Notas de Aula 07

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Limite de Func¸a˜o em um Ponto
NA 7
Notas de Aula 7 – Limite de Func¸a˜o em um
Ponto
Introduc¸a˜o
Nestas Notas de Aula - NA, inicia-se o estudo de limite de uma func¸a˜o
real em um ponto de seu domı´nio. Este conceito e´ o ponto de partida de todo
o Ca´lculo Diferencial e consequentemente da Ana´lise Real, ja´ que o conceito
de derivada de uma func¸a˜o se baseia no de limite.
Objetiva-se aqui estudar o conceito de limite de uma func¸a˜o em um
ponto de acumulac¸a˜o de um subconjunto da reta de uma forma precisa e
rigorosa, considerando que a abordagem intuitiva foi vista na disciplina de
Ca´lculo. Sera˜o apresentados alguns resultados ba´sicos sobre a existeˆncia e a
inexisteˆncia do limite de uma func¸a˜o e, tambe´m, a caracterizac¸a˜o do limite
de uma func¸a˜o por meio do conceito ja´ estudado de limite de sequeˆncia.
Pontos de Acumulac¸a˜o
Para que a noc¸a˜o de limite de uma func¸a˜o f num ponto x0 fac¸a sentido
f deve estar definida em pontos pro´ximos de x0, apesar de f na˜o precisar
necessariamente estar definida no pro´prio ponto x0. A definic¸a˜o a seguir
fornece a descric¸a˜o precisa desta ideia de ”proximidade”.
Definic¸a˜o 7.1 Seja X ⊂ R. Um ponto x0 ∈ R e´ um ponto de acumulac¸a˜o
do conjunto X quando para todo nu´mero real δ > 0 existe ao menos um ponto
x ∈ X tal que x 6= x0 e |x− x0| < δ.
A Definic¸a˜o 7.1 pode ser reescrita usando a noc¸a˜o de vizinhanc¸a (re-
corde a Definic¸a˜o 2.2) da seguinte forma:
x0 ∈ R e´ um ponto de acumulac¸a˜o do conjunto X quando toda
vizinhanc¸a Vδ(x0) = (x0 − δ, x0 + δ) de x0 de raio δ conte´m ao menos um
ponto de X diferente de x0.
Note que um ponto de acumulac¸a˜o de X pode ou na˜o ser elemento de
X . Observe isto nos exemplos que se seguem.
Exemplo 7.1 (a) Se X e´ o intervalo aberto (0, 1) enta˜o todos os pontos
do intervalo fechado [0, 1] sa˜o pontos de acumulac¸a˜o de X - de fato,
dado x0 qualquer em [0, 1], cada vizinhanc¸a de centro em x0 conte´m
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Ana´lise
Real
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algum ponto de X = (0, 1) diferente de x0. Note que 0 e 1 sa˜o pontos
de acumulac¸a˜o de X embora na˜o pertenc¸am a X. Neste exemplo, todos
os pontos de X sa˜o pontos de acumulac¸a˜o de X mas nem todo ponto
de acumulac¸a˜o de X e´ ponto de X.
(b) Se X = {−1, 1} ⊂ R enta˜o −1 na˜o e´ ponto de acumulac¸a˜o de X, pois,
por exemplo, V1(−1) ∩X = {−1}, ou seja, a vizinhanc¸a de centro em
x0 = −1 e raio 1 na˜o conte´m nenhum ponto de X diferente do pro´prio
x0 = −1. Da mesma forma, V1(1)∩X = {1}, ou seja, a vizinhanc¸a de
centro em x1 = 1 e raio 1 na˜o conte´m nenhum ponto de X diferente
do pro´prio x1 = 1. Portanto, -1 e 1 sa˜o pontos de X neste caso, mas
na˜o e´ verdade que toda vizinhanc¸a de cada um destes pontos contenha
algum ponto de X diferente deles. Ale´m disso, dado qualquer outro
x 6= 1,−1, e´ fa´cil encontrar vizinhanc¸a deste ponto que na˜o contenha
os pontos de X = {−1, 1}. Assim, o conjunto de pontos de acumulac¸a˜o
deste conjunto X e´ o conjunto ∅.
(c) Para qualquer subconjunto finito X = {x1, x2, . . . , xk} em R, o conjunto
de seus pontos de acumulac¸a˜o e´ vazio, pois . . . Justifique!
(d) O conjunto infinito N na˜o tem pontos de acumulac¸a˜o, pois . . . Justifi-
que!
(e) O conjunto X = {1/n : n ∈ N} tem um u´nico ponto de acumulac¸a˜o
que e´ o 0. De fato, pela Propriedade Arquimediana (ver NA 02), para
todo nu´mero real δ > 0, existe n′ ∈ N tal que −δ < 0 < 1/n′ < δ.
Por outro lado, fixado x = 1/n ∈ X qualquer, a vizinhanc¸a de centro
em x e raio |1/n− 1/(n+ 1)| na˜o possui nenhum ponto de X ale´m do
pro´prio x.
(f) Se X := Q enta˜o todo nu´mero real e´ ponto de acumulac¸a˜o de X por
causa da densidade de Q em R (ver Notas de Aula 02). De fato, fixados
x0 ∈ X e um real δ > 0, como x0 − δ e x0 sa˜o nu´meros reais, existe
r ∈ Q tal que x0 − δ < r < x0 < x0 + δ. Ou seja, cada vizinhanc¸a de
x0 ∈ X de raio δ conte´m algum r ∈ X com r 6= x0.
(g) Se X := [0, 1] ∩ Q enta˜o todo ponto do intervalo [0, 1] e´ ponto de acu-
mulac¸a˜o de X (justifique).
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Limite de Func¸a˜o em um Ponto
Definic¸a˜o 7.2 Sejam X ⊂ R, x0 um ponto de acumulac¸a˜o de X e f : X →
R uma func¸a˜o. Um nu´mero real L e´ o limite de f em x0
quando
dado qualquer nu´mero real ǫ > 0 existe um nu´mero real δ > 0 tal que, para
todo x ∈ X, se 0 < |x− x0| < δ enta˜o |f(x)− L| < ǫ.
Notac¸o˜es: L = lim
x→x0
f(x) ou f(x)→ L quando x→ x0.
Com s´ımbolos, mas ressaltando-se a implicac¸a˜o embutida no enunciado,
reescreve-se a Definic¸a˜o 7.2:
L = lim
x→x0
f(x)
⇔
∀ǫ > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ X, se 0 < |x− x0| < δ enta˜o |f(x)− L| < ǫ .
Observac¸a˜o 7.1 Observam-se os seguintes fatos importantes:
(a) Na Definic¸a˜o 7.2 na˜o importa se f esta´ ou na˜o definida em x0.
(b) Em geral, o δ depende de ǫ e algumas vezes, para enfatizar, isto escreve-
se δ(ǫ) ou δ = δ(ǫ).
(c) Diz-se que a func¸a˜o f possui limite no ponto x0 quando existe um
nu´mero real L tal que L = lim
x→x0
f(x). Diz-se que na˜o existe limite de f
em x0 quando na˜o existe nu´mero real L que seja o limite de f em x0.
Relembrando propriedades de mo´dulo:
• |x− x0| < δ ⇔ −δ < x− x0 < δ ⇔ x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) = Vδ(x0) ;
• 0 < |x−x0| < δ ⇔ 0 < |x−x0| e |x−x0| < δ ⇔ x 6= x0 e x ∈ Vδ(x0).
Portanto, a desigualdade 0 < |x−x0| < δ significa que x 6= x0 e x
pertence a` δ-vizinhanc¸a Vδ(x0) de x0;
• A desigualdade |f(x)−L| < ǫ significa que f(x) pertence a` ǫ-vizinhanc¸a
Vǫ(L) de L.
A partir dos fatos acima pode-se reescrever a Definic¸a˜o 7.2 usando-se
a noc¸a˜o de vizinhanc¸a, o que e´ feito no resultado a seguir, cujos detalhes
da prova sa˜o deixados como exerc´ıcio. A Figura 7.1 traz a interpretac¸a˜o
geome´trica da definic¸a˜o de limite usando a noc¸a˜o de vizinhanc¸a.
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x0
L
y
x
f(x0)
dada Vε(L)
existe V(x0)
y = f(x)
Figura 7.1: O limite de f em x0 e´ L. Observe que aqui L 6= f(x0).
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Proposic¸a˜o 7.1 Seja f : X → R e seja x0 um ponto de acumulac¸a˜o de X.
Enta˜o, lim
x→x0
f(x) = L se, e somente se, dada qualquer ǫ-vizinhanc¸a Vǫ(L) de
L existe uma δ-vizinhanc¸a Vδ(x0) de x0 tal que, se x 6= x0 e´ qualquer ponto
de Vδ(x0) ∩X enta˜o f(x) pertence a` vizinhanc¸a Vǫ(L).
Na Definic¸a˜o 7.2 e na Observac¸a˜o 7.1, L foi referido como o limite de
f em x0, pois o limite quando existe e´ u´nico.
Proposic¸a˜o 7.2 Sejam f : X → R uma func¸a˜o e x0 um ponto de acu-
mulac¸a˜o de X. Se f possui limite em x0 enta˜o este limite e´ u´nico.
Prova: Suponha que L1 e L2 sa˜o limites de f no ponto de acumulac¸a˜o x0
de X . Uma forma de concluir que L1 = L2 e´ usar o Exemplo 1.3, das NA
01. Para isso, dado ǫ > 0, como ǫ/2 > 0, pela Definic¸a˜o 7.1 para L1 e L2,
existem δ1 = δ1(ǫ) e δ2 = δ2(ǫ) tais que
se x ∈ X e 0 < |x− x0| < δ1 enta˜o |f(x)− L1| < ǫ
2
e (⋆)
se x ∈ X e 0 < |x− x0| < δ2 enta˜o |f(x)− L2| < ǫ
2
. (⋆⋆)
Para δ := min {δ1, δ2} valem (⋆) e (⋆⋆). Da´ı, se x ∈ X e 0 < |x − x0| < δ
enta˜o pela desigualdade triangular, tem-se
0 ≤ |L1−L2| = |L1−f(x)+f(x)−L2| ≤ |f(x)−L1|+|f(x)−L2| < ǫ
2
+
ǫ
2
= ǫ.
Portanto, para ǫ > 0 qualquer, tem-se que 0 ≤ |L1 − L2| < ǫ. Logo, pelo
Exemplo 1.13, L1 = L2.
O Prelu´dio a seguir ilustra como trabalhar com a definic¸a˜o de limite de
uma func¸a˜o num ponto.
♦ Prelu´dio 7.1 Seja f : X ⊂ R → R uma func¸a˜o e seja x0 um ponto de
acumulac¸a˜o de X . Por definic¸a˜o,
L = lim
x→x0
f(x)
quando
Para todo real ǫ > 0, existe um real δ > 0, tal que,
para todo x ∈ X, se 0 < |x− x0| < δ enta˜o |f(x)− L| < ǫ .
(⋆)
Como quem orienta a demonstrac¸a˜o, neste caso, e´ a estrutura do enunciado que
se deve provar, a demonstrac¸a˜o de que L = lim
x→x0
f(x) e´guiada pelas palavras
que esta˜o destacadas em azul acima. Isto significa que as seguintes passagens
devem aparecer necessariamente na demonstrac¸a˜o.
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Seja ǫ > 0 onde ǫ ∈ R.
Tome-se δ > 0 tal que . . . (Entra aqui, o nu´mero real δ, a ser encontrado.
Este δ dependera´ do ǫ fixado em praticamente todos os casos.
Para encontrar δ faz-se um rascunho.)
Seja x ∈ X tal que 0 < |x− x0| < δ.
Enta˜o |f(x)− L|. . .
...
desenvolve-se esta u´ltima expressa˜o, com as justificativas necessa´rias
...
Portanto |f(x)− L| < . . . < ǫ.
Assim, se 0 < |x− x0| < δ enta˜o |f(x)− L| < ǫ .
Conclusa˜o: Para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom f ,
se 0 < |x− x0| < δ enta˜o |f(x)− L| < ǫ.
Por definic¸a˜o, isto signigica que L = lim
x→x0
f(x).
Como no caso das definic¸o˜es de limite de sequeˆncia e de supremo e ı´nfimo, e´
necessa´rio fazer um “rascunho”, ou seja, um racioc´ınio de “tra´s para a frente”para
achar δ. Neste rascunho, reescreve-se de forma apropriada a expressa˜o |f(x)−L|
para se obter alguma relac¸a˜o com a hipo´tese |x−x0|: mas cuidado, na demons-
trac¸a˜o propriamente dita, nunca se desenvolve a tese: o que se faz e´ sempre
desenvolver a hipo´tese para se obter a tese. Estude o pro´ximo exemplo.
Exemplo 7.2 Seja f : R → R definida por f(x) = (5x− 3)/4. Mostre por
meio da definic¸a˜o que lim
x→1
5x− 3
4
=
1
2
.
Note que aqui Dom f = R e que, como x0 = 1 e´ um ponto de acu-
mulac¸a˜o de Dom f , pode-se estudar o limite no ponto x0 = 1. Com as
notac¸o˜es da Definic¸a˜o 7.2, tem-se que L = 1/2 e x0 = 1.
Tendo em mente a estrutura apresentada no Prelu´dio 7.1, o primeiro
passo e´ fazer um rascunho para determinar o nu´mero real δ > 0. Lembre-se
que este rascunho na˜o e´ a demonstrac¸a˜o e na˜o deve aparecer nela!!
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1a etapa: Rascunho- δ =? tal que se x ∈ R e 0 < |x − 1| < δ enta˜o∣∣∣∣5x− 34 −
1
2
∣∣∣∣ < ǫ. (1)
∣∣∣∣5x− 34 −
1
2
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣5x− 3− 24
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣5(x− 1)4
∣∣∣∣ = 5|x− 1|4 .
e tem-se que
5|x− 1|
4
< ǫ ⇔ |x− 1| < 4ǫ
5
.
Assim, o δ > 0 desejado deve ser δ = 4ǫ/5. Fim do rascunho!
Observac¸a˜o important´ıssima: Deve ficar bem entendido que a Definic¸a˜o
7.2 diz que o nu´mero real δ depende de ǫ e, a`s vezes, do ponto x0, ja´ que
ambos sa˜o fixados previamente: (para cada ǫ > 0 existe δ > 0, tal que para
todo x ...)- vide (⋆). Em hipo´tese nenhuma, o δ encontrado pode depender
de x!!
2a etapa: Demonstrac¸a˜o- Agora vem a demonstrac¸a˜o propriamente dita.
Esta e´ a parte que sera´ apresentada como a resoluc¸a˜o. Observe como deve
ser completada a estrutura da prova esboc¸ada acima e como os ca´lculos feitos
no rascunho aparecem aqui:
Seja ǫ > 0 onde ǫ ∈ R.
Toma-se δ > 0 tal que
δ =
4
5
ǫ. (⋆⋆)
Seja x ∈ Dom f = R tal que 0 < |x− 1| < δ. Enta˜o
∣∣∣∣5x− 34 −
1
2
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣5x− 3− 24
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣5(x− 1)4
∣∣∣∣ = 5|x− 1|4 <
5
4
δ
por (⋆⋆)
=
5
4
· 4
5
ǫ = ǫ.
Assim, se 0 < |x− 1| < δ enta˜o
∣∣∣∣5x− 34 −
1
2
∣∣∣∣ < ǫ.
Conclusa˜o: Para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom f se
0 < |x− 1| < δ enta˜o ∣∣5x−3
4
− 1
2
∣∣ < ǫ.
Portanto, pela Definic¸a˜o 7.2, pode-se afirmar que lim
x→1
5x− 3
4
=
1
2
.
Exemplo 7.3 Considere f : R+ → R definida por f(x) = √x. Mostrar,
pela definic¸a˜o de limite, que 2 = lim
x→4
√
x.
1A ideia e´ desenvolver
∣∣∣5x− 3
4
− 1
2
∣∣∣, procurando nu´meros maiores que esta expressa˜o
e que dependam de |x − 1| (que e´ a hipo´tese aqui) e de constantes reais, para que seja
poss´ıvel enta˜o “comparar” este resultado com ǫ.
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Notar que aqui Dom f = R+ e, como x0 = 4 e´ um ponto de acumulac¸a˜o
do Dom f , pode-se falar do limite no ponto x0 = 4. Com as notac¸o˜es da
Definic¸a˜o 7.2, note que aqui L = 2 e x0 = 4.
Novamente, seguindo a estrutura apresentada no Prelu´dio 7.1, o pri-
meiro passo e´ fazer um rascunho para determinar o nu´mero real δ > 0, lem-
brando sempre que este rascunho na˜o e´ a demonstrac¸a˜o e na˜o deve aparecer
nela.
1a etapa: Rascunho- δ =? tal que se x ∈ R+ e 0 < |x− 4| < δ enta˜o
|√x− 2| < ǫ. (2)
|√x− 2| =
∣∣∣∣(√x− 2).
√
x+ 2√
x+ 2
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ x− 4√x+ 2
∣∣∣∣ =
=
|x− 4|
|√x+ 2|
√
x + 2 ≥ 0
=
|x− 4|√
x+ 2
√
x + 2 ≥ 2≤ |x− 4|.1
2
.
Da´ı |x− 4|
2
< ǫ ⇔ |x− 4| < 2ǫ
Assim, o δ > 0 desejado pode ser δ = 2ǫ. Fim do rascunho.
2a etapa: Demonstrac¸a˜o- A demonstrac¸a˜o propriamente dita. Esta e´
a parte que sera´ apresentada como a resoluc¸a˜o. Observe como deve ser
completada a estrutura da prova esboc¸ada acima e como os ca´lculos feitos
no rascunho aparecem aqui:
Seja ǫ > 0 onde ǫ ∈ R.
Toma-se δ > 0 tal que δ = 2ǫ.
Seja x ∈ Dom f = R+ tal que 0 < |x− 4| < δ. Enta˜o
|√x− 2| =
∣∣∣∣(√x− 2)
√
x+ 2√
x+ 2
∣∣∣∣ = |x− 4||√x+ 2|
√
x + 2 ≥ 0
=
|x− 4|√
x+ 2
√
x + 2 ≥ 2≤ |x− 4|
2
<
δ
2
=
2ǫ
2
= ǫ .
Assim, se 0 < |x− 4| < δ enta˜o |√x− 2| < ǫ.
Conclusa˜o: Para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom f se
0 < |x− 4| < δ enta˜o |√x− 2| < ǫ.
Nestas condic¸o˜es, pela Definic¸a˜o 7.2 tem-se que 2 = lim
x→4
√
x.
2Como antes, a ideia e´ desenvolver |√x− 2|, procurando nu´meros maiores que esta
expressa˜o e que dependam de |x − 4| (que e´ a hipo´tese aqui) e de constantes reais, para
que seja poss´ıvel enta˜o “comparar” este resultado com ǫ.
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Exemplo 7.4 Os exemplos a seguir sa˜o bem simples, teˆm demonstrac¸a˜o
quase direta. Esforce-se para reconhecer neles a estrutura de demonstrac¸a˜o
apresentada no Prelu´dio 7.1.
(a) Se f : R → R e´ a func¸a˜o constante f(x) = c para todo x ∈ R, onde
c ∈ R, enta˜o lim
x→x0
f(x) = c, pois dado qualquer ǫ > 0 existe δ > 0,
por exemplo δ := 1 tal que, se 0 < |x − x0| < 1 enta˜o |f(x) − c| =
|c − c| = 0 < ǫ. Como ǫ > 0 e´ arbitra´rio, conclui-se da Definic¸a˜o 7.2
que lim
x→x0
f(x) = c.
(b) lim
x→x0
x = x0. Aqui f e´ a func¸a˜o dada por f(x) = x, que e´ definida em
todo R. Dado enta˜o ǫ > 0 qualquer, existe δ > 0, por exemplo δ := ǫ
tal que, se 0 < |x− x0| < δ = ǫ enta˜o |f(x)− x0| = |x− x0| < ǫ. Logo,
pela Definic¸a˜o 7.2 segue que lim
x→x0
f(x) = x0.
Exemplo 7.5 Estude este exemplo com muita atenc¸a˜o.
Seja f : R→ R definida por f(x) = x2. Mostrar, por meio da definic¸a˜o,
que lim
x→3
x2 = 9.
Aqui Dom f = R e x0 = 3 e´ um ponto de acumulac¸a˜o do Dom f . Pode-
se enta˜o falar do limite de f no ponto 3. Portanto, lim
x→3
x2 = 9 significa, pela
Definic¸a˜o 7.2 que:
Para cada ǫ > 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom f = R,
se 0 < |x− 3| < δ enta˜o |x2 − 9| < ǫ.
1a etapa: Rascunho- Procura-se δ =? tal que se x ∈ R e 0 < |x − 3| < δ
enta˜o |x2 − 9| < ǫ. Ora,
|x2 − 9| = |(x− 3)(x+ 3)| = |x− 3||x+ 3|
Note que a expressa˜o |x−3| apareceu no desenvolvimento, como era de se esperar.
Mas |x−3| esta´ multiplicado pelo termo |x+3| que depende de x, o qual na˜o pode
ser isolado, pois δ pode depender de ǫ mas NUNCA de x.
Atenc¸a˜o! Interessam os valores de x pro´ximos de 3. Ou seja, |x − 3| < δ
onde δ > 0 deve ser suficientemente pequeno para que |x2 − 9| < ǫ. Logo
pode-se restringir esta proximidade somente a valores de x tais que |x − 3| < 1,
por exemplo. Ou seja, impo˜e-se que δ seja menor do que 1, ou algum outro nu´mero
pequeno. Este procedimento e´ usado para se conseguir uma constante maior do
que |x + 3|. Estude atentamente o racioc´ınio a seguir, principalmente o trabalho
com o mo´dulo:
|x− 3| < 1⇒ −1 < x− 3 < 1⇒ 2 < x < 4⇒
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⇒ 5 < x+ 3 < 7 como x+ 3 > 5> 0⇒ |x+ 3| = x+ 3 < 7.
Isto significa que, se |x− 3| < 1 enta˜o |x+ 3| < 7. Tem-se, enta˜o
|x2 − 9| = |x− 3||x+ 3| se |x− 3| < 1< |x− 3|.7
E da´ı, 7|x−3| < ǫ⇔ |x−3| < ǫ/7. Deve-se portanto tomar δ := min{1, ǫ/7}.
Assim, se |x− 3| < δ enta˜o valem as duas condic¸o˜es: |x− 3| < 1 e |x− 3| < ǫ, de
que se precisa para fazer as contas. (3) Fim do rascunho!
2a etapa: Demonstrac¸a˜o- Seja ǫ > 0 onde ǫ ∈ R.
Tome-se δ = min{1, ǫ/7}. Enta˜o δ > 0.
Seja x ∈ Dom f = R tal que 0 < |x − 3| < δ = min{1, ǫ/7}. Logo vale
δ ≤ 1 e δ ≤ ǫ/7 (atenc¸a˜o!).
Enta˜o |x2 − 9| = |(x− 3)(x+ 3)| = |x− 3||x+ 3|.
Sendo |x− 3| < δ ≤ 1 tem-se que:
|x− 3| < 1 ⇒ −1 < x− 3 < 1⇒ 2 < x < 4
⇒ 5 < x+ 3 < 7 x + 3 > 5 > 0⇒ |x+ 3| = x+ 3 < 7.
Portanto,
|x2 − 9| = |x− 3||x+ 3| < |x− 3|.7 |x− 3| < δ ≤ ǫ/7< ǫ
7
.7 = ǫ .
Assim, se 0 < |x− 3| < δ = min{1, ǫ/7} enta˜o |x2 − 9| < ǫ .
Conclusa˜o: para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom f = R
se 0 < |x− 3| < δ enta˜o |x2 − 9| < ǫ. Logo, pela Definic¸a˜o 7.2, lim
x→3
x2 = 9.
Nos pro´ximos exemplos sa˜o provados resultados gerais sobre limite de
func¸a˜o num ponto. Como antes, em cada um deles voceˆ deve se esforc¸ar para
reconhecer a estrutura da demonstrac¸a˜o apresentada no Prelu´dio 7.1. Sa˜o
casos em que uma condic¸a˜o adicional sobre |x−x0| e´ necessa´ria para se poder
fazer as majorac¸o˜es. Os rascunhos na˜o aparecem, mas as demonstrac¸o˜es sa˜o
bem detalhadas para facilitar o entendimento de todas as passagens. Esforce-
se para entender os exemplos completamente e estude-os com atenc¸a˜o, para
ser capaz de refazeˆ-los sozinho - voceˆ devera´ ser capaz de fazer os ”rascunhos”
por si. O primeiro item e´ o caso geral do Exemplo 7.5. Repare que a conta
esta´ efetuada de uma forma um pouco diferente daquela usada la´. Isto foi
3Voceˆ na˜o tera´ que dar todas estas explicac¸o˜es, mas tera´ que entendeˆ-las e indicar o
seu racioc´ınio claramente, pensando em quem vai leˆ-lo.
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feito de modo a superar o problema que vem do fato de trabalharmos num
caso geral, sem saber qual o sinal de x0. E´ uma outra te´cnica a ser aprendida,
que so´ usa propriedades de mo´dulo.
Exemplo 7.6 Mostrar os seguintes limites por meio da Definic¸a˜o 7.2.
(a) lim
x→x0
x2 = x20.
Nesse caso f(x) = x2 e Dom f = R. Seja ǫ > 0 qualquer.
Tome-se δ := min{1, ǫ/(2|x0|+ 1)}. Enta˜o δ > 0.
Seja x ∈ R = Dom f tal que 0 < |x − x0| < δ. Logo |x − x0| < 1 e
|x− x0| < ǫ/(2|x0|+ 1) . Tem-se que
|x2 − x20| = |(x+ x0)(x− x0)| = |x+ x0||x− x0| ≤ (|x|+ |x0|)|x− x0|.
Como |x − x0| < δ ≤ 1 e |x| − |x0| < |x − x0| enta˜o |x| < |x0| + 1.
Voltando e usando este fato, tem-se
|x2 − x20| ≤ (|x|+ |x0|)|x− x0| < (2|x0|+ 1)|x− x0| < (2|x0|+ 1) · δ ≤
≤ (2|x0|+ 1) · ǫ
2|x0|+ 1 = ǫ.
Assim, tomando δ := min{1, ǫ/(2|x0|+ 1)} tem-se que |x − x0| < δ
implica |x2 − x20| < ǫ. Mostrou-se assim que para todo ǫ > 0, existe
δ > 0 tal que, para todo x ∈ R, se 0 < |x− x0| < δ enta˜o |x2− x20| < ǫ.
Logo, pela Definic¸a˜o 7.2, lim
x→x0
x2 = x20.
(b) lim
x→x0
1
x
=
1
x0
para x0 6= 0.
Aqui f(x) =
1
x
e Dom f = R \ {0}. Seja ǫ > 0 nu´mero real.
Tome-se δ := min {|x0|/2, ǫ|x0|2/2} . Enta˜o δ > 0 ja´ que x0 6= 0.
Seja x ∈ Dom f tal que 0 < |x− x0| < δ. Enta˜o
|x− x0| < |x0|
2
e |x− x0| < ǫ|x0|
2
2
.
Tem-se por propriedade de mo´dulo que∣∣∣∣1x −
1
x0
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣x0 − xxx0
∣∣∣∣ = 1(|x||x0|) |x− x0| . (⋆)
Como |x − x0| < |x0|
2
enta˜o |x0| − |x| ≤ |x0 − x| < |x0|
2
, o que im-
plica |x| > |x0|
2
. Como o menor termo e´ positivo, pode-se inverter a
11
CEDERJ
Elementos
de
Ana´lise
Real
Limite de Func¸a˜o em um Ponto
desigualdade para obter a majorac¸a˜o
1
|x| <
2
|x0| . Usando isto em (⋆),
obte´m-se∣∣∣∣1x −
1
x0
∣∣∣∣ = 1(|x||x0|) |x−x0| <
2
|x0||x0| |x−x0| <
2
|x0|2 δ ≤
2
|x0|2 ·
ǫ|x0|2
2
= ǫ.
Portanto, se δ := min {|x0|/2, (ǫ|x0|2/2)} e 0 < |x− x0| < δ
enta˜o
∣∣∣1
x
− 1
x0
∣∣∣ < ǫ. Logo, pela Definic¸a˜o 7.2, lim
x→ x0
1
x
=
1
x0
.
Definic¸a˜o 7.3 Sejam X ⊂ R, f : X → R e x0 um ponto de acumulac¸a˜o
de X. Diz-se que f e´ limitada numa vizinhanc¸a de x0 se existe uma δ-
vizinhanc¸a Vδ(x0) de x0 e uma constante M > 0 tal que |f(x)| ≤ M para
todo x ∈ X ∩ Vδ(x0).
Proposic¸a˜o 7.3 Se X ⊂ R, x0 e´ um ponto de acumulac¸a˜o de X e f : X →
R possui limite em x0 ∈ R enta˜o f e´ limitada em alguma vizinhanc¸a de x0.
Prova: Por hipo´tese existe L ∈ R tal que L := lim
x→x0
f(x). Fazendo ε = 1,
pela Definic¸a˜o 7.2, para este valor de ǫ em particular, existe δ > 0 tal que,
se 0 < |x− x0| < δ enta˜o |f(x)− L| < 1. Portanto,
|f(x)| = |(f(x)− L) + L| ≤ |f(x)− L| + |L| < 1 + |L|.
Logo, se x ∈ X ∩ Vδ(x0) e x 6= x0 enta˜o |f(x)| ≤ |L| + 1. Agora, seja
M := |L|+ 1, caso x0 /∈ X , ou enta˜o seja M := max{|f(x0)|, |L| + 1}, no
caso x0 ∈ X . Segue que, se x ∈ X ∩ Vδ(x0) enta˜o |f(x)| ≤ M . Logo, f e´
limitada numa vizinhanc¸a de x0.
O Crite´rio Sequencial para Limites
A definic¸a˜o de ponto de acumulac¸a˜o de um conjunto pode ser formulada
usando-se sequeˆncias, como a seguir:
Proposic¸a˜o 7.4 Um nu´mero real x0 e´ um ponto de acumulac¸a˜o de um sub-
conjunto X de R se, e somente se, existe uma sequeˆncia (xn)n∈N em X tal
que xn 6= x0 para todo n ∈ N e vale lim
n→∞
xn = x0.
Prova: Se x0 e´ um ponto de acumulac¸a˜o de X enta˜o, pela Definic¸a˜o 7.1, para
qualquer n ∈ N, a (1/n)-vizinhanc¸a V1/n(x0) conte´m ao menos um ponto xn
de X distinto de x0. Enta˜o para cada n ∈ N tem-se que xn ∈ X , xn 6= x0
CEDERJ 12
Limite de Func¸a˜o em um Ponto
NA 7
e |xn − x0| < 1/n. Usando isto, mostra-se que lim xn = x0, o que fica como
exerc´ıcio.
Reciprocamente, se existe uma sequeˆncia (xn)n∈N em X \ {x0} com
lim
n→∞
xn = x0 enta˜o, para qualquer ǫ > 0, existe n0 ∈ N tal que, se n > n0
enta˜o xn ∈ Vǫ(x0). Portanto, cada ǫ-vizinhanc¸a de x0 conte´m os pontos xn
com n > n0, que pertencem a X e sa˜o distintos de x0.
Entenda que a Proposic¸a˜o 7.4 permite concluir que x0 e´ um ponto
de acumulac¸a˜o de um subconjunto X de R se, e somente se, todo intervalo
aberto da forma (x0 − α, x0 + α) conte´m infinitos pontos de X .
Um crite´rio importante para estabelecer a existeˆncia, e principalmente
a na˜o-existeˆncia ou na˜o do limite de uma func¸a˜o real num ponto e´ o chamado
crite´rio sequencial para limite.
Teorema 7.1 (Crite´rio Sequencial) Seja f : X → R e seja x0 um ponto
de acumulac¸a˜o de X. Enta˜o as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes.
(i) lim
x→x0
f(x) = L.
(ii) Para toda sequeˆncia (xn)n∈N em X com xn 6= x0 para todo n ∈ N, se
(xn)n converge para x0 enta˜o a sequeˆncia (f(xn))n∈N converge para L.
Prova: (i)⇒(ii) Por hipo´tese, lim
x→x0
f(x) = L. Seja (xn)n∈N uma sequeˆncia
em X tal que xn 6= x0 para todo n ∈ N e suponha que lim
n→∞
xn = x0 .
Para provar que lim
n→∞
f(xn) = L, seja ǫ > 0 um nu´mero real arbitra´rio.
Pela primeira das hipo´teses e pela Definic¸a˜o 7.2, para este ǫ > 0, existe um
nu´mero real δ > 0 tal que,
para todo x, se x ∈ X satisfaz 0 < |x− x0| < δ enta˜o f(x) satisfaz |f(x)− L| < ǫ. (1)
Agora pode-se aplicar a Definic¸a˜o 4.2 de sequeˆncia convergente para este δ,
obtendo-se um nu´mero natural n0 tal que,
para todo natural n ∈ N, se n > n0 enta˜o |xn − x0| < δ. (2)
Seja agora n ∈ N tal que n > n0. Enta˜o, por (1), tem-se que |xn − x0| < δ.
Da´ı e por (2), tem-se |f(xn) − L| < ǫ. Portanto, mostrou-se que para todo
ǫ > 0, existe n0 ∈ N tal que para todo n ∈ N, se n > n0 enta˜o |f(xn)−L| < ǫ.
Logo, pela Definic¸a˜o 4.2, a sequeˆncia (f(xn))n∈N converge para L.
(ii)⇒(i). A ideia e´ usar o racioc´ınio por absurdo, supondo que (ii) e´ verdade
e que (i) (a conclusa˜o) e´ falsa. Ora, se (i) na˜o e´ verdade, enta˜o existe um
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CEDERJ
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de
Ana´lise
Real
Limitede Func¸a˜o em um Ponto
nu´mero real ǫ0 > 0 tal que, para qualquer que seja o nu´mero real δ > 0,
existe um nu´mero xδ ∈ X satisfazendo 0 < |xδ− x0| < δ e |f(xδ)−L| ≥ ǫ0.
Portanto, para todo n ∈ N, como δn := 1/n > 0 existe xn ∈ X satisfazendo
0 < |xn − x0| < 1
n
e |f(xn)− L| ≥ ǫ0 . (3)
Como vale 0 < |xn − x0| < 1n , para todo n ∈ N, tem-se que a sequeˆncia
(xn)n∈N converge para x0 com xn 6= x0 para todo n ∈ N (recorde-se do
Teorema 4.2(d)). Pore´m a sequeˆncia (f(xn))n∈N na˜o converge para L, pois
|f(xn) − L| ≥ e0, para todo n ∈ N. Mas isto contraria a hipo´tese, o que e´
absurdo. Portanto, vale (i).
Seguem-se duas aplicac¸o˜es do Teorema 7.1 para mostrar a existeˆncia
de limites ja´ estudados:
Exemplo 7.7 (a) Considere a func¸a˜o f do Exemplo 7.6 (a). Tem-se que:
para toda sequeˆncia (xn)n∈N em R \ {x0}, se xn → x0 quando n→ ∞
enta˜o, pelo Teorema 4.4(3), x2n → x20 quando n→∞. Conclui-se enta˜o
pelo Teorema 7.1 para f(x) = x2 que lim
x→x0
x2 = x20 .
(b) Da mesma forma, dado x0 6= 0, como para toda sequeˆncia (xn)n∈N, se
xn 6= 0 para todo n ∈ N enta˜o xn → x0 implica 1/xn → 1/x0 (Teorema
4.4(4)), enta˜o, pelo Teorema 7.1 tem-se que lim
x→x0
1
x
=
1
x0
, confirmando
o que foi provado no Exemplo 7.6 (b) via Definic¸a˜o 7.2.
A partir do Teorema 7.1 e´ poss´ıvel estabelecer crite´rios para garantir
que um nu´mero real L na˜o e´ o limite de uma certa func¸a˜o f em um ponto
x0 de acumulac¸a˜o de seu domı´nio e tambe´m, para garantir que uma func¸a˜o
na˜o tem limite num ponto de seu domı´nio. Estes resultados sera˜o chamados
“crite´rios sequenciais de divergeˆncia”.
Teorema 7.2 (Crite´rios sequenciais de divergeˆncia para func¸o˜es) Se-
jam X ⊂ R, f : X → R e x0 ∈ R um ponto de acumulac¸a˜o de X.
(a) se existe uma sequeˆncia (xn)n∈N em X com xn 6= x0 para todo n ∈ N tal
que (xn)n∈N converge para x0 mas a sequeˆncia de imagens (f(xn))n∈N
na˜o converge para L ∈ R enta˜o L na˜o e´ o limite de f quando x tende
a x0
(b) Se existe uma sequeˆncia (xn)n∈N em X com xn 6= x0 para todo n ∈ N,
tal que (xn)n∈N converge para x0 mas a sequeˆncia de imagens (f(xn))n∈N
na˜o converge em R enta˜o a func¸a˜o f na˜o possui limite em x0.
CEDERJ 14
Limite de Func¸a˜o em um Ponto
NA 7
(c) Se existem duas sequeˆncias (xn)n∈N e (yn)n∈N em X com xn 6= x0 e
yn 6= x0 para cada n ∈ N e tais que (xn)n∈N e (yn)n∈N convergem
ambas para x0 mas as respectivas sequeˆncias de imagens (f(xn))n∈N e
(f(yn))n∈N convergem para valores diferentes em R enta˜o a func¸a˜o f
na˜o possui limite em x0.
Note a diferenc¸a na aplicac¸a˜o do crite´rio de existeˆncia, como no Exem-
plo 7.7 e dos crite´rios de divergeˆncia e na˜o-existeˆncia do limite, por outro.
Exemplo 7.8 (a) O lim
x→0
1
x
na˜o existe. De fato, escolhe-se por exemplo, a
sequeˆncia (xn)n∈N definida por xn := 1/n para n ∈ N, a qual satisfaz
xn 6= 0 para todo n ∈ N e lim
n→∞
xn = 0. Agora, como f(x) = 1/x para
x ∈ X = R\{0} enta˜o para cada n ∈ N, f(xn) = n. Como a sequeˆncia
(f(xn)) = (n) na˜o converge em R enta˜o pelo Teorema 7.2 (b) conclui-se
que f(x) = 1/x na˜o possui limite em x0 = 0.
(b) A func¸a˜o sinal de x definida por: sgn : R→ R tal que
sgn(x) =


−1 se x < 0,
0 se x = 0,
1 se x > 0,
na˜o tem limite em x0 = 0.
De fato, seja (xn)n∈N a sequeˆncia definida por xn := (−1)n/n para
n ∈ N. Enta˜o lim xn = 0 e xn 6= 0 para todo n ∈ N. Como
sgn(xn) = (−1)n para n ∈ N,
segue que (sgn(xn))n∈N na˜o converge. Portanto, do Teorema 7.2 (b),
segue que na˜o existe lim
x→0
sgn(x).
Um outro racioc´ınio para chegar a` mesma conclusa˜o e´ o seguinte: sejam
as sequeˆncias xn := 1/n e yn := (−1)n/n para n ∈ N. Ambas conver-
gem para 0 e para cada n ∈ N, tem-se xn 6= 0 e yn 6= 0. Mas as respec-
tivas sequeˆncias de imagens sa˜o tais que sgn(xn) = 1 e sgn(yn) = −1,
para todo n ∈ N, ou seja, convergem para 1 e -1. Portanto, do Teo-
rema 7.2 (c), segue que na˜o existe lim
x→0
sgn(x).
O gra´fico da func¸a˜o sinal pode ser visto na Figura 7.2:
15
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Ana´lise
Real
Limite de Func¸a˜o em um Ponto
f(x) = sgn(x)
x2kx2k−1
-1
1
-10 -5 0 5 10
0
-0.5
0.5
Figura 7.2: A func¸a˜o sinal.
(c) Na˜o existe lim
x→0
sen(1/x). (veja Figura 7.3 abaixo). De fato, seja
(xn)n∈N a sequeˆncia definida por
xn =


1
nπ
se n ∈ N e´ ı´mpar,
1
(π/2)+nπ
se n ∈ N e´ par.
Seja f(x) = sen(1/x) para x ∈ X = R\{0}. Enta˜o tem-se que lim xn =
0 (por queˆ?) e xn 6= 0 para todo n ∈ N. Note que
f(x2k−1) = sen(2k − 1)π = 0 para todo k ∈ N,
f(x2k) = sen(π/2 + 2kπ) = 1 para todo k ∈ N.
Assim, (f(xn))n e´ a sequeˆncia (0, 1, 0, 1, . . .), a qual como se sabe na˜o
converge. Logo, pelo Teorema 7.2(b), na˜o existe lim
x→0
sen(1/x).
CEDERJ 16
Limite de Func¸a˜o em um Ponto
NA 7
oscilante
terrivelmente 
−1
−0.2
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
−1 −0.5 0 0.5 1
−0.6
−0.8
−0.4
sen(1/x)
Figura 7.3: A func¸a˜o f(x) = sen(1/x).
Operac¸o˜es com Limites de Func¸o˜es
Dadas duas func¸o˜es f, g : X ⊂ R→ R definem-se a partir delas novas
func¸o˜es, a saber:
f + g : X ⊂ R→ R tal que (f + g)(x) := f(x) + g(x) func¸a˜o soma de f e g,
f − g : X ⊂ R→ R tal que (f − g)(x) := f(x)− g(x) func¸a˜o diferenc¸a,
fg : X ⊂ R→ R tal que (fg)(x) := f(x)g(x) func¸a˜o produto,
f
g
: X ⊂ R→ R tal que
(
f
g
)
(x) := f(x)
g(x)
func¸a˜o quociente, se g(x) 6= 0, ∀x ∈ X,
cf : X ⊂ R→ R tal que (cf)(x) := cf(x) onde c ∈ R e´ fixo.
O principal resultado sobre operac¸o˜es com limites de func¸o˜es e´:
Teorema 7.3 Sejam X ⊂ R, f, g : X → R, c ∈ R e x0 ∈ R um ponto de
acumulac¸a˜o de X. Suponha que os limites lim
x→x0
f(x) e lim
x→x0
g(x) existem.
Enta˜o
(1) lim
x→x0
[(f + g)(x)] = lim
x→x0
f(x) + lim
x→x0
g(x),
(2) lim
x→x0
[(f − g)(x)] = lim
x→x0
f(x)− lim
x→x0
g(x),
(3) lim
x→x0
[(fg)(x)] = lim
x→x0
f(x) lim
x→x0
g(x),
17
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Ana´lise
Real
Limite de Func¸a˜o em um Ponto
(4) lim
x→x0
[(cf)(x)] = c lim
x→x0
f(x),
(5) lim
x→x0
[(f
g
)
(x)
]
=
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
desde que g(x) 6= 0 e lim
x→x0
g(x) 6= 0.
Prova: A demonstrac¸a˜o desse teorema pode ser feita por meio de argumen-
tos similares a`queles usados na prova do Teorema 4.4 das NA 4. De modo
alternativo, sera´ usado o Teorema 4.4 e o Teorema 7.1 (Crite´rio Sequencial)
como a seguir.
Seja (xn) uma sequeˆncia qualquer em X com xn 6= x0 para todo n ∈ N
e tal que xn → x0. Enta˜o pelo Teorema 7.1 os limites lim f(xn) e lim g(xn)
existem. Da´ı e do Teorema 4.4 obte´m-se que
lim[(f + g)(xn)] = lim[f(xn) + g(xn)] = lim f(xn) + lim g(xn),
lim[(f − g)(xn)] = lim[f(xn)− g(xn)] = lim f(xn)− lim g(xn),
lim[(fg)(xn)] = lim[f(xn)g(xn)] = lim f(xn) lim g(xn),
lim[c(f)(xn)] = lim[cf(xn)] = c lim f(xn),
lim
[(f
g
)
(xn)
]
= lim
[(f(xn)
g(xn)
)]
=
lim f(xn)
lim g(xN)
desde que
g(xn) 6= 0 e lim g(xn) 6= 0 para todo n ∈ N. O que conclui a
demonstrac¸a˜o.
Observac¸a˜o 7.2 Sejam X ⊂ R, f1, f2, . . . , fn : X → R e x0 ∈ R um
ponto de acumulac¸a˜o de X. Se
Lk := lim
x→x0
fk para k = 1, 2, . . . , n,
enta˜o segue do Teorema 7.3 e do Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica que
lim
x→x0
(f1 + f2 + · · ·+ fn) = L1 + L2 + · · ·+ Ln,
e
lim
x→x0
(f1f2 · · · fn) = L1L2 · · ·Ln.
Em particular, se L := lim
x→x0
f(x) e n ∈ N enta˜o
lim
x→x0
(f(x))n = Ln.
CEDERJ 18
Limite de Func¸a˜o em um Ponto
NA 7
Exemplo 7.9 (a) lim
x→x0
xk = (x0)
k para todo k ∈ N. De fato, como lim
x→x0
x =
x0 enta˜o, pela Observac¸a˜o 7.2, segue que lim
x→x0
xk = x0
k para todo k ∈ N
como afirmado.
(b) lim
x→1
(x2 + 3)(2x3 − 5) = −12. De fato, como limx→1(x2 + 3) = 4 e
limx→1(2x
3 − 5) = −3 (ouseja, os limites existem), do Teorema 7.3
segue que
lim
x→1
(x2 + 3)(2x3 − 5) =
(
lim
x→1
(x2 + 3)
)(
lim
x→1
(2x3 − 5)
)
=
= 4 · (−3) = −12.
(c) lim
x→2
(
2x3 − 2
x2 + 3
)
= 2. Realmente, como lim
x→2
(2x3−2) = 12 e lim(x2+3) =
7 6= 0 enta˜o pode-se aplicar o Teorema 7.3 para obter
lim
x→2
2x3 − 2
x2 + 3
=
lim
x→2
(2x3 − 2)
lim
x→2
(x2 + 3)
=
14
7
= 2.
(d) lim
x→2
(
x3 − 8
x2 − 5x+ 6
)
= −12. Observe que na˜o e´ poss´ıvel aplicar direta-
mente o Teorema 7.3 ja´ que
lim
x→2
(x2 − 5x+ 6) = lim
x→2
x2 − 5 lim
x→2
x+ 6 = 4− 5 · 2 + 6 = 0.
No entanto, e´ poss´ıvel reescrever o quociente acima na forma
x3 − 8
x2 − 5x+ 6 =
(x2 + 2x+ 4)(x− 2)
(x− 2)(x− 3) =
x2 + 2x+ 4
x− 3 .
Como vale limx→2(x
2+2x+4) = 12 e limx→2(x−3) = −1 6= 0, pode-se
aplicar o Teorem 7.3 para obter
lim
x→2
(
x3 − 8
x2 − 5x+ 6
)
= lim
x→2
x2 + 2x+ 4
x− 3 =
=
lim
x→2
(x2 + 2x+ 4)
lim
x→2
(x− 3) =
12
−1 = −12.
Desigualdades e Limites de Func¸o˜es
Os dois resultados a seguir sa˜o ana´logos, respectivamente, aos Teoremas
4.6 e 4.7 das NA 4.
19
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de
Ana´lise
Real
Limite de Func¸a˜o em um Ponto
Proposic¸a˜o 7.5 Sejam f : X ⊂ R→ R e x0 ∈ R um ponto de acumulac¸a˜o
de X tais que a ≤ f(x) ≤ b para todo x ∈ X com x 6= x0. Se lim
x→x0
f(x)
existe, enta˜o a ≤ lim
x→x0
f(x) ≤ b.
Prova: Por hipo´tese, existe L ∈ R tal que L := lim
x→x0
f(x). Da´ı e do Teo-
rema 7.1, se (xn)n e´ qualquer sequeˆncia em X tal que xn 6= x0 para todo
n ∈ N e xn → x0 quando n→∞ enta˜o a sequeˆncia (f(xn))n converge para
L. Da´ı e como, pela hipo´tese, a ≤ f(xn) ≤ b para todo n ∈ N, segue do
Teorema 4.6 que a ≤ L ≤ b.
Proposic¸a˜o 7.6 Sejam f, g, h : X ⊂ R → R e x0 ∈ R um ponto de acu-
mulac¸a˜o de X. Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ X com x 6= x0, e se
lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
h(x) =: L enta˜o lim
x→x0
g(x) = L.
A prova deste resultado e´ uma aplicac¸a˜o imediata do Teorema 7.1 combinado
com o Teorema 4.7. Fica como exerc´ıcio!
Proposic¸a˜o 7.7 Sejam f : X ⊂ R→ R e x0 ∈ R um ponto de acumulac¸a˜o
de X. Se lim
x→x0
f(x) > 0 (respectivamente, lim
x→x0
f(x) < 0) enta˜o existe uma
vizinhanc¸a Vδ(x0) de x0 tal que f(x) > 0 (respectivamente, f(x) < 0) para
todo x ∈ X ∩ Vδ(x0) com x 6= x0.
Prova: Seja L := lim
x→x0
f(x) e suponha que L > 0. Tomando ε = L/2 > 0
enta˜o, pela Definic¸a˜o 7.2, existe δ > 0 tal que se 0 < |x − x0| < δ e x ∈ X
enta˜o |f(x) − L| < L/2, o que equivale a L/2 < f(x) < 3L/2. Portanto,
f(x) > L/2 > 0 para todo x ∈ X ∩ Vδ(x0) com x 6= x0.
Argumentando-se de modo semelhante obte´m-se o caso em que L < 0.
Exemplo 7.10 Mostrar que:
(a) lim
x→0
x5/4
x3/2 + x1/2 + 1
= 0 para 0 < x ≤ 1. De fato, se 0 < x ≤ 1 enta˜o
1 < x3/2 + x1/2 + 1 ≤ 3 e x2 ≤ x5/4 ≤ x. Portanto, tem-se
1
3
x2 ≤ x
5/4
x3/2 + x1/2 + 1
≤ x.
Como lim
x→0
x2 = lim
x→0
x = 0 enta˜o a afirmac¸a˜o segue da Proposic¸a˜o 7.6.
(b) lim
x→0
(x sen(1/x)) = 0. De fato, se f(x) = x sen(1/x) para x 6= 0 enta˜o,
como −1 ≤ senu ≤ 1 para todo u ∈ R, enta˜o tem-se a desigualdade
CEDERJ 20
Limite de Func¸a˜o em um Ponto
NA 7
|f(x)| ≤ |x|. Ou seja, −|x| ≤ f(x) = x sen(1/x) ≤ |x| para todo x ∈ R
com x 6= 0. Como lim
x→0
|x| = 0 enta˜o a Proposic¸a˜o 7.6 assegura que
lim
x→0
f(x) = 0. Veja o gra´fico de f na Figura 7.4.
sufocadas
−0.1
−0.02
 0
 0.02
 0.04
 0.06
 0.08
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1
−0.06
−0.08
−0.04
xsen(1/x)
oscilac¸o˜es
Figura 7.4: A func¸a˜o f(x) = x sen(1/x).
Exerc´ıcios 7.1 1. Determine um δ > 0 tal que, se 0 < |x−x0| < δ enta˜o
|f(x)− L| < ε para x0, f, L e ε dados como segue:
(a) x0 = 1, f(x) = x
2, L = 1, ε = 1/2;
(b) x0 = 1, f(x) = x
2, L = 1, ε = 1/n para um n ∈ N dado;
(c) x0 = 2, f(x) = 1/x, L = 1/2, ε = 1/2;
(d) x0 = 2, f(x) = 1/x, L = 1/2, ε = 1/n para um n ∈ N dado;
(e) x0 = 4, f(x) =
√
x, L = 2, ε = 1/2;
(f) x0 = 4, f(x) =
√
x, L = 2, ε = 1/100.
2. Seja x0 um ponto de acumulac¸a˜o de X ⊂ R e f : X → R. Prove que
lim
x→x0
f(x) = L se, e somente se, lim
x→x0
|f(x)− L| = 0.
3. Seja f : R→ R e x0 ∈ R. Mostre que lim
x→x0
f(x) = L se, e somente se,
lim
x→0
f(x+ x0) = L.
21
CEDERJ
Elementos
de
Ana´lise
Real
Limite de Func¸a˜o em um Ponto
4. Mostre que lim
x→x0
x3 = x0
3 para qualquer x0 ∈ R.
5. Mostre que lim
x→x0
√
x =
√
x0 para qualquer x0 > 0.
6. Mostre que lim
x→0
x1/p = 0 (x > 0).
7. Sejam I um intervalo em R, f : I → R e x0 ∈ I. Suponha que existem
K > 0 e L ∈ R tais que |f(x)−L| ≤ K|x−x0| para todo x ∈ I. Mostre
que lim
x→x0
f(x) = L.
8. Use a Definic¸a˜o 7.2 e tambe´m o crite´rio sequencial para estabelecer os
seguintes limites:
(a) lim
x→2
1
1− x = −1;
(b) lim
x→1
x2 − 1
x3 − 1 =
2
3
;
(c) lim
x→2
x− 2
x2 − 3x+ 2 = 1.
9. Mostre que os seguintes limites na˜o existem:
(a) lim
x→0
1
x2
(x > 0);
(b) lim
x→0
1√
x
(x > 0);
(c) lim
x→0
sen(1/x2).
10. Aplique o Teorema 7.3 para determinar os seguintes limites:
(a) lim
x→1
(x2 + 2)(4x3 − 3) (x ∈ R);
(b) lim
x→2
x3 − 2
x2 − 1 (x > 1);
(c) lim
x→5
(
1
2x− 3 −
1
x− 4
)
(x > 4);
11. Sejam X ⊂ R, f : X → R e x0 ∈ R um ponto de acumulac¸a˜o de X.
(a) Se lim
x→x0
f(x) existe e se |f | e´ a func¸a˜o definida em X por
|f |(x) := |f(x)|, prove que lim
x→x0
|f |(x) = | limx→x0 f(x)|.
(b) Se f(x) ≥ 0 para todo x ∈ X, se lim
x→x0
f existe e se
√
f e´ a func¸a˜o
definida em X por
√
f(x) :=
√
f(x), prove que
lim
x→x0
√
f(x) =
√
lim
x→x0
f(x).
CEDERJ 22
Limite de Func¸a˜o em um Ponto
NA 7
12. Determine os seguintes limites e diga que teoremas sa˜o usados em cada
caso. (Voceˆ pode usar tambe´m o exerc´ıcio anterior.)
(a) lim
x→3
√
5x+ 1
2x+ 3
(x > 0);
(b) lim
x→3
x2 − 9
x2 − 5x+ 6 (2 < x < 3);
(c) lim
x→0
(x+ 2)2 − (x− 2)2
x
(x > 0);
13. Prove que lim
x→0
cos(1/x) na˜o existe mas que lim
x→0
x cos(1/x) = 0.
14. Sejam f, g : X ⊂ R → R e x0 ∈ R um ponto de acumulac¸a˜o de X.
Suponha que f e´ limitada numa vizinhanc¸a de x0 e que lim
x→x0
g(x) = 0.
Prove que lim
x→x0
(fg)(x) = 0.
15. Sejam f, g : X ⊂ R→ R e x0 ∈ R um ponto de acumulac¸a˜o de X.
(a) Mostre que se ambos lim
x→x0
f(x) e lim
x→x0
(f + g)(x) existem, enta˜o
lim
x→x0
g(x) existe.
(b) Se lim
x→x0
f(x) e lim
x→x0
(fg)(x) existem, segue que lim
x→x0
g(x) existe?
16. Determine se os seguintes limites existem em R.
(a) lim
x→0
sen(1/x2) (x 6= 0);
(b) lim
x→0
xsen(1/x2) (x 6= 0);
(c) lim
x→0
√
xsen(1/x2) (x > 0).
23
CEDERJ