Resumo Aula 1 a 10 - MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - EAD (ESTÁCIO)

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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
AULA 1 – TEORIA DOS CONJUNTOS 
Teoria dos Conjuntos Numéricos 
Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica 
comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números 
naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos números reais. 
 Conjunto dos números naturais; 
 Conjunto dos números inteiros; 
 Conjunto dos números racionais; 
 Conjunto dos números irracionais 
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os outros foram surgindo com 
ampliações do conjunto dos números naturais. 
Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam os relacionamentos entre eles. 
Símbolos 
 
Símbolos sobre operações 
 
 
 
 
 
2 
 
Noções sobre conjuntos 
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por: Ø ou {}. 
Subconjuntos: Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, 
que A é um subconjunto de B, ou seja, A C B. 
União de Conjuntos: Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representados 
por A U B por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: A U B = {x/x ϵ A V x ϵ B}. 
Exemplo: Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja A C A. O conjunto vazio por convenção, é 
subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, Ø C A. 
Interseção de conjuntos: Dados os conjuntos A e B, define-se como interseção dos conjuntos A e B o conjunto 
representado por A ∩ B formado por todos os elementos pertecentes a A e B, simultaneamente, ou seja: 
 
Diferença de Conjuntos: Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto 
representado por A – B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja: 
 
União: Se A e B são conjuntos, a união de A e B, denotada por A U B, é o conjunto que contém aqueles elementos que 
estão em A, ou em B, ou em ambos: 
A U B = {x/x ϵ A v x ϵ B} 
 
Interseção: Se a A e B são conjuntos, a interseção de A e B, denotada por A ∩ B, é o conjunto que contém aqueles que 
estão em A e em B ao mesmo tempo: 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Diferença: Se A e B são conjuntos, a diferença de A – B, é o conjunto que contém os elementos que estão em A, mas 
não estão em B: 
 
 
 Representação de conjunto único 
Números Naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6) 
 
 Relação entre dois conjuntos: A e B. 
A = (1, 2, 3, 4, 5, 6) B = (5, 6, 7, 8, 9, 10) 
Símbolos 
U = União ∩ = Intersecção 
A U B = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) A ∩ B = (5, 6) 
 
 Relação entre três conjuntos: A, B e C. 
A = (3, 4, 5, 6, 7, 8) B = (4, 6, 8, 10, 12) C = (1, 2, 3, 4, 6, 10) 
A U B = (3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12) A U C = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10) B U C = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12) 
A ∩ B = (4, 6, 8) A ∩ C = (3, 4, 6) C ∩ B = (4, 6, 10) 
 
4 
 
Conjunto dos Números Naturais (N) 
N é o conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}. 
Onde n representa o elemento genérico do conjunto. Sempre que possível, procuraremos destacar o elemento genérico 
do conjunto em questão. 
Quando houver “...” ao final dos elementos de um conjunto, trata-se de um conjunto de infinitos elementos, como 
acontece com N. 
Atenção! 
O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de uma reta numerada. Escolhemos sobre essa reta um 
ponto de origem (correspondente ao número zero), uma medida unitária e uma orientação ( geralmente para direita). 
 
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes: 
1º. O conjunto dos números naturais não nulos: N* = {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...} 
Utilizamos o * (asterisco) à direita do nome do conjunto do qual se quer suprimir o elemento zero . 
N* = N – {0} 
2º. O conjunto dos números naturais pares: Np = {0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...} n ϵ N 
3º. O conjunto dos números naturais ímpares: Ni = {1, 3, 5, 7, ..., 2n+1, ...} n ϵ N 
4º. O conjunto dos números primos: Pi = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} 
No conjunto números dos naturais, estão definidas duas operações: adição e multiplicação. Note que adicionando ou 
multiplicando dois elementos quaisquer de N, a soma ou o produto pertence igualmente a N. Em símbolos, temos: 
 
 
Conjunto dos Números Inteiros (Z) 
 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
 
5 
 
Todos os elementos de N pertencem também a Z, o que vale dizer que N é subconjunto de Z: 
 
Temos também outros subconjuntos de Z: 
 Z* = Z – {0} Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} 
 Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} conjunto dos inteiros não negativos 
 Z*+ = {1,2,3,4,5...} conjunto dos inteiros positivos 
 Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0} conjunto dos inteiros não positivos 
 Z*- = {... -4, -3, -2, -1} conjunto dos inteiros negativos 
Observe que Z+ = N. 
Conjunto dos números Racionais (Q) 
O conjunto Z é fechado em relação às operações de adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não acontece À 
divisão 
Embora (-12) : (+4) = -3 ϵ Z, não existe número inteiro x para o qual se tenha x = (+4) : (-12). 
Por esse motivo, fez-se uma aplicação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números racionais (Q). 
O conjunto dos números racionais (Q) é inicialmente descrito como o conjunto dos quocientes entre dois números 
inteiros. 
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma da fração (com o numerador e denominador 
ϵ Z), ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e 
negativas. 
Utilizando o elemento genérico, podemos dizer que: 
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3,... ±2,±2/3, ±2/5,..., ±p/q,...} | p e q inteiros e q ≠ 0 
Q = {p/q | p ϵ z ^ q ϵ z*} 
Desta forma, podemos definir Q como o conjunto das frações p/q; assim, um número é racional quando pode ser escrito 
como uma fração p/q, com p e q inteiros e q ≠ 0. 
Quando q = 1, temos p/q = p/1 = p ϵ z, de onde se conclui que z é subconjunto de Q. 
Assim, podemos construir o diagrama: 
 
 
 
6 
 
No conjunto Q, destacamos os seguintes subconjuntos: 
 Q*: conjunto dos racionais não nulos; 
 Q+: conjunto dos racionais não negativos; 
 Q*+: conjunto dos racionais positivos; 
 Q-: conjunto dos racionais não positivos; 
 Q*-: conjunto dos racionais negativos. 
Assim, podemos escrever: 
Q = {x/x = p/q | p ϵ Z ^ q ϵ Z ^ q ≠ 0} 
Exemplo: 
a) -3 = -3/1 = -6/2 = -9/3 
b) 1 = 1/1 = 2/2 = 3/3 
Representação decimal das frações 
p/q tal que p não é múltiplo de q 
Forma decimal: divisão do numerador pelo denominador 
1. O número decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismo (não nulos): 
½ = 0,5 -5/4 = -1,25 75/20 = 3,75 
2. O número decimal possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), que se repetem: 
1/3 = 1,333... = 0,3 7/9 = 0,777... = 0,7 1/22 = 0,0454545... = 0,045 167/66 = 2,53030303... = 0,530 
Atenção! 
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional. 
Conjunto dos Números Irracionais (I) 
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritos na forma 
de fração (divisão de dois inteiros). 
Exemplos: 
 O número 0,212112111... não é dízima periódica, pois os algarismos após avírgula não se repetem 
periodicamente. 
 O número 0,203040... também não comporta representação fracionária, pois não é dízima periódica. 
 Os números π = 3,1415926535..., por não apresentarem representação infinita periódica, também não são 
números racionais. 
Conjunto dos Números Reais (R) 
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais (I), definimos o conjunto dos números reais como: 
R = Q U I = {x/x é racional ou x é irracional} 
 
7 
 
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos: 
Além desses (N, Z, Q, I), o conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: 
 
 R* = {x ϵ R / x ≠ 0}: conjunto dos números reais não nulos. 
 R+ = {x ϵ R / x ≥ 0}: conjunto dos números reais não negativos; 
 R*+ = {x ϵ R / x > 0}: conjunto dos números reais positivos; 
 R- = {x ϵ R / x ≤ 0}: conjunto dos números reais não positivos; 
 R*- = {x ϵ R / x < 0}: conjunto dos números reais negativos. 
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos de “I” 
temos: 
 
 I* = I –{0} 
 I+= conjunto dos números irracionais não negativos 
 I-= conjunto dos números irracionais não positivos. 
Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Ex: 
 Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais: 
1,01; 1,001; 1,0001; 1,1; 1,2; 1,5; 1,99; 1,999; 1,9999 ... 
 Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 
5,01; 5,02; 5,05; 5,1; 5,2; 5,5; 5,99; 5,999; 5,9999 ... 
AULA 2: POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, INTERVALOS NUMÉRICOS E FATORAÇÃO 
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador 
e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo: 
 
 
8 
 
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e 
ao denominador, conforme o exemplo ao lado: 
 
Radiciação 
Potenciação de Radicais 
Observando as potências, temos que: 
 
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos: 
 
Divisão de Radicais 
Segundo as propriedades dos radicais, temos que: 
 
De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais. Exemplos: 
 
Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetuar a operação. Exemplos: 
 
Racionalização de denominadores 
Considere a fração: que seu denominador é um número irracional. 
Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por obtendo uma fração equivalente: 5 
 = 5 / 3. 
Observe que a fração equivalente 5 / 3 possui um denominador racional. 
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma fração com denominador racional, 
equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador. 
Atenção! 
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com 
radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical. 
 
 
9 
 
Exemplos dos principais casos de racionalização: 
1º. Caso: 
5 = 5. / . = 5 / = 5 /2 
 é o fator racionalizante de , pois . = 
 
 = a 
2º. Caso: 
3/ 
 
 = 3. 
 
/ 
 
. 
 
 = 3 
 
/ 
 
 = 3 
 
/7 
 
 
 é o fator racionalizante de 
 
 
 – é o fator racionalizante de + 
 + é o fator racionalizante de – 
 + b é o fator racionalizante de – b 
Potência com expoente racional 
Observe as seguintes igualdades: 
 
Igualmente, podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical. 
 
 
 = 
De modo geral, definimos: 
 
 
 = 
 
 {a ϵ R/ m, n ϵ N}, onde a > 0, n > 0, m > 0 
Resumindo, podemos transformar um radical com expoente fracionário. Exemplo: 
 = 
 
 
Propriedade das potências com expoentes racionais 
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros. Sendo a e b números 
reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que: 
 
 
Exemplo: 
 
 
10 
 
Intervalos 
a) Intervalo aberto: 
 = {x R / a < x < b} 
 
b) Intervalo fechado: 
 = {x R / a x b} 
 
c) Intervalo aberto à direita: 
 = {x R / a x b} 
 
d) Intervalo aberto à esquerda: 
 = {x R / a x b} 
 
Existem ainda os intervalos infinitos: 
e) = {x R / x a} 
 
f) = {x R / x < a} 
 
g) = {x R / x ≥ a} 
 
h) = {x R / x > a} 
 
Fatoração 
Decomposição em fatores primos 
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Decomposição do 
número 24 num produto: 
24 = 4x6 
24 = 2x2x6 
24 = 2x2x2x3 = x 3 
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No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. 
A fatoração do número 24 corresponde à decomposição de 24 em um produto de fatores primos. Então, a fatoração de 
24 = x 3 
Fatoração de um número natural, maior que 1, é a sua decomposição em um produto de fatores primos. 
Regra para a fatoração 
Um dispositivo prático para fatorar um número é mostrado abaixo. 
1) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 
2) A seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até 
obter o quociente 1. 
A figura abaixo mostra a fatoração do número 630. 
 
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x x 5 x 7 
Determinação dos divisores de um número 
Na prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por 
exemplo, os divisores de 90: 
1º. decompomos o número em fatores primos; 
2º. traçamos uma linha e escrevemos o um no alto, porque ele é divisor de qualquer número; 
 
3º. multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado 
de cada fator primo; 
4º. os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. 
 
Portanto, os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. 
Fatoração de expressões matemáticas 
12 
 
Uma expressão matemática está fatorada quando é escrita na forma de uma multiplicação. 
 3x 
 10 
 x(5 + y) 
 (4x +1) (3y – 5) 
Casos de fatoração 
Caso 1: Evidência 
Ex 1: Fatorar a expressão: 6 y + 12 - 3 
Os fatores comuns nas três parcelas são: 3 y. Logo: 
6 y + 12 - 3 = (3 y) (2 + 4xy – y) 
Caso 2: + 2ab + = 
Ex 2: Fatorar a expressão: + 6x + 9 
 + 6x + 9 = + 2(x)(3) + = 
Caso 3: - 2ab + = 
Ex 3: Fatorar a expressão: - 6xy + 
 - 6xy + = - 2(3x)(y) + = 
Caso 4: - = (a + b) (a – b) 
Ex 4: Fatorar a expressão: – 
 – = – = (2x + 3y) (2x – 3y) 
Simplificação 
Podemos simplificar uma fração quando o numerador e o denominador estiverem fatorados e apresentarem pelo menos 
um fator comum. 
Ex 1: Simplificar a expressão: 
 
 
 
Fatorando o numerador: 3x (x + 3) 
Logo: 
 
 
 =x + 3 
Ex 2: Simplificar a expressão: 
 
 
 
Fatorando o numerador: = (x + 3) (x – 3) 
Fatorando o denominador: = (x - 3) (x – 3) 
Logo: 
 
 
 = 
 
 
 
AULA 3: EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1° GRAU 
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EQUAÇÕES DE 1º GRAU (com uma variável) 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo 
equa, que em latim quer dizer "igual". 
Exemplos de equações (sentenças abertas): 
 2x + 8 = 0 
 5x - 4 = 6x + 8 
 3a - b - c = 0 
Atenção! 
Não são equações: 
 4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta); 
 x - 5 < 3 (Não é igualdade); 
 82 + 35 - 7 (não é sentença aberta, nem igualdade). 
Equação geral do primeiro grau: 
ax + b = 0 onde a e b são números conhecidos e a > 0. 
A solução é simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos: 
ax = -b dividindo por a (dos dois lados), temos: x = - 
 
 
 
Considere a equação 2x - 8 = 3x -10 
A letra x é a incógnita (desconhecida) da equação. 
A sentença que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e a que sucede, 2º membro. 
 
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. 
 
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax = b, sendo a e b números racionais, 
com a diferente de zero. 
Raízes de uma equação 
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados de raízes da equação. 
Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência: 
 Substituir a incógnita por esse número. 
 Determinar o valor de cada membro da equação. 
 Verificar a igualdade, se ela for uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação. 
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Resolução de uma equação 
Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada 
vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da 
equação. Resumindo: 
Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro de um dado conjunto. 
Na resolução de uma equação do 1° grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das 
igualdades (aditivo e multiplicativo). 
Dado um conjunto A Q, resolva a equação 
 
 
 = 
 
 
 
MMC (4, 6) = 12 
 
 
 = 
 
 
 
-9x = 10 (multiplicado por -1) 
9x = -10 
X= - 
 
 
 Como - 
 
 
 Q então V = 
 
 
 
Dado um conjunto A onde A Q, resolva a equação: 
2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4). 
Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação: 
2x - 4 - 3 + 3x = 2x – 8 
5x - 7 = 2x – 8 
5x - 2x = – 8 + 7 
3x = -1 logo x = - 
 
 
 Como - 
 
 
 Q então V = 
 
 
 
Equações impossíveis e identidades 
Sendo A Q, considere a seguinte equação: 2 . (6x – 4) = 3 . (4x – 1) 
Observe, agora, a sua resolução: 
2 . 6x – 2 . 4 = -3 + 8 
12x – 12x = -3 + 8 
0 . x = 5 
Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, portanto, não tem 
solução. Logo, V = Ø. 
Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando a = 0 e b = 0. 
Sendo A Q, considere a seguinte equação: 10 – 3x – 8 = 2 – 3x. 
Observe a sua resolução: 
-3x + 3x = 2 - 10 + 8 
0 . x = 0 
Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas soluções. Equações 
desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades. 
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SISTEMA LINEAR DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
Uma equação do 1º grau é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Poderá ter mais do que uma 
incógnita. 
Um sistema de equações do 1º grau tem duas incógnitas, por exemplo, x e y; portanto, é formado por duas equações do 
1º grau com duas incógnitas. 
Exemplo: Seja o sistema de duas equações: 
2 x + 3 y = 24 
3 x - 2 y = 23 
Para resolver este sistema de equações, temos que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente ambas 
as equações. 
Método de substituição para resolver este sistema 
Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na ideia básica de isolar o valor algébrico de uma das 
variáveis, por exemplo x, e aplicar o resultado à outra equação. 
Para entender o método, consideremos o sistema: Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte 
processo: 
Substituímos então o valor de x na segunda equação 3x-2y=23: 
 Primeira equação: 2x + 3y = 24 
 Passamos 3y para o segundo membro: 2x = 24 - 3y 
 Este é o valor de x em função de y: x = 12 - (3y/2) 
 
o segunda equação: 3x - 2y = 23 
o após substituir x, eliminamos os parênteses: 3(12 - (3y/2)) - 2y = 23 
o multiplicamos os termos por 2: 36 - 9y/2 - 2y = 23 
o reduzimos os termos semelhantes: 72 - 9y - 4y = 46 
o separamos variáveis e números: 72 - 13y = 46 
o simplificamos a equação: 72 - 46 = 13y 
o mudamos a posição dos dois membros: 26 = 13y 
o dividimos ambos os membros por 6: 13 y = 26 
o valor obtido para y: y = 2 
Substituindo y = 2 na equação x = 12 - (3y/2), obtemos: 
x = 12 - (3×2/2) = 12 - 6/2 = 12 - 3 = 9 
Determinar a solução do sistema: 
x + y = 2 
x - y = 0 
 
INEQUAÇÕES 
16 
 
Inequação é uma sentença matemática com uma ou mais incógnitas expressas por uma desigualdade, diferente da 
equação que representa uma igualdade. Elas são representadas através de relações que não são de equivalência. 
Portanto, inequação do 1º grau, na variável x, a qualquer expressão algébrica que possa ser reduzida a uma das formas: 
3(x + 4) 4(2 – x) ax + b 0 
3x + 12 8 – 4x ax + b = 0 
3x – 3x + 12 8 – 4x – 3x 
12 8 – 7x com a R, b R, a?0 
12 – 8 -7x 
4 -7x 
-x 
 
 
 
Exemplo: Resolver a inequação 4(x + 1) – 5 ≤ 2(x + 3): (a solução será representada por S). 
4x + 4 - 5 ≤ 2x + 6 4x - 1 ≤ 2x + 6 
4x – 2x ≤ 1 + 6 2x ≤ 7 
x ≤ 
 
 
 S = {x R / x ≤ 
 
 
} 
Exemplo: 
1 ≤ 2x + 3 < x + 5 (são duas inequações simultâneas) 
I. 1 ≤ 2x + 3 
II. 2x + 3 < x + 5 
 
Resolvendo (I): 1 ≤ 2x + 3 
Temos: -2x ≤ 3 – 1 -2x ≤ 2 2x ≥ -2 x ≥ -1 
 
 
 
Resolvendo (II): 2x + 3 < x + 5 
2x – x < 5 – 3 x < 2 
Logo: -1 ≤ x < 2 
Ao dividirmos ambos os membros por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte. 
AULA 4: RAZÃO E PROPORÇÃO, GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS, OPERAÇÕES COM PORCENTAGENS. 
Razão 
Sejam dois números reais a e b, com b 0. Chama-se razão entre a e b, ou seja: 
a : b = 
 
 
 
O número a é denominador antecedente (numerador) e b é o consequente (denominador). 
Exemplo: 
a) A razão entre 30 e 70 é 
 
 
 = 
 
 
 
b) Numa turma de 54 alunos, há 24 rapazes e 30 moças. 
17 
 
c) A razão entre o número de rapazes e o número de moças é 
 
 
 = 
 
 
 , o que significa que, para cada 4 rapazes há 5 
moças. Porém, como vimos, a razão entre o número de rapazes e o total de alunos é = 
 
 
 = 
 
 
 o que vale dizer 
que para cada 9 alunos da turma, 4 são rapazes.Proporção 
Proporção é uma igualdade entre das razões. 
 
 
 = 
 
 
 Na proporção 
 
 
 = 
 
 
 podemos ler: 3 está para 5 assim como 6 está para 10. 
Os números 3 e 10 são chamados extremos e 5 e 6 são chamados meios. 
Podemos concluir que o produto dos extremos é o mesmo do produto dos meios: 3x10 = 5x6 = 30 
Propriedade fundamental das proporções 
Observe as seguintes proporções: 
 
 
 = 
 
 
 Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.30 = 120 
 
 
 = 
 
 
 Produto dos meios = 9.20 = 180 Produto dos extremos = 4.45 = 180 
 
 
 = 
 
 
 Produto dos meios = 8.45 = 360 Produto dos extremos = 5.72 = 360 
De modo geral, temos que: 
 
 
 = 
 
 
 a.d = b.c 
Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções: Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos. 
Exemplo: Um médico recomenda uma dieta para um individuo obeso. Ele deve consumir até 5 calorias por dia para 
cada 20kg de excesso de peso. Se um individuo apresentar 50kg de excesso de peso, qual seria o número de calorias 
diária para ele? 
Como o indivíduo apresenta 50kg de excesso de peso, a quantidade de calorias x é calculada da seguinte forma: 
 
 
 = 
 
 
 logo x = 12,5 calorias 
Elementos de uma proporção 
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a 
razão do 1° para o 2° for igual à razão do 3° para o 4°. Assim: 
 
 
 = 
 
 
 a:b = c:d (lê-se “ a está para b assim como c está para d”) 
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: 
 b e c os meios da proporção. 
 a e d os extremos da proporção. 
 
18 
 
Dada a proporção: 
 
 
 = 
 
 
 Podemos ler: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma proporção da 
primeira. 
Um carro percorre: 
 100 km em 1 hora 
 200 km em 2 horas 
 300 km em 3 horas 
Então, o tempo e a distancia são grandezas diretamente proporcionais, pois aumentam na mesma proporção. 
Grandezas Inversamente Proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da 
primeira. 
Um carro faz um percurso em: 
 1 hora com velocidade de 120 km/h 
 2 horas com velocidade de 60 km/h 
 3 horas com velocidade de 40 km/h 
Neste caso, o tempo e a velocidade são grandezas inversamente proporcionais. 
 
Aplicações da Propriedade Fundamental 
Determinação do termo desconhecido de uma proporção 
Atenção! 
Determine o valor de x na proporção: 
 
 
 = 
 
 
 5.x = 8.15 (aplicando a propriedade fundamental) 5.x = 120 
X = 
 
 
 x = 24 Logo, o valor de x é 24. 
 
Determine o valor de x na proporção: 
 
 
 = 
 
 
, sendo x 
 
 
 
5 . (x-3) = 4 . (2x+1) aplicando a propriedade fundamental. 
5x – 8x = 4 + 15 
-3x = 19 
3x = -19 
X = 
 
 
 Logo, o valor de x é 
 
 
 
 
19 
 
Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x. 
 
 
 = 
 
 
 (aplicando a propriedade fundamental) 
5 . x = 8 . 35 
5x = 280 
X = 
 
 
 
x = 56 Logo o valor de x é 56 
Resolução de problemas envolvendo proporções 
Numa salina, de cada metro cúbico ( ) de água salgada, São retirados 40 de sal. Para obtermos de sal, 
quantos metros cúbico de água salgada são necessários? 
A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Indicamos por x aquantidade de água salgada a 
ser determinada e armamos a proporção: 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
Lembre-se de que 40 dm³ = 0,04 m³. 
 
 
 = 
 
 
 
1 . 2 = 0,04 . x 
0,04x = 2 
x = 
 
 
 x = 50 Logo, são necessários 50 de água salgada. 
Proporção contínua 
Considere a seguinte proporção: 
 
 
 = 
 
 
 
Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim: 
Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais. 
De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por: 
 
 
 = 
 
 
 
Terceira proporcional 
Dados dois números naturais a e b, não nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que: 
 
 
 = 
 
 
 
Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10. 
 
20 
 
Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção: 
 
 
 = 
 
 
 aplicando a propriedade fundamental 
20 . x = 10 . 10 
20x = 100 
x = 
 
 
 
Proporção múltipla 
Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim: 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 é uma proporção múltipla. 
Dada a série de razões iguais : 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 , e acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever: 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
Porcentagem 
A razão, cujo denominador é 100, recebe o nome de razão centesimal. Tais razões centesimais estão expressas em taxas 
percentuais: 
 
 
 = 20% 
 
 
 = 230% 
 
 
 = 15% 
Exemplo: 
a) Em uma determinada turma com cem alunos, 40 tiram nota 10. Qual a porcentagem de alunos que tiraram 10? 
 
 
 = 40% 
b) Num lote de 25 parafusos, 5 apresentam defeito. A razão entre o número de parafusos defeituosos e o total de 
parafusos do lote é: 
 
 
 = 20% 
Significa que se o lote contivesse 100 parafusos, deveríamos encontrar 20 parafusos com defeito. 
c) Uma empresa de telemarketing recebe em média 720 ligações de clientes interessados na compra de seus produtos. 
Sabe-se que a taxa efetiva de vendas é de 15%. Quantas chamadas se converteram em vendas? 
Se a empresa quiser calcular o número de chamadas que representam vendas, devemos lembrar que a taxa de 15% 
significa que, de cada 100 chamadas, 15 foram vendidas. 
Logo: 
 
 
 = 
 
 
 x = 108 vendas efetuadas 
d) Um automóvel que custava R$ 42.000,00, passou a custar R$ 46.200,00. Calcular o percentual de aumento. 
Para calcular a taxa percentual de aumento verificada, fazemos: 
46.200,00 – 42.000,00 = 4.200,00. A seguir, dividimos 4.200 por 42.000 obtendo: 
21 
 
 
 
 = 0,10 = 10% (taxa percentual de aumento) 
AULA 5: FUNÇÃO CUSTO: CUSTO FIXO, CUSTO, VARIÁVEL, CUSTO NO GRÁFICO. 
 Custos 
Conhecer custo é uma condição essencial para administrar uma empresa, seja ela de pequeno, médio ou grande porte. 
Em um mercado altamente competitivo, o conhecimento e a arte de administrar são fatores determinantes de sucesso de 
uma empresa. 
Os custos de uma empresa resultam da combinação de uma série de fatores: a capacitação tecnológica e produtiva 
relativa aos processos, produtos e gestão; nível de atualização da estrutura organizacional e a qualificação da mão de 
obra. 
Uma empresa apura seus custos com vistas: 
 Ao atendimento de exigências legais quanto à apuração dos resultados de suas atividades e avaliação de 
estoques. 
 Ao conhecimento dos custos para tomada de decisões corretas. 
Entende-se por custo a soma dos valores de bens e serviços consumidos e aplicados para obter um novo produto ou 
serviço. 
Quando falamos de custos, não se apuram somente custos de utilidades físicas (bens, mercadorias, etc.), mas também 
custosde serviços (fretes, seguros, etc.). Porém, os custos somente ocorrem quando houver consumo ou venda. 
O dinheiro gasto na compra de uma máquina não é um custo, mas um investimento. O desgaste da máquina em função 
do uso é um custo, porque existe o “consumo”, a deterioração da máquina. Quando uma máquina é adquirida, não há 
nenhum custo envolvido na transação. 
O total pago pela máquina é classificado como ativo fixo, porque esta máquina tem uma vida útil estimada de 10 (dez) 
anos. Pode-se dizer que, ao final de cada ano, 1/10 (um décimo) desta máquina, ou valor, gastou-se e, ao final do 
primeiro ano, apenas 9/10 (nove décimos) do valor da máquina permanecem contribuindo para as operações da 
empresa. O reconhecimento deste fato implica no reconhecimento do respectivo custo, que no caso chama-se custo de 
depreciação das máquinas e equipamentos ou, simplesmente, depreciação. 
Os três componentes básicos do custo são: 
1. Valor das matérias-primas ou mercadorias adquiridas. 
2. O valor dos serviços (trabalhos) prestados por pessoas físicas (empresários ou empregados). 
3. Valor dos serviços prestados por outras empresas como, por exemplo, empresas de transporte, empresas 
fornecedoras de força e luz, empresas de seguros, bancos, etc. 
De acordo com sua natureza, os custos classificam-se em Custos Fixos e Custos Variáveis. 
 
22 
 
Custos Fixos 
São aqueles que ocorrem em função da manutenção da produção, independente da quantidade que venha a ser 
produzida dentro da capacidade instalada. 
Exemplos desses custos são o custo de aluguel, os salários do pessoal administrativo, honorários pagos ao escritório de 
contabilidade e a depreciação. Assim, tanto faz produzir zero ou dez toneladas de produto, os custos fixos permanecerão 
os mesmos. Por exemplo, o aluguel pago para a utilização de um ponto comercial, independentemente do fato da 
empresa estar produzindo ou parada, ou de estar produzindo maior ou menor quantidade de bens ou serviços. 
 
Espera-se que, quanto mais próximo do volume máximo de produção, menor seja o custo unitário produzido, devido à 
economia de escala proporcionada. 
Veja o gráfico. Observe que a reta do custo fixo unitário não começa no zero, mas na primeira unidade produzida, pois 
nesse volume de produção é ela que absorve todo o custo. 
 
Exemplo: Uma indústria apresentou, num determinado mês, um custo fixo de R$15.000,00. Nesse mesmo mês, a 
indústria produziu uma quantidade de 3.000 produtos. Qual foi o custo fixo unitário daquele produto naquele mês? 
Custo fixo unitário = custo fixo/quantidade de itens produzidos. 
Custo fixo unitário = R$15.000,00/3.000 = R$5,00. 
Custos Variáveis 
São aqueles que aumentam ou diminuem, conforme o volume de produção. São exemplos desse comportamento os 
custos da matéria-prima (quanto mais se produz, maior a necessidade, portanto maior o custo) e da energia elétrica 
(quanto mais se produz, maior o número de máquinas e equipamentos elétricos, consequentemente maiores o consumo 
e o custo). A representação gráfica do custo variável total é: 
23 
 
 
Em razão do comportamento dos custos variáveis, espera-se que cada unidade produzida tenha o mesmo custo. No 
gráfico a seguir, temos uma representação para o custo variável unitário. 
Observe que a reta do custo variável unitário não inicia no zero, mas em uma unidade, pois na quantidade zero não 
ocorrem custos variáveis. 
 
Quando se vende um produto, o custo do material aplicado será sempre o mesmo por produto vendido. Daí dizer-se que 
o custo variável é fixo por unidade vendida. Porém, quando dizemos que pagamos R$2.000,00 pelo aluguel da empresa 
(custo fixo), se vendermos 1.000 unidades, o custo fixo por unidade será de R$2,00. 
Se aumentarmos as vendas para 1.250 unidades, o custo fixo por unidade será de R$1,60 (2.000 divididos por 1.250). 
Daí dizer-se que o custo fixo unitário é variável por unidade vendida. 
Custo total 
É a soma dos custos fixos mais os variáveis. A sua representação gráfica é: 
 
Atenção! 
Uma indústria, que produz apenas um tipo de produto, gasta mensalmente R$3.000,00 com aluguel da fábrica e 
R$500,00 com o contador. O custo unitário de produção é de R$20,00, supondo computados todos os fatores de 
produção. Se num determinado mês o custo total da indústria foi de R$15.500,00, qual a quantidade de produtos 
fabricados? 
Custo total = Custo fixo + Custo variável 
24 
 
15.500 = (3.000 + 500) + (20 x) sendo x a quantidade de produtos fabricados 
15.500 = 3.500 + 20x 
20x = 12.000 
x = 12.000/20 
x = 600 
Função Custo 
A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, indústria ou loja, na produção ou aquisição de 
algum produto. Como vimos, o custo possui duas parcelas: uma fixa e outra variável. Podemos representar uma função 
custo usando a seguinte expressão: 
C(x) = Cf + Cv Onde Cf: custo fixo e Cv: custo variável 
Função Receita 
A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, dependendo do número de vendas de determinado 
produto. 
R(x) = px , onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas. 
Função Lucro 
A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração entre a função receita e a função 
custo. 
L(x) = R(x) – C(x) 
Vamos testar o conhecimento! 
Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixo mensal de R$950,00 inclui 
conta de energia elétrica, de água, impostos, salários, etc. Existe também um custo variável que depende da quantidade 
de pistões produzidos, sendo a unidade R$41,00. Considerando que o valor de venda de cada pistão no mercado seja 
equivalente a R$120,00, monte as Funções Custo, Receita e Lucro. Calcule o valor do lucro líquido na venda de 1.000 
pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para que se tenha lucro. 
Função Custo total mensal: 
C(x) = 950 + 41x 
Função Receita 
R(x) = 120x 
Função Lucro 
L(x) = 120x – (950 + 41x) 
Lucro líquido na produção de 1000 pistões 
L(1000) = 120*1.000 – (950 + 41 * 1.000) 
L(1000) = 120.000 – 950 + 41.000 
L(1000) = 120.000 – 41.950 
25 
 
L(1000) = 78.050 
O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$78.050,00. 
Para que se tenha lucro, é preciso que a receita seja maior que o custo. 
R(x) > C(x) 
120x > 950 + 41x 
120x – 41x > 950 
79x > 950 
x > 950 / 79 
x > 12 
Para ter lucro, é preciso vender acima de 12 peças. 
Uma indústria de sapatos tem um custo fixo de R$ 150.000,00 por mês. Se cada par de sapato produzido tem um custo 
de R$ 20,00 e o preço de venda é de R$ 50,00, quantos pares de sapatos a indústria deve produzir para ter um lucro de 
R$ 30.000,00 por mês? A partir de quantos pares de sapatos haverá lucro? 
Lucro = Receita – Custo 
Seja x → a quantidade de pares de sapatos produzidos e vendidos 
30.000 = 50 x – (150.000 + 20 x) 
30.000 = 50 x – 150.000 – 20 x → 30.000 +150.000 = 30 x → x = 6.000 
Agora vamos analisar: a partir de quantos pares de sapatos haverá lucro: 
Ou seja, o lucro será zero: 0 = 50 x – (150.000 + 20x) 
0 = 50 x – 150.000 – 20 x → 150.000 = 30 x → x = 5.000 
AULA 6: FUNÇÃO LINEAR, GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO, FUNÇÃO CRESCENTE, FUNÇÃO 
DECRESCENTE. 
O conceito de função nos transporta à teoria dos conjuntos: quando existirem dois conjuntos com algum tipo de 
associação entre eles, ocorre uma função sempre que houver uma correspondência de qualquer elemento de um 
conjunto a um elemento do outro conjunto. 
As funções são utilizadas em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos em um determinado 
período de um curso. O valor a ser pago vai depender da quantidade de disciplinas em queo aluno está matriculado. 
 Imagine x o valor por disciplina e y o valor total a ser pago no período. Então, temos: y = f(x). 
Y = número de disciplinas . x 
Exemplos: 
 f(x) = 5x – 3 , onde a = 5 e b = -3 
 f(x) = -2x – 7 , onde a = -2 e b = 7 
 f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5 
 f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0 
26 
 
Plano cartesiano 
Como podemos observar, uma reta real é uma reta orientada ou um eixo que cada ponto está associado a um único 
número real e vice-versa. O ponto 0 (zero) do eixo é chamado origem. Portanto, qualquer ponto à direita de 0, o número 
será positivo. Quando estiver à esquerda, o número será negativo. Quando coincidir com o 0, será nulo. 
 
Vamos imaginar um número P = -3. Teremos OP = -3. 
Agora vamos praticar: 
 Para P = -1 teremos OP = -1 
 Para P = +2 teremos OP = +2 
Consideremos num plano....de dois eixos, x e y, perpendiculares em 0, um ponto A pertencente a ..., existem apenas 
duas retas, r e s, que passam por A de modo que r // y e s // x. (Note que // significa paralela). 
 
Eixos: 
 x = eixo das abscissas 
 y = eixo das ordenadas 
  = plano cartesiano 
Agora, você pode notar que o plano cartesiano fica dividido em quatro quadrantes: 
 
 
27 
 
Podemos então localizar os pontos A(2,3), B(-3,2), C(-2,-1), D(3,-2), E(3,0) e F(0,2): 
 
Atividade proposta 
Estudar o sinal das funções: 
a) Y = 2x – 1 
 
b) y = -2x + 5 
 
Representação gráfica das funções Crescente e Decrescente 
O gráfico de uma função de 1° grau, y = ax + b, com a = 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. 
Exemplo: 
Construir o gráfico da função y = 3x – 1 
Para x = 0  y = 3 . 0 – 1 = -1, portanto, um ponto é (0, -1) 
Para y = 0, temos 0 = 3x – 1 x = 1/3 então outro ponto é (1/3, 0). 
28 
 
 
Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então, que a função y 
= 3x – 1 é crescente. 
Construir o gráfico para a função y = -2x + 3 
 
Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y diminuem. Dizemos, então, que a função y = -2x + 3 
é decrescente. 
Variação de sinal da Função de 1° Grau 
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x, em que y é positivo, os valores de x em 
que y é zero e os valores de x em que y é negativo. 
Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar seu sinal. 
Sabemos que essa função se anula para x = -b/a (raiz). Há dois casos possíveis: 
Função Crescente 
1º. a > 0 (função crescente) 
y > 0 ....ax + b > 0 .... x > -b/a 
y < 0 ....ax + b < 0 .... x < -b/a 
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz. 
29 
 
 
2º. a < 0 (função decrescente) 
y > 0 .... ax + b > 0 ....x < -b/a 
y < 0 ....ax + b < 0 .... x > -b/a 
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz. 
 
AULA 7: FUNÇÃO RECEITA, FUNÇÃO LUCRO; PONTO DE EQUILÍBRIO. 
Nesta aula estudaremos a função da receita, a determinação de preços de venda, as funções do lucro, os gráficos e suas 
representações. 
Função Receita, Função Lucro e Ponto de Equilíbrio 
1) O preço do aluguel corresponde à quinta parte do salário de João; as despesas com alimentação e transporte 
correspondem a dois sétimos. Qual é o salário que João de vê receber a fim de que, descontadas todas aas despesas, 
sobrem a ele, no mínimo, R$540,00 
Solução: 
Aluguel  1/5 do salário 
Alimentação, transporte  2/7 do salário 
Salário = (1/5) + (2/7) + 540  540 ={1-[(1/5)+(2/7)]} do salário 
Logo: 540 = (18/35) do salário  salário = (540/18) x 35 = 1.050 
Resp. R$1.050,00 
2) Uma encomenda, para ser enviada pelo correio, tem um custo C de R$10,00 para um peso P de até 1Kg. Para cada 
quilo adicional ou fração de quilo, o custo aumenta R$0,30. A função que representa o custo de uma encomenda de 
peso P ≥ 1kg: 
Solução: 
30 
 
Se 1 ≥ P  C = 10 
Se 2 ≥ P > 1  C =10+1x0,30 
Se 3 ≥ P > 2  C = 10+2x0,30 
Se 4 ≥ P > 3  C = 10+3x0,30 
3) O gráfico abaixo informa a quantia a ser paga pelo consumo de água em certa cidade. Um consumo de 28 
importa no pagamento de: 
Obs: O consumo mínimo é 10 . 
 
Solução: 
(60-20) / (20-10) = 4 
20+4.(C-10) 
20+4.(28-10) 
20+4.18=20+72= 92 
4) De modo geral, a lei que rege as transações comerciais é: R = C+L, onde R é a arrecadação dos produtos vendidos; 
C o custo total dos produtos fabricados; e L o lucro obtido na transação. 
Para produzir um produto, uma indústria gasta R$1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa de R$4.000,00, 
independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$2,00 por unidade. Qual é o número mínimo de 
unidades a partir do qual a indústria começa a ter lucro? 
Solução: 
C = 4000 + 1,20x onde x é a quantidade de produtos. 
Como C =R – L, para calcularmos o valor mínimo para começar a dar lucro, vamos imaginar o L = 0. 
Logo, substituindo C por 4000 + 1,20x e R por 2x, temos: 
4000 + 1,20x = 2x – 0 
2x – 1,2x = 4000 
Logo: 0,8x = 4000 
x = 5.000produtos  a partir daí começa a dar lucro. 
 
 
 
31 
 
5) Uma empresa pretende produzir um determinado produto e vender a R$80,00 cada. Caso não venda unidade 
alguma, a receita será 0; se forem vendidas 100.000 unidades, qual será a receita? 
 
Solução: 
No caso da receita ser uma função linear (preço constante), a equação que define a função é R(q) = p.q onde R 
é a receita total, p é o preço por unidade do produto e q é a quantidade vendida. 
Assim, a receita R será 80 x 100000 = R$8.000.00,00. 
Ponto de Equilíbrio 
O ponto de equilíbrio é o ponto onde a oferta é igual à demanda. 
 Oferta: é a capacidade produtiva das empresas de colocar produtos no mercado. 
 Demanda: é o mercado consumidor, ou seja, clientes procurando produtos para satisfazer as suas 
necessidades. 
A análise do Ponto de Equilíbrio é apenas um guia que evidencia o relacionamento existente entre os fatores que afetam 
o lucro. Tem grande importância para a decisão gerencial, mas é preciso levar em conta que suas premissas são difíceis 
de se realizar na vida real. 
O cálculo do ponto de equilíbrio pode ser feito por três métodos: 
1º. Método da Equação 
Vendas = Custo variável + Custo fixo + Lucro líquido 
Exemplo: 
Preço de venda unitário: R$10,00 
Custo variável unitário: R$4,00 
Custo Fixo: R$150.000,00 
Quantas unidades devem ser produzidas para que seja alcançado o Ponto de Equilíbrio? 
10x = 4x + 150000 + 0 
x = 25.000 unidades 
 
 
32 
 
 Custo Fixo: Os custos fixos são aqueles que incorrem independentemente do volume da produção. Exemplos: 
aluguel, IPTU, salários da administração, depreciação das máquinas e equipamentos. 
 Vendas: é o faturamento bruto, resultante das vendas. 
 Custos variáveis: são aqueles que dependem diretamente do volume da produção. Exemplos: matéria-prima, 
consumo de energia das máquinas da fábrica, pagamentos a fornecedores, impostos sobre as vendas. 
 Lucro líquido: é o resultado das transações, já deduzido todos os custos e os impostos. 
 
2º. Método Margem de Contribuição 
Utiliza a margem de contribuição por unidade de saída de produção necessária para calcular o ponto de equilíbrio. 
 x = 
 
 
 
Margem de contribuição unitária: é o preço de venda unitário menos o custo variável unitário (PVU – CVU). 
Considerando os dados anteriores, calcular o ponto de equilíbrio, levando em conta a margem de contribuição. 
Preço de venda unitário:R$10,00 
Custo variável unitário: R$4,00 
Custo fixo: R$150.000,00 
PVU – CVU = 10 – 4 
Vamos usar o lucro zero por ser o ponto de equilíbrio, ou seja, receita = custo. 
X =(150.000 + 0) / (10 – 4 ) 
X = 25.000 unidades 
 
3º. Método Gráfico 
As unidades de venda são representadas no eixo horizontal e os valores monetários no eixo vertical. 
 
 
 
33 
 
Depreciação Linear 
Existem ativos (máquinas, equipamentos, veículos, prédios) que sofrem uma depreciação contábil (“desvalorização”) no 
seu valor de aquisição, calculado mensalmente ou anualmente, dependendo do tipo de ativo. 
Exemplo: Um equipamento de informática é comprado por R$12.000,00. Sua depreciação normal é realizada em cinco 
anos. 
a) Qual será o valor estimado desse equipamento ao fim de três anos? 
Valor da depreciação anual: 12000 
 
 
 = 2400 
Depreciação ao fim de três anos: 2400 x 3 = 7200 
Valor estimado ao fim de três anos: 12000-7200 = R$4.800,00 
 
b) Qual o valor da depreciação mensal desse equipamento? 
 
 
 = R$200,00 ou 
 
 
 = R$200,00 
Porque 5anos = 60 meses 
AULA 8: RECEITA QUADRÁTICA, FUNÇÃO LUCRO QUADRÁTICA, FUNÇÃO QUADRÁTICA E 
INEQUAÇÃO DO 2° GRAU 
Função Quadrática 
Definição de Função Quadrática 
 
Um clube dispõe de um campo de futebol de 100m de comprimento por 70m de largura e, por medida de segurança, 
decidiu cercá-lo, deixando o campo e a cerca, uma pista com 3m de largura. Qual é a área do terreno limitado pela 
cerca? 
A área da região cercada é: (100 + 2 . 3) (70 + 2 . 3) = 106 . 76 = 8056 
Se a largura da pista fosse de 4m, a área da região cercada seria: (100 + 2 . 4)(70 + 2 . 4) = 108 . 78 = 8424 
 
 
34 
 
Enfim, para cada largura x escolhida para a pista, há uma área A(x) em função de x: 
A(x) = (100 + 2x)(70 + 2x) = 7000 + 200x + 140x + 4 = 
4 + 340x + 7000 
Esta é uma função polinomial do 2° grau ou função quadrática. 
Chama-se função quadrática ou polinomial de 2° grau qualquer função f de R em R dada por: 
F(x) = a + bx + c onde a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
Exemplo: 
1. f(x) = 2 + 3x + 5 onde a = 2, b = 3, c = 5 
2. f(x) = 3 - 4x + 1 onde a = 3, b = -4, c = 1 
3. f(x) = - 1 onde a = 1, b = 0, c = -1 
4. f(x) = - + 2x onde a = -1, b = 2, c = 0 
5. f(x) = -4 onde a = -4, b = 0, c = 0 
 
Gráfico 
O gráfico de uma função polinomial do 2° grau y = a + bx + c, onde a ≠ 0, é uma curva chamada parábola. 
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função y = + x. primeiro, atribuímos a x alguns valores; depois calculamos o valor de y 
e, em seguida, ligamos os pontos obtidos. 
35 
 
 
Vamos construir o gráfico da função y = - + 1 
 
Valores máximo e mínimo de uma função de 2° grau 
Gráfico da função do 2° grau y = a + bx + c: é sempre uma parábola de eixo vertical. 
 
Propriedades do gráfico y = a + bx + c: 
1) Se a > 0, a parábola tem um ponto de mínimo e com concavidade voltada para cima. 
2) Se a < 0, a parábola tem um ponto de máximo e com concavidade voltada para baixo. 
3) O vértice da parábola é o ponto V(xv, yv) onde: 
xv = 
 
 
 
yv = 
 
 
, onde D = - 4ac, isto é, (formula de Bhaskara) 
 
 
 
 
36 
 
4) A parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissas e , que são as raízes da equação a +bx+c=0 
5) A parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c). 
6) O eixo de simetria da parábola é uma reta vertical da equação x = 
 
 
. 
7) ymax = 
 
 
 (a < 0) 
8) ymin = 
 
 
 (a > 0) 
9) forma fatorada: sendo e as raízes de f(x) = a 
 + bx + c; então, ela pode ser escrita na forma fatorada 
seguinte: 
y = a(x . ).(x . ) 
Função Lucro 
Um grupo de estudantes resolveu montar uma pequena indústria de estampas em camisas. Para tornar o negócio 
rentável, é preciso levantar os custos de produção e conhecer o número provável de camisetas vendidas. 
O grupo levantou os seguintes custos: 
 
Determine o custo C para estampar x camisetas. 
O custo C para estampar x camisetas é dado por: C(x) = 1650 + 7,50x 
 
37 
 
Inequações do 2° grau 
Vamos aplicar o estudo do sinal da função quadrática na resolução de inequações. 
Para resolver inequações do segundo grau, precisamos, antes, recordar que as inequações do 1° grau são resolvidas 
seguindo-se o mesmo procedimento utilizado na resolução das equações de 1° grau e observando-se as propriedades das 
desigualdades e o significado da solução. 
Como resolver a inequação? 
 - 3x – 4 > 0 ... (então y > 0 lembrando que a função - 3x – 4 = y). 
Inicialmente, igualamos a equação a 0 para calcular as raízes. 
 - 3x – 4=0 
 = -1 e = 4. Assim, podemos desenhar a parábola função. 
Para determinar o ponto em que a parábola corta o eixo y, temos que fazer x = 0. Logo: y = -4 
Vamos agora calcular o vértice da parábola (ponto máximo ou mínimo). O ponto do vértice tem abscissa (no eixo x) e 
ordenada (no eixo y). 
 Abscissa = 
 
 
 = -
 
 
 = 1,5 
 Ordenada = -
 
 
 = - 
 
 
 = - 
 
 
 
De posse dos quatro pontos calculamos: -1, 4, -4 e o vértice (1,5; -6,25), podemos desenhar a parábola. 
 
Estudo do sinal da função 
Estudando o sinal da função, temos: a função é côncava para cima, pois (a > 0): (onde a é o coeficiente em ). 
 
 
38 
 
Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são x < -1 ou x > 4. E o conjunto: 
 S = {x ϵ R/ x < -1 v x > 4} obs: v significa “ou” 
 
 
 
 
39 
 
AULA 9: LIMITES DE UMA FUNÇÃO 
Noção intuitiva de limites 
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p. 
Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x se 
aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L. 
A notação é a seguinte: 
Exemplo: 
Como se comportam os valores da função y = 3x + 5 quando x se aproxima do ponto p =4? 
 
 
 
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p. 
Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x se 
aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L. 
 
 
 
Seja a função f(x)=2x+1. 
Como se comportam os valores da função f(x) quando x se aproxima do ponto p = 1? 
Vamos atribuir a x valores que se aproximam de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores 
menores que 1) e calcular o valor correspondente de y ou f(x): 
 
Notamos que, à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x -> 1), y tende 
para 3 (y -> 3), ou seja: 
 
 
 
 
40 
 
Quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. 
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). 
Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)3), dizemos que o limite de f(x). 
Quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. 
De forma geral, escrevemos: 
 =L 
Se, quando x se aproxima de p (xp), f(x) se aproxima de L (f(x) -> L) 
Propriedades dos limites 
 
 
 
 
 
 
 
O limite da soma é a soma dos limites. 
O limite da diferença é a diferença dos limites. 
 
 
 
 = 1 + 3 = 4 
O limite do produto é o produto dos limites. 
 
 
 
 
 
 
 
O limite do quocienteé o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero. 
 
Atividade proposta 
Vamos testar o que aprendemos até aqui? Leia com atenção e resolva as questões a seguir! 
a) Como se comportam os valores da função y = 
 
 
, quando x se aproxima do ponto p=2? 
Lembramos que, pela propriedade do limite do quociente de funções, o resultado é o quociente dos limites das funções. 
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=2: 
 (x-2) se aproxima de zero 
 (x+1) se aproxima de 3; 
Portanto, o limite da função y = 
 
 
 estará se aproximando do quociente dos limites de (x-2) e de (x+1) no ponto p=2, 
ou seja, será igual a: 
 
 
 = 0 
b) Como se comportam os valores da função y = (x+4).(x – 2x) quando x se aproxima do ponto x=3? 
Lembramos que, pela propriedade do limite do produto de funções, o resultado é o produto dos limites das funções. 
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=3: 
 (x+4) se aproxima de 7; 
 (x2 – 2x) se aproxima de 3; 
Portanto, o limite da função y = (x + 4).(x² – 2x) estará se aproximando do produto dos limites de (x + 4) e de (x² – 2x) 
no ponto p=3, ou seja, será igual a: 7.3 = 21 
c) Como se comportam os valores da função y = 
 
 
 quando x se aproxima do ponto p=2? 
Lembramos que, pela propriedade do limite do quociente de funções, o resultado é o quociente dos limites das funções. 
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=2: 
 (x² – 4) se aproxima de zero. 
 (x– 2) se aproxima de zero. 
 
41 
 
Portanto, o limite da função y = 
 
 
 aproxima-se de uma fração do tipo 
 
 
. Logo, não podemos aplicar a propriedade do 
quociente dos limites. 
Para resolver essa questão, vamos construir duas tabelas de valores que se aproximam à esquerda e à direita do ponto 
p=2. Vamos procurar concluir para que valor a expressão realmente converge. 
 
Portanto, podemos concluir que, à medida que x se aproxima de 2, os valores de y é 
 
 
 aproximam-se do valor de 
L=4. 
AULA 10: DERIVADAS 
 Veremos nesta aula algumas técnicas de derivação como: Derivada da Função Potência, Derivada de uma Constante, 
Derivada de uma Constante Multiplicada por uma Função, Derivada de uma Soma, Derivada do Produto e Derivada do 
Quociente. 
Derivada da Função Potência 
Em Física, ela é usada para o estudo dos movimentos 
Em Economia, Administração e Logística, é usada na determinação de máximos e mínimos de gráficos e funções e no 
cálculo de taxas de variações. 
Taxa média de variação 
 
Derivada de uma função 
Regras de Diferenciação 
 Derivada da Constante: 
 
 
 = 0 
 Derivada da Potência: 
 
 
 = n. .v’ 
 Derivada da Soma: 
 
 
(u+v+...+z) = u’+v’+...+z’ 
 Derivada do Produto: 
 
 
(u.v) = u.v’+v.u’ 
 Derivada do Quociente: 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
Derivadas 
Uma função y=f(x) tem como derivada a representação y’. 
As regras de derivação são bem simples: 
1. De constante: é sempre igual a zero: y = 5y’ = 0 
2. De potência: a potência vira multiplicador e subtrai-se 1 da potência. (Exemplo: = xy’ = 4 ) 
3. De soma ou subtração: y = f ± g y’ = f’ ± g’ 
4. De produto: y = f . gy’ = f’ . g + f . g’ 
5. De quociente: y = 
 
 
  y’ = 
 – 
 
 
 
 
42 
 
Derivada da Função Potência 
Taxa Média de Variação de uma função y = f(x) no intervalo [a, b] 
Quando a variável x passa do valor a para o valor b, variando  x = b – a , os valores da função y = f(x) passam de y = 
f(a) para y= f(b), variando y = f(b) - f(a). 
A divisão da variação (y de y) pela variação (x de x) é a taxa média de variação (TMV) dessa função no intervalo 
[a, b]  TMV = 
 
 
 
Para a = 1 e b = 3  x= 3-1= 2 
y = f(3) = 9 + 1 = 10 
y = f(1) = 1 + 1 = 2 
Logo:  y= 10 – 2 = 8  TMV = 
 
 
 = 
 
 
 = 4 
No intervalo [1, 3] a função y = x² + 1 está crescendo, em média, 4 para cada unidade acrescida em x. 
 
 
 
Cálculo da Derivada em um Ponto 
Calcular o valor da derivada de y = 3 + 10x – 50 no ponto p = 0,8 e interprete o resultado obtido. 
y = 3 + 10x – 50 no ponto p=0,8 
Cálculo da função derivada: y’= 6x + 10 
Cálculo do valor da função derivada no ponto p=0,8: 
y’ (0,8)=6(0,8) + 10 = 14,8 
Interpretação: 
no ponto p=0,8 a tendência da função y=3 +10x–50 é crescer 14,8. 
Se o custo de um produto em função da quantidade produzida é dado por: CT = –3 + 100q + 1000, deve-se 
calcular a tendência à variação do custo com a quantidade, relativa ao valor do custo quando a quantidade é de 50 
unidades. 
CT = –3 + 100q + 1000 
Para calcularmos a tendência à variação quando a quantidade for exatamente no ponto de quantidade igual a 50, teremos 
que calcular primeiro a derivada da função custo em relação à quantidade. 
CT’ = 3 –6q + 100 
A tendência para q = 50: CT’(50) = 3 -6(50) + 100 = 7.300 
O valor do custo para q = 50: 
CT(50) = -3 +100(50)+1.000 = 123.500 
A tendência relativa será: CT’(50)/CT(50) = 7.300/123.500 = 5,91% 
43 
 
Derivada do Produto de Duas Funções: y = f(x) . g(x) 
Y = f . g  y’ = f’ . g + f . g’ 
Calcular a derivada da função y = (x + 1).(x – 3x), x ϵ R 
f(x) = x + 1 ; g(x) = x² - 3x 
(x) = 1; g’(x) = 2x – 3 
Então: y’ = (x + 1)’ . (x² – 3x) + (x + 1) . (x² - 3x)’ = 1 . (x² - 3x) + (x + 1) . (2x – 3) = x² –3x + 2x² + 2x – 3x – 3 = 3x² – 
4x – 3, x ϵ R 
Derivada do Quociente de duas funções 
y = f(x)/g(x) 
y = 
 
 
  y’ = 
 
 
 
Exemplo: 
Calcular a derivada da função y = x / (x+1), -x 1 
f(x) = x; g(x) = x+1 
f’(x) = 1; g’(x) = 1 
y = 
 
 
  y’ = 
 
 
 
y'=[x+1)-x]/(x+1)²=1/(x+1)² para x 0 
Exemplo: 
Calcular a derivada da função y = 5x/( +4), x ϵ R 
f(x) = 5x; g(x) = +4 
f’(x) = 5; g’(x) = 2x 
y = 
 
 
  y’ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 , x ϵ R