Gráficos Cálculo A

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1 
 
COMPLEMENTO GRÁFICO 
ÀS RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS NO LIVRO: 
FLEMMING, D. M. & GONÇALVES, M. B. Cálculo A, 5.ed., São Paulo: 
Pearson Education-Prentice Hall, 2007. 
 
Cálculo A – Secção 3.8 (pp. 79-80) 
 
1) 
 
 
2) 
 
2 
 
3) 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
3 
 
5) 
 
 
 
6) 
 
 
Não existe 
0
lim ( )
x
h x
 visto que 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x
h x h x
 [
0
lim ( ) 1
x
h x
; 
0
lim ( ) 1
x
h x
]. 
 
4 
 
7) 
 
 
Limites laterais à direita e à esquerda de 
0x
: 
0
lim ( )
2x
f x
; 
0
lim ( )
2x
f x
. 
 
8) 
 
 
Não existe o 
1
1
lim
1x x
 visto que 
1 1
1 1
lim lim
1 1x xx x
 [
1
1
lim
1x x
; 
1
1
lim
1x x
]. 
5 
 
9) 
 
 
 
10) 
 
 
 
6 
 
Cálculo A – Secção 3.10 (p. 83) 
 
 
3.10 – Ex 2 
 
2.a) 
 
 
 
2.b) 
 
7 
 
2.c) 
 
 
 
 
2.d) 
 
 
 
8 
 
Cálculo A – Secção 4.7 (pp. 127-8) 
 
4.7 – Ex 1 
 
1.a) 
 
 
 
 
1.b) 
 
9 
 
1.c) 
 
 
 
Reta tangente em azul; em verde está representada a reta normal pelo ponto de tangência. 
 
 
4.7 – Ex 2 
 
2.a) 
 
10 
 
2.b) 
 
 
 
2.c) 
 
Reta normal em verde; em azul está representada a tangente pelo mesmo ponto. 
 
11 
 
4.7 – Ex 3 
 
 
 
 
 
 
4.7 – Ex 4 
 
 
 
Reta tangente em azul; reta normal em verde. 
 
12 
 
4.7 – Ex 10 
 
 
 
 
4.7 – Ex 11 
 
 
 
 
13 
 
4.7 – Ex 12 
 
 
 
 
4.7 – Ex 13 
 
 
Tangente pelo ponto (2; 4): 
 4 4y x
 (em azul); 
Tangente pelo ponto (-2; 4):
 4 4y x
 (em verde). 
 
14 
 
4.7 – Ex 14 
 
 
 
Tangente pelo ponto (-2; 4): 
 2 8y x
 (em azul); 
Tangente pelo ponto (2; 4/3):
 2 8
9 9
y x
 (em verde). 
15 
 
Cálculo A – Secção 4.12 (pp. 138-90) 
 
4.12 – Ex 26 
 
 
 
 
 
 
Abaixo, zoom no ponto de tangência de coordenadas (-1; 1/7) 
 
 
16 
 
4.12 – Ex 27 
 
 
 
4.12 – Ex 28 
 
 
 
Tangente pelo ponto 
1 2;1 2
: 
2(1 2)y x
 (reta inferior em azul). 
Tangente pelo ponto 
1 2;1 2
: 
2(1 2)y x
 (reta superior em azul). 
17 
 
4.12 – Ex 29 
 
 
18 
 
Cálculo A – Secção 4.16 (pp. 159-62) 
 
4.16 – Ex 1 
 
1.a) 
 
 
 
1.c) 
 
19 
 
4.16 – Ex 2 
 
 
Tangente pelo ponto 3 3
; 1
3 9
: 2 3
(1 )
9
y x
 (reta em azul). 
Tangente pelo ponto 3 3
; 1
3 9
: 2 3
(1 )
9
y x
 (reta em verde). 
 
4.16 – Ex 95 
 
 
 
Tangente em azul: 
2y x
. Tangente em verde: 
2y x
. 
20 
 
Cálculo A – Secção 4.21 (pp. 176-7) 
 
4.21 – Ex 19 
 
 
Em azul, a tangente pelo ponto 
1; 3
 cuja equação é 
3 2 0x y
. 
Em verde, a tangente pelo ponto 
1; 3
 cuja equação é 
3 2 0x y
. 
 
 
4.21 – Ex 21 
 
 
21 
 
 
Em azul está representada a reta perpendicular à reta 
4 3 1 0x y
 (em verde) e 
tangente à curva 
2 32y x
 (em vermelho). Note que o ponto de tangência tem 
coordenadas 
(1 8; 1 16)
. A equação desta reta é: 
3 1
4 32
y x
. 
 
 
 
4.21 – Ex 22 
 
 
 
Em vermelho está representada a elipse 
2 22 3 5x y
; em azul, as parábolas semi-
cúbicas dadas por 
2 3y x
. Note que as curvas se interceptam perpendicularmente nos 
pontos de coordenadas 
(1;1)
 e 
(1; 1)
. 
 
 
 
-2 2
-2
2
x
y
22 
 
Cálculo A – Secção 5.10 (pp. 215-8) 
 
5.10 – Ex 9 
 
9.a) 
2( ) 7 6 3f x x x
 
 
Mínimo absoluto em (3/7; 12/7) 
 
 
9.b) 
2( ) 4g x x x
 
 
Máximo absoluto em (2; 4) 
 
23 
 
9.c) 
3 21( ) 3 7 9
3
h x x x x 
 
 
Máximo relativo em (-7; 272/3); mínimo relativo em (1; 16/3). 
 
 
9.d) 
4 3 21 5( ) 4 4 8
4 3
h x x x x x 
 
 
 
24 
 
Abaixo, o mesmo gráfico com escala ampliada do eixo y 
 
 
Mínimo absoluto em (1; 79/12). 
 
 
9.e) 2
2
, 0
( )
3 , 0
t t
f t
t t
 
 
 
Mínimo absoluto em (0; 0). 
 
25 
 
9.f) 
2/3( ) 6 2f x x x
 
 
 
 
Mínimo relativo em (0; 0); máximo relativo em (8; 8). 
 
 
9.g) 
7/5( ) 5 ( 2)f x x
 
 
 
Não possui nem máximo nem mínimo; ponto de inflexão em (2; 5). 
26 
 
9.h) 
4/3( ) 3 (2 3)f x x
 
 
 
Mínimo absoluto em (-3/2; 3). 
 
9.i) 
2
4
( )
4
x
g x
x
 
 
Mínimo absoluto em (-2; 1); máximo absoluto em (2; 1). 
Limites no infinito: 
lim ( ) 0
x
f x
 
27 
 
9.j) 
2
1
( )
2 2
x
h x
x x
 
 
Máximo em 
5
( 1 5;1 )
2
; mínimo em 
5
( 1 5;1 )
2
. 
Limites no infinito: 
lim ( ) 0
x
f x
 
 
9.k) 
2 3( ) ( 2) ( 1)f x x x
 
 
Máximo relativo em (-2; 0); mínimo relativo em (-4/5; 26.244/3.125). 
28 
 
9.l) 
2( ) 16f x x x
 
 
 
Mínimo em 
(0; 0)
; máximo relativo em 6 14
3
2 2 5
( ; )
5 5
. 
 
 
5.10 – Ex 16 
 
16.a) 
( 3)( 2)y x x
 
 
Mínimo absoluto em 
1 25
( ; )
2 4
. 
29 
 
16.b) 
3 29 12 3
2
y x x x
 
 
Máximo relativo em 
19
( 1; )
2
; mínimo relativo em 
(4; 53)
; inflexão em 
3 87
( ; )
2 4
. 
 
 
16.c) 
4 32 48y x x 
 
 
Mínimo absoluto em (2; 0); dupla inflexão em (0; 48). 
 
30 
 
16.d) 
2
2
x
y
x
 
 
Não possui pontos críticos. 
Limites laterais:
2
lim ( )
x
f x
; 
2
lim ( )
x
f x
. Limites no infinito:
lim ( ) 2
x
f x
. 
16.e) 
2
2
2 3
y
x x
 
 
Máximo em 
(1; 1/ 2) 
Limites laterais:
1
lim ( )
x
f x
; 
1
lim ( )
x
f x
; 
3
lim ( )
x
f x
; 
3
lim ( )
x
f x
. 
Limites no infinito:
lim ( ) 0
x
f x
. 
31 
 
16.g) 
2x xy e 
 
Máximo em 
1/ 4(1/ 2; )e
; inflexões em 
1/ 41 2 ;
2 2
e
. 
Limites no infinito: 
lim ( ) 0
x
f x
. 
 
 
16.h) 
2y x senx 
 
 
 
32 
 
16.i) 
2( ) 4f x x x
 
 
Máximo absoluto em 
( 2; 2)
; mínimo absoluto em 
( 2; 2)
; inflexão em 
(0; 0)
. 
 
33 
 
Respostas elaboradas por Maurício Chiarello 
UNIFRAN – 2009 
 
Eventuais incorreções nas resoluções apresentadas 
são de inteira responsabilidade do autor.