Notas de Aula 10

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Func¸o˜es Cont´ınuas em Intervalos e Continuidade Uniforme
NA 10
Notas de Aula 10 – Func¸o˜es Cont´ınuas em
Intervalos e Continuidade Uniforme
Introduc¸a˜o
Nestas Notas de Aula - NA, estuda-se o caso especial das func¸o˜es
cont´ınuas definidas em intervalos para as quais valem os Teoremas do Ma´ximo
e Mı´nimo e do Valor Intermedia´rio, conhecidos do primeiro curso de Ca´lculo.
Estuda-se ainda a noc¸a˜o de Continuidade Uniforme.
O Teorema do Ma´ximo e Mı´nimo
Definic¸a˜o 10.1 Diz-se que uma func¸a˜o f : X ⊂ R → R e´ limitada em
X = Dom f quando o conjunto-imagem f(X) = {f(x) | x ∈ X} e´ um
conjunto limitado, ou seja, quando existe uma constante real M > 0 tal que
|f(x)| ≤M para todo x ∈ X.
Exemplo 10.1 A func¸a˜o f : R → R dada por f(x) = x2 na˜o e´ limitada
em Dom f = R pois f(R) = R+ e´ um conjunto ilimitado superiormente, logo
ilimitado. Por outro lado, a restric¸a˜o de f ao intervalo X = (−2, 3) ⊂ R,
ou seja, g : X → R tal que g(x) = f(x) = x2 e´ uma func¸a˜o limitada em
Dom g = X, pois g(X) = g((−2, 3)) = {x2‖ x ∈ (−2, 3)} = [0, 9) e´ um
conjunto limitado.
Na pro´xima Proposic¸a˜o mostra-se que toda func¸a˜o cont´ınua em um
intervalo fechado e limitado e´ limitada, ou seja, que a imagem de um intervalo
fechado e limitado por uma func¸a˜o cont´ınua e´ um conjunto limitado.
Proposic¸a˜o 10.1 Sejam I := [a, b] um intervalo fechado limitado e f : I →
R uma func¸a˜o cont´ınua em I. Enta˜o f e´ limitada em I.
Prova: Suponha, por contradic¸a˜o, que a func¸a˜o f na˜o e´ limitada em I.
Enta˜o, para cada n ∈ N existe um xn ∈ I tal que |f(xn)| > n. Sendo xn ∈ I
enta˜o a sequeˆncia (xn)n∈N e´ limitada, pois satisfaz a ≤ xn ≤ b para todo
n ∈ N. Nesta situac¸a˜o, o Teorema 5.4 (Bolzano-Weierstrass) implica na
existeˆncia de uma subsequeˆncia (xnk)nk∈N de (xn)n∈N que converge para um
nu´mero real x0. Da´ı e do Teorema 4.6 resulta que a ≤ x0 ≤ b, ou seja,
x0 ∈ I. Sendo f cont´ınua em I enta˜o f e´ cont´ınua em x0 (veja Definic¸a˜o
(9.2) ). Segue da´ı, do fato de a sequeˆncia (xnk)nk∈N de I convergir para x0
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Real
Func¸o˜es Cont´ınuas em Intervalos e Continuidade Uniforme
e do Teorema 9.1 que a sequeˆncia de imagens (f(xnk))nk∈N converge para
f(x0). Sendo (f(xnk))nk∈N convergente, o Teorema 4.3 assegura que esta
sequeˆncia e´ limitada. Mas isto gera uma contradic¸a˜o, ja´ que, pela suposic¸a˜o
inicial, aplicada para os termos da subsequeˆncia, tem-se que para cada nk ∈ N
existe xnk ∈ I tal que
|f(xnk)| > nk.
Portanto, supor que a func¸a˜o cont´ınua f na˜o e´ limitada no intervalo fechado
limitado I leva a uma contradic¸a˜o. Logo, f e´ limitada em I.
O Exemplo 10.3, mais adiante, mostra que as hipo´teses de o intervalo
ser fechado e limitado e de a func¸a˜o ser cont´ınua na˜o podem ser dispensadas
na Proposic¸a˜o 10.1.
Definic¸a˜o 10.2 Seja f : X ⊂ R→ R. Diz-se que a func¸a˜o f atinge seu
ma´ximo absoluto em X quando existe um ponto x∗ ∈ X tal que
f(x∗) ≥ f(x), para todo x ∈ X.
Diz-se neste caso que x∗ e´ um ponto de ma´ximo absoluto para f em
X e que f(x∗) e´ o valor ma´ximo absoluto de f em X.
Analogamente, diz-se que f atinge seu mı´nimo absoluto em X quando
existe um ponto x∗ ∈ X tal que
f(x∗) ≤ f(x), para todo x ∈ X.
Diz-se neste caso que x∗ e´ um ponto de mı´nimo absoluto para f em
X e que f(x∗) e´ o valor mı´nimo absoluto de f em X
1.
Exemplo 10.2 A func¸a˜o f : (0, 1] → R dada por f(x) = 2 + 1/x atinge
seu valor mı´nimo absoluto 3 em (0, 1] no ponto x∗ = 1: de fato, pois f(x
∗ =
1) = 3 ≤ 2 + 1/x para todo x ∈ (0, 1]; por outro lado, f na˜o atinge seu valor
ma´ximo absoluto neste intervalo, pois na˜o e´ limitada superiormente a´ı. A
func¸a˜o g : [−2, 2]→ R definida por g(x) = x2 atinge seu valor ma´ximo 4 nos
pontos x∗ = −2 e x∗∗ = 2 e seu valor mı´nimo absoluto 0 no ponto x∗ = 0.
Teorema 10.1 (Teorema do Ma´ximo-Mı´nimo) Sejam I := [a, b] um in-
tervalo fechado e limitado e f : I → R func¸a˜o cont´ınua em I. Enta˜o f atinge
seu valor ma´ximo absoluto e seu valor mı´nimo absoluto em I.
Prova: O conjunto f(I) := {f(x) : x ∈ I} e´ na˜o vazio, pois f e´ uma func¸a˜o.
Sendo, por hipo´tese, f cont´ınua em I,a Proposic¸a˜o 10.1 assegura que f(I) e´
1Na˜o se deve confundir o conceito de ponto de ma´ximo/mı´nimo - que e´ um elemento
do domı´nio da func¸a˜o - com a noc¸a˜o de valor ma´ximo/mı´nimo da func¸a˜o, que e´ a imagem
da func¸a˜o num ponto (de ma´ximo/mı´nimo).
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um subconjunto limitado de R. Sejam y∗ := sup f(I) e y∗ := inf f(I).
Afirma-se que existem pontos x∗ e x∗ em I tais que y
∗ = f(x∗) e
y∗ = f(x∗). Sera´ provada aqui a existeˆncia do ponto x
∗, sendo a prova da
existeˆncia de x∗ inteiramente ana´loga e deixada como exerc´ıcio.
Para uma melhor compreensa˜o, veja a figura 10.1 a seguir, a qual
ilustra o fato estabelecido no Teorema 10.1.
x∗
sup f(I)
f(a)
f(b)
inf f(I)
a x∗ b
Figura 10.1: f(x∗) = inf f(I) e f(x
∗) = sup f(I).
Sendo y∗ = sup f(I) enta˜o, para cada n ∈ N, o nu´mero y∗ − 1/n na˜o
e´ uma cota superior de f(I). Portanto existe, para cada n ∈ N, um nu´mero
real xn ∈ I (logo f(xn) ∈ f(I)) tal que
y∗ − 1
n
< f(xn) ≤ y∗ .
Como I e´ limitado, a sequeˆncia (xn)n∈N e´ limitada. Portanto, pelo Teorema
5.4 (Bolzano-Weierstrass), existe uma subsequeˆncia (xnk)nk∈N de (xn)n∈N que
converge para um x∗ ∈ R; ale´m disso, pelo Teorema 4.6 tem-se x∗ ∈ I. Sendo
cont´ınua em I, f e´ cont´ınua em x∗, de modo que limnk→∞ f(xnk) = f(x
∗)
pelo Teorema 9.1. Como
y∗ − 1
nk
< f(xnk) ≤ y∗ para todo nk ∈ N,
conclui-se pelo Teorema 4.7 que limnk→∞ f(xnk) = y
∗. Portanto,
f(x∗) = lim
nk→∞
f(xnk) = y
∗ = sup f(I).
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Real
Func¸o˜es Cont´ınuas em Intervalos e Continuidade Uniforme
Logo, pela Definic¸a˜o 10.2, f atinge seu valor ma´ximo absoluto f(x∗) = y∗ =
sup f(I) em x∗, que e´, portanto, um ponto de ma´ximo absoluto de f em I.
Exemplo 10.3 Os exemplos a seguir mostram que as hipo´teses da Pro-
posic¸a˜o 10.1 e no Teorema 10.1 na˜o podem ser relaxadas.
(a) Tanto na Proposic¸a˜o 10.1 como no Teorema 10.1, a hipo´tese de que o
intervalo seja limitado na˜o pode ser relaxada. De fato, a func¸a˜o f(x) :=
x definida no intervalo fechado e ilimitado I := [0,∞) e´ cont´ınua mas
na˜o e´ limitada em I. Em particular, f na˜o atinge um valor ma´ximo
absoluto em I.
(b) A hipo´tese de o intervalo ser fechado na˜o pode ser dispensada nem
na Proposic¸a˜o 10.1 e nem no Teorema 10.1. De fato, a func¸a˜o g :
I := (0, 1] → R dada por g(x) := 1/x e´ cont´ınua mas na˜o e´ limitada
no intervalo semi-aberto I. Em particular, essa func¸a˜o tambe´m na˜o
atinge seu valor ma´ximo absoluto no intervalo em questa˜o.
(c) Na Proposic¸a˜o 10.1 e no Teorema 10.1, a hipo´tese de que a func¸a˜o
e´ cont´ınua na˜o pode ser descartada. De fato, a func¸a˜o f definida no
intervalo fechado e limitado I := [0, 1] por f(x) := 1/x para x ∈ (0, 1] e
f(0) := 0 e´ descont´ınua em x = 0 e ilimitada em I. De novo, f assim
definida na˜o possui um ma´ximo absoluto no intervalo fechado limitado
I.
(d) A func¸a˜o cont´ınua f(x) := 1/x na˜o possui nem um valor ma´ximo ab-
soluto nem um valor mı´nimo absoluto no intervalo aberto I := (0,∞).
Essa func¸a˜o e´ ilimitada superiormente em I e assim na˜o pode ter um
valor ma´ximo absoluto. Por outro lado, na˜o existe nenhum ponto em I
onde f assuma o valor 0 = inf{f(x) : x ∈ I} (que por isto, na˜o e´ um
valor de mı´nimo absoluto).
(e) Os pontos de ma´ximo e de mı´nimo absolutos cuja existeˆncia sa˜o garan-
tidas pelo Teorema 10.1 na˜o sa˜o necessariamente u´nicos. De fato, um
exemplo extremo e´ o de uma func¸a˜o constante f(x) := c num intervalo
fechado limitado I := [a, b]. Neste caso, todo ponto de I e´ ao mesmo
tempo umponto de ma´ximo absoluto e um ponto de mı´nimo absoluto
para f .
Um outro exemplo menos dra´stico e´ dado por f(x) := x2 para x ∈
[−2, 2], onde x1 = −2 e x2 = 2 sa˜o ambos pontos de ma´ximo absoluto
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para f - de fato, f(x) = x2 ≤ 4 = f(−2) = f(2) para todo x ∈ [−2, 2],
ao passo que x3 = 0 e´ o u´nico ponto de mı´nimo absoluto para f , pois
para todo x ∈ [−2, 2], 0 ≤ x2 = f(x).
O Teorema do Valor Intermedia´rio
Teorema 10.2 (Teorema do Valor Intermedia´rio) Sejam I um inter-
valo em R e f : I → R uma func¸a˜o cont´ınua em I. Se a, b ∈ I e k ∈ R
satisfazem f(a) < k < f(b) enta˜o existe um ponto c ∈ I tal que f(c) = k.
Prova: Sem perda de generalidade, supo˜e-se que a < b. Enta˜o o conjunto
X := {x ∈ [a, b] : f(x) ≤ k} e´ na˜o vazio, pois a ∈ X por hipo´tese e, X e´
conjunto limitado, pois, como X ⊂ [a, b], tem-se que b e´ uma cota superior.
Assim, existe c := supX . Portanto, c ≤ b.
Afirma-se que c < b. De fato, sendo f(b) > k e f func¸a˜o cont´ınua em
b, a Proposic¸a˜o 7.7 garante a existeˆncia de um nu´mero real δ > 0 tal que
para todo x ∈ (b− δ, b] tem-se que f(x) > k 2. Logo os x deste intervalo sa˜o
contas superiores para o conjunto X , e portanto, b na˜o pode ser o supremo
de X .
Afirma-se agora que f(c) = k. Para isto, suponha por absurdo que
f(c) < k. Como f e´ cont´ınua em c, a Proposic¸a˜o 7.7 garante que existe um
nu´mero real δ1 > 0 tal que f(x) < k para todo x ∈ (c − δ1, c + δ1), o que
entra em contradic¸a˜o com o fato de c ser o supremo de X . Logo, f(c) ≥ k.
Por outro lado, supondo-se que vale f(c) > k, pelo mesmo racioc´ınio anterior
obte´m-se um real δ2 > 0 tal que f(x) > k para todo x ∈ (c − δ2, c + δ2), o
que leva a` conclusa˜o de que os x menores do que c neste intervalo sa˜o cotas
superiores para X , o que e´ imposs´ıvel sendo c = supX . Portanto, f(c) ≤ k.
Juntando com o anterior, conclui-se que f(c) = k, como se queria.
O pro´ximo teorema resume num so´ enunciado os resultados fornecidos
pelo Teorema do Ma´ximo e Mı´nimo (10.1) e pelo Teorema do Valor Inter-
media´rio (10.2).
Teorema 10.3 Sejam I um intervalo fechado e limitado e f : I → R uma
func¸a˜o cont´ınua em I. Enta˜o o conjunto f(I) := {f(x) : x ∈ I} e´ um
2Em realidade, aqui aplicou-se a Proposic¸a˜o 7.7 para o caso do limite lateral a` esquerda
de b; este limite existe pelo fato de que, sendo I um intervalo com b ∈ I, b e´ um ponto
de acumulac¸a˜o de I. Como f(b) existe e f e´ cont´ınua em b, a existeˆncia do limite esta´
garantida (ver Observac¸a˜o 9.1 (i))
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intervalo fechado e limitado.
Prova: Se m := inf f(I) e M := sup f(I) enta˜o sabe-se pelo Teorema do
Ma´ximo e Mı´nimo 10.1 que existem x∗, x
∗ ∈ I tais que m = f(x∗), M =
f(x∗). Portanto, m e M pertencem a f(I). Ale´m disso, tem-se f(I) ⊂
[m,M ]. Agora, se k e´ qualquer elemento de [m,M ] enta˜o o Teorema do
Valor Intermedia´rio 10.2 garante que existe c ∈ [x∗, x∗] ⊂ I tal que k = f(c).
Portanto, k ∈ f(I) e conclui-se enta˜o que [m,M ] ⊂ f(I). Logo, f(I) e´ o
intervalo fechado e limitado [m,M ].
O Teorema 10.3 estabelece que intervalos e fechados limitados sa˜o le-
vados por func¸o˜es cont´ınuas em intervalos fechados e limitados. Em geral,
pore´m, quando um intervalo na˜o e´ fechado e limitado sua imagem por uma
func¸a˜o cont´ınua sera´ sempre um intervalo (veja Teorema ??, mas podera´ ser
de um tipo diferente. Por exemplo, a imagem do intervalo aberto (−1, 1)
pela func¸a˜o cont´ınua f(x) := 1/(1+x2) e´ o intervalo semi-aberto (1/2, 1]. Ja´
o intervalo semi-fechado [0,∞) e´ levado por essa mesma func¸a˜o no intervalo
semi-aberto (0, 1]. Para uma melhor compreensa˜o veja a figura a seguir.
1
2
−1 1
1
Gra´fico da func¸a˜o f(x) := 1/(1 + x2) para x ∈ R.
Para o pro´ximo Teorema sera´ necessa´ria a utilizac¸a˜o da caracterizac¸a˜o
precisa de um intervalo de nu´meros reais:
Definic¸a˜o 10.3 Um conjunto X ⊂ R e´ um intervalo quando para todos
a, b ∈ X com a < b, para todo x ∈ R, se a < x < b enta˜o x ∈ X.
Exemplo 10.4 O conjunto X1 = {x ∈ R | 2 < x ≤ 3/2} e´ um intervalo.
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Os conjuntos X2 = {x = 1/n ∈ R | n ∈ N}, X2 = {x ∈ Q | 2 < x ≤ 3/2}
e (1, 3] ∪ [4, 5] na˜o sa˜o intervalos.
Teorema 10.4 Sejam I um intervalo e f : I → R uma func¸a˜o cont´ınua em
I. Enta˜o o conjunto f(I) e´ um intervalo.
Prova: Assim, sejam a, b ∈ f(I) com a < b. Pela definic¸a˜o de f(I) exis-
tem a1, b1 ∈ I tais que a = f(a1) e b = f(b1). O Teorema do Valor
Intermedia´rio 10.3 implica que se k ∈ (a, b) enta˜o existe c ∈ I tal que
k = f(c) ∈ f(I). Portanto, para todo k ∈ R, se a < k < b enta˜o f(k) ∈ f(I).
Logo, f(I) e´ um intervalo.
Func¸o˜es Uniformemente Cont´ınuas
Definic¸a˜o 10.4 Diz-se que uma func¸a˜o f : X ⊂ R → R e´ uniforme-
mente cont´ınua em X quando para cada ǫ > 0, existe um δ = δ(ǫ) > 0
tal que, para todos x1, x2 ∈ X, se |x1 − x2| < δ enta˜o |f(x1)− f(x2)| < ǫ.
Observac¸a˜o: A Definic¸a˜o 10.4 assemelha-se muito com a Definic¸a˜o 9.1 de
func¸a˜o cont´ınua em x0, com x0 podendo variar em todo conjunto X . O
ponto crucial que distingue a Definic¸a˜o 10.4 da Definic¸a˜o 9.1 e´ que o nu´mero
δ > 0 na Definic¸a˜o 9.1 depende em geral na˜o apenas de ǫ > 0 mas tambe´m
de x0 ∈ X . Ja´ na Definic¸a˜o 10.4 o nu´mero δ > 0 depende somente de
ǫ > 0! Portanto, continuidade uniforme e´ sempre em um conjunto, jamais
em pontos.
Exemplo 10.5 Alguns exemplos de func¸o˜es reais cont´ınuas e uniformemente
cont´ınuas.
(a) A func¸a˜o afim, f(x) = ax+ b com a, b ∈ R, e´ uniformemente cont´ınua
em R, pois o caso em que a = 0 e´ imediato ja´ que a func¸a˜o e´ constante,
e no caso em que a 6= 0 tem-se |f(x) − f(x0)| = |a||x − x0| e assim,
dado ǫ > 0 toma-se δ = ǫ/|a| tal que se x, x0 ∈ R e |x − x0| < enta˜o
|f(x)− f(x0)| < ǫ.
(b) A func¸a˜o f(x) = 1/x e´ cont´ınua em X := {x ∈ R : x > 0}. A figura
a seguir retrata dois gra´ficos de x → 1/x em X. Observe nos gra´ficos
que o δ e´ cada vez menor a` medida que x0 se aproxima de 0.
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Real
Func¸o˜es Cont´ınuas em Intervalos e Continuidade Uniforme
2
V(2)
Vε(
1
2
)
1
2 Vε(2)
1
2
V
(
1
2
)2
A verificac¸a˜o de que x→ 1/x e´ cont´ınua em X. De fato, como
|f(x)− f(x0)| = 1|x||x0| |x− x0|, (⋆)
dado x0 > 0 e ǫ > 0 veˆ-se que se δ := min
{
1
2
|x0|, 12x02ǫ
}
enta˜o
|x − x0| < δ implica 12x0 < x < 32x0. Logo, se |x − x0| < δ tem-se,
em particular, que 1/|x||x0| < 2/x02 e portanto
|f(x)− f(x0)| < 2
x20
|x− x0| < 2
x20
< ǫ.
Isto prova que f e´ cont´ınua em x0. Como ja´ era sabido. Observe que
o δ escolhido acima depende na˜o so´ de ǫ mas tambe´m de x0. Poder-
se-ia ter escolhido o δ de va´rios outros modos capazes de fornecer a
desigualdade desejada |f(x)− f(x0)| < ǫ, mas em qualquer uma dessas
outras escolhas δ sempre dependeria inevitavelmente de x0, ale´m de ǫ.
Esta ideia ficara´ mais clara depois do estudo do crite´rio de negac¸a˜o da
continuidade uniforme.
(c) Atente para a diferenc¸a entre este exemplo e o anterior.
A func¸a˜o x → 1/x e´ uniformemente cont´ınua em X := {x ∈ R : x ≥
α > 0}. De fato, seja ǫ > 0 e tome-se δ = ǫ/α2. Sejam x, y ∈ X
tais que |x − y| < δ. Sendo x, y ∈ X tem-se que x, y ≥ α > 0 e da´ı
1/x ≤ 1/α e 1/y ≤ 1/α. Pelo mesmas contas feitas em (⋆) tem-se
|f(x)− f(y)| = 1|x||y| |x− y| ≤
1
α2
|x− y| < α2 ǫ
α2
= ǫ.
Portanto, dado ǫ > 0 real e tomando-se δ = ǫα2 > 0, tem-se que, para
todos x, y ∈ X, se |x− y| < δ enta˜o |f(x)− f(y)| < ǫ.
Logo, pela Definic¸a˜o 10.1, a func¸a˜o x→ 1/x e´ uniformemente cont´ınua
em X = [α,∞[ onde α > 0.
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Func¸o˜es Cont´ınuas em Intervalos e ContinuidadeUniforme
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Observac¸a˜o: Como ja´ mencionado, quando va´lida, a continuidade
uniforme e´ uma propriedade que ocorre de modo ”uniforme´´ em to-
dos os pontos do domı´nio da func¸a˜o - na˜o faz sentido considera´-la em
pontos do domı´nio.
Teorema 10.5 (Crite´rio de Negac¸a˜o da Continuidade Uniforme) Seja
f : X ⊂ R→ R. Enta˜o as seguintes condic¸o˜es sa˜o equivalentes:
(i) f na˜o e´ uniformemente cont´ınua em X.
(ii) Existe ǫ0 > 0 tal que para cada δ > 0, existem pontos x = x(δ) e y = yδ
em X tais que |x− y| < δ e |f(x)− f(yδ)| ≥ ǫ0.
(iii) Existem ǫ0 > 0 e duas sequeˆncias (xn)n∈N e (yn)n∈N em X tais que
lim(xn − yn) = 0 e |f(xn)− f(yn)| ≥ ǫ0 para todo n ∈ N.
A demonstrac¸a˜o deste teorema e´ deixada como exerc´ıcio.
Exemplo 10.6 Duas aplicac¸o˜es do Teorema 10.5.
(a) Pode-se aplicar o crite´rio de negac¸a˜o da continuidade uniforme 10.5
para verificar que f(x) = 1/x na˜o e´ uniformemente cont´ınua em X =
(0,∞). De fato, se xn := 1/n e yn := 1/(n+1) enta˜o lim(xn−yn) = 0,
mas |f(xn)− f(yn)| = 1 para todo n ∈ N.
(b) De modo semelhante, pode-se usar o crite´rio 10.5 para verificar que a
func¸a˜o f(x) = sen(1/x) na˜o e´ uniformemente cont´ınua em X = (0,∞).
Com efeito, sejam xn := 1/(nπ) e yn := 2/((2n − 1)π). Enta˜o
lim(xn − yn) = 0, mas |f(xn) − f(yn)| = |0 − (±1)| = 1 para todo
n ∈ N.
Teorema 10.6 (da Continuidade Uniforme) Sejam I := [a, b] um in-
tervalo limitado e fechado e f : I → R uma func¸a˜o cont´ınua em I. Enta˜o f
e´ uniformemente cont´ınua em I.
Prova: Suponha por contradic¸a˜o que f na˜o e´ uniformemente cont´ınua em
I. Assim, pelo Teorema 10.5 existem ǫ0 > 0 e duas sequeˆncias (xn) e (x0n)
em I tais que |xn − x0n| < 1/n e |f(xn) − f(x0n)| ≥ ǫ0 para todo n ∈ N.
Como I e´ limitado, a sequeˆncia (xn) e´ limitada e, pelo Teorema de Bolzano-
Weierstrass 5.4, existe uma subsequeˆncia (xnk) de (xn) que converge a um
certo x0 ∈ R. Como a ≤ xn ≤ b segue do Teorema 4.6 que a ≤ x0 ≤ b, isto
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Real
Func¸o˜es Cont´ınuas em Intervalos e Continuidade Uniforme
e´, x0 ∈ I. Tambe´m e´ claro que a subsequeˆncia correspondente (x0nk) satisfaz
lim x0nk = x0, ja´ que
|x0nk − x0| ≤ |x0nk − xnk |+ |xnk − x0|.
Agora, como f e´ cont´ınua em I enta˜o f e´ cont´ınua em x0 e, portanto, ambas
as sequeˆncias (f(xnk)) e (f(x0nk)) teˆm que convergir a f(x0). Mas isso e´
absurdo ja´ que |f(xn)−f(x0)| ≥ ǫ0. Tem-se enta˜o uma contradic¸a˜o originada
pela hipo´tese de que f na˜o e´ uniformemente cont´ınua em I. Logo, f e´
uniformemente cont´ınua em I.
Func¸o˜es Lipschitz
Definic¸a˜o 10.5 Seja f : X ⊂ R → R. Diz-se que f e´ uma func¸a˜o de
Lipschitz ou que f satisfaz uma condic¸a˜o Lipschitz em X quando existe
uma constante real C > 0 tal que |f(x)−f(y)| ≤ C|x−y| para todos x, y ∈ X.
Proposic¸a˜o 10.2 Se f : X → R e´ uma func¸a˜o de Lipschitz enta˜o f e´
uniformemente cont´ınua em X.
Prova: Dada f uma func¸a˜o de Lipschitz em X enta˜o existe uma constante
C > 0 tal que |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y| para todos x, y ∈ X . Da´ı, dado
ǫ > 0 toma-se δ := ǫ/C. Logo δ > 0 e se x, y ∈ X sa˜o tais que |x − y| <
enta˜o |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y| < ǫ
C
= ǫ. Logo, por definic¸a˜o f e´ func¸a˜o
uniformemente cont´ınua em X .
Exemplo 10.7 Alguns exemplos.
(a) Se f(x) := x2 em X := (0, b) onde b > 0 enta˜o f e´ uniformemente
cont´ınua em X. De fato, como |f(x)− f(y)| = |x2− y2| = |x+ y||x−
y| ≤ 2b|x − y| para todos x, y ∈ (0, b). Da´ı f e´ Lipschitz em X com
C := 2b > 0. Logo, f e´ uniformemente cont´ınua em X.
Note que f esta´ bem definida e e´ cont´ınua no intervalo limitado e
fechado[0, b]. Portanto, pelo Teorema da Continuidade Uniforme 10.6
f e´ uniformemente cont´ınua em [0, b] e, consequentemente, em X =
(0, b). Aqui usa-se o fato de que se X ⊂ Y ⊂ R e f e´ uniformemente
cont´ınua em Y enta˜o f e´ uniformemente cont´ınua em X (por queˆ?).
(b) Nem toda func¸a˜o uniformemente cont´ınua num conjunto X ⊂ R e´
Lipschitz em X!
CEDERJ 10
Func¸o˜es Cont´ınuas em Intervalos e Continuidade Uniforme
NA 10
Como exemplo disso, seja f(x) :=
√
x com x ∈ I := [0, 1]. Como f
e´ cont´ınua no intervalo fechado e limitado I, segue do Teorema 10.6
que f e´ uniformemente cont´ınua em I. Contudo, na˜o existe C > 0 tal
que |f(x)− f(0)| ≤ C|x− 0| para todo x ∈ I, pois se tal desigualdade
valesse para todo x ∈ (0, 1] enta˜o multiplicando-se esta desigualdade
por 1/
√
x ter-se-ia 1 ≤ C√x. Como o membro a` direita da u´ltima
desigualdade tende a 0 quando x decresce para zero, partindo dela se
chegar´ıa a 1 ≤ 0, o que e´ um absurdo. Portanto, f na˜o e´ uma func¸a˜o
de Lipschitz em I.
Proposic¸a˜o 10.3 Se f : X → R e´ uniformemente cont´ınua num subcon-
junto X de R e se (xn) e´ uma sequeˆncia de Cauchy em X enta˜o (f(xn)) e´
uma sequeˆncia de Cauchy em R.
Prova: Seja (xn) uma sequeˆncia de Cauchy em X e seja dado ǫ > 0. Pri-
meiro escolhe-se δ > 0 tal que se x, y ∈ X satisfazem |x − y| < δ enta˜o
|f(x)− f(y)| < ǫ. Como (xn) e´ uma sequeˆncia de Cauchy enta˜o existe N0(δ)
tal que |xn − xm| < δ para todos n,m > N0(δ). Pela escolha de δ tem-se
para n,m > N0(δ) que |f(xn)− f(xm)| < ǫ. Portanto, a sequeˆncia (f(xn)) e´
tambe´m uma sequeˆncia de Cauchy em R.
Exerc´ıcios 10.1 1. Seja I := [a, b] e f : I → R uma func¸a˜o cont´ınua tal
que f(x) > 0 para cada x ∈ I. Prove que existe um nu´mero k > 0 tal
que f(x) ≥ k para todo x ∈ I.
2. Seja I := [a, b] e sejam f, g : I → R func¸o˜es cont´ınuas em I. Mostre
que o conjunto E := {x ∈ I : f(x) = g(x)} tem a propriedade de que
se (xn) ⊂ E e xn → x0 enta˜o x0 ∈ E.
3. Sejam I := [a, b] e f : I → R tal que para cada x ∈ I existe y ∈ I
satisfazendo |f(y)| ≤ 1
2
|f(x)|. Prove que existe um ponto c ∈ I tal que
f(c) = 0.
4. Seja f : R → R cont´ınua em R e b ∈ R. Mostre que se x0 ∈ R e´ tal
que f(x0) < b enta˜o existe uma δ-vizinhanc¸a U := Vδ(x0) de x0 tal que
f(x) < b para todo x ∈ U .
5. Seja f cont´ınua no intervalo [0, 1] e tal que f(0) = f(1). Prove que
existe um ponto c ∈ [0, 1] tal que f(c) = f(c+ 1/2).
Sugesta˜o: Considere g(x) := f(x)− f(x+ 1/2) no intervalo [0, 1/2].
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CEDERJ
Elementos
de
Ana´lise
Real
Func¸o˜es Cont´ınuas em Intervalos e Continuidade Uniforme
6. Mostre que a func¸a˜o f(x) := 1/x e´ uniformemente cont´ınua em
X := [a,∞) para qualquer a > 0.
7. Mostre que a func¸a˜o f(x) := sen(1/x) e´ uniformemente cont´ınua em
X := [a,∞) para todo a > 0, mas na˜o e´ uniformemente cont´ınua em
Y := (0,∞).
8. Use o crite´rio da negac¸a˜o da continuidade uniforme 10.5 para mostrar
que as seguintes func¸o˜es na˜o sa˜o uniformemente cont´ınuas.
(a) f(x) := x2 em X := [0,∞).
(b) f(x) := cos(1/x2) em X := (0,∞).
9. Mostre que f(x) := 1/(1 + x2) e´ uniformemente cont´ınua em R.
10. Mostre que, se f e g sa˜o uniformemente cont´ınuas em X ⊂ R enta˜o
f + g e´ uniformemente cont´ınua em X.
11. Mostre que, se f e g sa˜o limitadas e uniformemente cont´ınuas em
X ⊂ R enta˜o fg e´ uniformemente cont´ınua em X.
12. Se f(x) := x e g(x) := senx enta˜o mostre que f e g sa˜o ambas unifor-
memente cont´ınuas em R, mas seu produto fg na˜o e´ func¸a˜o uniforme-
mente cont´ınua em R. Por que o ı´tem anterior na˜o e´ aplica´vel a esse
exemplo?
13. Prove que, se f, g : R → R sa˜o uniformemente cont´ınuas em R enta˜o
sua composta f ◦ g : R→ R e´ uniformemente cont´ınua em R.
14. Prove que, se f e´ uniformemente cont´ınua em X ⊂ R e |f(x)| ≥ k > 0
para todo x ∈ X enta˜o a func¸a˜o 1/f e´ uniformemente cont´ınua em X.
15. Prove que, se f e´ uniformemente cont´ınua num conjunto limitado X ⊂
R enta˜o f e´ limitada em X.
16. Mostre que, se f e´ cont´ınua em [0,∞) e uniformemente cont´ınua em
[a,∞) para algum a > 0 enta˜o f e´ uniformemente cont´ınua em [0,∞).
17. Diz-se que uma func¸a˜o f : R → R e´ perio´dica em R se existe um
nu´mero ℓ > 0 tal que f(x+ ℓ) = f(x) para todox ∈ R. Prove que uma
func¸a˜o cont´ınua perio´dica em R e´ limitada e uniformemente cont´ınua
em R.
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