provas e lista

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20142p3.pdf
Universidade Federal da Bahia
Depto. de Matema´tica
MAT A03 - Ca´lculo B
Prof.: Aˆngela Soldatelli - 2014.2
3a Prova
Alunos:
Questa˜o 1. (2,5) Localize e classifique os pontos cr´ıticos da func¸a˜o
f(x, y) = xy(3− x− y).
Questa˜o 2. (2,5) Calcule, utilizando integrais duplas, a a´rea da regia˜o do plano
xOy delimitada pelas curvas
x2 + y2 = 16 e y2 = 6x.
Questa˜o 3. (2,5) Calcule a integral de linha
z
C
(y + x2cos(x))dx+ (2x− y2sen(y))dy,
onde C e´ a circunfereˆncia x2 + y2 = 1, no sentido anti-hora´rio.
Questa˜o 4. (2,5) Mostre que a integral de linha∫ (2,−2,pi/3)
(1,0,pi/6)
dx+ sen(z)dy + ycos(z)dz
independe do caminho de integrac¸a˜o e calcule-a atrave´s do potencial.
F Boa prova e boas fe´rias! F
ferias3.pdf
Universidade Federal da Bahia
Depto. de Matema´tica
MAT A03 - Ca´lculo B
Prof.: Aˆngela Soldatelli
3a Prova
Alunos:
Questa˜o 1. (2,5) Uma fa´brica de embalagens necessita produzir caixas retangu-
lares de 64cm3 de volume. Se o material da parte lateral custa a metade do material
a ser usado para a tampa e para o fundo, determinar as dimenso˜es da caixa que
minimizam o custo.
Questa˜o 2. (2,5) Calcule, utilizando integrais duplas, a a´rea da regia˜o do plano
xOy delimitada pelas curvas
x2 + y2 = 16 e y2 = 6x.
Questa˜o 3. (2,5) Calcule
z
C
x2y2dx+ xydy,
onde C consiste no arco da para´bola y = x2 de (0, 0) a (1, 1) e os segmentos de
reta de (1, 1) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0), por dois me´todos: diretamente e usando o
Teorema de Green.
Questa˜o 4. (2,5) Mostre que o campo
~f(x, y) = (3 + 2xy)~i+ (x2 − 3y2)~j
e´ gradiente e encontre um potencial para ~f . Calcule
∫
C
~f · d~r, onde C e´ a curva dada
por ~r(t) = etsen(t)~i+ etcos(t)~j, 0 ≤ t ≤ pi.
Boa prova e boas “fe´rias”!
lista8.pdf
Universidade Federal da Bahia
Lista 8 Ca´lculo B
Bruno Ce´sar
Questa˜o 1.De todos os paralelep´ıpedos retangulares cuja a soma das arestas e´
constante e igual a m (m > 0), qual e´ o que tem volume ma´ximo?
Questa˜o 2.Determine a distaˆncia mı´nima da origem do plano x+ 3y + z = 6.
Questa˜o 3.Uma aplicac¸a˜o num doente de x miligramas de um reme´dio A e y
miligramas de um medicamento B ocasiona uma resposta R = R(x, y) = x2y3(c − x −
y), c > 0. Que quantidade de cada reme´dio dara´ a melhor resposta?
Questa˜o 4.Uma determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades
sa˜o indicadas por x e y. Tais produtos sa˜o ofericidos ao mercado consumidor a prec¸os
unita´rios p1 e p2, respectivamente, que dependem de x e y conforme equac¸o˜es: p1 =
120− 2x e p2 = 200− y. O custo total a empresa para produzir e vender quantidades x e
y dos produtos e´ dado por C = x2 + 2y2 + 2xy. Admitindo que toda produc¸a˜o da empresa
seja absorvida pelo mercado, determine a produc¸a˜o que maximiza o lucro. Qual o lucro
ma´ximo?
Questa˜o 5.Se a densidade na placa xy + xz + yz = a, (x, y, z 6= 0) e´ dada por
ρ(x, y, z) = xyz, determine os pontos da placa onde a desidade e´ ma´xima e onde e´ mı´nima.
Questa˜o 6.Um depo´sito cil´ındrico de ac¸o fechado deve conter 2 litros de um
fluido. Determine as dimenso˜es do depo´sito de modo que a quantidade de materal usada
em sua construc¸a˜o seja mı´nima.
Questa˜o 7.Determine o valor ma´ximo da raiz n−e´sima de um produto de n
nu´meros positivos tal que a soma dos nu´mers seja constante. Conclua que
n
√
x1x2...xn ≤ 1
n
n∑
i=1
xi
(ou seja, me´dia geome´trica e´ sempre menor ou igual a me´dia aritme´tica).
Questa˜o 8.Dentre todos os triaˆngulos retaˆngulos de a´rea S determine o que tem
hipotenusa mı´nima.
Questa˜o 9.O departamento de estrada esta´ planejando construir uma a´rea de
piquenique para motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser retangular,
1
como uma a´rea de 5000 m2, e cercada nos treˆs lado na˜o-adjacentes a` auto-estrada. Qual
e´ a quantidade mı´nima de cerca que sera´ necessa´ria para realizar o trabalho?
Questa˜o 10.Para testar a sua intuic¸a˜o, calcule
∫∫
R
f(x, y)dA para o caso em
que f(x, y) = g(x) e o caso em que f(x, y) = h(y). Verifique que:
a)
∫∫
R
g(x)dA = (d− c)
∫ b
a
g(x)dx
b)
∫∫
R
h(y)dA = (b− a)
∫ d
c
h(y)dy
Questa˜o 11.Use a questa˜o anterior, para verificar que∫∫
[a,b]×[c,d]
[g(x) + h(y)]dA = (d− c)
∫ b
a
g(x)dx+ (b− a)
∫ d
c
h(y)dy.
Aplique esse resultado para verificar que:∫∫
[0,pi
3
]×[0,1]
[sen(x) + y]dA =
1
2
+
pi
6
.
• Guidorizzi Volume 2: Cap´ıtulo 16.
• Guidorizzi Volume 3: Cap´ıtulos 2, 3, 4, 6, 7, 8 e 9.
2
prova3-14-ch.pdf
Universidade Federal da Bahia
Depto. de Matema´tica
MAT A03 - Ca´lculo B
Prof.: Aˆngela Soldatelli - 2014.1
2a Chamada - 3a Prova
Aluno:
Questa˜o 1. (2,5) Uma fa´brica de embalagens necessita produzir caixas retangu-
lares de 64cm3 de volume. Se o material da parte lateral custa a metade do material
a ser usado para a tampa e para o fundo, determinar as dimenso˜es da caixa que
minimizam o custo.
Questa˜o 2. (2,5) Calcule a integral de linha
u
C y
2dx + 2x2dy, onde C e´ o
triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (1, 2), e (2, 0), pelo me´todo “tradicional”(parametrizando
a curva).
Questa˜o 3. (2,5) Enuncie o Teorema de Green e utilize-o para calcular novamente
a integral da questa˜o anterior.
Questa˜o 4. (2,5) A lei da gravitac¸a˜o de Newton estabelece que a forc¸a
−→
f de
atrac¸a˜o entre duas part´ıculas de massa M e m e´ dada por
−→
f = −GMmr−3−→r ,
onde −→r = x−→i +y−→j +z−→k e r = |−→r |. Considerando que −→f e´ um campo conservativo,
encontre o potencial newtoniano u (isto e´, a func¸a˜o u tal que
−→
f = ∇u).
F Boa prova e boas fe´rias! F
prova3-14-t1.pdf
Universidade Federal da Bahia
Depto. de Matema´tica
MAT A03 - Ca´lculo B
Prof.: Aˆngela Soldatelli - 2014.1
3a Prova
Aluno:
Questa˜o 1. (2,0) Localize e classifique os pontos cr´ıticos da func¸a˜o
f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1.
Questa˜o 2. (3,0) Calcule a integral de linha
u
C y
2dx + 2x2dy, onde C e´ o
triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (1, 2), e (0, 2), pelo me´todo “tradicional”(parametrizando
a curva).
Questa˜o 3. (2,0) Enuncie o Teorema de Green e utilize-o para calcular novamente
a integral da questa˜o anterior.
Questa˜o 4. (3,0) A lei da gravitac¸a˜o de Newton estabelece que a forc¸a
−→
f de
atrac¸a˜o entre duas part´ıculas de massa M e m e´ dada por
−→
f = −GMmr−3−→r ,
onde −→r = x−→i +y−→j +z−→k e r = |−→r |. Considerando que −→f e´ um campo conservativo,
encontre o potencial newtoniano u (isto e´, a func¸a˜o u tal que
−→
f = ∇u).
F Boa prova e boas fe´rias! F
provacalc_3U.pdf
UFBA/MAT A03 - Prof.: Aˆngela Soldatelli
3a Prova 2013.2 (Dia 7)
Aluno:
Questa˜o 1. (2,5) O potencial ele´trico em um ponto (x, y, z) e´ dado por V (x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz.
(a) Calcule a derivada direcional de V em P (3, 4, 5) na direc¸a˜o de ~v =~i+~j − ~k.
(b) Em que direc¸a˜o V varia mais rapidamente em P?
(c) Encontre a taxa ma´xima de variac¸a˜o em P .
Questa˜o 2. (2,5) Calcule a integral de linha
u
C xydx + x
2dy, onde C e´ o retaˆngulo de ve´rtices (0, 0),
(3, 0), (3, 1) e (0, 1), por dois me´todos: diretamente e usando o Teorema de Green.
Questa˜o 3. (2,5) Mostre que a integral de linha
∫ (1,2)
(0,1) (1− ye−x)dx+ e−xdy e´ independente do caminho
e calcule-a atrave´s do potencial.
Questa˜o 4. (2,5) Calcule
∫ 1
0
∫ 1
x sen(y
2)dydx.
Questa˜o 5. (0,5) Opinia˜o sincera (e sucinta) sobre o curso.
UFBA/MAT A03 - Prof.: Aˆngela Soldatelli
3a Prova 2013.2 (Dia 7)
Aluno:
Questa˜o 1.
(2,5) O potencial ele´trico em um ponto (x, y, z) e´ dado por V (x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz.
(a) Calcule a derivada direcional de V em P (3, 4, 5) na direc¸a˜o de ~v =~i+~j − ~k.
(b) Em que direc¸a˜o V varia mais rapidamente em P?
(c) Encontre a taxa ma´xima de variac¸a˜o em P .
Questa˜o 2. (2,5) Calcule a integral de linha
u
C xydx + x
2dy, onde C e´ o retaˆngulo de ve´rtices (0, 0),
(3, 0), (3, 1) e (0, 1), por dois me´todos: diretamente e usando o Teorema de Green.
Questa˜o 3. (2,5) Mostre que a integral de linha
∫ (1,2)
(0,1) (1− ye−x)dx+ e−xdy e´ independente do caminho
e calcule-a atrave´s do potencial.
Questa˜o 4. (2,5) Calcule
∫ 1
0
∫ 1
x sen(y
2)dydx.
Questa˜o 5. (0,5) Opinia˜o sincera (e sucinta) sobre o curso.
provacalc_3U2.pdf
UFBA/MAT A03 - Prof.: Aˆngela Soldatelli
3a Prova 2013.2 (Dia 10)
Aluno:
Questa˜o 1. (2,5) A temperatura num ponto (x, y, z) e´ dada por T (x, y, z) = 2e−x2−3y2−9z2 .
(a) Calcule a derivada direcional de T em P (2,−1, 2) na direc¸a˜o do ponto (3,−3, 3).
(b) Em que direc¸a˜o T cresce mais rapidamente em P?
(c) Encontre a taxa ma´xima de crescimento em P .
Questa˜o 2. (2,5) Calcule
u
C x
2y2dx + xydy, onde C consiste no arco da para´bola y = x2 de (0, 0) a
(1, 1) e os segmentos de reta de (1, 1) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0), por dois me´todos: diretamente e usando o
Teorema de Green.
Questa˜o 3. (2,5) Mostre que o campo ~f(x, y) = (3 + 2xy)~i + (x2 − 3y2)~j e´ gradiente e encontre um
potencial para ~f . Calcule
∫
C
~f · d~r, onde C e´ a curva dada por ~r(t) = etsen(t)~i+ etcos(t)~j, 0 ≤ t ≤ pi.
Questa˜o 4. (2,5) Calcule
s
R xydxdy, onde R e´ a regia˜o limitada pela reta y = x − 1 e pela para´bola
y2 = 2x+ 6.
Questa˜o 5. (0,5) Opinia˜o sincera (e sucinta) sobre o curso.
UFBA/MAT A03 - Prof.: Aˆngela Soldatelli
3a Prova 2013.2 (Dia 10)
Aluno:
Questa˜o 1. (2,5) A temperatura num ponto (x, y, z) e´ dada por T (x, y, z) = 2e−x2−3y2−9z2 .
(a) Calcule a derivada direcional de T em P (2,−1, 2) na direc¸a˜o do ponto (3,−3, 3).
(b) Em que direc¸a˜o T cresce mais rapidamente em P?
(c) Encontre a taxa ma´xima de crescimento em P .
Questa˜o 2. (2,5) Calcule
u
C x
2y2dx + xydy, onde C consiste no arco da para´bola y = x2 de (0, 0) a
(1, 1) e os segmentos de reta de (1, 1) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0), por dois me´todos: diretamente e usando o
Teorema de Green.
Questa˜o 3. (2,5) Mostre que o campo ~f(x, y) = (3 + 2xy)~i + (x2 − 3y2)~j e´ gradiente e encontre um
potencial para ~f . Calcule
∫
C
~f · d~r, onde C e´ a curva dada por ~r(t) = etsen(t)~i+ etcos(t)~j, 0 ≤ t ≤ pi.
Questa˜o 4. (2,5) Calcule
s
R xydxdy, onde R e´ a regia˜o limitada pela reta y = x − 1 e pela para´bola
y2 = 2x+ 6.
Questa˜o 5. (0,5) Opinia˜o sincera (e sucinta) sobre o curso.