2°INTERMEDIARIA_ExercciosComplementaresdelgebraLinear20152

Prévia do material em texto

Exercícios Complementares de Álgebra Linear (2015/2) 
- 1 - 
 
Transformações Lineares 
1. Determine a lei algébrica (ou a matriz canônica) do operador linear que transforma a 
Figura 1 na Figura 2. 
 
Resposta: Como domínio e contradomínio estão no plano (que tem dimensão 2), basta 
tomar um conjunto de dois vetores/pontos l.i. do domínio, observar a imagem destes 
vetores e determinar a transformação Você chegará à transformação 
 
 
2. Assinale a alternativa correta: Uma transformação linear 
22: RRT 
que associa os vetores da 
Figura 1 aos vetores da Figura 2 é: 
 
 Figura 1 Figura 2 
 
a) 
),
2
1
(),( yyxyxT 
 
b) 
),
2
1
(),( yyxyxT 
 
c) 
),(),( yxyxT 
 
(1/2; 2) 
(1; 0) 
(0; 1) 
Figura 1 
(5/2; 2)) 
(1; 0) 
(1; 1) 
Figura 2 
(2; 1) (1; 1) 
Exercícios Complementares de Álgebra Linear (2015/2) 
- 2 - 
 
d) 
)
2
1
,(),( yxxyxT 
 
e) 
),(),( yxyxyxT 
 
 
Resposta: alternativa a) 
 
3. (Boldrini – Álgebra Linear – 3 ed. 1980 – pág 171 – ex. 3 ) 
a) Ache a transformação linear 
23: RRT 
 tal que , e 
 . 
b) Encontre um vetor de 3R tal que 
 
Resposta: a) b) 
 
4. Seja operador linear definido por . 
a) Verifique se o vetor pertence ao . 
b) Verifique se o vetor pertence ao . 
c) Verifique se o vetor pertence a . 
d) Determine uma base e a dimensão do 
e) Determine uma base e a dimensão da . 
f) Verifique a validade do Teorema da Dimensão para . 
g) é injetora? Por que? 
h) é sobrejetora? Por que? 
i) é inversível? Por que? 
 
Resposta: 
a) não pertence 
b) pertence 
c) pertence 
d) base do e 
e) base de e 
f) Teorema da dimensão ( linear): . Como , 
temos 1 + 1 = 2 (V). 
g) Uma transformação linear é injetora se, e só se, Como 
contém vetores não nulos, temos que não é injetora. 
h) Uma transformação linear é sobrejetora se, e só se, . Isso pode ser 
verificado observando se . Como , pois suas dimensões 
são diferentes, não é sobrejetora. 
i) não é inversível pois 
 
5. Sabe-se que 
))}1,1,1(),1,1,0(),0,0,1{( B
é um sistema de geradores do núcleo N(T) de uma 
transformação linear 
23: RRT 
, determine a dimensão do conjunto-imagem de T: Im( . 
 
Resposta: Aplique o Teorema da dimensão e verifique que .