694095_gabarito da lista 3 de calculo 1

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Gabarito da Terceira lista de exerc´ıcios de Ca´lculo I
Eng. Metalu´rgica - PUC Minas
Profa Daiane C. Soares
Func¸a˜o do Segundo Grau, Equac¸o˜es e inequac¸o˜es do primeiro e segundo grau:
1. Determine m, de modo que a para´bola y = (4m − 2)x2 − 3x tenha a concavidade
voltada para cima. R : m >
1
2
2. Determine a e b na func¸a˜o y = ax2 + bx + 3 de forma que o ve´rtice seja V (2,−1).
Soluc¸a˜o: Se fizermos a questa˜o sem determinarmos um valor de c, encontramos
os valores de a e b em func¸a˜o de c, da seguinte forma: a =
1 + c
4
e b = −c − 1.
Enquanto que se determinarmos c = 3, obtemos a = 1 e b = −4.
3. Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es do segundo grau (encontrando suas ra´ızes):
(a) y = x2 − 2x− 3
(b) y = −x2 − 2x− 3
(c) y = −x2 + 4
(d) y = 2x2 − 4x− 5
1
(e) y = x2 − 10
(f) y = −x2 + 4x
4. Determinar m para que a func¸a˜o f(x) = mx2 + (2m − 3)x + m seja positiva para
todo x real. R : m >
3
4
5. Estude o sinal das seguintes func¸o˜es:
(a) y < 0, ∀x ∈ R.
(b) y > 0 se
3−√17
2
< x <
3 +
√
17
2
; y = 0 se x =
3−√17
2
ou
3 +
√
17
2
; y < 0
se x <
3−√17
2
ou x >
3 +
√
17
2
.
(c) y > 0 se x < 1 ou x > 3; y = 0 se x = 1 ou x = 3; y < 0 se 1 < x < 3.
(d) y > 0 se x < −2 ou x > 2; y = 0 se x = −2 ou x = 2; y < 0 se −2 < x < 2.
6. Resolva as inequac¸o˜es em R:
(a) (−4,∞)
(b) (−∞,−10]
(c)
[
−3
4
,∞
)
2
(d) (−∞, 1]
(e) (−7, 5]
(f)
[
−1
2
, 2
]
(g) (−∞,−3) ∪ (1,∞)
(h) (6,∞)
(i) (2, 4)
7. Resolva as inequac¸o˜es em R:
(a)
[
−5
2
, 4
]
(b) (−∞, 2− 2√3) ∪ (2 + 2√3,∞)
(c) na˜o existe soluc¸a˜o
(d) na˜o existe soluc¸a˜o
3