Sistemas Lineares

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Sistemas Lineares 
Professor Bruno Myrrha 
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Exercícios Resolvidos 
1) Resolver os sistemas abaixo, representando sua forma matricial, utilizando os 
métodos Eliminação de Gauss e Fatoração LU. 3𝑥! + 2𝑥! + 4𝑥! = 1𝑥! + 𝑥! + 2𝑥! = 24𝑥! + 3𝑥! − 2𝑥! = 3 
Eliminação de Gauss 
1º Passo: Triangularizar a matriz expandida 𝐴  |  𝑏. 
Definir a matriz expandida 𝐴(!)|  𝑏(!), o pivô 𝑎!!(!), calcular os multiplicador 𝑚!! e alterar 
as linhas 𝐿!, para 𝑖 = {2, 3}. 
 
 
 
Definir matriz expandida 𝐴(!)|  𝑏(!), determinar o pivô 𝑎!!(!), calcular o multiplicador 𝑚!! e 
alterar a linha 𝐿!, para 𝑖 = {3}. 
 
 
 
Definir matriz expandida 𝐴(!)|  𝑏(!). 
 
 
 
2º Passo: Representar e resolver o sistema triangular superior: 
 
 
A solução do sistema linear é 𝑥∗ = (−3    5    0)!. 
Fatoração LU 
1º Passo: Definir a matriz 𝐴 = 𝐿𝑈. 
	
  
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A matriz 𝐿 é triangular inferior composta pelos multiplicadores com elemento 1 na 
diagonal principal, a matriz 𝑈 = 𝐴(!)  é triangular superior, determinada pelo método 
Eliminação de Gauss. 
 
2º Passo: Resolver os sistemas: 
 𝐿𝑦 = 𝑏 𝑈𝑥 = 𝑦. 
 
 
 
A solução dos sistemas lineares: 𝑦∗ = (1   !!  0)! e 𝑥∗ = (−3  5  0)!. 
 
2) Resolver o sistema abaixo, representando sua forma matricial, utilizando o método 
iterativo de Gauss-Jacobi, para 𝑘 = {0,1,2} e 𝑥(!) = (0.7   − 1.6    0.6)!. 10𝑥! + 2𝑥! + 𝑥! = 7𝑥! + 5𝑥! + 𝑥! = −82𝑥! + 3𝑥! + 10𝑥! = 6 
Gauss-Jacobi 
1º Passo: Definir o processo iterativo. 
Isolam-se as variáveis 𝑥!,  𝑥! e 𝑥! em cada linha do sistema linear. 
 
Observa-se sua forma matricial 𝑥(!!!) = 𝐶  𝑥! + 𝑔, com: 
	
  
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2º Passo: O processo iterativo. 𝒌 = 𝟎 
 
Logo: 𝒌 = 𝟏 𝒌 = 𝟐 
 
 
Com 𝑥∗ = 𝑥(!) = (0.9994   − 1.9888    0.9984)! a solução do sistema para 𝑘 = 2. 
 
3) Resolver os sistemas abaixo, utilizando o método iterativo de Gauss-Seidel, para 𝑘 = {0,1,2} e 𝑥(!) = (0  0  0)!. 5𝑥! + 𝑥! + 𝑥! = 53𝑥! + 4𝑥! + 𝑥! = 63𝑥! + 3𝑥! + 6𝑥! = 0 
1º Passo: Definir o processo iterativo. 
Isolam-se as variáveis 𝑥!,  𝑥! e 𝑥! em cada linha do sistema linear. 
 
Como sugestão para pesquisa, a forma matricial do sistema. 
2º Passo: O processo iterativo. 𝒌 = 𝟎 
	
  
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 𝒌 = 𝟏 
 𝒌 = 𝟐 
 
 
Com 𝑥∗ = 𝑥(!) = (1.0075  0.9912   − 0.9993)! a solução do sistema para 𝑘 = 2. 
 
Exercícios Propostos 
1) Resolver os sistemas abaixo, representando sua forma matricial, utilizando os 
métodos Eliminação de Gauss e Fatoração LU. 
a) 
𝑥! − 𝑥! + 𝑥! = 0−𝑥! + 2𝑥! − 3𝑥! = 04𝑥! − 2𝑥! + 2𝑥! = 0 Resposta: 𝑥∗ = (0      0      0)! 
b) 
10𝑥! + 2𝑥! + 𝑥! = 1520𝑥! − 5𝑥! + 2𝑥! = 325𝑥! + 15𝑥! − 2𝑥! = 33 Resposta: 𝑥∗ = (!"!!"      !!!      !!"#! )! 
c) 
3𝑥! + 10𝑥! + 𝑥! = −16𝑥! − 5𝑥! + 10𝑥! = 1𝑥! + 2𝑥! + 5𝑥! = 2 Resposta: 𝑥∗ = (!!"#!"      !"!"      !"!")! 
d) 
3𝑥! + 2𝑥! + 0𝑥! + 𝑥! = 39𝑥! + 8𝑥! − 3𝑥! + 4𝑥! = 6−6𝑥! + 4𝑥! − 8𝑥! + 0𝑥! = −163𝑥! − 8𝑥! + 3𝑥! − 4𝑥! = 18 Resposta: 𝑥∗ = (2     − 1      0     − 1)! 
e) 
2𝑥! + 2𝑥! + 𝑥! + 𝑥! = 7𝑥! − 𝑥! + 2𝑥! − 𝑥! = 13𝑥! + 2𝑥! − 3𝑥! − 2𝑥! = 44𝑥! + 3𝑥! + 2𝑥! + 𝑥! = 12 Resposta: �∗ = (1      2      1      0)! 
	
  
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f) 
𝑥! + 𝑥! − 𝑥! + 2𝑥! − 𝑥! = 32𝑥! − 𝑥! + 𝑥! + 3𝑥! + 𝑥! = 20𝑥! + 3𝑥! − 𝑥! − 𝑥! + 2𝑥! = 10𝑥! + 𝑥! + 𝑥! − 2𝑥! − 𝑥! = −7−2𝑥! + 𝑥! + 3𝑥! + 𝑥! − 3𝑥! = −2 Resposta: 𝑥
∗ = (1      2      3      4      5)! 
 
2) Resolver os sistemas abaixo, pelos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, com 
o vetor inicial 𝑥!(!) = 0 e precisão ε = 10!! = 0,001. 
a) 
2𝑥! + 𝑥! = 1  −𝑥! + 4𝑥! = −3 Resposta: 𝑥∗ = (0.2        0.8)! 
b) 
3𝑥! − 𝑥! + 𝑥! = 9𝑥! − 4𝑥! + 2𝑥! = 172𝑥! + 𝑥! + 6𝑥! = 24 Resposta: 𝑥∗ = (1       − 2      4)! 
c) 
10𝑥! + 2𝑥! + 𝑥! = 7𝑥! + 5𝑥! + 𝑥! = −82𝑥! + 3𝑥! + 10𝑥! = 6 Resposta: 𝑥∗ = (1       − 2      1)! 
d) 
5𝑥! + 𝑥! + 𝑥! = 53𝑥! + 4𝑥! + 𝑥! = 63𝑥! + 3𝑥! + 6𝑥! = 0 Resposta: 𝑥∗ = (1      1       − 1)! 
 
3 - Resolver os sistemas lineares abaixo usando a Fatoração de Cholesky: 
a) 
20𝑥! + 7𝑥! + 9𝑥! = 167𝑥! + 30𝑥! + 8𝑥! = 389𝑥! + 8𝑥! + 30𝑥! = 38 Resposta: 𝑥∗ = (0      1      1)! 
b) 
16𝑥! + 4𝑥! + 8𝑥! + 4𝑥! = 324𝑥! + 10𝑥! + 8𝑥! + 4𝑥! = 268𝑥! + 8𝑥! + 12𝑥! + 10𝑥! = 384𝑥! + 4𝑥! + 10𝑥! + 12𝑥! = 30 Resposta: 𝑥∗ = (1      1      1      1)! 
 
Sugestão: Resolver e analisar a convergência dos sistemas lineares do exercício 1, 
pelos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, dado o vetor inicial 𝑥!(!) = (0…  0)! a 
sua escolha e precisão ε = 10!! = 0,01.