Notas de Aula 03

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Os Nu´meros Reais III
NA 3
Notas de Aula 3 – Os Nu´meros Reais III
Introduc¸a˜o
O principal objetivo destas NA3 e´ apresentar mais uma diferenc¸a im-
portante entre o conjunto dos nu´meros racionais Q e o conjunto dos nu´meros
reais R. A saber, Q e´ um conjunto infinito e enumera´vel enquanto que R e´
um conjunto infinito e na˜o enumera´vel. Como consequeˆncia desses resulta-
dos tem-se que o conjunto dos nu´meros irracionais, geralmente denotado por
R \Q ou R−Q, e´ infinito e na˜o enumera´vel. (1)
Estas NA3 cobrem a maioria dos resultados apresentados da Aula 3
do Mo´dulo 1 do livro-texto, Ana´lise Real.
Conjuntos Finitos e Infinitos
Enumerar ou contar os elementos de um conjunto e´, sob a perspectiva
matema´tica, estabelecer uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre um subcon-
junto do conjunto entre os nu´meros naturais e os objetos do tal conjunto.
Definic¸a˜o 3.1 1. Diz-se que o conjunto vazio ∅ tem 0 elementos.
2. Dado n ∈ N, diz-se que um conjunto A possui n elementos quando
existe uma bijec¸a˜o (2) do subconjunto Nn := {1, 2, . . . , n} de N em
A. Se A possui n elementos, diz-se que n e´ a cardinalidade de A e
denota-se, n = #(A).
3. Um conjunto e´ dito finito quando e´ vazio ou possui n elementos, para
algum n ∈ N.
4. Um conjunto A e´ dito infinito se ele na˜o e´ finito.
Como a inversa de uma bijec¸a˜o e´ uma bijec¸a˜o, segue que o conjunto
A tem n elementos se, e somente se, existe uma bijec¸a˜o de A sobre Nn. Do
mesmo modo, como a composisa˜o de duas bijec¸o˜es e´ uma bijec¸a˜o, tem-se que
um conjunto A tem n elementos se, e somente se, existe uma bijec¸a˜o de A
sobre um outro conjunto B que possui n elementos. Ale´m disso, um conjunto
1O primeiro matema´tico a publicar este resultado foi Georg Cantor (1845-1918).
2Revise os conceitos de func¸a˜o, func¸a˜o injetiva, func¸a˜o sobrejetiva e func¸a˜o bijetiva
(bijec¸a˜o) em algum livro de Ca´lculo ou de A´lgebra.
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Ana´lise
Real
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C e´ finito se, e somente se, existe uma bijec¸a˜o de C sobre um conjunto D
que e´ finito.
Uma vez apresentada a definic¸a˜o matema´tica do que significa um con-
junto ter n elementos e´ preciso, antes de mais nada, que se verifique a unici-
dade deste n, isto e´, que se garanta que um mesmo conjunto na˜o possui, de
acordo com a definic¸a˜o, mais de um valor para a sua cardinalidade. Ale´m
disso, e´ preciso mostrar que a definic¸a˜o acima implica que N e´ infinito, uma
noc¸a˜o primitiva, aceita e comentada desde o in´ıcio da viveˆncia escolar, que
deve ser corroborada pelo conceito acima estabelecido.
Teorema 3.1 (Unicidade) Se m,n ∈ N e m < n enta˜o na˜o existe bijec¸a˜o
f : Nm → Nn. Em particular, se A e´ finito enta˜o o nu´mero natural #(A) e´
u´nico.
Prova: Sejam m,n ∈ N, com m < n. Supo˜e-se por absurdo, que existe uma
bijec¸a˜o f : Nm → Nn. Enta˜o, o conjunto C dos n ∈ N para os quais existem
m < n e uma bijec¸a˜o entre Nm e Nn e´ na˜o-vazio.
Pelo Princ´ıpio da Boa Ordenac¸a˜o (3) esse conjunto possui um menor
elemento n0. Assim, existem m0 < n0 e uma bijec¸a˜o f : Nm0 → Nn0.
Claramente n0 > 1, pois do contra´rio na˜o haveria m ∈ N com m < n0. Se
f(m0) = n0 enta˜o f |Nm0−1 e´ uma bijec¸a˜o entre Nm0−1 e Nn0−1, o que contradiz
o fato de n0 ser o menor elemento de C. Por outro lado, se f(m0) 6= n0, toma-
se m1 ∈ Nm0 tal que f(m1) = n0 e n1 ∈ Nn0 tal que f(m0) = n1. Define-se
g : Nm0 → Nn0 pondo g(m0) = n0, g(m1) = n1, e g(m) = f(m), para todo
m ∈ Nm0 \ {m1, m0}. Claramente, g e´ uma bijec¸a˜o, dado que f o e´. Enta˜o,
tem-se que g|Nm0−1 e´ uma bijec¸a˜o entre Nm0−1 e Nn0−1, o que da´ novamente
uma contradic¸a˜o e prova a primeira parte do teorema.
Quanto ao fato de o nu´mero #(A) ser u´nico, se isso na˜o fosse verdade
existiriam m, n ∈ N, com m < n, e duas bijec¸o˜es f : Nm → A e g : Nn → A.
Nesse caso, f ◦ g−1 seria uma bijec¸a˜o de Nm sobre Nn o que contradiz a parte
ja´ provada do teorema. Logo, o nu´mero #(A) e´ u´nico.
Teorema 3.2 O conjunto N dos nu´meros naturais e´ um conjunto infinito.
Prova: Supo˜e-se por absurdo que N e´ finito. Nesse caso existe m ∈ N e uma
bijec¸a˜o f : Nm → N. Seja n := f(m). Define-se g : N → N \ {n} pondo
g(k) = k, se k < n, e g(k) = k + 1, se k ≥ n. Enta˜o g e´ uma bijec¸a˜o (por
3Se A ⊂ N e A 6= ∅ enta˜o A possui um menor elemento. A demonstrac¸a˜o deste
resultado pode ser vista no Mo´dulo 1, Aula 2, pa´gina 32.
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queˆ?). Por outro lado, como f e´ bijec¸a˜o, enta˜o h := f |Nm−1 e´ uma bijec¸a˜o
entre Jm−1 e N \ {n}. Logo, g
−1 ◦ h e´ uma bijec¸a˜o de Nm−1 sobre Nm o que
nos da´ uma contradic¸a˜o em vista do Teorema 3.1. Logo, N e´ um conjunto
infinito.
O pro´ximo resultado estabelece algumas propriedades elementares dos
conjuntos finitos e infinitos.
Teorema 3.3 (a) Se A e´ um conjunto com m elementos, B e´ um conjunto
com n elementos e A ∩ B = ∅ enta˜o A ∪B tem m+ n elementos.
(b) Se A e´ um conjunto com m elementos e C ⊂ A e´ um conjunto com 1
elemento enta˜o A \ C e´ um conjunto com m− 1 elementos.
(c) Se C e´ um conjunto infinito e B e´ um conjunto finito enta˜o C \ B e´
um conjunto infinito.
Prova: (a) Seja f uma bijec¸a˜o de Nm sobre A e g uma bijec¸a˜o de Nn sobre
B. Define-se h : Nm+n → A ∪ B pondo h(i) := f(i), para i = 1, . . . , m,
e h(i) = g(i − m), para i = m + 1, . . . , m + n. Voceˆ podera´ verificar sem
dificuldade que h e´ uma bijec¸a˜o de Jm+n sobre A ∪ B. �
A prova de (b) segue direto de (a). A prova de (c) segue tambe´m de
(a), mas por contradic¸a˜o, supondo por absurdo que C e´ um conjunto infinito,
B e´ um conjunto finito e que C \ B e´ um conjunto finito. Os detalhes das
demonstrac¸o˜es sa˜o deixados como exerc´ıcio (veja Exerc´ıcio 2).
O fato de um subconjunto de um conjunto finito ser tambe´m um con-
junto finito e´ intuitivamente o´bvio mas precisa ser demonstrado, partindo-se
da definic¸a˜o dada acima. Como se pode constatar, a prova, embora simples,
requer um pouco mais de trabalho que o esperado.
Teorema 3.4 Suponha que A e B sejam conjuntos e que A ⊂ B.
(a) Se B e´ um conjunto finito enta˜o A e´ um conjunto finito.
(b) Se A e´ um conjunto infinito enta˜o B e´ um conjunto infinito.
Prova: (a) Se A = ∅ enta˜o como se sabe A e´ finito e nada ha´ para demonstrar.
Suponha enta˜o que A 6= ∅. A prova sera´ feita pelo Princ´ıpio de Induc¸a˜o
Matema´tica - PIM sobre o nu´mero de elementos de B. Se B tem 1 elemento
enta˜o o u´nico subconjunto na˜o-vazio de B e´ ele pro´prio. Logo A = B e,
portanto, A e´ finito.
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Real
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Suponha que todo subconjunto de um conjunto com n elementos e´
finito; essa e´ a proposic¸a˜o P [n] do PIM. Portanto, suponha que seja va´lida,
por hipo´tese. Prova-se-a` a validade de P [n+1], isto e´, que todo subconjunto
de um conjunto com n+1 elementos e´ finito. Seja, enta˜o, B um conjunto com
n + 1 elementos, A ⊂ B e seja f : Jn+1 → B uma bijec¸a˜o. Se f(n + 1) /∈ A
enta˜o A ⊂ B1 := B \ {f(n + 1)} e, pelo item (b) do Teorema 3.3, B1 tem n
elementos. Logo, pela hipo´tese de induc¸a˜o P [n], nesse caso A e´ finito. Por
outro lado, se f(n + 1) ∈ A enta˜o A1 := A \ {f(n + 1)} e´ subconjunto de
B1 que tem n elementos. Logo, A1 e´ finito. Mas enta˜o, pelo item (a) do
Teorema 3.3, A = A1 ∪ {f(n+ 1)} e´ finito. �
A afirmac¸a˜o (b) e´ a contrapositiva de (a). Recorde-se que a contrapo-
sitiva de uma proposic¸a˜o da forma p ⇒ q e´ a proposic¸a˜o ∼ q ⇒∼ p e
que essas duas proposic¸o˜es sa˜o equivalentes, isto e´, possuem tabelas-verdade
ideˆnticas.
Conjuntos Enumera´veis
Definic¸a˜o 3.2 Diz-se que um conjunto A e´ enumera´vel se ele e´ finito ou se
existe uma bijec¸a˜o f : N → A. No segundo caso, diz-se que A e´ infinito
enumera´vel,para enfatizar o fato de o conjunto ser infinito, que decorre
imediatamente da existeˆncia da referida bijec¸a˜o e do fato de que N e´ infinito.
A bijec¸a˜o f de N sobre A e´ chamada uma enumerac¸a˜o dos elementos de A
e, denotando-se ak = f(k), pode-se escrever A = {a1, a2, a3, . . .}. Diz-se que
um conjunto A e´ na˜o-enumera´vel se ele na˜o e´ enumera´vel.
Como consequeˆncia da Definic¸a˜o acima tem-se que os conjuntos infini-
tos podem ser divididos em duas classes complementares: a dos que sa˜o enu-
mera´veis e a dos que sa˜o na˜o-enumera´veis. Pelas propriedades das bijec¸o˜es,
e´ claro que A e´ infinito enumera´vel se, e somente se, existe uma bijec¸a˜o de
A sobre N. E tambe´m, A e´ infinito enumera´vel se, e somente se, existe uma
bijec¸a˜o de A sobre um conjunto B que e´ infinito enumera´vel. De modo mais
geral, A e´ enumera´vel se, e somente se, existe uma bijec¸a˜o de A sobre um
conjunto B enumera´vel.
Exemplos 3.1 (a) O conjunto P = {2n : n ∈ N} dos nu´meros naturais
pares e´ infinito enumera´vel, ja´ que f : N → P definida por f(n) =
2n, para n ∈ N, e´ uma bijec¸a˜o de N sobre P. Do mesmo modo, o
conjunto dos nu´meros naturais ı´mpares I = {2n−1 : n ∈ N} e´ infinito
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enumera´vel, ja´ que g : N→ I definida por g(n) = 2n− 1 e´ uma bijec¸a˜o
de N sobre I.
(b) O conjunto Z dos nu´meros inteiros e´ enumera´vel. De fato, pode-se
descrever uma enumerac¸a˜o para Z de modo esquema´tico na forma
0
↑
1
, −1
↑
2
, 1
↑
3
, −2
↑
4
, 2
↑
5
, −3
↑
6
, 3
↑
7
, · · · .
Isto e´, o 1 e´ levado em 0, os nu´meros naturais pares sa˜o levados sobre
os inteiros negativos e os nu´meros naturais ı´mpares sobre os inteiros
positivos, ou seja, os nu´meros naturais. A func¸a˜o correspondente, f :
N→ Z, e´ definida de modo expl´ıcito por
f(k) =


(k−1)
2
se k e´ ı´mpar,
−k
2
se k e´ par.
Na˜o e´ dif´ıcil mostrar que f e´ uma bijec¸a˜o.
(c) A unia˜o de dois conjuntos enumera´veis disjuntos e´ um conjunto enu-
mera´vel. De fato, sejam A e B conjuntos enumera´veis, com A∩B = ∅.
Se A e B sa˜o finitos A∪B e´ finito pelo Teorema 3.3 e, portanto, e´ enu-
mera´vel. Se um deles, por exemplo, A e´ finito, com A = {a1, . . . , ap} e
o outro, B e´ infinito enumera´vel, com B = {b1, b2, b3, . . . } enta˜o define-
se uma bijec¸a˜o f : N → A ∪ B pondo f(k) := ak, para k = 1, . . . , p, e
f(k) := bk−p, para k > p. Portanto, A∪B e´ infinito enumera´vel. Final-
mente, se A e B sa˜o infinitos enumera´veis, com A = {a1, a2, a3, . . . }
e B = {b1, b2, b3, . . . }, define-se uma bijec¸a˜o f : N → A ∪ B pondo
f(k) = a(k+1)/2, se k e´ ı´mpar, e f(k) = bk/2, se k e´ par. De modo
esquema´tico representa-se essa enumerac¸a˜o na forma
a1
↑
1
, b1
↑
2
, a2
↑
3
, b2
↑
4
, a3
↑
5
, b3
↑
6
, · · ·
Teorema 3.5 Todo subconjunto A de N e´ enumera´vel.
Prova: Se A e´ finito enta˜o A e´ enumera´vel, por definic¸a˜o, e nada ha´ para
provar. Se A e´ infinito, define-se uma bijec¸a˜o f de N sobre A pondo f(1) :=
a1, onde a1 e´ o menor elemento de A, f(2) := a2, sendo a2 o menor elemento
de A\{a1}, e assim por diante. Isto e´, supondo que f(1) := a1, . . . , f(n) := an
tenham sido definidos, com a1 < a2 < · · · < an, define-se f(n + 1) := an+1,
onde an+1 e´ o menor elemento de A \ {a1, . . . , an}. Afirma-se que f : N→ A
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assim definida e´ uma bijec¸a˜o. De fato, f e´ injetiva pois f(m) < f(n), se
m < n. Em particular, f(N) e´ um conjunto infinito enumera´vel pois f e´
uma bijec¸a˜o de N sobre f(N). Por outro lado, se houvesse a ∈ A tal que
a /∈ f(N) enta˜o a seria necessariamente maior que todos os elementos de
f(N) e, portanto, ter´ıa-se f(N) ⊂ Na, o que, pelo Teorema 3.4(a), contradiz
o fato de f(N) ser infinito.
O resultado a seguir mostra que subconjuntos de conjuntos enumera´veis
tambe´m sa˜o conjuntos enumera´veis.
Teorema 3.6 Suponha que A e B sa˜o conjuntos e que A ⊂ B.
(a) Se B e´ enumera´vel enta˜o A e´ enumera´vel.
(b) Se A e´ na˜o-enumera´vel enta˜o B e´ na˜o enumera´vel.
Prova: (a) Se B e´ finito enta˜o A e´ finito, pelo Teorema 3.4(a), e portanto, e´
enumera´vel. Suponha enta˜o que B e´ infinito enumera´vel. Nesse caso, existe
uma bijec¸a˜o g : B → N. Pondo h := g|A tem-se que h e´ uma bijec¸a˜o de A
sobre um subconjunto de N, isto e´, h e´ uma bijec¸a˜o de A sobre um conjunto
enumera´vel, pelo Teorema 3.5. Logo, A e´ enumera´vel. �
A afirmac¸a˜o (b) e´ equivalente a (a) pois e´ a sua contrapositiva.
Teorema 3.7 As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes.
(a) A e´ um conjunto enumera´vel.
(b) Existe uma sobrejec¸a˜o de N sobre A.
(c) Existe uma injec¸a˜o de A para N.
Prova: (a)⇒(b) Se A e´ finito, existe uma bijec¸a˜o f de algum conjunto Nn
sobre A e enta˜o define-se g : N→ A por
g(k) :=


f(k), para k = 1, . . . , n,
f(n), para k > n.
Enta˜o, g e´ uma sobrejec¸a˜o de N sobre A. Se A e´ infinito enumera´vel enta˜o
existe uma bijec¸a˜o f de N sobre A, a qual e´, em particular, uma sobrejec¸a˜o
de N sobre A. �
(b)⇒(c) Se f e´ uma sobrejec¸a˜o de N sobre A, define-se g : A → N pondo
g(a) igual ao menor elemento do conjunto na˜o-vazio de nu´meros naturais
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f−1(a) := {n ∈ N : f(n) = a}. Como f(g(a)) = a, segue que g e´ injetiva
(por queˆ?). �
(c)⇒(a) Se g e´ uma injec¸a˜o de A para N enta˜o g e´ uma bijec¸a˜o de A sobre
g(A) ⊂ N. Pelo Teorema 3.6(a), g(A) e´ enumera´vel, donde se conclui que o
conjunto A e´ enumera´vel.
Teorema 3.8 O conjunto N× N e´ infinito enumera´vel.
Prova: Lembre-se que N × N consiste de todos os pares ordenados (m,n)
com m,n ∈ N. Obte´m-se uma enumerac¸a˜o para os elementos de N × N de
modo esquema´tico na forma:
(1, 1)
↑
1
, (1, 2)
↑
2
, (2, 1)
↑
3
, (1, 3)
↑
4
, (2, 2)
↑
5
, (3, 1)
↑
6
, (1, 4)
↑
7
, · · · ,
no sentido crescente da soma m+ n e de m (Fig. 3.1).
(2,3)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
 (1,1) (2,1)
(2,2)
(3,1) (4,1)
(3,2)
Figura 3.1: Enumerac¸a˜o de N× N pelo processo diagonal
A fo´rmula expl´ıcita para a bijec¸a˜o de N sobre N × N representada es-
quematicamente acima pode ser vista, por exemplo, nas pa´ginas 50 e 51 do
Mo´dulo 1 do Cederj.
Uma outra forma de mostrar que N×N e´ enumera´vel e´ a seguinte. Re-
lembre que, um nu´mero natural e´ dito primo se os u´nicos nu´meros naturais
dos quais ele e´ mu´ltiplo sa˜o o 1 e ele pro´prio. Pode-se provar sem dificuldade
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que todo nu´mero natural admite uma u´nica decomposic¸a˜o em fatores primos
(veja Exerc´ıcio ??, abaixo). Observe enta˜o que a func¸a˜o g(m,n) := 2m3n e´
uma injec¸a˜o de N × N para N, como consequeˆncia da unicidade da decom-
posic¸a˜o dos nu´meros naturais em fatores primos. Assim, pelo Teorema 3.7(c),
N×N e´ enumera´vel. Observa-se que, como e´ usual, escreve-se de forma mais
simples, g(m,n) em vez de g((m,n)).
Teorema 3.9 O conjunto dos nu´meros racionais Q e´ infinito enumera´vel.
Prova: Lembre-se de que Q e´ definido por
Q =
{m
n
: m,n ∈ Z, n 6= 0
}
.
Ja´ provou-se que Z e´ (infinito) enumera´vel e, portanto, Z \ {0} tambe´m o
e´, pelos Teoremas 3.6(a) e 3.3(c). Assim, existem bijec¸o˜es g1 : N → Z e
g2 : N → Z \ {0}. Enta˜o, G((j, k)) = (g1(j), g2(k)) e´ uma bijec¸a˜o de N × N
sobre Z×(Z\{0}) (por queˆ?). Como N×N e´ enumera´vel, enta˜o Z×(Z\{0})
e´ enumera´vel. Portanto, existe uma bijec¸a˜o h1 : N→ Z× (Z \ {0}).
Agora, a func¸a˜o h2 : Z × (Z \ {0}) → Q definida por h2(m,n) = m/n
e´ uma sobrejec¸a˜o de Z × (Z \ {0}) sobre Q (por queˆ?). Logo f := h2 ◦ h1
e´ uma sobrejec¸a˜o de N sobre Q. Pelo Teorema 3.7(b) conclui-se queQ e´
enumera´vel. Como Q conte´m N e este u´ltimo e´ infinito, segue tambe´m que
Q e´ infinito.
A Figura 3.2 representa o esquema do processo diagonal para enu-
merac¸a˜o dos elementos de Q implicitamente empregado na prova anterior.
O pro´ximo resultado estabelece que a unia˜o de uma colec¸a˜o (possivel-
mente infinita) enumera´vel de conjuntos enumera´veis e´ tambe´m um conjunto
enumera´vel.
Teorema 3.10 Se Am e´ um conjunto enumera´vel para cada m ∈ N enta˜o a
unia˜o
A :=
∞⋃
m=1
Am e´ enumera´vel.
Prova: Em vista do Teorema 3.7, precisa-se apenas mostrar que existe uma
sobrejec¸a˜o de N sobre A. Para cada m ∈ N, seja gm uma sobrejec¸a˜o de
N sobre Am; tal sobrejec¸a˜o existe ja´ que Am e´ enumera´vel. Define-se g :
N× N→ A por
g(m,n) = gm(n).
Afirma-se que g e´ uma sobrejec¸a˜o (fac¸a como exerc´ıcio). Como N × N e´
enumera´vel, existe uma bijec¸a˜o e, portanto, uma sobrejec¸a˜o f : N→ N× N,
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1
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Figura 3.2: Enumerac¸a˜o de Q pelo processo diagonal.
donde g ◦ f e´ uma sobrejec¸a˜o de N sobre A. Aplicando o Teorema 3.7 outra
vez, conclui-se que A e´ enumera´vel. Observe que o caso da unia˜o de uma
colec¸a˜o finita de conjuntos enumera´veis A1, . . . , An decorre do que acabou de
ser provado; basta fazer Ak = An, para k = n+ 1, n+ 2, . . . .
O pro´ximo teorema e´ devido a G. Cantor, a quem tambe´m deve-se a
ideia genial do “processo de diagonalizac¸a˜o”para mostrar que N × N e Q
sa˜o enumera´veis.
Teorema 3.11 (Teorema de Cantor) Se A e´ um conjunto qualquer enta˜o
na˜o existe nenhuma sobrejec¸a˜o de A sobre o conjunto P(A) de todos os sub-
conjuntos de A.
Prova: Suponha que g : A → P(A) e´ uma sobrejec¸a˜o. Para cada a ∈ A,
g(a) e´ um subconjunto de A e, portanto, a pode ou na˜o ser um elemento
de g(a). Enta˜o, define-se o conjunto D := {a ∈ A : a /∈ g(a)}. Como D
e´ subconjunto de A e, por conseguinte, D ∈ P(A), e como g e´ sobrejec¸a˜o,
enta˜o D = g(a0) para algum a0 ∈ A. Deve-se ter a0 ∈ D, ou a0 /∈ D. Se
a0 ∈ D, enta˜o, como D = g(a0), a0 ∈ g(a0), o que contradiz a definic¸a˜o de
D. Da mesma forma, se a0 /∈ D, enta˜o a0 /∈ g(a0) e, pela definic¸a˜o de D,
deve-se ter a0 ∈ D, o que tambe´m nos da´ uma contradic¸a˜o. Portanto, na˜o
pode existir uma tal sobrejec¸a˜o.
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OTeorema de Cantor implica, em particular, que P(N) e´ na˜o-enumera´vel,
ja´ que na˜o pode existir uma bijec¸a˜o de N sobre P(N).
A Na˜o-Enumerabilidade dos Reais
Para finalizar estas NA03 enuncia-se e mostra-se o resultado citado
como meta na Introduc¸a˜o. A prova da na˜o-enumerabilidade de R e´ um
elegante argumento “diagonal” devido a Cantor. Para demonstrar que R na˜o
e´ enumera´vel basta mostrar que o intervalo [0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} e´
na˜o enumera´vel (por queˆ?).
Teorema 3.12 O intervalo unita´rio aberto I := {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} na˜o e´
enumera´vel.
Prova: A demonstrac¸a˜o sera´ feita por reduc¸a˜o ao absurdo. Assim, suponha
que [0, 1] e´ enumera´vel. Portanto, ha´ uma bijec¸a˜o f de N sobre [0, 1] definida
por f(n) = an. Ou seja,
[0, 1] = {a1, a2, a3, . . .}. (1)
Seja b1 ∈]0, 1[ e b1 6= a1. Enta˜o a1 na˜o pode pertencer simultaneamente
aos dois seguintes intervalos
[0, b1] e [b1, 1]. (2)
Seja [α1, β1] aquele dentre os intervalos de (2) ao qual a1 na˜o pertence.
Seja b2 ∈]α1, β1[ e b2 6= a2. Enta˜o a2 na˜o pode pertencer simultanea-
mente aos dois seguintes intervalos
[α1, b2] e [b2, β1]. (3)
Da´ı, seja [α2, β2] um dos intervalos de (3) no qual a2 na˜o pertence.
Observe pela construc¸a˜o acima que [α1, β1] ⊃ [α2, β2], que a1 /∈ [α1, β1]
e a2 /∈ [a21, β2]. Fac¸a uma figura na reta real para ter uma noc¸a˜o geome´trica
desses intervalos!
Repetindo o procedimento acima indefinidamente, constroem-se inter-
valos [αi, βi] com i = 1, 2, 3, . . . , tais que
[α1, β1] ⊃ [α2, β2] ⊃ [α3, β3] ⊃ . . . ⊃ [αn, βn] ⊃ . . . ·
Ale´m disso, para todo i = 1, 2, 3, . . . , tem-se que ai /∈ [αi, βi]. Mas, pelo
Teorema dos Intervalos Encaixantes, importante consequeˆncia do Axioma do
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Os Nu´meros Reais III
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Supremo que sera´ provado nas Notas de Aula 05, existe pelo menos um real
ρ ∈ [αi, βn] ⊂ [0, 1] para todo i ∈ N. Portanto, ρ 6= ai para todo i ∈ N.
Assim, ρ na˜o esta´ inclu´ıdo na enumerac¸a˜o de [0, 1] fixada em (1). Tem-se
enta˜o uma contradic¸a˜o. Logo, o intervalo [0, 1] e´ naˆo enumera´vel.
Observac¸a˜o 3.1 Sendo R na˜o enumera´vel e Q enumera´vel conclui-se que
R\Q e´ na˜o enumera´vel. De fato, se R\Q fosse enumera´vel e sendo R = Q∪
(R\Q) enta˜o R seria enumera´vel, pois a unia˜o de dois conjuntos enumera´veis
e´ enumera´vel. Isto e´ contradiz o Teorema3.12. Logo, R\Q na˜o e´ enumera´vel.
Exerc´ıcios 3.1 1. Prove que um conjunto A e´ finito se, e somente se,
existem um conjunto finito B e uma bijec¸a˜o de A sobre B.
2. Deˆ os detalhes da prova das partes (b) e (c) do Teorema 3.3.
3. Seja A := {1, 2} e B := {a, b, c}.
(a) Determine o nu´mero de injec¸o˜es diferentes de A para B.
(b) Determine o nu´mero de sobrejec¸o˜es diferentes de A para B.
4. Exiba uma bijec¸a˜o entre N e todos os nu´meros ı´mpares maiores que 11.
5. Exiba uma bijec¸a˜o entre N e um seu subconjunto pro´prio.
6. Prove que A e´ enumera´vel se, e somente se, existe uma bijec¸a˜o de A
sobre um conjunto B enumera´vel.
7. Deˆ um exemplo de uma colec¸a˜o enumera´vel de conjuntos finitos cuja
unia˜o na˜o e´ finita.
8. Prove que a func¸a˜o g : N × N → A, definida na demonstrac¸a˜o do
Teorema 3.10 e´ de fato uma sobrejec¸a˜o.
9. Prove que o conjunto dos nu´meros primos e´ infinito enumera´vel. (Dica:
Para provar que esse conjunto e´ infinito, argumente por contradic¸a˜o.)
10. Obtenha uma representac¸a˜o N = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ∪ · · · tal que os
conjuntos A1, A2,. . . , An, . . . sejam infinitos e dois a dois disjuntos.
11. Use o Princ´ıpio da Induc¸a˜o Matema´tica para provar que, para todo
n ∈ N, se A tem n elementos enta˜o P(A) tem 2n elementos.
12. Prove que a colec¸a˜o F(N) de todos os subconjuntos finitos de N e´ enu-
mera´vel.
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Elementos
de
Ana´lise
Real
Os Nu´meros Reais III
13. Inspirado pela demonstrac¸a˜o do Teorema de Cantor, prove que o con-
junto das func¸o˜es f : N→ {0, 1} e´ na˜o-enumera´vel.
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