Notas de Aula 05= 2014-2

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Sequeˆncias Mono´tonas, Subsequeˆncias, Sequeˆncias de Cauchy e Limites Infinitos
NA 5
Notas de Aula 5 – Sequeˆncias Mono´tonas,
Subsequeˆncias, Sequeˆncias de Cauchy e
Limites Infinitos
Introduc¸a˜o
Nestas Notas de Aula, estuda-se a convergeˆncia de sequeˆncias mono´tonas,
o conceito de subsequeˆncias e seu uso no estabelecimento da existeˆncia e na˜o
existeˆncia de limites. Ale´m disso, sa˜o enunciadas e provadas outras con-
sequeˆncias do Axioma do Supremo: o Teorema de Bolzano-Weierstrass e o
crite´rio de Cauchy para sequeˆncias. Estuda-se ainda o conceito de sequeˆncias
propriamente divergentes com limites infinitos.
Tambe´m nestas Notas de Aula, todas as sequeˆncias sera˜o de nu´meros
reais. Portanto, por simplicidade se dira´ apenas sequeˆncia ou sucessa˜o.
Sequeˆncias Mono´tonas
Definic¸a˜o 5.1 Diz-se que (xn)n e´ uma sequeˆncia na˜o-decrescente quando
xn ≤ xn+1 para todo n ∈ N.
Diz-se que a sequeˆncia (xn)n e´ crescente quando xn < xn+1 para todo
n ∈ N.Em particular, sequeˆncias crescentes constituem um caso especial de
sequeˆncias na˜o-decrescentes.
Diz-se que (xn)n e´ sequeˆncia na˜o-crescente quando xn ≥ xn+1 para todo
n ∈ N.e´ uma sequeˆncia decrescente quando xn > xn+1 para todo n ∈ N.Como
antes, equeˆncias decrescentes constituem um caso especial de sequeˆncias na˜o-
crescentes.
Diz-se, de modo geral, que (xn)n e´ uma sequeˆncia mono´tona quando
(xn)n e´ na˜o-decrescente ou na˜o-crescente.
As sequeˆncias (1, 2, 2, 3, 3, 3, . . . ), (n)n, (1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, 1/3, . . .) e
(1/n)n sa˜o exemplos de sequeˆncias mono´tonas: a primeira e´ na˜o-decrescente,
a segunda e´ crescente, a terceira e´ na˜o-crescente e a quarta e´ decrescente. A
sequeˆncia ((−1)n/n)n∈N = (−1, 1/2,−1/3, 1/4,−1/5, . . . ) na˜o e´ mono´tona.
Nas Notas de Aula 04 (Teorema 4.3 ), foi demonstrado que toda sequeˆncia
convergente e´ limitada e comentou-se que a rec´ıproca na˜o e´ verdadeira em
geral. No entanto, no caso das sequeˆncias mono´tonas tem-se que a rec´ıproca
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e´ verdadeira, o que e´ garantido pelo resultado a seguir, conhecido como Te-
orema da Convergeˆncia Mono´tona.
Teorema 5.1 Se (xn)n e´ uma sequeˆncia mono´tona enta˜o, (xn)n e´ conver-
gente.Mais especificamente, tem-se:
(a) se (xn)n e´ na˜o-decrescente e limitada enta˜o lim xn = sup{xn : n ∈ N};
(b) se (xn)n e´ na˜o-crescente e limitada enta˜o lim xn = inf{xn : n ∈ N}.
Prova:
A hipo´tese e´: (xn)n e´ mono´tona e limitada. Ha´ dois casos a considerar:
Caso (a): Suponha que (xn)n e´ uma sequeˆncia limitada na˜o-decrescente.
Isto significa, pela Definic¸a˜o 4.3 que o conjunto dos valores de (xn)n, A =
{xn : n ∈ N}, e´ limitado. Enta˜o, pelo Axioma do Supremo (NA 02), existe
s := supA. Mostra-se agora que lim xn = s. Com efeito, seja dado ǫ > 0
qualquer. Enta˜o, pelo Lema 2.1 de NA 02, s − ǫ na˜o e´ cota superior de A.
Portanto, existe n0 ∈ N tal que s − ǫ < xn0 . Seja n ∈ N tal que n > n0.
Como (xn)n e´ uma sequeˆncia na˜o-decrescente enta˜o xn0 ≤ xn, e assim segue
que s − ǫ < xn0 ≤ xn ≤ s < s + ǫ. Pode-se enta˜o afirmar que |xn − s| < ǫ
para todo n > n0. Logo, pela Definic¸a˜o 4.2, xn → s quando n→∞. �
Caso (b): (xn)n e´ uma sequeˆncia limitada na˜o-crescente. Pela Definic¸a˜o
4.3, isto significa que A e´ um conjunto limitado. Da´ı e pela Proposic¸a˜o 2.4
(Propriedade do I´nfimo, veja NA 02), existe i := inf A. A prova de que
lim xn = i e´ inteiramente ana´loga ao caso (a) e fica como um exerc´ıcio.
O pro´ximo Exemplo mostra como aplicar o Teorema 5.1 para garantir
a convergeˆncia de uma sequeˆncia:
Exemplo 5.1 (a) Mostrar que lim(1/n1/3) = 0.(1)
Em primeiro lugar, tem-se que (xn = 1/n
1/3)n e´ uma sequeˆncia decrescente:
de fato, seja n ∈ N. Como n < n + 1 (2) enta˜o n1/3 < (n + 1)1/3. Como
ambos os termos sa˜o positivos, tem-se que 1/(n + 1)1/3 < 1/n1/3, ou seja,
xn+1 < xn. Como n ∈ N foi arbitrariamente fixado, pode-se afirmar que
xn+1 < xn para todo n ∈ N. Ale´m disso, claramente, o conjunto {xn|n ∈ N}
e´ limitado (inferiormente por 0 e superiormente pelo seu primeiro elemento,
pois a sequeˆncia e´ decrescente) e portanto, pela Definic¸a˜o 4.3, a sequeˆncia e´
limitada. Assim, pelo Teorema 5.1, a sequeˆncia e´ convergente e seu limite e´
1Este limite e´ um caso particular do Exemplo 4.1 (c) (veja NA 04).
2Como sempre, para saber de onde partir, faz-se uma conta de tra´s para frente, que
na˜o aparece na demonstrac¸a˜o.
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exatamente inf{1/n1/3 : n ∈ N}. Basta enta˜o mostrar que 0 = inf{1/n1/3 :
n ∈ N} para obter-se a conclusa˜o desejada, o que fica como exerc´ıcio.
Ha´ ainda um outro modo, tambe´m simples, usando somente resultados
ja´ estudados e que voceˆ tambe´m deve aprender: de fato, como foi verificado
acima, a sequeˆncia e´ mono´tona e limitada. Logo pelo Teorema 5.1 tem-se
que existe L := lim xn. Como x
3
n = 1/n para todo n ∈ N e lim 1/n = 0
enta˜o, por resultado das NA 04,
L3 = (lim xn)
3 = lim x3n = lim
1
n
= 0 =⇒ L = lim 1
n1/3
= 0.
(b) A definic¸a˜o do nu´mero e.
Seja (sn)n definida por s1 = 1, sn+1 = sn +
1
n!
para n ≥ 1. Enta˜o
sn+1 := 1 +
1
1!
+
1
2!
+ · · ·+ 1
n!
para todo n ∈ N.
Como, para todo n ∈ N, sn < sn+1 e
sn+1 = 1 + 1 +
1
1 · 2 +
1
1 · 2 · 3 + · · ·+
1
1 · 2 · · ·n
< 1 + 1 +
1
2
+
1
22
+ · · ·+ 1
2n−1
= 1 + 1 + 2
(
1
2
− 1
2n
)
< 3,
segue do Teorema 5.1 que (sn)n converge. Define-se
e := lim sn = lim
n→∞
(
1 +
1
1!
+
1
2!
+ · · ·+ 1
n!
)
.
O nu´mero e assim definido e´ um nu´mero transcendente dos mais importan-
tes da Matema´tica. O termo “transcendente” significa que o nu´mero na˜o e´
raiz de polinoˆmios com coeficientes racionais, a na˜o ser, obviamente, o po-
linoˆmio identicamente nulo. Em particular, os nu´meros trancendentes sa˜o
irracionais.
O e e´ a base dos chamados logaritmos naturais: o logaritmo natural
de um nu´mero real positivo x, denotado por ln x, e´ definido pela equac¸a˜o
elnx = x.
(c) Mostrar que e = lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
.
Chame xn := (1+1/n)
n e fixe n ∈ N. Usando a fo´rmula binomial, veja
Exemplo 4.2 (d), tem-se
xn = 1 +
n
1
· 1
n
+
n(n− 1)
2!
· 1
n2
+ · · ·+ n(n− 1)(n− 2) · · ·2 · 1
n!
· 1
nn
= 1 + 1 +
1
2!
(
1− 1
n
)
+ · · ·+ 1
n!
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
· · ·
(
1− n− 1
n
)
.
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Fazendo o mesmo para xn+1 e comparando as respectivas parcelas, veˆ-se que
xn+1 < xn. (
3) (Verifique!) Ale´m disso, da expressa˜o de xn tem-se que
xn < sn, onde sn = 1+1+1/2!+· · ·+1/n!. Como sn < 3 enta˜o xn < 3. Como
n foi escolhido arbitrariamente, conclui-se que (xn)n e´ sequeˆncia mono´tona
crescente e limitada. Logo, pelo Teorema 5.1 segue que (xn)n converge.
Resta mostrar que lim xn = lim sn = e. Com efeito, pelo Corola´rio 4.1,
tem-se que lim xn ≤ lim sn = e, pois xn < sn para todo n ∈ N e ambas as
sequeˆncias sa˜o convergentes.
Agora, tomando n > m, vale
xn ≥ 1 + 1 + 1
2!
(
1− 1
n
)
+ · · ·+ 1
m!
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
· · ·
(
1− m− 1
n
)
.
Fixando m e fazendo n→∞ obte´m-se
lim xn ≥ 1 + 1
2!
+ · · ·+ 1
m!
= sm.
Fazendo agora m→∞, resulta que lim xn ≥ limm→∞ sm = e. Segue, enta˜o,
que lim xn = e.
Subsequeˆncias
Obte´m-se uma subsequeˆncia de uma sequeˆncia dada, escolhendo-se
termos da sequeˆncia obedecendo-se uma ordem estritamente crescente dos
ı´ndices, como explicado na
Definic¸a˜o 5.2 Seja x = (xn)n uma sequeˆnciade nu´meros reais e (nk)k uma
sequeˆncia crescente de nu´meros naturais, n1 < n2 < · · · < nk < · · · . A
sequeˆncia (xnk)k∈N = (xn1 , xn2, . . . , xnk , . . . ) e´ chamada uma subsequeˆncia
de (xn)n.
Em outras palavras: como se viu, uma sequeˆncia de nu´meros reais e´
uma func¸a˜o x : N→ R. Dada uma func¸a˜o n : N→ N qualquer (isto e´, uma
sequeˆncia de nu´meros naturais), a func¸a˜o composta x◦n : N→ R e´ tambe´m
uma sequeˆncia de nu´meros reais. Uma subsequeˆncia da sequeˆncia (xn)n e´
o caso particular desta situac¸a˜o em que a func¸a˜o n e´ crescente. Ou seja,
3As treˆs primeiras parcelas de xn+1 na forma binomial, sa˜o
xn+1 = 1 + 1 +
n
(n+ 1)2
+
n(n− 1)(n+ 2)
2!(n+ 1)3
.
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para obter-se uma subsequeˆncia de (xn)n, escolhem-se termos da sequeˆncia
respeitando-se uma ordem estritamente crescente dos ı´ndices.
Por exemplo, as sequeˆncias (1/2k)k e (1/(2k − 1))k sa˜o ambas sub-
sequeˆncias da sequeˆncia (1/n)n, com nk = 2k e nk = 2k − 1 para k ∈ N,
respectivamente. Outros exemplos de subsequeˆncias dessa mesma sequeˆncia
sa˜o as sequeˆncias (1/2k) e (1/k!), onde nk = 2
k e nk = k!, respectivamente.
Por outro lado, a sequeˆncia
(
1
3
,
1
2
,
1
1
,
1
6
,
1
5
,
1
4
, . . . ,
1
3k
,
1
3k − 1 ,
1
3k − 2 , . . .
)
k∈N
na˜o e´ subsequeˆncia de (1/n)n, pois a sequeˆncia de ı´ndices aqui na˜o e´ crescente.
Teorema 5.2 Se uma sequeˆncia (xn)n converge para L ∈ R enta˜o qualquer
subsequeˆncia (xnk) de (xn)n tambe´m converge para L.
Prova: Seja (xnk) subsequeˆncia de uma sequeˆncia (xn)n tal que limn→∞ xn =
L. Deve-se mostrar que limnk→∞ xnk = L . Seja ǫ > 0. Pela Definic¸a˜o 4.2,
para este ǫ > 0 existe n0 tal que
para todo n ∈ N, se n > n0 enta˜o |xn − L| < ǫ. (∗)
Como n1 < n2 < · · · < nk < · · · , o conjunto X = {nk : k ∈ N} e´ ilimitado
superiormente, isto e´, na˜o possui cota superior. Em particular, n0 na˜o e´
uma cota superior para X , e portanto, existe nk0 ∈ X tal que nk0 > n0.
Seja enta˜o, nk > nk0 , nk ∈ N. Enta˜o xnk e´ um termo da subsequeˆncia e
portanto, tambe´m da sequeˆncia. Ale´m disso, nk > nk0 > n0. Logo, por (*),
|xnk − L| < ǫ. Portanto, para todo ǫ > 0, existe nk0 ∈ N tal que, para todo
nk ∈ N, se nk > nk0 enta˜o |xnk − L| < ǫ. Logo, (xnk) tambe´m converge para
L.
Corola´rio 5.1 Sejam (xn)n uma sequeˆncia e (xnk)k e (xnj )j duas subsequeˆncias
de (xn)n que convergem para limites diferentes. Enta˜o a sequeˆncia (xn)n e´
divergente.
Prova: De fato, suponha por absurdo que a sequeˆncia (xn)n e´ convergente.
Mas da´ı e do Teorema 5.2, as duas subsequeˆncias convergem para o mesmo
limite. Mas isto contraria a hipo´tese, que afirma que elas convergem para
limites diferentes. Portanto, a sequeˆncia (xn)n na˜o e´ convergente, ou seja, e´
divergente.
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Exemplo 5.2 (a) lim
(
1 +
1
n2
)n2
= e. De fato, a sequeˆncia (yk)k onde
yk :=
(
1 +
1
k2
)k2
, e´ uma subsequeˆncia da sequeˆncia (tn)n onde tn =
(1 + 1/n)n, cuja convergeˆncia foi estudada no Exemplo 5.1(c). Logo,
pelo Teorema 5.2, lim
(
1 +
1
k2
)k2
= lim(1 + 1/n)n = e.
(b) A sequeˆncia
(xn)n =
(
1 + (−1)n
2
− (−1)
n
n
)
n
e´ divergente. Com efeito, as subsequeˆncias (x2k−1)k e (x2k)k de (xn)n
sa˜o tais que x2k−1 =
1
2k − 1 e x2k = 1−
1
2k
, se k ∈ N, e portanto,
convergem para 0 e 1, respectivamente. Portanto, pelo Corola´rio 5.1,
(xn)n e´ divergente.
A pro´xima Proposic¸a˜o afirma que, no caso particular das sequeˆncias
mono´tonas, basta que exista uma subsequeˆncia limitada para se poder ga-
rantir que a sequeˆncia e´ convergente. Voceˆ deve se esforc¸ar para realizar
a demonstrac¸a˜o deste resultado, que e´ uma consequeˆncia do Teorema da
Sequeˆncia Mono´tona (atente para a definic¸a˜o de subsequeˆncia).
Proposic¸a˜o 5.1 Se uma sequeˆncia mono´tona possui uma subsequeˆncia con-
vergente enta˜o a sequeˆncia e´, ela mesma, convergente.
Prova: Exerc´ıcio.
♦ Prelu´dio 5.1 Estude cuidadosamente o exemplo resolvido abaixo. Voceˆ
deve ser capaz de entender e refazer por si mesmo todos os racioc´ınios. Ele
utiliza conceitos e te´cnicas ja´ estudados. Revise as Notas de Aula anteriores
sempre que precisar.
Exemplo 5.3 Considere a sequeˆncia (un)n∈N, definida por
u1 =
√
2 e un+1 =
√
2un.
Mostre usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica - PIM, que (un)n∈N e´
crescente e limitada superiormente por 2. Conclua que (un)n∈N e´ convergente
e mostre, usando subsequeˆncias, que un → 2 quando n→∞.
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Prova: • Aqui P[n] e´ pun+1 > unq. De fato, em primeiro lugar,
u1 =
√
2, e u2 =
√
2u1 =
√
2
√
2 > 2
√
2 >
√
2 = u1.
Logo, u2 > u1. Suponha agora que n ∈ N e que un+1 > un, ou seja, P[n] e´
verdadeira (esta e´ a HI). Deve-se provar que un+2 > un+1. De fato, da hipo´tese
de induc¸a˜o vem que 2un+1 > 2un; da´ı
un+2 =
√
2un+1 >
√
2un = un+1,
ou seja, P[n+1] e´ verdadeira. Mostrou-se que para todo n ∈ N, P[n] implica
P[n+1]. Junto com a outra etapa, pode-se concluir pelo PIM, que a sequeˆncia
(un)n∈N e´ mono´tona crescente.
• Um racioc´ınio semelhante, por induc¸a˜o (PIM) sobre n, permite concluir que
(un)n∈N e´ limitada superiormente por 2. (Faz parte do seu estudo fazer estas
contas, neste caso P[n] e´ pun ≤ 2q).
• Sendo (un)n∈N crescente e limitada, pelo Teorema 5.1, (un)n∈N converge. Ou
seja, existe L ∈ R tal que lim
n→∞
un = L . Como (un+1)n∈N e´ uma subsequeˆncia
de (un)n (e´ a 1-cauda de (un)n∈N, vide Notas de Aula 04), o Teorema 5.2 (ou a
Proposic¸a˜o 4.1) garante que lim
n→∞
un+1 = L . Logo
L = lim
n→∞
un+1 = lim
n→∞
√
2un =
√
2L .
A u´ltima passagem vem do resultado do Exemplo 4.1 (b). Chega-se assim que
L =
√
2L. Resolvendo, chega-se a L = 2 ou L = 0. Mas L = 0 na˜o e´ poss´ıvel
(uma maneira de entender isto e´ lembrar que pelo Teorema da Convergeˆncia
Mono´tona, L = sup{un|n ∈ N} e que, no caso de (un)n∈N, este supremo na˜o
pode ser 0). Portanto, so´ pode ser lim
n→∞
un = 2.
Exemplo 5.4 (a) Seja (an)n∈N a sequeˆncia definida pela relac¸a˜o de re-
correˆncia
a1 = 0 e an+1 =
1
2
(an + 1) .
Mostrar usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica - PIM, que (an)n∈N
e´ mono´tona crescente e limitada superiormente por 1. Ale´m disso,
mostrar que seu limite e´ 1.
(i) (an)n∈N e´ crescente. Deve-se provar que an < an+1 para todo n ∈ N.
• Para n = 1 tem-se que a1 = 0 < 1/2 = a2.
• Supo˜e-se verdadeiro que para um natural n fixado vale an < an+1
(esta e´ HI). Deve-se mostrar que an+1 < an+2.
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• A partir da hipo´tese indutiva pode-se escrever que:
an < an+1 ∴ 1 + an < 1 + an+1 ∴
1
2
(1 + an) <
1
2
(1 + an+1) .
Da u´ltima desigualdade e da definic¸a˜o da sequeˆncia tem-se an+1 < an+2.
Logo, pelo PIM, a sequeˆncia (an)n∈N e´ mono´tona.
(ii) (an)n∈N e´ limitada. Sera´ mostrado que an < 1 para todo n ∈ N.
• Para n = 1 tem-se que a1 = 0 < 1.
• Supo˜e-se verdade para um natural n fixado que an < 1 . Deve-se
mostrar que an+1 < 1.
• A partir da hipo´tese de induc¸a˜o tem-se que:
an < 1 ∴ 1 + an < 2 ∴
1
2
(1 + an) < 1.
Da´ı, e da definic¸a˜o dos termos da sequeˆncia, resulta que an+1 < 1. Pelo
PIM, an < 1 para todo n ∈ N.
Logo, de (i), de (ii) e do Teorema 5.1, conclui-se que (an)n∈N e´ conver-
gente.
(iii) O limite de (an)n∈N e´ 1. De fato, seja L = lim
n→∞
an. Como
(an+1)n∈N e´ uma subsequeˆnciade (an)n∈N enta˜o pelo Teorema 5.2 (ou
Proposic¸a˜o 4.1) tem-se L = lim
n→∞
an+1. Assim, pela definic¸a˜o da sequeˆncia
tem-se que
L = lim
n→∞
an+1 = lim
n→∞
1
2
(an + 1) =
1
2
(
lim
n→∞
(an + 1)
)
=
1
2
(
( lim
n→∞
an) + 1
)
=
1
2
(L+ 1) .
Da´ı, L = (L+ 1) /2, de onde segue que L = 1. Logo, o limite de
(an)n∈N e´ 1.
(b) Seja (xn)n definida pela relac¸a˜o de recorreˆncia
x1 := 1, xn+1 :=
xn
3
+ 1 para todo n ∈ N.
Mostre usando o PIM, que (xn)n e´ crescente e limitada superiormente
por 2. Conclua que (xn)n e´ convergente e mostre, usando o Teorema
5.2, que xn → 3/2.
(i) Deve-se mostrar que xn < xn+1 ≤ 2 para todo n ∈ N. Em primeiro
lugar,
x1 = 1 e x2 = (x1/3) + 1 = (1/3) + 1 = 4/3 ∴ x1 < x2 ≤ 2.
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Agora suponha que k ∈ N e que valha 1 ≤ xk < xk+1 ≤ 2 para este k
fixado. Da´ı,
L+
xk
3
<
xk+1
3
≤ 2
3
∴
xk
3
+ 1 <
xk+1
3
+ 1 ≤ 2
3
+ 1 =
5
3
.
Logo, vale xk+1 < xk+2 ≤ 2. Pelas duas etapas anteriores e pelo PIM,
conclui-se que 1 ≤ xn < xn+1 < 2 para todo n ∈ N.
(ii) O limite da sucessa˜o e´ 3/2. Como (xn)n e´ crescente e limitada,
tem-se, pelo Teorema 5.1, que existe L = lim xn. Da´ı, e do Teorema
5.2, a subsequeˆncia (xn+1)n (que e´ a 1-cauda da sequeˆncia) converge
para o mesmo limite L de (xn)n. Ou seja,
L = lim xn+1 = lim
(xn
3
+ 1
)
=
(
lim xn
3
+ 1
)
=
L
3
+ 1 ∴ L =
L
3
+ 1
obte´m-se 3L = L+ 3, e da´ı segue que L = 3/2.
(c) Seja (xn)n definida indutivamente por
x1 := 0, xn+1 :=
√
2 + xn para todo n ∈ N.
Mostrar que lim xn = 2.
(i) Deve-se mostrar que 0 ≤ xn < xn+1 ≤ 2 para todo n ∈ N. Nova-
mente, usa-se o PIM. Como x1 = 0 e x2 =
√
2 + 0 =
√
2, a afirmac¸a˜o
e´ verdadeira para n = 1. Suponha que vale 0 ≤ xk < xk+1 ≤ 2 para
algum k ∈ N fixado. Enta˜o
2 ≤ 2 + xk < 2 + xk+1 ≤ 4 ∴ 0 ≤
√
2 ≤ √2 + xk <
√
2 + xk+1 ≤ 2
e, assim 0 ≤ xk+1 < xk+2 ≤ 2. Pelo PIM, 0 ≤ xn < xn+1 ≤ 2 para
todo n ∈ N.
(ii) Como (xn)n e´ uma sequeˆncia crescente e limitada, o Teorema 5.1
assegura que existe L = lim xn (com L = sup{xn : n ∈ N}). Como a
subsequeˆncia (xn+1) converge para o mesmo limite que (xn)n(Teorema
5.2), tomando o limite na relac¸a˜o xn+1 =
√
2 + xn, usando o Exem-
plo 4.5 (b) e o Teorema 4.6, obte´m-se
L =
√
2 + L e 0 ≤ L ≤ 2.
Veˆ-se enta˜o que L e´ uma raiz na˜o-negativa da equac¸a˜o x2 − x− 2 = 0
cujas ra´ızes sa˜o −1 e 2. Logo L = 2. como afirmado.
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Teorema de Bolzano-Weierstrass
Teorema 5.3 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda sequeˆncia limi-
tada de nu´meros reais possui uma subsequeˆncia convergente.
Prova: Seja (xn)n∈N uma sequeˆncia limitada com o seu conjunto-imagem,
{xn : n ∈ N}, infinito (caso contra´rio, basta tomar uma subsequeˆncia cons-
tante). Como, por hipo´tese, (xn)n∈N e´ limitada enta˜o todos os seus valores
esta˜o contidos num intervalo fechado I. Seja c o comprimento de I.
Acompanhe o racioc´ınio, a seguir, pela figura abaixo.
Dividindo este intervalo I ao meio, obte´m-se dois novos intervalos (fe-
chados) de mesmo comprimento c/2. Um dos quais necessariamente contera´
infinitos elementos da sequeˆncia. Seja I1 este intervalo (se os dois intervalos
contiverem infinitos elementos da sequeˆncia, escolhe-se qualquer um deles
para ser I1). O mesmo procedimento aplicado a I1 conduz a um intervalo
fechado I2, de comprimento c/2
2, contendo infinitos elementos da sequeˆncia.
a
I
b
c = b− a
a
I1
c
2
b
c
2
= b−a
2
a
I2
c
22
b
c
22
= b−a
22
Continuando indefinidamente com este procedimento, obte´m-se uma sequeˆncia
de intervalos fechados e encaixados In, isto e´,
I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . .
sendo cada um de comprimento c/2n e contendo infinitos elementos da sequeˆncia
(xn)n. Pelo Teorema dos Intervalos Encaixados, existe L ∈ R tal que L per-
tence a todos os intervalos In. Agora e´ so´ tomar um elemento xn1 da sequeˆncia
(xn) no intervalo I1, um elemento xn2 da sequeˆncia (xn)n∈N no intervalo I2
de modo que n2 > n1 (como em I2 existem infinitos elementos da sequeˆncia,
isto sera´ poss´ıvel), um elemento xn3 no intervalo I3 de tal modo que n3 > n2,
e assim sucessivamente. Portanto, obte´m-se uma subsequeˆncia (xnk)nk∈N da
sequeˆncia (xn) onde para cada nk ∈ N, vale xnk ∈ Ink . Mostra-se, agora,
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que (xnk)nk∈N converge para L. De fato, seja ǫ > 0. Pela Propriedade Ar-
quimediana, existe n0 ∈ N tal que n0 > c/ǫ. Enta˜o, se nk ∈ N e nk ≥ n0
enta˜o
|xnk − L|
L, xnk∈Ink≤ c
2nk
≤ c
nk
≤ c
n0
< ǫ .
O Crite´rio de Cauchy para convergeˆncia
Esse crite´rio permite determinar a convergeˆncia ou a divergeˆncia de
uma sequeˆncia sem o conhecimento pre´vio do limite da mesma.
Definic¸a˜o 5.3 Diz-se que uma sequeˆncia (xn)n e´ uma sequeˆncia de Cauchy
quando para todo ǫ > 0 existe n0 ∈ N tal que para todos m,n ∈ N, se m > n0
e n > n0 enta˜o |xm − xn| < ǫ.
♦ Prelu´dio 5.2 Para o pro´ximo exemplo, deve-se observar que o enunciado a
ser demonstrado, a saber:
Para todo ǫ > 0 existe n0 ∈ N tal que, para todosm, n ∈ N, se m, n > n0
enta˜o
∣∣∣∣ 1m2 −
1
n2
∣∣∣∣ < ǫ .
Note que e´ muito parecido com a Definic¸a˜o 4.2 de limite de sequeˆncia (na
verdade, possuem a mesma “estrutura lo´gica”).
Como quem orienta a demonstrac¸a˜o, na maioria das vezes, e´ a pro´pria
estrutura do enunciado que se deve provar, a demonstrac¸a˜o de que (1/n2)n∈N e´
sequeˆncia de Cauchy tem as seguintes passagens, necessariamente:
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Seja (ou suponha) ǫ > 0 onde ǫ ∈ R.
Pela Propriedade Arquimediana, existe um natural n0 > . . . ·
Sejam m,n ∈ N tais que m, n > n0
(Note que m, n > n0 significa m > n0 e n > n0).
Enta˜o |1/m2 − 1/n2| . . . . . . . . . ·
...
contas
...
Enta˜o |1/m2 − 1/n2| < . . . < ǫ.
Como no caso da Definic¸a˜o 4.2 de limite, e´ necessa´rio
fazer um “rascunho” para achar n0.
Exemplo 5.5 Mostre, pela definic¸a˜o, que (1/n2)n∈N e´ uma sequeˆncia de
Cauchy. De fato, suponha ǫ > 0.
Pela Propriedade Arquimediana, existe n0 ∈ N tal que n0 >
√
2/ǫ.
Sejam m,n ∈ N tais que m, n > n0. Portanto,∣∣∣∣ 1m2 −
1
n2
∣∣∣∣ < 1m2 +
1
n2
.
Como m > n0, n > n0 e n0 >
√
2/ǫ enta˜o 1/m2 < 1/n20 < ǫ/2 e
1/n2 < 1/n20 < ǫ/2. Da´ı,∣∣∣∣ 1m2 −
1
n2
∣∣∣∣ < 1m2 +
1
n2
<
ǫ
2
+
ǫ
2
= ǫ .
Logo, a sequeˆncia (1/n2)n∈N e´ do tipo Cauchy.
Observe que dizer que (xn)n na˜o e´ uma sequeˆncia de Cauchy significa
dizer que existe ǫ0 > 0 tal que para todo k ∈ N existem mk, nk ∈ N tais que
mk > n0, nk > n0 e |xmk − xnk | ≥ ǫ0.
Exemplo 5.6 A sequeˆncia (1+(−1)n)n na˜o e´ uma sequeˆncia de Cauchy. De
fato, seja ǫ0 = 2. Enta˜o, seja k ∈ N tal quemk := 2k > k e nk := 2k+1 > k.
Como x2k = 2 e x2k+1 = 0 para todo k ∈ N, tem-se
|xmk − xnk | = |x2k − x2k+1| = |2− 0| = 2 = ǫ0,
o que demonstra que (1 + (−1)n)n na˜o e´ uma sequeˆncia de Cauchy.
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Lema 5.1 Se uma sequeˆncia (xn)n e´ convergente enta˜o (xn)n e´ uma sequeˆncia
de Cauchy.
Prova: Por hipo´tese existe L ∈ R tal que L = lim xn. Enta˜o, dado ǫ > 0
existe n0 = n0(ǫ/2) ∈ N tal que se n > n0 enta˜o |xn − L| < ǫ. Logo, para
todos m,n ∈ N, satisfazendo m > n0, n > n0, tem-se
|xm − xn| = |(xn − L) + (L− xm)| ≤ |xn − L|+ |xm − L| < ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ.
Logo, pela definic¸a˜o (xn)n e´ uma sequeˆncia de Cauchy.Observe que o Lema 5.1 assegura que todas as sequeˆncias do Exem-
plo 5.1 sa˜o sequeˆncias de Cauchy.
Para provar a rec´ıproca do Lema 5.1 precisa-se do seguinte resultado.
Lema 5.2 Toda sequeˆncia de Cauchy e´ limitada.
Prova: Por hipo´tese (xn)n e´ uma sequeˆncia de Cauchy. Seja ǫ := 1. Se
n0 = n0(1) e n > n0 enta˜o |xn − xn0+1| < 1. Logo, pela deiguadade
triangular, tem-se |xn| ≤ |xn0+1|+ 1 para todo n >0. Seja
M := max{|x1|, |x2|, . . . , |xn0|, |xn0+1|+ 1}.
Enta˜o resulta que |xn| ≤ M para todo n ∈ N. Logo, (xn)n e´ limitada.
Teorema 5.4 (Crite´rio de Cauchy) Uma sequeˆncia de nu´meros reais e´
convergente se, e somente se, ela e´ uma sequeˆncia de Cauchy.
Prova: (⇒) O Lema 5.1 assegura que toda sequeˆncia convergente e´ uma
sequeˆncia de Cauchy.
(⇐) Seja (xn)n uma sequeˆncia de Cauchy. Enta˜o, pelo Lema 5.2, (xn)n
e´ limitada. Portanto, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass 5.3, existe uma
subsequeˆncia (xnk) de (xn)n que converge para algum L ∈ R. Afirma-se: toda
a sequeˆncia (xn)n converge para L. De fato, como (xn)n e´ uma sequeˆncia de
Cauchy, enta˜o dado ǫ > 0 existe n0 = n0(ǫ/2) ∈ N tal que se n, m > n0
enta˜o
|xn − xm| < ǫ/2. (⋆)
Por outro lado, como (xnk) converge a L, existe n1 > n0 pertencente ao
conjunto {nk : k ∈ N} tal que |xn1 − L| < ǫ/2. Como n1 > n0 segue de (⋆)
com m = n1 que |xn − xn1 | < ǫ/2 para n > n0. Da´ı segue que se n > n0
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enta˜o
|xn − L| = |(xn − xn1) + (xn1 − L)|
≤ |xn − xn1 |+ |xn1 − L|
< ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ.
Logo, por definic¸a˜o, lim xn = L.
Limites Infinitos
Algumas sequeˆncia divergentes possuem um comportamente espec´ıfico:
e´ conveniente ter-se uma definic¸a˜o para a situac¸a˜o descrita dizendo-se que
sequeˆncia (xn)n “tende a ±∞”.
Definic¸a˜o 5.4 Seja (xn)n uma sequeˆncia.
(i) Diz-se que (xn)n tende a +∞, e escreve-se lim xn = +∞, se para todo
M > 0 existe n0 = n0(M) ∈ N tal que se n > n0 enta˜o xn > M .
(ii) Diz-se que (xn)n tende a −∞, e escreve-se lim xn = −∞, se para todo
M > 0 existe n0 = n0(M) ∈ N tal que se n > n0 enta˜o xn < −M .
(iii) Diz-se que (xn)n e´ propriamente divergente quando lim xn = +∞ ou
lim xn = −∞.
Observe que lim xn = −∞ se, e somente se, lim(−xn) =∞.
Exemplo 5.7 (a) limn = +∞. De fato, dado M > 0 existe, pela Propri-
edade Arquimediana, um n0 ∈ N tal que n0 > M . Assim n > M para
todo n > n0.
(b) Se b > 1 enta˜o lim bn = +∞. De fato, seja b = 1 + c. Assim, c =
b−1 > 0. Pela desigualdade de Bernoulli tem-se bn = (1+c)n ≥ 1+nc.
Portando, dado M > 0, tomando n0 > M/c obte´m-se
bn ≥ 1 + nc > 1 +M > M para todo n > n0.
Observa-se que sequeˆncias propriamente divergentes constituem um
caso particular de sequeˆncias divergentes. As propriedades va´lidas para
o limite de sequeˆncias convergentes podem na˜o valer quando alguma das
sequeˆncias envolvidas tem limite ±∞. No entanto, tem-se o resultado.
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Teorema 5.5 Sejm (xn)n e (yn)n duas sequeˆncias.
(i) Se lim xn = +∞ e (yn)n e´ limitada inferiormente enta˜o lim(xn+ yn) =
+∞;
(ii) Se lim xn = +∞ e existe c > 0 tal que yn > c para todo n ∈ N enta˜o
lim(xnyn) = +∞;
(iii) Se xn > c > 0, yn > 0 para todo n ∈ N e lim yn = 0 enta˜o lim xn
yn
=
+∞.
Prova: (i) Por hipo´tese, existe c ∈ R tal que yn ≥ c para todo n ∈ N e
dado M > 0 qualquer, existe n0 ∈ N tal que xn > M − c para todo n > n0.
Portanto, se n > n0 enta˜o xn+yn > (M−c)+c = M . Logo, pela Definic¸a˜o 5.4
lim(xn + yn) = +∞. �
(ii) Por hipo´tese, dado M > 0 existe n0 ∈ N tal que xn > M/c para todo
n > n0. Portanto, se n > n0 enta˜o xnyn > (M/c)c = M . Logo, lim(xnyn) =
+∞. �
(iii) Como, por hipo´tese, lim yn = 0 enta˜o dadoM > 0 existe n0 = n0(M/c) ∈
N tal que se n > n0 enta˜o yn = |yn| < c/M . Portanto, se n > n0 enta˜o
xn/yn > c/(c/M) = M . Logo, lim(xn/yn) = +∞.
Observe que se lim xn = +∞ e lim yn = −∞ enta˜o nada pode ser
afirmado sobre a divergeˆncia ou convergeˆncia da sequeˆncia (xn + yn)n. Por
exemplo, se xn = n + 1/n e yn = −n enta˜o (xn + yn)n e´ convergente e
lim(xn + yn) = 0. Se xn = 2n e yn = −n enta˜o lim(xn + yn) = +∞.
Finalmente, se xn = n+(−1)n e yn = −n enta˜o (xn+ yn)n e´ divergente, mas
na˜o propriamente divergente.
Teorema 5.6 Uma sequeˆncia mono´tona e´ propriamente divergente se, e so-
mente se, e´ ilimitada. Ale´m disso,
(i) Se (xn)n e´ uma sequeˆncia ilimitada na˜o-decrescente enta˜o lim xn = +∞;
(ii) Se (xn)n e´ uma sequeˆncia ilimitada na˜o-crescente enta˜o lim xn = −∞.
Prova: Suponha que (xn)n e´ uma sequeˆncia na˜o-decrescente. Enta˜o, pelo
Teorema 5.1, se (xn)n e´ limitada enta˜o ela e´ convergente. Portanto, se ela e´
propriamente divergente enta˜o tem que ser ilimitada. Se (xn)n e´ ilimitada,
ela na˜o e´ limitada superiormente, ja´ que e´ limitada inferiormente por ser
na˜o-decrescente. Enta˜o dado M > 0 existe n0 ∈ N tal que xn0 > M . Como
(xn)n e´ na˜o-decrescente, se n > n0 enta˜o xn ≥ xn0 > M . Logo, lim xn = +∞.
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A afirmac¸a˜o (ii) se reduz a (i) considerando-se a sequeˆncia (−xn)n.
O seguinte “crite´rio de comparac¸a˜o” e´ frequentemente utilizado para
demonstrar que uma sequeˆncia e´ propriamente divergente.
Teorema 5.7 Sejam (xn)n e (yn)n sequeˆncias satisfazendo
xn ≤ yn para todo n ∈ N. (⋆)
(i) Se lim xn = +∞ enta˜o lim yn = +∞;
(ii) Se lim yn = −∞ enta˜o lim xn = −∞.
Prova: (i) Se lim xn = +∞ enta˜o dado M > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0
implica xn > M . Assim, se n > n0, de (⋆) segue que yn > M . Logo, por
definic¸a˜o, lim yn = +∞. �
A afirmac¸a˜o (ii) se reduz a (i) considerando-se as sequeˆncias (−xn)n e
(−yn)n.
O Teorema 5.7 continua verdadeiro se a hipo´tese (⋆) for “enfraquecida”
para: existe m0 ∈ N tal que xn ≤ yn para todo n ≥ m0.
O seguinte resultado tambe´m serve como um “crite´rio de comparac¸a˜o”
e e´ bastante u´til nos casos em que na˜o se tem a condic¸a˜o (⋆).
Teorema 5.8 Sejam (xn)n e (yn)n duas sequeˆncias de nu´meros reais positi-
vos e suponha que para algum L > 0 se tenha
lim
xn
yn
= L. (⋆⋆)
Enta˜o lim xn = +∞ se, e somente se, lim yn = +∞.
Prova: Pela hipo´tese (⋆⋆) tem-se, por definic¸a˜o, para ǫ = L/2 > 0 que existe
m0 ∈ N tal que
1
2
L <
xn
yn
<
3
2
L para todo n ≥ m0.
Da´ı, como xn e yn sa˜o positivos para todo ∈ N enta˜o (L/2)yn < xn <
(3L/2)yn para todo n ∈ N. A conclusa˜o segue enta˜o do Teorema 5.7.
Exerc´ıcios 5.1 1. Seja x1 = 3 e xn+1 := (xn/5) + 4 para todo n ∈ N.
Mostre que (xn)n e´ limitada e mono´tona. Encontre o limite.
2. Seja x1 > 1 e xn+1 := 2 − 1/xn para todo n ∈ N. Mostre que (xn)n e´
limitada e mono´tona. Encontre o limite.
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3. Seja x1 ≥ 2 e xn+1 := 1 +
√
xn − 1 para n ∈ N. Mostre que (xn)n e´
decrescente e limitada inferiormente por 2. Encontre o limite.
4. Seja x1 = 1 e xn+1 :=
√
2xn para n ∈ N. Mostre que (xn)n converge e
encontre o limite.
5. Seja a > 0 e xn+1 = xn+1/xn para n ∈ N. Determine se (xn)n diverge
ou converge. (Dica: Mostre que (xn)n e´ crescente e veja o que acontece
quando se supo˜e que xn converge.)
6. Suponha que toda subsequeˆncia de (xn)n possui uma subsequeˆncia que
converge a um mesmo nu´mero real L. Mostre que lim xn = L.
7. Seja (xn)n definida indutivamente por x1 = 1 e xn+1 = 1/(2 + xn)n.
Mostre que (xn)n converge e encontre o limite.
8. Considere a sequeˆncia de Fibonacci definida indutivamente por y1 = 1,
y2 = 1 e yn+2 := yn+1 + yn para todo n ∈ N. Seja (xn)n definida por
xn = yn/yn+1. Mostre que (xn)n converge e encontre o limite.
9.Mostre diretamente da definic¸a˜o que as seguintes sequeˆncias sa˜o sequeˆncias
de Cauchy.
(a)
(
n+ 1
n
)
.
(b)
(
1 +
1
2!
+ · · ·+ 1
n!
)
.
10. Mostre diretamente da definic¸a˜o que as seguintes sequeˆncias na˜o sa˜o
sequeˆncias de Cauchy.
(a) ((−1)n)n.
(b) (n+
(−1)n
n
).
11. Mostre diretamente da definic¸a˜o que se (xn)n e (yn)n sa˜o sequeˆncias de
Cauchy enta˜o (xn + yn)n e (xnyn)n sa˜o sequeˆncias de Cauchy.
12. Se C > 0, 0 < r < 1 e |xn+1−xn| < Crn para todo n ∈ N enta˜o mostre
que (xn)n e´ uma sequeˆncia de Cauchy.
13. Mostre que se (xn)n e´ uma sequeˆncia ilimitada enta˜o ela possui uma
subsequeˆncia propriamente divergente.
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14. Deˆ exemplos de sequeˆncia propriamente divergentes (xn)n e (yn)n com
yn 6= 0 para todo n ∈ N tais que:
(a) (xn/yn)n e´ convergente;
(b) (xn/yn)n e´ propriamente divergente.
15. Mostre que as sequeˆncias (
√
n) e (n/
√
n+ 1) sa˜o propriamente diver-
gentes.
16. Mostre que se lim xn = 0 e xn > 0 para todo n ∈ N enta˜o lim(1/xn) =
+∞.
17. Mostre que se lim(xn/n) = L, onde L > 0 enta˜o lim xn = +∞.
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