Notas de Aula 08

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Extenso˜es do Conceito de Limite de Func¸a˜o. Func¸o˜es Mono´tonas.
NA 8
Notas de Aula 8 – Extenso˜es do Conceito de
Limite de Func¸a˜o. Func¸o˜es Mono´tonas.
Introduc¸a˜o
Nestas Notas de Aula - NA, estudam-se algumas extenso˜es do conceito
limite de uma func¸a˜o. A saber, limites a` esquerda e a` direita, limites infinitos
e no infinito. Ale´m disso, estudam-se as func¸o˜es mono´tonas e algumas de suas
propriedades relacionadas com a existeˆncia de limites.
Limites Laterais
Definic¸a˜o 8.1 Seja f : X ⊂ R→ R uma func¸a˜o.
(i) Seja x0 ∈ R um ponto de acumulac¸a˜o do conjunto X ∩ (x0,+∞) =
{x ∈ X : x > x0}. Diz-se que L ∈ R e´ limite a` direita de f em x0 e
escreve-se
lim
x→x0+
f = L ou lim
x→x0+
f(x) = L
quando dado ǫ > 0 nu´mero real arbitra´rio, existe um δ = δ(ǫ) > 0 tal
que para todo x ∈ X, se 0 < x− x0 < δ enta˜o |f(x)− f(x0)| < ǫ.
(ii) Seja x0 ∈ R um ponto de acumulac¸a˜o do conjunto X ∩ (−∞, x0) =
{x ∈ X : x < x0}. Diz-se que L ∈ R e´ limite a` esquerda de f em x0 e
escreve-se
lim
x→x0−
f = L ou lim
x→x0−
f(x) = L
quando, para qualquer nu´mero real ǫ > 0, existe um δ = δ(ǫ) > 0 tal
que para todo x ∈ X, se 0 < x0 − x < δ enta˜o |f(x)− L| < ǫ.
Os limites lim
x→x0+
f(x) e lim
x→x0−
f(x) sa˜o denominados limites unilaterais
ou simplesmente limites laterais de f em x0.
Como o limite lateral de uma func¸a˜o f num ponto de acumulac¸a˜o lateral
(a` direita e/ou a` esquerda) x0 de seu domı´nio X , nada mais e´ que o limite da
restric¸a˜o f |X∩(x0,+∞) da func¸a˜o f ao conjuntoX∩(x0,+∞) no ponto x0, segue
que todas as propriedades e proposic¸o˜es va´lidas para o limite usual de uma
func¸a˜o valem tambe´m para os limites laterais, com as devidas adaptac¸o˜es.
Em particular, os limites laterais sa˜o u´nicos e valem os resultados sobre
operac¸o˜es com limites, desigualdades, o crite´rio sequencial, etc.
1
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Elementos
de
Ana´lise
Real
Extenso˜es do Conceito de Limite de Func¸a˜o. Func¸o˜es Mono´tonas.
Por exemplo, o crite´rio sequencial para limite lateral a` direita tem o
seguinte enunciado.
Teorema 8.1 Sejam f : X ⊂ R→ R e x0 ∈ R um ponto de acumulac¸a˜o de
X ∩ (x0,+∞). Enta˜o lim
x→x0+
f(x) = L se, e somente se, para toda sequeˆncia
(xn)n∈N em X ∩ (x0,+∞), se (xn)n∈N converge para x0 enta˜o a sequeˆncia
(f(xn))n∈N converge para L.
Prova: Exerc´ıcio! Note que devem ser consideradas neste caso somente as
sequeˆncias (xn)n∈N de pontos de X (estritamente) maiores que x0.
O pro´ximo resultado, conhecido desde o curso de Ca´lculo, relaciona
a existeˆncia do limite de uma func¸a˜o num ponto a` existeˆncia de ambos os
limites laterais. Sua prova e´ imediata a partir dos crite´rios sequenciais para
existeˆncia dos limites envolvidos - ou, a partir das pro´prias definic¸o˜es, a`
escolha. De todo modo, constitui-se num simples e excelente exerc´ıcio de
redac¸a˜o e compreensa˜o dos conceitos estudados.
Teorema 8.2 Sejam f : X ⊂ R→ R e x0 ∈ R um ponto de acumulac¸a˜o de
ambos os conjuntos X ∩ (x0,+∞) e X ∩ (−∞, x0). Enta˜o lim
x→x0
f(x) = L se,
e somente se, lim
x→x0+
f(x) = L e lim
x→x0−
f(x) = L.
Prova: Exerc´ıcio!
Exemplo 8.1 (a) A func¸a˜o f(x) := sgn(x) (veja Exemplo 7.8 (b)) e´ um
exemplo de func¸a˜o que possui ambos os limites laterais em x0 := 0, mas
cujos valores sa˜o distintos. Por este motivo na˜o existe o limite de f em
x0 = 0 pois, como f |(0,+∞) ≡ 1 e f |(−∞,0) ≡ −1, enta˜o lim
x→0+
f(x) = 1
e lim
x→0−
f(x) = −1. O fato de na˜o existir o limite da func¸a˜o sgn em 0
ja´ foi visto tambe´m no Exemplo 7.8 (b).
(b) Considere a func¸a˜o f(x) := e1/x, para x 6= 0, cujo gra´fico pode ser visto
na Figura 8.1. Inicialmente, sera´ mostrado que a func¸a˜o f na˜o tem
limite a` direita em x0 = 0. ja´ que na˜o e´ limitada em nenhum intervalo
do tipo (0, δ) com δ > 0. Para isto usa-se a desigualdade
0 < t < et para todo real t > 0, (⋆)
a qual sera´ provada mais tarde por meio do Teorema do Valor Me´dio
para derivadas.
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x
1
Figura 8.1: f : x ∈ R∗ → f(x) = e1/x.
De fato, segue de (⋆) que se x > 0 enta˜o 0 < 1/x < e1/x. Logo,
tomando-se xn = 1/n para n ∈ N, tem-se que xn → 0 quando n→∞,
mas f(xn) = e
n > n para todo n ∈ N; ou seja, existe sequeˆncia em R∗∩
(0,+∞) que converge para 0 pela direita mas cuja sequeˆncia de imagens
e´ ilimitada, e portanto, divergente. Isto mostra, pelo Teorema 8.1,
que lim
x→0+
e1/x na˜o existe (note que pequena modificac¸a˜o no racioc´ınio
acima permite concluir que f na˜o e´ limitada em nenhum intervalo do
tipo (0, δ) com δ > 0, outra maneira de mostrar que f na˜o tem limite
lateral a` direita em x0 = 0).
No entanto, lim
x→0−
e1/x = 0. De fato, seja x < 0 um nu´mero real ar-
bitra´rio; como −1/x > 0 pode-se usar (⋆) para obter 0 < −1/x < e−1/x.
Da´ı segue que 0 < e1/x < −x. Conclui-se enta˜o que para todo x < 0
vale 0 < e1/x < −x. Logo pela Proposic¸a˜o 7.6, tem-se lim
x→0−
e1/x = 0.
(c) Seja g(x) := 1/(e1/x + 1) para x 6= 0. De (⋆) do item (b) tem-se que
0 < 1/x < e1/x para todo real x > 0 e consequentemente
0 <
1
e1/x + 1
<
1
e1/x
< x para todo x > 0 ,
o que implica que lim
x→0+
g(x) = 0. Por outro lado, tambe´m do item (b)
tem-se que lim
x→0−
e1/x = 0. Segue enta˜o do ana´logo do Teorema 7.3 para
limites laterais que
lim
x→0−
(
1
e1/x + 1
)
=
1
lim
x→0−
e1/x + 1
=
1
0 + 1
= 1.
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Elementos
de
Ana´lise
Real
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x
1
1
2
g : x ∈ R∗ → g(x) = 1/(e1/x + 1).
Ou seja, para esta func¸a˜o g existem ambos os limites laterais em x0 = 0,
mas seus valores sa˜o distintos. Portanto, o limite de g em x0 = 0 na˜o
existe.
Limites Infinitos
Definic¸a˜o 8.2 Sejam f : X ⊂ R → R e x0 ∈ R um ponto de acumulac¸a˜o
de X.
(i) Diz-se que f tende a +∞ quando x→ x0 e denota-se por
lim
x→x0
f(x) = +∞,
quando para todo nu´mero real M > 0, existe nu´mero real δ = δ(M) > 0
tal que, para todo x ∈ X, se 0 < |x− x0| < δ enta˜o f(x) > M .
(ii) Diz-se que f tende para −∞ quando x→ x0 e escreve-se
lim
x→x0
f = −∞,
quando para todo M > 0 existe δ = δ(M) tal que para todo x ∈ X, se
0 < |x− x0| < δ enta˜o f(x) < −M .
Exemplo 8.2 Para uma melhor compreensa˜o, acompanhe os exemplos pelos
gra´ficos das func¸o˜es na figura abaixo:
(a) lim
x→0
1
x2
= +∞. De fato, para M > 0 tome δ := 1/√M . Segue que se
x ∈ R∗ e 0 < |x| < δ enta˜o x2 < 1/M , e assim 1/x2 > M , o que prova
a afirmac¸a˜o.
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g(x) = 1
xf(x) = 1
x
2
x
x
Figura 8.2: f : R∗ → R∗+ e g : R∗ → R∗.
(b) Seja g(x) := 1/x para x 6= 0. Chamando g1 := g|(0,+∞) e g2 := g|(−∞,0)
tem-se lim
x→0
g1(x) = +∞ e lim
x→0
g2(x) = −∞. Em particular, g na˜o
tende nem a +∞, nem a −∞, e nem possui limite quando x→ 0. De
fato, que vale lim
x→0
g1(x) = +∞ e lim
x→0
g2(x) = −∞ decorre dos seguin-
tes racioc´ınios (realizados para as duas situac¸o˜es simultaneamente, por
brevidade): para M > 0 fixado, tomando-se δ := 1/M vem que, se
x ∈ (0,+∞) e 0 < x < δ enta˜o g1(x) > M , e se x ∈ (−∞, 0) e
−δ < x < 0 enta˜o g2(x) < −M , o que prova que lim
x→0
g1(x) = +∞ e
lim
x→0
g2(x) = −∞, respectivamente.
O fato de +∞ e −∞ na˜o serem nu´meros reais faz com que a noc¸a˜o de
limites infinitos na˜o possa ser tratada da mesma forma que a noc¸a˜o usual
de limite de uma func¸a˜o. Em particular, os resultados sobre operac¸o˜es com
limites e sobre desigualdades na˜o se estendem em geral aos limites infinitos,
No entanto, alguns resultados podem ser provados quando hipo´teses adicio-
nais, que evitam o surgimento de expresso˜es indeterminadas envolvendoos
s´ımbolos ±∞, sa˜o introduzidas.
A seguir, um resultado de comparac¸a˜o para limites infinitos.
Teorema 8.3 Sejam f, g : X ⊂ R → R e x0 ∈ R um ponto de acumulac¸a˜o
de X. Suponha que f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X com x 6= x0.
(i) Se lim
x→x0
f(x) = +∞ enta˜o lim
x→x0
g(x) = +∞.
(ii) Se lim
x→x0
g(x) = −∞ enta˜o lim
x→x0
f(x) = −∞.
Prova: (i) Se lim
x→x0
f(x) = +∞ e M > 0 e´ dado enta˜o existe δ = δ(M) > 0
tal que, se 0 < |x−x0| < δ e x ∈ X enta˜o f(x) > M . Mas como f(x) ≤ g(x)
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de
Ana´lise
Real
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para todo x ∈ X com x 6= x0 tem-se que, se 0 < |x− x0| < δ e x ∈ X enta˜o
g(x) > M . Logo, lim
x→x0
g = +∞. �
(ii) Segue de modo inteiramente similar a (i).
No Exemplo 8.2 (b), viu-se que a func¸a˜o g(x) := 1/x na˜o tende nem a
+∞ nem a −∞ quando x→ 0, pore´m as restric¸o˜es de g a (0,+∞) e (−∞, 0)
tendem a +∞ e −∞, respectivamente, quando x→ 0. Ou seja, assim como
a existeˆncia do limite finito esta´ condicionada a` existeˆncia dos dois limites
laterais finitos, a ocorreˆncia de limite infinito em um ponto de acumulac¸a˜o do
domı´nio esta´ condicionada a` ocorreˆncia de limites infinitos laterais do mesmo
tipo. Formalizam-se estas ideias a seguir.
Definic¸a˜o 8.3 Sejam f : X ⊂ R → R e x0 ∈ R um ponto de acumulac¸a˜o
de X ∩ (x0,+∞). Diz-se que f tende a +∞ (respectivamente, −∞) quando
x→ x0+, e denota-se
lim
x→x0+
f(x) = +∞ (respectivamente, lim
x→x0+
f(x) = −∞)
quando para todo M > 0 existe δ = δ(M) > 0 tal que para todo x ∈ X, se
0 < x− x0 < δ enta˜o f(x) > M (respectivamente, f(x) < −M).
Analogamente, se x0 ∈ R e´ um ponto de acumulac¸a˜o de X ∩ (−∞, x0),
diz-se que f tende a +∞ (respectivamente, −∞) quando x→ x0−, e denota-
se
lim
x→x0−
f(x) = +∞ (respectivamente, lim
x→x0−
f(x) = −∞),
quando para todo M > 0 existe δ = δ(M) > 0 tal que para todo x ∈ X, se
0 < x0 − x < δ enta˜o f(x) > M (respectivamente, f(x) < −M).
Exemplo 8.3 (a) Seja g(x) := 1/x para x 6= 0. Como ja´ visto no Exem-
plo 8.2 (b), g|(0,+∞) tende a +∞ quando x→ 0 e g|(−∞,0) tende a −∞
quando x→ 0. Isso e´ equivalente a
lim
x→0+
g(x) = lim
x→0+
1
x
= +∞ e lim
x→0−
g(x) = lim
x→0−
1
x
= −∞.
(b) No Exemplo 8.1 (b), viu-se que a func¸a˜o f(x) := e1/x para x 6= 0,
na˜o e´ limitada em nenhum intervalo da forma (0, δ) com δ > 0. Em
particular, mostrou-se que o limite lateral de f(x) = e1/x quando x →
0+, no sentido da Definic¸a˜o 8.1, na˜o existe. Contudo, como
1
x
< e1/x para todo x > 0,
tem-se que lim
x→0+
e1/x = +∞ no sentido da Definic¸a˜o 8.3 - para ver
isto, basta usar o item (a) anterior e o ana´logo do Teorema 8.3 para
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limites laterais infinitos (veja Exerc´ıcio 1). Reveja o Exemplo 8.1 para
convencer-se que o fato de na˜o existir o limite de uma func¸a˜o num
ponto no sentido da Definic¸a˜o 8.1 na˜o implica necessariamente que se
tenha limite infinito neste ponto - situac¸a˜o em que se diz tambe´m que
o limite na˜o existe, visto que infinito na˜o e´ nu´mero real).
Limites no Infinito
Definic¸a˜o 8.4 Seja f : X ⊂ R→ R, onde X e´ conjunto ilimitado superior-
mente. Diz-se que L ∈ R e´ limite de f(x) quando x→ +∞, e denota-se
lim
x→+∞
f(x) = L
quando, para qualquer nu´mero real ǫ > 0 existe nu´mero real K = K(ǫ) > 0
tal que, para todo x ∈ X, se x > K enta˜o |f(x)− L| < ǫ.
Analogamente, se X e´ um conjunto ilimitado inferiormente, diz-se que
L ∈ R e´ limite de f quando x→ −∞, e denota-se
lim
x→−∞
f(x) = L
quando, dado ǫ > 0 existe K = K(ǫ) > 0 tal que, para todo x ∈ X, se
x < −K enta˜o |f(x)− L| < ǫ.
Note que o limite de uma sequeˆncia e´ um caso particular de limite
no infinito para o caso de uma func¸a˜o definida em X = N. O limite de
uma func¸a˜o no infinito possui todas as propriedades do limite de uma func¸a˜o
quando x tende a um ponto de acumulac¸a˜o do seu domı´nio. Assim, valem a
unicidade dos limites lim
x→+∞
f(x), lim
x→−∞
f(x), os resultados sobre as operac¸o˜es
com limites, desigualdades, etc.
Em particular, o crite´rio sequencial para limites no infinito e´ dado pelo
Teorema 8.4 Sejam f : X ⊂ R → R e (a,+∞) ⊂ X para algum a ∈ R.
Enta˜o, L = lim
x→+∞
f(x) se, somente se, para toda sequeˆncia (xn)n em (a,+∞)
tal que lim xn = +∞ implicar que a sequeˆncia (f(xn))n converge a L.
Prova: Exerc´ıcio! O enunciado e a prova do resultado para o limite quando
x→ −∞ seguem de forma ana´loga e ficam como exerc´ıcio.
Exemplo 8.4 (a) lim
x→+∞
1
x
= 0 = lim
x→−∞
1
x
. Com efeito, dado ǫ > 0, se
x > 1/ǫ enta˜o |1/x| = 1/x < ǫ. Isto prova que lim
x→+∞
1
x
= 0. Por
outro lado, se x < −1/ǫ enta˜o |1/x| = −1/x < ǫ, o que prova que
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de
Ana´lise
Real
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lim
x→−∞
1
x
= 0.
(b) lim
x→+∞
1
x2
= 0 = lim
x→−∞
1
x2
. Com efeito, dado ǫ > 0, se x > 1/
√
ǫ
enta˜o |1/x2| = 1/x2 < ǫ. Tambe´m, dado ǫ > 0, se x < −1/√ǫ enta˜o
|1/x2| = 1/x2 < ǫ. Estas afirmac¸o˜es estabelecem ambos os limites.
Tambe´m para o caso de limites em ±∞ tem-se a definic¸a˜o de limites
infinitos, ana´loga a` Definic¸a˜o 8.2.
Definic¸a˜o 8.5 Seja f : X ⊂ R → R onde X e´ um conjunto ilimitado
superiormente. Diz-se que f(x) tende a +∞ (respectivamente, −∞) quando
x→ +∞, e escreve-se
lim
x→+∞
f(x) = +∞ (respectivamente, lim
x→+∞
f(x) = −∞)
quando dado M > 0 existe K = K(M) > 0 tal que, para todo x ∈ X, se
x > K enta˜o f(x) > M (respectivamente, f(x) < −M).
Analogamente, se X e´ conjunto ilimitado inferiormente, diz-se que f(x)
tende a +∞ (respectivamente, tende a −∞) quando x→ −∞, e escreve-se
lim
x→−∞
f(x) = +∞ (respectivamente, lim
x→−∞
f(x) = −∞)
quando, para qualquer que seja o nu´mero real M > 0, existe K = K(M) > 0
tal que, para todo x ∈ X, se x < −K enta˜o f(x) > M (respectivamente,
f(x) < −M).
O resultado a seguir e´ um ana´logo do Teorema 5.9.
Teorema 8.5 Sejam f, g : (a,+∞) ⊂ R → R, onde a ∈ R e´ fixo. Suponha
tambe´m que g(x) > 0 para todo x > a e que para algum L ∈ R com L 6= 0 se
tenha
lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= L.
(i) Se L > 0 enta˜o lim
x→+∞
f(x) = +∞ se, e somente se, lim
x→+∞
g(x) = +∞.
(ii) Se L < 0 enta˜o lim
x→+∞
f(x) = −∞ se, e somente se, lim
x→+∞
g(x) = +∞.
Prova: (i) Sendo L > 0 enta˜o L/2 > 0. Da´ı, usando-se a Definic¸a˜o 8.5 para
o caso particular de L/2, existe K > 0, tal que, para todo x ∈ (a,+∞), se
x > K enta˜o (verifique!)
0 <
1
2
L ≤ f(x)
g(x)
<
3
2
L.
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Portanto, como g(x) > 0 para todo x > a enta˜o tem-se (1
2
L)g(x) < f(x) <
(3
2
L)g(x) para todo x > K, de onde segue a conclusa˜o. �
A prova de (ii) e´ semelhante.
Ha´ resultados ana´logos quando x → −∞ ou quando x → x0 e x0 e´
um ponto de acumulac¸a˜o de X , bem como resultados correspondentes para
limites laterais.
Exemplo 8.5 (a) lim
x→+∞
xn = +∞ para todo n ∈ N fixo. De fato, dado
qualquer M > 0, se x > K := max{1, M} enta˜o xn > x > M , o que
prova a afirmac¸a˜o.
(b) lim
x→−∞
xn = +∞ se n ∈ N e n e´ par, e lim
x→−∞
xn = −∞ se n ∈ N e n e´
ı´mpar. De fato, considera-se o caso em que n e´ ı´mpar. Enta˜o pode-se
escrever n = 2k+1 para algum k ∈ N∪ {0}. Dado M > 0, tome K :=
max{M, 1}. Tem-se K > 0. Se x ∈ R e x < −K = min{−1,−M},
enta˜o, em particular, x < −1. Da´ı, como (x2)k > 1 e x < 0 tem-se
que xn = (x2)kx < x < −M . Como M > 0 e´ arbitra´rio, segue que
lim
x→−∞
xn = −∞, quando n ∈ N e´ ı´mpar.
O caso em que n e´ par e´ mais simples e fica como exerc´ıcio.
Func¸o˜es Mono´tonas
Definic¸a˜o 8.6 Diz-se que f : X ⊂ R → R e´ na˜o-decrescenteem X se
x1 ≤ x2 implica f(x1) ≤ f(x2) para x1, x2 ∈ X. A func¸a˜o f e´ dita crescente
em X se x1 ≤ x2 implica f(x1) < f(x2) para x1, x2 ∈ X. Similarmente,
f : X ⊂ R → R e´ na˜o-crescente em X se x1 ≤ x2 implica f(x1) ≥ f(x2)
para x1, x2 ∈ X. A func¸a˜o f e´ dita decrescente em X se x1 ≤ x2 implica
f(x1) > f(x2) para x1, x2 ∈ X.
Se f : X ⊂ R → R e´ na˜o-decrescente ou na˜o-crescente diz-se que ela
e´ mono´tona. Se f e´ crescente ou decrescente diz-se que ela e´ estritamente
mono´tona.
Exemplo 8.6 As func¸a˜o f : R → R e f : R → R definidas por f(x) = x3
e g(x) = x sa˜o mono´tonas estritamente crescentes e as func¸o˜es −f e −g
sa˜o estritamente decrescentes. A func¸a˜o h : R → R tal que h(x) = x2 na˜o
e´ mono´tona pois, por exemplo, x1 = −3 ≤ x2 = 2 mas h(x1) = 9 > 4 =
h(x2). Mas as restric¸o˜es h|(0,+∞) e h|(−∞,0]) sa˜o, respectivamente, mono´tona
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de
Ana´lise
Real
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decrescente e mono´tona crescente. As func¸o˜es constantes sa˜o mono´tonas
(na˜o crescentes e na˜o decrescentes).
Note que se f : X → R e´ na˜o-decrescente enta˜o g := −f e´ na˜o-
crescente. Da mesma forma, se f : X → R e´ na˜o-crescente enta˜o g := −f e´
crescente. Portanto, a seguir, enunciam-se os resultados apenas para func¸o˜es
na˜o-decrescentes.
O pro´ximo resultado mostra que as func¸o˜es mono´tonas, quando defi-
nidas em intervalos, sempre possuem ambos os limites laterais (finitos) em
todos os pontos do seu domı´nio, que na˜o sejam os extremos do intervalo.
Nestes u´ltimos sempre existem os limites laterais correspondentes.
Proposic¸a˜o 8.1 Sejam I ⊂ R um intervalo e f : I → R na˜o-decrescente
em I. Suponha que x0 ∈ I na˜o e´ um extremo de I. Enta˜o
(i) lim
x→x0−
f(x) = sup{f(x) : x ∈ I, x > x0},
(ii) lim
x→x0+
f(x) = inf{f(x) : x ∈ I, x < x0}.
No caso em que x0 ∈ I e´ um extremo de I enta˜o existe o limite lateral
correspondente: a` direita, se x0 e´ um extremo a` esquerda, e a` esquerda, se
x0 e´ um extremo a` direita.
Prova: (i) Por hipo´tese, se x ∈ I e x < x0 enta˜o f(x) ≤ f(x0). Portanto, o
conjunto A := {f(x) : x ∈ I, x < x0} e´ limitado superiormente por f(x0),
e na˜o-vazio ja´ que x0 na˜o e´ um extremo (a` esquerda) de I. Logo, existe
L := sup{f(x) : x ∈ I, x > x0}. Resta mostrar que lim
x→x0−
f(x) = L. De
fato, seja ǫ > 0 dado. Enta˜o, por definic¸a˜o de supremo, L − ǫ na˜o e´ cota
superior de A. Assim, existe xǫ ∈ I com xǫ < x0 tal que L− ǫ < f(xǫ) ≤ L.
Seja δ := x0 − xǫ. Se 0 < x0 − x < δ enta˜o xǫ < x < x0. Da´ı, como f e´
na˜o-decrescente enta˜o
L− ǫ < f(xǫ) ≤ f(x) ≤ L.
Portanto, se 0 < x0 − x < δ enta˜o |f(x)− L| < ǫ. Logo, (i) e´ verdade. �
A demonstrac¸a˜o de (ii) bem como a do caso em que x0 e´ um extremo
de I sa˜o inteiramente ana´logas.
Exerc´ıcios 8.1 1. Sejam f, g : X ⊂ R → R e x0 ∈ R um ponto de
acumulac¸a˜o de X ∩ (x0,+∞). Suponha que f(x) ≤ g(x) para todo
x ∈ X com x > x0. Mostre que:
CEDERJ 10
Extenso˜es do Conceito de Limite de Func¸a˜o. Func¸o˜es Mono´tonas.
NA 8
(i) se lim
x→x0+
f(x) = +∞ enta˜o lim
x→x0+
g(x) = +∞.
(ii) se lim
x→x0+
g(x) = −∞ enta˜o lim
x→x0+
f(x) = −∞.
2. Enuncie e demonstre o ana´logo do Exerc´ıcio 1 para o caso do limite
lateral infinito a` esquerda de um ponto de acumulac¸a˜o a` esquerda do
domı´nio de uma func¸a˜o.
3. Sejam f, g : X → R, onde f e´ cont´ınua em x0 e x0 e´ um ponto de acu-
mulac¸a˜o de X∪(x0,+∞) e de X∪(−∞, x0). Prove que lim
x→x0+
(fg)(x) e
lim
x→x0−
(fg)(x) existem se, e somente se, lim
x→x0+
g(x) e lim
x→x0−
g(x) existem
e, nesse caso,
limx→x0±(fg)(x) = f(x0) limx→x0± g(x).
4. Prove que se n e´ par, lim
x→0+
1
xn
= +∞, lim
x→0−
1
xn
= +∞, e se n e´ ı´mpar,
lim
x→0+
1
xn
= +∞ e lim
x→0−
1
xn
= −∞.
5. Prove que lim
x→0
|x|−1/n = +∞ para todo n ∈ N.
6. Diga se existem ou na˜o os limites abaixo e, em caso positivo, determine
seu valor:
(a) lim
x→1+
x
x− 1 (x 6= 0).
(b) lim
x→0
(
√
x+ 1)/x (x > −1).
(c) lim
x→0+
(
√
x+ 1)/x (x > −1).
(d) lim
x→+∞
√
x/
√
x+ 2 (x > −2).
(e) lim
x→−∞
(
√
|x| − x)/(
√
|x|+ x) (x < 0).
7. Mostre que lim
x→1−
x2
x2 − 1 = −∞ e limx→1+
x2
x2 − 1 = +∞.
8. Suponha que f(x) e g(x) teˆm limites em R quando x → +∞ e que
f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ (a,+∞), onde a ∈ R e´ fixado. Prove que
lim
x→+∞
f(x) ≤ lim
x→+∞
g(x).
9. Mostre que se f : (a,+∞)→ R e´ tal que lim
x→+∞
xf(x) = L, com L ∈ R,
enta˜o lim
x→+∞
f(x) = 0.
10. Sejam f e g definidas em (a,+∞) e suponha que lim
x→+∞
f(x) = L e
lim
x→+∞
g(x) = +∞. Prove que lim
x→+∞
(f ◦ g)(x) = L.
11
CEDERJ
Elementos
de
Ana´lise
Real
Extenso˜es do Conceito de Limite de Func¸a˜o. Func¸o˜es Mono´tonas.
11. Se I := [a, b] e f : I → R e´ uma func¸a˜o na˜o-decrescente, enta˜o o
ponto a (respectivamente, b) e´ um ponto de mı´nimo (respectivamente,
ma´ximo) absoluto para f em I. Se f e´ crescente enta˜o a (respecti-
vamente, b) e´ o u´nico ponto de mı´nimo (respectivamente, ma´ximo)
absoluto.
12. Se f e g sa˜o func¸o˜es na˜o-decrescentes num intervalo I ⊂ R, mostre
que f + g e´ uma func¸a˜o na˜o-decrescente em I. Se f e g sa˜o crescentes
em I enta˜o f + g e´ crescente em I.
13. Verifique que ambas as func¸o˜es f(x) := x e g(x) := x−1 sa˜o crescentes
em [0, 1], mas seu produto fg na˜o e´ sequer uma func¸a˜o mono´tona em
[0, 1].
14. Mostre que se f e g sa˜o func¸o˜es positivas e na˜o-decrescentes num in-
tervalo I, enta˜o seu produto fg e´ na˜o-decrescente em I.
15. Sejam f, g func¸o˜es na˜o-decrescentes num intervalo I ⊂ R e seja f(x) >
g(x) para todo x ∈ I. Se y ∈ f(I) ∩ g(I), mostre que f−1(y) < g−1(y).
[Dica: Primeiro fac¸a o esboc¸o de uma representac¸a˜o gra´fica para essa
situac¸a˜o.]
16. Seja I := [0, 1] e seja f : I → R definida por f(x) := x se x e´ racional,
e f(x) := 1 − x se x e´ irracional. Mostre que f e´ injetiva em I e que
f(f(x)) = x para todo x ∈ I. Portanto, f e´ inversa de si mesma!.
Mostre que f e´ cont´ınua somente em x0 = 1/2.
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