2 e passa 
pelo ponto ( )2,1 . 
 
 
Exercício 06. O que todos os membros da família de funções 
lineares ( ) ( )1 3f x m x= + + têm em comum? Esboce o gráfico 
de alguns membros dessa família. 
 
Resolução. 
Percebemos que no lugar de “m” podem ser escritos diferentes 
números reais. Utilizando a distributividade vemos que 
( ) 1 3 (3 1)f x mx m mx m= + + = + + . 
 
Então os gráficos dos membros dessa família são retas, mas 
não possuem o mesmo coeficiente angular. 
 
Se considerássemos a família ( )g x mx= saberíamos que todos 
os membros dessa família possuem gráficos que são retas e que 
passam pela origem ( )0,0 . 
 
Se considerássemos a família ( ) 1h x mx= + saberíamos que 
todos os membros dessa família possuem gráficos que são retas 
e que passam pelo ponto ( )0,1 . 
 
Os gráficos da família ( ) ( )1 3f x m x= + + são translações para 
a esquerda de três unidades dos gráficos da família 
( ) 1h x mx= + . Assim, o que esses gráficos têm em comum é 
que todos eles passam pelo ponto ( )3,1− . 
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A seguir mostramos os gráficos de ( ) ( )1 3f x m x= + + para os 
valores de m no conjunto 
{ 2, 1.5, 1, 0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2}− − − − . 
 
 
 
 
 
 
Exercício 07. O que todos os membros da família de funções 
lineares ( )f x c x= − têm em comum? Esboce o gráfico de 
alguns membros dessa família. 
 
Resolução. 
Os membros dessa família de funções lineares possuem em 
comum o coeficiente angular de seus gráficos. Todos eles 
possuem coeficiente angular igual a 1− . Todos os gráficos são 
paralelos. 
Na ilustração seguinte, mostramos os gráficos definidos por: 
1y x= − − , y x= − , 1y x= − , 2y x= − e 3y x= − . 
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Exercício 08-I. Determine a representação algébrica da função 
quadrática que possui gráfico mostrado na seguinte figura. 
 
 
 
Resolução. 
Se a função é quadrática e possui apenas uma raiz em 3x = 
com concavidade do gráfico voltada para cima, sua 
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representação algébrica é do tipo ( ) ( )23f x m x= − , onde 
0m > . 
A ilustração nos diz que ( )4 2f = . 
Então, ( ) ( ) ( )22 4 4 3 1 2f m m m= = − = ⇒ = . 
 
Assim a função quadrática que possui o gráfico mostrado 
anteriormente tem representação algébrica igual a 
( ) ( )22 3f x x= − . 
 
 
Exercício 08-II. Determine a representação algébrica da 
função quadrática que possui gráfico mostrado na seguinte 
figura. 
 
 
 
Resolução. 
Não obtemos informações sobre as raízes ou sobre a 
coordenada do vértice. A ilustração fornece apenas três pontos 
que pertencem ao gráfico da função. 
 
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Se a função é quadrática, ela tem a representação algébrica 
padrão ( ) 2f x ax bx c= + + . 
 
Como os pontos ( )2,2− , ( )0,1 e ( )1, 2.5− pertencem ao 
gráfico, as exigências que devem ser feitas são: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 4 2
1 0 0
2.5 1 1
a b c
a b c
a b c
= + − +

= + +
− = + +
 . 
 
A segunda equação fornece que 1c = . As duas outras equações 
podem ser utilizadas para encontrar a e b. 
 
2 4 2 1
2.5 1
a b
a b
= − +

− = + +
. 
 
Da segunda equação obtemos 
7
2
a b= − − . 
Substituímos na primeira e obtemos 2 14 4 2 1b b= − − − + . 
Essa equação equivale a 
15 5
6 2
b = − = − . 
Logo, 
7 5
1
2 2
a = − + = − . 
 
A expressão que define a função é ( ) 2 5 1
2
f x x x= − − + . 
 
Obs. verifique que ( )2 2f − = , que ( )0 1f = e que ( ) 51
2
f = − . 
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Exercício 09. Determine a representação algébrica de uma 
função cúbica f tal que: ( )1 6f = , ( ) ( ) ( )1 0 2 0f f f− = = = . 
 
Resolução. 
O enunciado fornece as raízes da função cúbica, são 1x = − , 
0x = e 2x = . 
 
Uma representação padrão de função cúbica é: 
 
( ) ( )( )( )1 2 3f x k x r x r x r= − − − , 
 
então, no nosso caso, ( ) ( )( ) ( )1 0 2f x k x x x= + − − . 
 
Como ( )1 6f = podemos determinar o valor da constante k. 
 
( ) ( )( )( ) ( )6 1 1 1 1 1 2 2 3f k k k= = + − = − ⇒ = − . 
A representação algébrica da função que satisfaz as exigências 
do enunciado é: 
 
( ) ( ) ( )3 1 2f x x x x= − + − . 
Como 
 
( ) ( ) ( )( )2 3 2 23 1 2 3 3 2 3 6 3 6x x x x x x x x x x+ − = − − − = − + − + , 
 
Tem-se ( ) 3 23 3 6f x x x x= − + + . 
 
 
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Exercício 10. Pesquisas apontam que a temperatura média da 
superfície terrestre tem aumentado. Um dos modelos de tal 
evento é linear e dado pela equação 0.02 8.5T t= + onde T é a 
temperatura média da superfície em graus Celsius e a variável t 
é medida em anos a partir de 1900. 
a) O que representa o coeficiente angular da reta dada pela 
expressão anterior; O que representa o intercepto T ? 
b) Utilize o modelo apresentado para predizer a temperatura 
média da superfície terrestre no ano de 2100. 
 
Resolução. 
a) O coeficiente angular da expressão 0.02 8.5T t= + 
representa a taxa de variação anual da temperatura média em 
graus Celsius. O intercepto T representa a temperatura média 
da superfície terrestre no ano de 1900, que era 8.5 graus 
Celsius. 
b) Para calcular a temperatura no ano de 2100 fazemos: 
 
2100 1900 200− = ; 
 
( ) ( )200 0.02 200 8.5 12.5T = + = . 
 
Segundo tal modelo, haverá uma variação considerável, 
passando dos 8.5 graus em 1900 para 12.5 graus em 2100. 
 
 
Exercício 11. Se a dosagem em miligramas de uma droga para 
um adulto é D mg, o cálculo para a dosagem da mesma droga 
para uma criança de idade a anos é ( )0.0417 1c D a= ⋅ ⋅ + . 
Admita que a dosagem de certa droga para adultos seja de 200 
mg. 
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a) Qual será o coeficiente angulardo gráfico de ( )c a ? O que 
esse coeficiente angular representa? 
b) Qual será a dosagem para um recém-nascido? 
 
Resolução. 
a) Se 200D = então ( ) ( ) ( ) ( )0.0417 200 1 8.34 1c a a a= + = + . 
Então, o coeficiente angular é igual a 8.34. 
Esse número representa a taxa de variação na dosagem da 
criança para cada ano a mais em sua idade. 
 
b) Tem-se que ( ) ( )8.34 1 8.34 8.34c a a a= + = + . Então para 
um recém-nascido deve-se ministrar ( )0 8.34c = miligramas. 
Ou seja, a dosagem para um recém-nascido é dada pelo 
intercepto do gráfico linear da dosagem ( )c a . 
 
 
Exercício 12. O gerente de um shopping popular sabe, por 
experiência, que se ele cobra x reais para alugar um “box” 
padrão de seu shopping, a quantidade y de boxes que ele 
consegue alugar é dada por 200 4y x= − . 
a) Esboce o gráfico da função que fornece a quantidade de 
boxes que se pode alugar. Observe que as quantidades são 
sempre positivas. 
b) Quais os significados do coeficiente angular da reta, do 
intercepto no eixo das abscissas e do intercepto no eixo das 
ordenadas (também chamado coeficiente linear)? 
 
Resolução. 
a) Com o auxílio do Geogebra traçamos um esboço do gráfico. 
Obs: as escalas dos eixos não são iguais. 
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Observe que o traçado do gráfico situa-se no primeiro 
quadrante. Não consideramos variáveis 50x > , pois para tais 
valores obtêm-se valores negativos de y, e y indica a 
quantidade de boxes que serão alugados. 
 
b) O coeficiente angular é igual a 4− , e esse número indica a 
taxa na qual a quantidade de boxes alugados variam a cada real 
a mais no preço do aluguel. Percebemos então, que a cada real 
a mais no preço do box serão alugados 4 boxes a menos. 
 
O intercepto no eixo das ordenadas (chamado coeficiente 
linear) indica a quantidade de boxes alugados se o gerente não 
cobrar o aluguel. Sabemos assim que o gerente dispõe de 200 
locais para alugar. Se ele não cobrar nada todos os locais serão 
requisitados para locação. 
 
O intercepto no eixo das abscissas indica o preço limite que 
pode ser cobrado de aluguel. Nesse caso, se o gerente cobrar 50 
reais pelo aluguel não será alugado nenhum box. O gerente tem 
de cobrar um preço menor que 50 reais. 
 
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Exercício 13. A relação entre os graus Fahrenheit (F) e os 
graus Celsius (C) é dada pela função linear 
9
32
5
F C= − . 
a) Esboce o gráfico dessa função; 
b) Qual é o coeficiente angular da reta que representa o 
gráfico? O que isso representa? 
c) Qual é o intercepto do eixo F? O que essa medida 
representa? 
 
Resolução. 
 
Vamos considerar que a medida em ºC seja a variável 
independente e a medida em ºF seja a dependente. 
Assim, desenhamos o eixo das variáveis independentes na 
horizontal e o das dependentes na vertical. 
A relação entre essas unidades de medida é uma relação linear. 
Seu gráfico é mostrado na seguinte ilustração. 
 
 
 
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b) O coeficiente angular da reta que representa o gráfico é igual 
a 
9
5
. Ele indica o quanto varia a temperatura em graus 
Fahrenheit a cada variação de 1 graus Celsius. Ou seja, a cada 
grau Celsius correspondem 
9
5
 de graus Fahrenheit. 
 
c) O intercepto do eixo F é igual a 32− . Ele representa a 
temperatura em graus Fahrenheit correspondente a zero graus 
Celsius. 
 
 
Exercício 14. Uma pessoa partiu de carro de Maringá às 
12h00min e dirigindo à velocidade constante, passou em 
Jandaia do Sul, distante 40 km, às 12h50min. 
a) Expresse a distância percorrida em função do tempo em 
minutos. 
b) Esboce o gráfico da função do item anterior. 
c) Qual é o coeficiente angular dessa reta? Qual é o significado 
desse coeficiente angular? 
 
Resolução. 
a) No instante inicial 0t = a distância percorrida era nula. No 
instante 50t = a distância percorrida era 40 km. Temos dois 
pontos para a construção do gráfico da função distância 
percorrida, ( )0,0 e ( )50,40 . 
 
 
 
A variação da distância foi de 40 0 40− = , a variação do tempo 
de viagem foi de 50 0 50− = minutos. 
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Tem-se 
40 4
50 5
d
t
∆
= =
∆
. 
 
A expressão da distância percorrida é ( ) 4
5
d t t= . 
 
b) Temos os dois pontos determinados anteriormente ( )0,0 e 
( )50,40 . O esboço do gráfico é mostrado a seguir. 
 
 
 
c) O coeficiente angular dessa reta é 
4
5
. Esse número significa 
a taxa de variação da distância, em quilômetros, percorrida 
para o aumento de um minuto no tempo de viagem. 
 
 
Exercício 15. Biologistas descobriram que a taxa de frequência 
com que certa espécie de grilos tritinam (cantam) depende da 
temperatura ambiente e a relação é praticamente linear. Um 
grilo produz 113 tritinados por minuto a temperatura de 70 ºF e 
173 tritinados por minuto a temperatura de 80 ºF. 
 
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a) Determine a função que modela a temperatura T ambiente 
como função do número de tritinados por minuto N. 
b) Qual é o coeficiente angular da reta que representa o 
gráfico? Qual é o significado desse número? 
c) Se os grilos estão trinitando 150 vezes por minuto, qual é a 
temperatura ambiente? 
 
 
Resolução. 
a) Temos a indicação de que quando 70T = (graus) tem-se 
113N = (tritinados por minuto). 
Também sabemos que quando 80T = tem-se 173N = . 
 
Vamos usar esses pontos: ( )70,113 e ( )80,173 para determinar 
a reta que passa por eles. Essa reta será a representação da 
função linear que expressa a quantidade de tritinados por 
minuto em função da temperatura. 
 
Vamos determinar o coeficiente angular: 
 
173 113 60
6
80 70 10
N
m
T
∆ −
= = = =
∆ −
. 
 
Vamos escolher o ponto ( )113,70 para determinar a equação 
da reta: 
 
( )0 0y y m x x− = − torna-se: ( )113 6 70N T− = − . 
 
Então a expressão de N em função de T pode ser escrita como: 
 
6 307N T= − . 
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b) O coeficiente angular da reta que representa o gráfico desta 
função é igual a 6. Ele representa a quantidade a mais de 
tritinados executados por minuto a cada variação de 01 graus 
Fahrenheit a mais na temperatura ambiente. 
Por exemplo, quando 70T = tem-se 113N = . Então se a 
temperatura aumentar para 71 graus haverá 6 tritinados a mais 
por minuto. 
 
c) Se 150N = , então devemos resolver 150 6 307T= − para a 
variável T. 
 
150 6 307 6 457 76.16T T T= − ⇒ = ⇒ ≅ graus Fahrenheit. 
 
A resposta está de acordo com o enunciado, já que aos 80 graus 
tem-se 173N = . 
 
 
 
Exercício 16. O gerente de uma fábrica orçou o custo de 
fabricação de 100 cadeiras por dia em R$ 2200,00 e o custo de 
fabricação de 300 cadeiras por dia em R$ 4800,00. 
a) Expresse o custo de fabricação em função da quantidade de 
cadeiras produzidas por dia assumindo que tal relação seja 
linear. Esboce o gráfico dessa função custo. 
b) Qual é o coeficiente angular desse gráfico? Qual é o 
significado desse coeficiente angular? 
c) Qual é o intercepto no eixo das ordenadas (coeficiente 
linear)? Qual é o significado desse número? 
 
Resolução. 
a) Conhecemos dois instantes do processo produtivo, 100 
cadeiras custam 2200 e 300 cadeiras custam 4800. 
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A variação da quantidade foi de 300 100 200q∆ = − = . 
A variação do custo foi de 48002200 2600c∆ = − = . 
 
A taxa de variação é: 
2600
13
200
c
q
∆
= =
∆
. 
 
Escolhemos o ponto ( )100,2200 . 
 
( )0 0y y m x x− = − torna-se: 
 
( )2200 13 100y x− = − ou 13 900y x= + . 
 
A função linear que relaciona o custo em função da quantidade 
de cadeiras produzidas por dia é: 
 
( ) 13 900c q q= + . 
 
Um esboço do gráfico está a seguir. 
 
 
 
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b) o coeficiente angular desse gráfico é 13. Esse número indica 
a taxa de variação do custo a cada cadeira a mais produzida por 
dia. 
 
c) O coeficiente linear (intercepto no eixo das ordenadas) é 900 
e esse número significa o custo de manutenção da fábrica por 
dia sem a produção de nenhuma cadeira. Se o empresário não 
produzir nenhuma cadeira ele terá um custo de 900 reais por 
dia. Pode-se compreender tal custo como salários, energia, 
água, aluguel manutenção e equipamentos etc. 
 
 
 
Exercício 17. Na superfície do mar a pressão da água é de 15 
libras por polegada quadrada, o mesmo valor que o da pressão 
atmosférica. Abaixo da superfície a pressão da água aumenta 
4.34 libras a cada 10 pés de profundidade. 
a) Expresse a pressão da água como função da profundidade. 
b) A que profundidade a pressão é de 100 lb/pol2? 
 
Resolução. 
a) No nível zero tem-se ( )0 15P = lb/pol2. 
Como a cada 10 pés de profundidade a pressão aumenta 4.34, a 
pressão pode ser definida pela expressão: 
 
( ) 15 4.34
10
x
P x
 = +  
 
. 
b) Devemos resolver a equação 100 15 0.434x= + . 
 
Tem-se: 
85
85 0.434 195.8
0.434
x x= ⇒ = ≅ . 
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Então, a pressão será de 100 lb/pol2 na profundidade de 
aproximadamente 195.8 pés. 
 
 
 
Exercício 18. O custo mensal de um carro depende da 
quantidade de quilômetros rodados. Certa pessoa anotou que 
no mês de maio ele gastou R$ 380,00 para rodar 480 km e no 
mês de junho gastou R$ 460,00 para rodar 800 km. 
a) Expresse o custo mensal C em função da distância 
percorrida pelo carro assumindo que a relação seja linear. 
b) De acordo com seu modelo (resposta do item anterior) qual 
será o custo mensal para rodar 1500 km? 
c) Esboce o gráfico dessa função linear. Qual é o significado do 
coeficiente angular da reta? 
d) Qual é o significado do intercepto no eixo das ordenadas? 
e) Qual o motivo do modelo linear aproximar adequadamente o 
evento real? 
 
Resolução. 
a) Temos dois pontos nos quais conhecemos o custo. Isso 
fornece dois pares ordenados: ( )480,380 e ( )800,460 . 
Calculemos o coeficiente angular: 
 
460 380 80 1
800 480 320 4
m
−
= = =
−
. 
 
Escolhemos o ponto base ( )800,460 . 
 
( )0 0y y m x x− = − torna-se: 
 
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 ( )1460 800 200 460
4 4
x
y x y− = − ⇒ = − + ⇒ 
 
260
4
x
y = + . 
 
O custo de manutenção em função da quilometragem rodada 
no mês é: 
 
( ) 260
4
x
C x = + . 
 
b) O custo para rodar 1500 km será: 
 
( ) 15001500 260 375 260 635
4
C = + = + = . 
 
d) O esboço do gráfico está a seguir. 
 
 
 
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O intercepto no eixo das ordenadas é o número 260 e 
representa o custo para manter o automóvel sem sair da 
garagem. Pode-se compreender que esse custo advém de 
manutenção preventiva, da depreciação do bem, desgaste 
temporal de lubrificantes, pneus, etc. 
 
e) Essa resposta é pessoal. Cada um tem uma avaliação acerca 
do modelo apresentado no exercício. Mas de certa maneira 
existe realmente um custo fixo para se manter um carro na 
garagem, sem rodar. Esse custo seria da depreciação do bem, 
1/12 do IPVA, etc. Uns 260 reais por mês é uma avaliação de 
custo razoável. A taxa de ¼ de real por quilômetro é também 
uma estimativa razoável, uns 25 centavos por km é uma 
estimativa razoável também para um automóvel econômico. 
 
 
Exercício 19. Para cada gráfico de pontos a seguir, explique 
que tipo de função você utilizaria para modelar o evento 
registrado. 
 
 
 
 
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Resolução. 
a) A opção mais razoável seria utilizar uma função 
trigonométrica (seno ou cosseno) pois a variação cíclica dos 
valores do evento são muito visíveis. A melhor opção, nesse 
caso, seria ( ) ( )siny x k mx n p= + + . Os parâmetros deveriam 
ser calibrados de acordo com a disposição dos pontos. 
 
b) Para os dados mostrados na figura b, a melhor sugestão seria 
utilizar um modelo linear decrescente, pois apesar dos pontos 
não estarem distribuídos efetivamente sobre uma reta existe 
uma reta que aproxima razoavelmente a variação de y em 
relação a x. 
 
 
Exercício 20. Para cada gráfico de pontos a seguir, explique 
que tipo de função você utilizaria para modelar o evento 
registrado. 
 
 
 
 
Resolução. 
a) Percebe-se que o crescimento das ordenadas dos pontos 
mostrados no gráfico não obedecem a uma taxa fixa de 
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variação, então o modelo linear não é apropriado. Poderíamos, 
por exemplo, aproximar a variação de y em função de x por 
uma função quadrática. Colocaríamos o vértice situado sobre o 
eixo das ordenadas. Poderíamos escolher: 
 
:f + →ℝ ℝ ; ( ) 2f x k x m= + . 
 
b) A dispersão dos pontos lembra muito o decrescimento da 
função potência ( ) 1f x
x
= . Então uma boa opção seria utilizar 
uma função do tipo 
1
: ; ( )f f x k n
x m
+ → = +
−
ℝ ℝ . 
 
 
Exercício 21. A entidade National Health Interview Survey 
coletou dados que relacionam a porcentagem de úlcera na 
população relacionada com a renda familiar. 
 
 
 
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a) Faça um gráfico de pontos com os dados da tabela e decida 
se a modelagem linear é adequada. 
b) Determine o modelo linear usando o primeiro e o último 
dado da tabela. Faça o gráfico junto com a dispersão de pontos. 
c) Use a regressão do método dos mínimos quadrados e modele 
a porcentagem de casos de úlcera. 
d) Use seu modelo linear (item anterior) para estimar a 
porcentagem de úlcera numa família com renda de 25 mil 
dólares. 
e) De acordo com esse modelo qual a probabilidade de um 
indivíduo com renda de 80 mil dólares sofrer de úlcera? 
f) Você acha razoável aplicar esse modelo para rendas de 200 
mil dólares? Explique. 
 
 
Resolução. 
a) Com o auxílio do Geogebra mostramos os pontos no plano 
cartesiano. Basta inserir os dados com o comando “(a,b)” no 
campo de entrada. Após modificações de “zoom” sua 
ilustração deverá se assemelhar à seguinte figura. 
 
 
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Aparentemente, a dispersão dos pontos obedece um 
decrescimento mais ou menos linear. Um modelo linear pode 
ser considerado. 
 
b) Para considerar a reta determinada pelo primeiro ponto e 
pelo último ponto basta tomar a ferramenta Reta, clicar no 
primeiro ponto e depois clicar no segundo ponto. Será traçada a 
reta como ilustra a seguinte figura. 
 
 
 
A equação da reta fica exibida na janela de álgebra. 
 
 
c) Para fazer a regressão pelos mínimos quadrados, use o 
comando “RegressãoLinear[lista de pontos]” e aperte Enter. 
Como os pontos receberam automaticamente nomes dados pelo 
Geogebra, escrevemos os nomes dos pontos dentro do 
comando regressão. 
 
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Digitamos o seguinte: 
 
 
 
O resultado é ilustrado a seguir. 
 
 
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A equação dessa nova reta é: 
 
 
 
A equação da reta fornece o modelo ( ) 13.95
10
r
U r
−
= + , onde r 
é a renda dada em milhares de dólares. 
 
d) Devemos calcular ( )25U . 
 
( ) 2525 13.95 11.45
10
U = − + = . 
e) Devemos calcular ( )80U . 
 
( ) 8080 13.95 5.95
10
U = − + = . 
f) Para rendas acima de 140 mil dólares o modelo não é 
adequado. Veja o gráfico da função. 
 
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Para 140x > tem-se ( ) 0U x < , mas isso é inverídico. Pois por 
maior que seja a renda sempre haverá indivíduos com úlcera. 
 
 
 
Exercício 22. Pesquisadores coletaram dados acerca do trinado 
de grilos em relação com a temperatura ambiente. Os dados 
estão na seguinte tabela. 
 
 
 
a) Faça um gráfico de pontos com os dados da tabela. 
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b) Determine a reta de regressão linear. 
c) Use o modelo linear e determine o ritmo de trinados quando 
a temperatura for de 100 graus Fahrenheit. 
 
Resolução. 
a) Com o auxílio do Geogebra conseguimos visualizar o 
seguinte. 
 
 
 
b) Com o comando RegressãoLinear obtemos a equação da reta 
que aproxima os pontos. 
 
 
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c) Vamos calcular ( )100y . 
 
( ) ( )100 4.86 100 220.97 486 220.97 265.03y = − = − = . 
 
Serão dados aproximadamente 265 trinados por minuto. 
 
 
Exercício 23. A seguinte tabela apresenta as marcas dos 
campeões olímpicos do salto com vara masculino. 
 
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a) Construa um gráfico de pontos e decida se um modelo linear 
é apropriado para o evento. 
b) Determine a reta de regressão linear. 
c) Use a regressão linear e calcule a altura do salto campeão 
para a olimpíada de 2008. Compare com a marca atual de 
5.96m. 
d) É razoável a utilização de tal modelo linear para predizer a 
altura do salto campeão em 2100? Explique. 
 
 
Resolução. 
a) Para facilitar a visualização desprezamos o primeiro dado e 
adotamos que 1900 seria a abscissa 00, 1904 seria a abscissa 04 
e assim por diante. A lista dos pontos é mostrada a seguir. 
 
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Após ajustes de “zoom” visualizamos a seguinte figura na tela 
do plano cartesiano. 
 
 
 
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Um modelo linear é adequado para aproximar os dados. 
 
b) Usando o comando “RegressãoLinear” conseguimos a 
seguinte função: 
( ) 0.03 3.41f x x= + . 
A disposição da reta e dos pontos é mostrada a seguir. 
 
 
 
c) Calculamos ( )108 0.03(108) 3.41 6.65f = + = . Obtemos um 
valor consideravelmente maior que a marca 5.96m. 
 
d) Não precisamos calcular o valor ( )200f . Percebemos, 
olhando o gráfico, que já a partir da previsão para as 
olimpíadas de 2008 haverá um erro por excesso. Talvez seja 
impossível para um homem atingir a marca de 6.65m calculada 
para 2008, então, para as olimpíadas de 2100, o resultado será 
humanamente impossível. 
 
 
Exercício 24. A seguinte tabela mostra as porcentagens da 
população da Argentina que vivia na área rural. 
 
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Determine um modelo matemático para descrever a população 
rural e calcule aproximadamente a porcentagem para os anos 
de 1988 e 2002. 
 
Resolução. 
 
Adotaremos as identificações: 1955 – 55, 1960 – 60, e assim 
por diante. Isso facilitará a visualização. 
 
Após o cálculo da Regressão Linear obtemos a função: 
 
( ) 0.43 52.15f x x= − + . 
 
A ilustração geométrica é mostrada a seguir. 
 
 
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Percebemos que a reta de regressão linear se afasta dos pontos 
finais da listagem. 
 
Segundo tal função tem-se: 
 
( ) ( )88 0.43 88 52.15 14.31f = − + = ; 
( ) ( )102 0.43 102 52.15 8.29f = − + = . 
 
A porcentagem para 1988, de 14.31 %, está razoável, mas a 
porcentagem de 8.29 %, contém um erro por falta, a 
porcentagem seria um pouco maior pela observação dos pontos 
no plano cartesiano. 
 
O Geogebra tem outra ferramenta de regressão que pode ser 
usada nessa situação, é a regressão exponencial. 
 
Com o uso do comando “RegressãoExponencial” obtém-se: 
 
( ) 0.02109.58 xf x e−= . 
 
 
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Segundo tal função, obtém-se: 
 
( )88 13.87f ≅ e ( )102 9.99f ≅ . 
 
Dados que são mais adequados ao evento. 
 
 
Exercício 25. Muitos modelos físicos seguem leis de quadrado 
inverso, ou seja, leis dadas por funções potências da forma 
( ) 2
k
f t
t
= . Por exemplo, a iluminação de um objeto por uma 
única fonte de luz é proporcional ao quadrado da distância 
entre o objeto e a fonte de luz. Expresse mediante uma função 
a intensidade da iluminação nesse caso. 
 
Resolução. 
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Vamos adotar que o objeto está a uma distância “d” da fonte de 
luz, então a intensidade é modelada por ( ) 2
k
I d
d
= , onde k é a 
constante de proporcionalidade. 
 
 
Exercício 26. Estudos ecológicos modelaram a quantidade de 
espécies de morcegos que habitam uma caverna de área A pela 
função 0.30.7S A= . 
a) A caverna de nome “Mission Impossible” situada em 
Puebla, México, tem área de medida igual a sessenta metros 
quadrados. Quantas espécies de morcego existem nessa 
caverna segundo o modelo? 
b) Se em certa caverna houver quatro espécies de morcegos, 
qual é aproximadamente a área da caverna. 
 
 
Resolução. 
a) A quantidade de espécies é modelada pela equação 
0.30.7S A= , então ( ) ( )0.360 0.7 60 2.39S = ≅ fornece a resposta 
de que há duas espécies de morcegos vivendo nessa caverna. 
 
b) Se conhecemos a quantidade de espécies, que é 4, podemos 
estimar a área da caverna mediante a equação 0.30.7S A= . 
Calculamos: 
( ) ( )
10 10
0.3 0.3 0.3 3 3
4
4 0.7 5.714
0.7
A A A= ⇒ = ⇒ ≅ ⇒ 
 
333,584A ≅ . 
 
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A resposta que obtemos é que a caverna que possui quatro 
espécies possui área de aproximadamente 334 metros 
quadrados. 
 
 
 
Exercício 27. A relação entre a quantidade N de espécies de 
répteis e anfíbios habitando ilhas do Caribe e a respectiva área 
A em milhas quadradas é mostrada na tabela a seguir. 
 
 
 
a) Modele a quantidade de espécies em função da área 
mediante uma função potência. 
 
b) Se a ilha de Dominica possui 291 milhas quadradas, quantas 
espécie de répteis e anfíbios existem lá, segundo seu modelo? 
 
Resolução. 
Vamos inserir os pares ordenados no Geogebra. 
Após inseridos os pares ordenados, usamos os seguintes 
comandos. 
Como desejamos uma função ( ) kg x x= que modele a relação, 
primeiramente inserimos no Geogebra o comando “k=1” no 
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campo de entrada. Assim o Geogebra compreenderá que “k” é 
um parâmetro numérico. 
 
Depois, usamos “Regressão[{A,B,C,D,E,F},x^k]”. 
Com essecomando o Geogebra ajustará o parâmetro “k” para 
que a curva ky x= se aproxime da melhor maneira dos pontos 
listados. 
 
O resultado é mostrado na janela de álgebra e no plano 
cartesiano. 
 
Temos ( ) 0.42g x x= . 
 
 
 
b) Calculamos ( ) ( )0.42291 291 10.75g = ≅ . Obtemos como 
resposta que haverá aproximadamente 10 espécies de répteis e 
anfíbios na ilha de Dominica. 
 
 
Exercício 28. A tabela a seguir mostra a relação entre a 
distância dos planetas ao Sol e seu período de revolução em 
torno do mesmo. A distância d é fornecida tomando-se como 
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unidade a distância da Terra ao Sol. O período é fornecido 
tendo como unidade o ano. 
 
 
 
a) Modele a relação mediante a consideração e uma função 
potência. 
 
b) A terceira Lei de Kepler diz: O quadrado do período de 
revolução de um planeta é proporcional ao cubo da distância 
média do planeta ao Sol. Seu modelo é compatível com essa 
Lei de Kepler? Explique. 
 
Resolução. 
a) Inserimos os pares ordenados no Geogebra. 
Inserimos o número “k=1” para que seja nosso parâmetro. 
Inserimos a função “g(x)=x^k” no campo de entrada. 
Mostramos o controle deslizante do parâmetro “k” via clique 
do botão direito sobre ele. 
Arrastamos o controle deslizante até encontrarmos uma “boa” 
posição da curva. 
Nesse caso, “k=1.5” fornece um ajuste razoável, veja a 
ilustração a seguir. 
 
Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM 
 
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Então, nosso modelo matemático é 1.5T d= . 
 
b) A Lei de Kepler diz que 2 3T nd= , onde n é uma constante 
de proporcionalidade. Para nosso modelo temos: 
 
( )22 1.5 3T d d= = . Sim, nosso modelo respeita a Lei de Kepler. 
 
§§§§§ 
 
Versão de 01 de março. (sem revisão!)