Matemática Discreta - CONTAGEM

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Aula 00 
Curso: Estatística p/ ICMS RJ 
Professor: Fábio Amorim 
Curso: Estatística p/ ICMS RJ 
Teoria e Questões comentadas 
 Prof. Fábio Amorim - Aula 00 
 
Prof. Fábio Amorim 2 de 26 
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Olá pessoal! 
 
Sejam bem-vindos ao Exponencial Concursos! 
 
Oferecemos a vocês o curso de Estatística, direcionado para o concurso 
público de Auditor Fiscal da Receita Estadual do Rio de Janeiro. Este curso 
abordará todo o conteúdo exigido pelo Edital, incluindo teoria e questões 
comentadas. 
O objetivo é proporcionar um curso bastante objetivo e didático, 
trazendo o conhecimento necessário para que vocês tenham condições de 
fazer todas as questões que serão cobradas nesse novo concurso da 
SEFAZ/RJ. A disciplina de Estatística está contida em um grupo que inclui 
Matemática Financeira e Raciocínio Lógico, as quais, juntas, serão 
responsáveis por 24 questões da Prova 2. 
Professor, mas eu nunca estudei Estatística, terei muita dificuldade em 
acompanhar o curso? 
Pelo contrário, o curso foi elaborado em uma linguagem clara, de modo 
que todos os alunos possam compreendê-lo, inclusive aqueles que possuem 
menos afinidade com a disciplina, ou nunca a tenham estudado. 
O curso será composto por sete aulas, cujos assuntos e datas em que serão 
disponibilizadas são: 
 
Aula Assunto Data 
Aula 0 Técnicas de Contagem e Análise Combinatória. 
Combinações, Arranjos e Permutação. 
disponível 
Aula 1 Espaço amostral e probabilidades: conceito, 
axiomas. 
15/06 
Aula 2 Estatística Descritiva: gráficos, tabelas, medidas de 
posição e de variabilidade. 
22/06 
Aula 3 Distribuições de probabilidades discretas e contínuas 
(Bernoulli, Binomial, Poisson, Normal, Qui-quadrado, 
T-Student). 
29/06 
Aula 4 Amostragem: amostras casuais e não casuais. 
Processos de amostragem, incluindo estimativas de 
parâmetros. Inferência: intervalos de confiança. 
06/07 
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Aula Assunto Data 
Aula 5 Testes de hipóteses para médias e proporções. 13/07 
Aula 6 Correlação e Regressão Linear simples 20/07 
 
Agora que já apresentamos o curso, peço licença para me apresentar! 
 
 
Meu nome é Fábio Amorim, sou formado em Engenharia Civil pelo 
Instituto Militar de Engenharia (2003), pós-graduado em Docência do Ensino 
Superior pela Universidade Castelo Branco (2007) e em Direito Administrativo 
pela Universidade Estácio de Sá (2014). 
Durante a minha trajetória profissional, depois de formado, trabalhei 
por cinco anos no Exército Brasileiro, na minha área de formação. Já em 2009, 
tomei posse no cargo de Especialista em Regulação de Serviços de 
Transportes Terrestres, na Agência Nacional de Transportes Terrestres - ANTT. 
Exerci minhas funções até o final de 2009, quando tomei posse no cargo de 
Auditor Federal de Controle Externo, no Tribunal de Contas da União - 
TCU, onde estou até hoje. 
 
Em termos de concursos públicos, obtive aprovação nos seguintes: 
� ANTT (2008) – Especialista em Regulação; 
� MPOG (2008) – Analista de Infraestrutura; 
� TCU (2009) – Auditor Federal de Controle Externo. 
 
Feitas as devidas apresentações, vale destacar que, ao longo deste 
curso transmitirei a vocês diversas dicas de estudo para ajudá-los a conseguir 
a tão sonhada aprovação. 
Nesta aula, vamos trazer um Raio-X completo das provas de Estatística 
aplicadas nos concursos da SEFAZ/RJ desde 2008, destacando, assim, aqueles 
assuntos que são mais importantes para a prova! 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
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O gráfico abaixo mostra a quantidade de questões por assunto. Por esse 
gráfico vocês podem visualizar os assuntos mais importantes da nossa 
disciplina, que deverá ter 8 preciosas questões na Prova 2. 
 
 
 
Apesar de o tópico analise combinatória (assunto desta aula) ter sido 
pouco cobrado historicamente, vale destacar que é uma matéria essencial 
para a compreensão da Aula 1, que abrangerá a teoria das probabilidades. 
Agora, vamos a nossa Aula 0, para que vocês possam conhecer a 
metodologia que iremos aplicar neste curso. 
Boa sorte a todos e vamos lá! 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES - AULA 3
PROBABILIDADES - AULA 1
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 2
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - AULA 4
TESTE DE HIPÓTESES - AULA 5
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES - AULA 6
AMOSTRAGEM - AULA 4
CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES - AULA 6
COMBINATÓRIA - AULA 0
Quantidade de questões - SEFAZ/RJ - (2008-2013)
Histórico e análise das provas 
Estatística 
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Assunto Página 
1- Introdução 06 
2- Princípio Fundamental da Contagem 06 
3- Permutações 09 
4- Arranjo 15 
5- Combinação 17 
6- Questões comentadas 19 
7- Resumo da aula 24 
8- Lista de exercícios 25 
9- Gabarito 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 00 – Técnicas de Contagem e Análise Combinatória 
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A Análise Combinatória é um ramo da Matemática que tem como 
objetivo estabelecer métodos que permitam contar o número de elementos 
que fazem parte de um conjunto. Esses métodos são as chamadas técnicas 
de contagem. 
Para que a contagem seja viável, entretanto, é necessário que o 
conjunto possua um número limitado de elementos e uma determinada 
característica específica. Vejam alguns exemplos de aplicação: 
� De quantas maneiras podem ser confeccionadas as placas de 
identificação dos veículos, que contém três letras e quatro números? 
� Quantos números telefônicos com oito dígitos podem ser formados, 
utilizando-se os números de 0 a 9? 
� Um homem possui 4 ternos, 8 gravatas, 10 camisas e 4 pares de 
sapatos. De quantas formas ele poderá se vestir? 
� Uma corrida de carros possui 20 pilotos. Quantos resultados diferentes 
pode ter essa corrida para o 1º, 2º e 3º lugares? 
Quando o número de elementos desse conjunto é pequeno, 
intuitivamente, ou a partir de contas simples, nós conseguimos facilmente 
obter a resposta. Entretanto, essa tarefa se torna mais difícil se tivermos um 
conjunto mais “populoso” de elementos. A partir dessa dificuldade é que 
surgiram, na matemática, as técnicas de contagem. 
 
 
Esse princípio, também chamado de princípio multiplicativo, é uma 
técnica de contagem que serve como base de toda a análise combinatória. Por 
isso, precisamos compreendê-lo bem. 
Suponhamos que existam “N” resultados possíveis ao se realizar uma tarefa 
T1 e “M” resultados possíveis ao se realizar uma tarefa T2. Então, o número 
de resultados possíveis ao se realizar a tarefa T1 seguida da tarefa T2 é obtido 
pela multiplicação N × M. 
 
Vamos aos exemplos: 
� Um dado comum é lançado duas vezes em sequência. O conjunto 
formado pelos resultados possíveis desses lançamentos é 
formado por quantos elementos? 
Resolução: 
2-Princípio Fundamental da Contagem 
 
1- Introdução 
 
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 Pessoal, ao lançarmos o dado na primeira vez (tarefa T1), quantos 
resultados “N” são possíveis? Logicamente, 6 resultados. Ao lançarmos o dado 
pela segunda vez (tarefa T2), o número de resultados possíveis “M” também 
será 6, correto? 
Assim, segundo o princípio fundamental da contagem, o número de 
resultados possíveis ao fazermos os dois lançamentos em sequência será 
obtido pela multiplicação N × M, ou seja, 6 × 6 = 36. 
Portanto, o número de resultados possíveis será 36. São eles: (1,1), (1,2), 
(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), 
(3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), 
(5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) e (6,6). 
 
 
� Um restaurante possui em seu cardápio 4 tipos de pratos 
principais e 3 tipos de sobremesas diferentes. Uma pessoa 
deseja almoçar nesse restaurante e, para isso, pedirá um prato 
principal e uma sobremesa. De quantas maneiras diferentes esse 
pedido poderá ser feito? 
Resolução: 
 O pedido será composto por um prato principal (tarefa T1) e uma 
sobremesa (tarefa T2). O número de resultados possíveis “N” do prato 
principal é 4. E o número de resultados possíveis “M” para a sobremesa é 3. 
Segundo o princípio fundamental da contagem, o pedido poderá ser feito de N 
× M maneiras diferentes, ou seja, 4 × 3 = 12 maneiras. 
Uma das formas de visualizarmos isso é por meio do chamado diagrama 
sequencial ou diagrama de árvore: 
Tarefa T1 
tem 'N' 
resultados 
possíveis
Tarefa T2 
tem 'M' 
resultados 
possíveis
Ao se executar 
T1 e depois T2, 
existem 'N x M' 
resultados 
possíveis
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*Diagrama de Árvore 
 
Fácil, não é pessoal? Agora, se o número de tarefas for superior a 2? 
 
Se uma tarefa T1 pode ter N1 resultados diferentes, uma tarefa T2 pode ter 
N2 resultados diferentes, e assim sucessivamente, então, ao se realizar em 
sequência as tarefas T1, T2, até Tk, o número de resultados possíveis será N1 
x N2 x ... x Nk. 
 
Para esclarecer esse conceito, vamos retomar o exemplo do início da 
aula. 
� De quantas maneiras podem ser confeccionadas as placas de 
identificação dos veículos, que contém três letras e quatro 
números? 
 
Prato Principal 1
Sobremesa 1
Sobremesa 2
Sobremesa 3
Prato Principal 2
Sobremesa 1
Sobremesa 2
Sobremesa 3
Prato Principal 3
Sobremesa 1
Sobremesa 2
Sobremesa 3
Prato Principal 4
Sobremesa 1
Sobremesa 2
Sobremesa 3
12 possibilidades 
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Resolução: 
 Vamos chamar a primeira letra de tarefa T1, a segunda letra de T2, a 
terceira letra de T3, o primeiro dígito de T4, o segundo dígito de T5, o terceiro 
dígito de T6, e o quarto dígito de T7. O número de letras possíveis de serem 
colocadas na tarefa T1 é igual a 26 (chamamos de N1). O mesmo número se 
aplica a “N2” e a “N3”, correto? No caso de N4, temos dez possibilidades (0, 1, 
2, ..., 9), o mesmo número se aplica a N5, N6, e N7. 
Dessa forma temos: 
Tarefa Número de resultados possíveis 
T1 (letra) N1 = 26 
T2 (letra) N2 = 26 
T3 (letra) N3 = 26 
T4 (número) N4 = 10 
T5 (número) N5= 10 
T6 (número) N6 = 10 
T7 (número) N7 = 10 
 
Segundo o princípio fundamental da contagem, o número de resultados 
possíveis é: 
�1 × �2 × �3 × �4 × �5 × �6 × �7 = 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = �
�. 
��. ���. 
Dessa forma, podemos confeccionar as placas de veículos de 
175.760.000 maneiras diferentes! 
Pessoal, como dissemos inicialmente, o princípio fundamental da 
contagem é uma técnica de contagem que serve como base para as demais 
técnicas. A partir de agora, vamos explorar outras três técnicas derivadas 
desta: a permutação, o arranjo e a combinação. 
 
 
Suponhamos que um determinado conjunto possua “n” elementos. A 
permutação permite contar o número de maneiras diferentes que esses 
elementos podem estar ordenados dentro desse conjunto. 
Vamos trazer um exemplo para esclarecer melhor. 
� João, Pedro e Marcos são três amigos que resolvem andar de 
kart. De quantas maneiras diferentes o resultado dessa corrida 
pode acontecer? 
Resolução: 
3 - Permutações 
 
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 Neste caso, temos um conjunto composto por três elementos (João, 
Pedro, Marcos), ou seja, � = 3. 
Podemos resolver esse problema utilizando o diagrama de árvore. Nesse 
caso, temos: 
 
 
Assim, de acordo com o diagrama de árvore, temos 6 resultados 
possíveis. 
Podemos, também, resolver esse problema a partir do princípio 
fundamental da contagem, vamos ver como? 
 
Inicialmente, precisamos pensar quantos corredores podem ocupar a 
posição de 1º lugar. Pelo nosso exemplo, se temos três corredores, João, 
Pedro e Marcos, então, qualquer um dos três pode ocupar essa posição. 
Assim, temos três possibilidades. 
Considerando que um dos corredores ocupou o 1º lugar, quantos 
corredores podem ocupar o 2º lugar? Já que restaram dois corredores, o 
número de possibilidades é igual 2. 
Dado que um corredor ocupou o 1º lugar, outro ocupou o 2º lugar, 
quantos corredores podem ocupar o 3º lugar? Já que restou apenas um 
corredor, temos apenas uma possibilidade de que isso ocorra. 
João
Pedro Marcos
Marcos Pedro
Pedro
João Marcos
Marcos João
Marcos
Pedro João
João Pedro
3º Lugar 
________
_ 
2º Lugar 
________
_ 
1º Lugar 
________
_ 
1º Lugar 2º Lugar 3º Lugar 
6 resultados 
possíveis 
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Sendo assim, o número de resultados possíveis para essa corrida é 
obtido, de acordo com o princípio fundamental da contagem, pela 
multiplicação das possibilidades: 
 
Outra forma de resolvermos esse problema é por meio da técnica de 
contagem chamada de permutação, que representa o número de maneiras 
diferentes de ordenar um conjunto. 
Para calcularmos o número de permutações no nosso problema, 
utilizamos a seguinte fórmula: 
 
Permutação de 3 elementos: 
�3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 �������çõ��. 
 
Portanto, o número de permutações possíveis em um conjunto de 3 
elementos é representado pelo fatorial do número 3, o que representa um 
total de 6 permutações. 
Agora, se nosso conjunto for formado por um número maior de 
elementos? Nesse caso, resolver o problema pelo princípio fundamental da 
contagem ou por meio do diagrama de árvore torna-se bastante trabalhoso. 
Nesses casos, podemos obter o resultado facilmente aplicando a fórmula da 
permutação. 
Dado um conjunto de “n” elementos, o número de permutações 
possíveis nesse conjunto é representado pela expressão: 
 ! = !! 
Onde �! é o fatorial do número “n”, representado pela expressão: 
�! = � × "� − 1$ × "� − 2$ × "� − 3$ × … × 1 
 
Vamos acompanhar mais alguns exemplos para fixar bem o conteúdo? 
� De quantas formas 6 pessoas podem serordenadas em fila 
indiana? 
Resolução: 
1º Lugar 2º lugar 3º lugar 
 
 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades 
_________ _________ _________ 
 
 
(fatorial do número 3) 
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 Neste caso, temos um conjunto com 6 elementos e desejamos saber de 
quantas formas esses 6 elementos podem ficar ordenados. Como o número de 
elementos coincide com o número de posições, temos uma permutação. 
Assim, precisamos calcular quantas permutações podem ser feitas com 6 
elementos. Aplicando a fórmula �& = �!, temos: 
�' = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 ()���� *+(�������. 
 
� Agora, suponha que dentre essas 6 pessoas do exemplo 
anterior, tenhamos três homens e três mulheres. Considerando 
que a primeira posição seja ocupada por uma mulher, de 
quantas formas essas 6 pessoas podem se ordenar em fila 
indiana? 
 Resolução: 
 Neste problema, temos uma condicionante: que a primeira posição da 
fila indiana seja ocupada por uma mulher. Sendo assim, para ocuparmos esse 
lugar, temos três possibilidades, concordam? Para as cinco demais posições, 
temos que permutar as cinco pessoas restantes. 
 
Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de 
possibilidade é dado por pela multiplicação: 
� = 3 × 5! = 3 × "5 × 4 × 3 × 2 × 1$ = 360 �)��+,+-+*�*�� 
 
3.1 – Permutações com elementos repetidos 
Pessoal, agora vamos estudar um tipo específico de permutação, onde 
existem elementos repetidos no conjunto que queremos permutar. 
Suponhamos um conjunto com os seguintes elementos {1, 2, 3, 3, 4, 
5}. Se quisermos calcular o número de permutações que são possíveis neste 
conjunto, teremos um problema, já que o número “3” repete-se duas vezes 
nesse conjunto. 
3 possibilidades P5 = 5! possibilidades 
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Para esses problemas com repetição, o número de permutações deve 
ser calculado pela expressão: 
 !".,0,… $ = !!.! 0! … 
Onde “n” é o número total de elementos, “a” representa o número de 
repetições que possui um determinado elemento, e “b” o número de 
repetições de outro elemento, e, assim, sucessivamente. 
Para praticar, vamos resolver o problema inicialmente proposto. 
� Dado o conjunto {1, 2, 3, 3, 4, 5}, de quantas formas podemos 
ordená-los de maneira diferente? 
Resolução: 
O número de elementos do conjunto é 6. Então � = 6. Existe apenas um 
elemento repetido, o elemento “3”, o qual se repete duas vezes, então � = 1. 
Aplicando-se a fórmula da permutação com repetição: 
�&"2$ = �'"3$ = 6!2! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 12 × 1 = 360 �)��+,+-+*�*�� 
Agora, o mesmo problema, com um conjunto maior: 
� Dado o conjunto {X, P, P, R, R, R, W, W, W, G}, de quantas 
formas podemos ordená-los de maneira diferente? 
Resolução: 
 Neste problema, o número de elementos do conjunto é igual a 10. 
Então, � = 10. Existem três elementos que se repetem: as letras “P”, “R” e 
“W”. Assim, o número de repetições (a, b, c) de cada um desses elementos é 
representado por: 
4� = 2, = 35 = 3 
Conhecidos os valores de “n”, e do número de repetições, podemos aplicar a 
fórmula: 
�&"2,6,7$ = �89"3,:,:$ = 10!2! 3! 3! = 
= 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1"2 × 1$ × "3 × 2 × 1$ × "3 × 2 × 1$ = 50.400 
 
Portanto, podemos ordenar esse conjunto de 50.400 maneiras diferentes. 
 
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 (FGV-SEFAZ/RJ–2008) Os jogadores A e B se encontram 
para jogar uma partida de tênis em no máximo cinco sets, na qual será 
vencedor aquele que primeiro ganhar três sets. Por exemplo, partidas 
terminadas poderão ter como resultado: AAA, AABA, BABAB, etc. Então, o 
número de possíveis resultados para uma partida terminada é: 
(A) 4 (B) 10 (C) 6 (D) 20 (E) 8 
Resolução: 
 Pessoal, se o vencedor é aquele que primeiro ganha três sets, e, a 
partida pode ter, no máximo, cinco sets. Então, a partida pode terminar com 
três, quatro ou cinco sets, tendo como vencedor o jogador A ou o jogador B, 
concordam? 
 Estabelecidas essas premissas, podemos considerar, por simetria, que o 
número de resultados possíveis para que A vença é o mesmo para que B saia 
vencedor. 
Sendo assim, calcularemos o número de possíveis resultados em que o 
jogador A seja o vencedor e multiplicaremos por dois, para considerar, 
também, o número de possíveis resultados em que B seja o vencedor. Como 
devemos contabilizar apenas as partidas terminadas, não importa quem 
vença, devemos considerar o caso de um ou outro vencer. 
 
Considerando o jogador A vencedor: 
Para a partida terminada em três sets, temos apenas uma possibilidade: 
AAA, onde o jogador A ganha os três sets. 
Para uma partida terminada em quatro sets, a condição é que o último 
set tenha o jogador A como vencedor, e, nos três primeiros sets, o jogador A 
tenha vencido dois. Dessa forma, temos que permutar os três primeiros sets 
com os elementos {A, A, B}. 
Aplicando a fórmula da permutação com repetição, em que � = 3 e � =2, temos: 
�&"2$ = �:"3$ = 3!2! = 3 × 2 × 12 × 1 = 3 �)��+,+-+*�*�� 
Para uma partida terminada em cinco sets, a condição é que o último 
set tenha o jogador A como vencedor, e, nos quatro primeiros sets, o jogador 
A tenha vencido dois. Dessa forma, temos que permutar os quatro primeiros 
sets com os elementos {A, A, B, B}. 
Aplicando a fórmula da permutação com repetição, em que � = 4, � = 2, e , =2, temos: 
P>"?,@$ = PA"3,3$ = 4!2! × 2! = 4 × 3 × 2 × 1"2 × 1$ × "2 × 1$ = 6 possibilidades 
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 Dessa maneira, para o jogador A sair vencedor: 
Três sets 1 possibilidade 
Quatro sets 3 possibilidades 
Cinco sets 6 possibilidades 
Total 10 possibilidades 
 
Considerando a possibilidade de vitória do jogador B, então, temos 
também, mais 10 possibilidades. Portanto, o número total de possíveis 
resultados para uma partida terminada é igual a 20. 
Resposta, letra D. 
Essa maneira é bem mais rápida do que a confecção do diagrama de 
árvore: 
 
*Os retângulos em verde representam o término da partida, ou seja, 
20 possibilidades. 
 
 
O Arranjo é outra técnica de contagem, por meio da qual conseguimos 
contar o número de maneiras diferentes de selecionar “r” elementos, em uma 
determinada ordem, pertencentes a um conjunto com “n” elementos. Neste 
caso � ≥ � (“n” representa todo o conjunto e “r” uma parte dele). 
Vamos trazer uma situação prática para poder esclarecer essa definição. 
A
A
A
B
A
B
A
B
B
A
A
B
A
B
B
A
A
B
B
B
A
A
A
B
A
B
B
A
A
B
B
B
A
A
A
B
B
B
4 - Arranjo 
 
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� Suponhamos que os moradores de um condomínio devam eleger 
um síndico e um subsíndico. Há 6 candidatos para esses cargos. 
Quantos são os resultados possíveis dessa eleição? 
Resolução: 
 Podemos resolver esse problema pelo princípio fundamental da 
contagem.Se há 6 candidatos, estes seis podem ser eleitos para o cargo de 
síndico, correto? Então, para a nossa tarefa T1, temos 6 possibilidades. 
Considerando que um dos candidatos ocupará o cargo de síndico, quantos 
candidatos podem ocupar o cargo de subsíndico? Já que restaram cinco 
candidatos, o número possibilidades é igual a 5 (tarefa T2). Desse modo, pelo 
princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades pode ser 
obtido pela multiplicação das duas tarefas: 
 
Podemos resolver esse problema também pela técnica de contagem 
chamada arranjo. Por essa técnica, ao selecionarmos “r” elementos em uma 
determinada ordem, pertencentes a um conjunto com “n” elementos, o 
número de possibilidades, ou, arranjos possíveis, é dado pela fórmula: 
L!, M = !!"! − M$! 
 Em que a expressão N&, O significa: arranjo de “n” elementos, tomados 
“r” a “r”. 
 Aplicando essa fórmula para o nosso problema, temos: 
 
N&, O = N', 3 = 6!"6 − 2$! = 6!4! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 14 × 3 × 2 × 1 = 30 �)��+,+-+*�*�� 
 
Pessoal, é importante destacar que, para utilizar a fórmula do arranjo, 
é necessário que a ordem dos elementos faça diferença para a 
 Síndico Subsíndico 
 
 6 x 5 = 30 possibilidades 
_________ _________ 
 
 
Subsíndico (T2) 
_________ 
Síndico (T1) 
_________ 
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contagem. Em outras palavras, a situação em que o candidato “A” seja eleito 
síndico, e o candidato “B”, subsíndico, é diferente da situação em que o 
candidato “B” seja eleito síndico, e o candidato “A”, o subsíndico. Assim, a 
ordem dos elementos altera o resultado! 
 
 (FGV-SEFAZ/RJ-2011) Quantas combinações existem para 
determinar o primeiro e o segundo lugares de um concurso com 10 pessoas? 
(O primeiro e o segundo lugares não podem ser a mesma pessoa). 
(A) 18.000 (B) 90 (C) 19 (D) 680 (E) 18.000 
 
Resolução: 
 O conjunto é formado por 10 pessoas, então, � = 10. Além disso, é 
importante observar que a ordem dos elementos importa, pois o resultado em 
que um candidato “A” fique em primeiro, e um candidato “B” fique em 
segundo, é diferente do resultado em que “B” fique em primeiro, e “A” em 
segundo. Neste caso, como a ordem dos elementos altera o resultado, 
podemos aplicar rapidamente a fórmula do arranjo, para contar o número de 
arranjos que podemos fazer com os dois primeiros lugares "r = 2$: 
N&, O = N89, 3 = 10!"10 − 2$! = 10!8! = 10 × 9 × 8!8! = 90 �)��+,+-+*�*�� 
Resposta, letra B. 
 
Este problema também pode ser resolvido pelo princípio fundamental da 
contagem: 
 
 
 
A combinação é outra técnica de contagem, por meio da qual é possível 
obter o número de possibilidades de se retirar “r” elementos de um conjunto 
com “n” elementos (� ≤ �$. Percebam que esta definição é semelhante a do 
Arranjo, no entanto, a diferença é que, para a combinação, não importa a 
ordem de retirada dos elementos. 
5 - Combinação 
 
 1º Lugar 2º Lugar 
 
 10 x 9 = 90 possibilidades 
_________ _________ 
 
 
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Vamos a um exemplo para ajudar no entendimento: 
� Deseja-se formar uma comissão com três pessoas e dispõe-se 
de cinco funcionários. Quantas comissões podem ser formadas? 
Resolução: 
 Pretende-se formar uma comissão, escolhendo três pessoas (� = 3) 
dentro de um conjunto de cinco pessoas (� = 5). Percebam que não importa a 
ordem que essas pessoas serão escolhidas. Esse é um caso, portanto, de 
utilizar a técnica da combinação. 
A combinação de “r” elementos a partir de um conjunto com “n” 
elementos é dado pela expressão: 
R&, O1 = �!"� − �$! �! 
Em que a expressão R&, O significa: combinação de “n” elementos, 
tomados “r” a “r”. 
Aplicando a fórmula, encontramos a resposta para o problema proposto: 
 
R&, O = RS, : = 5!"5 − 3$! 3! = 5!2! 3! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1"2 × 1$ × "3 × 2 × 1$ = 10 �)��+,+-+*�*�� 
 
Desse modo, podem ser formadas 10 comissões diferentes. Supondo-se 
um conjunto com os cinco funcionários da forma {A, B, C, D, E}, as 
combinações possíveis são: 
{A, B, C}, {A, B, D}, {A, B, E}, {A, C, D}, {A, C, E}, {A, D, E}, {B, C, D}, 
{B, C, E}, {B, D, E}, {C, D, E}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Pode ser escrito, também, como RO& ou T��U. 
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1. (FCC-SEPLAG-2012) Um condomínio de 25 casas terá seu sistema de 
comunicação por interfone substituído. A empresa contratada informa que usa 
como identificação de cada residência um código de três dígitos formado pelos 
algarismos 1, 2 e 3 (distintos ou não). Alguns moradores desconfiaram e 
alegaram que a quantia de códigos não era suficiente para identificar todas as 
casas. O representante da empresa apresentou cálculos que comprovavam 
que o total de possibilidades era suficiente para identificar 
(A) 25 casas. (B) 27 casas. (C) 30 casas. (D) 32 casas. 
 
Resolução: 
 Considerando que o código terá três dígitos, e que cada dígito pode ser 
formado pelos números 1, 2 e 3 (distintos ou não), podemos calcular o 
número total de dígitos pelo princípio fundamental da contagem. 
Para o primeiro dígito, podemos ter três possibilidades (1, 2 e 3), o 
mesmo se aplicando aos 2º e 3º dígitos, o número total deve se calculado pela 
multiplicação dessas possibilidades. 
 
Resposta, letra B. 
 
2. (FCC-SEPLAG-2012) Dona Quitéria oferece chá da tarde em sua 
lanchonete. Ela serve: 
− cinco variedades de chás; 
− três sabores de pãezinhos; 
− quatro qualidades de geleias; 
Os clientes podem optar por um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia. 
Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento de Dona Quitéria. O 
número de vezes que Mariana pode tomar lanche sem repetir sua opção é 
(A) 60. (B) 50. (C) 45. (D) 40. 
 
Resolução: 
1º Dígito 2º Dígito 3º Dígito 
 
 3 x 3 x 3 = 27 casas 
_________ _________ _________ 
 
 
6- Questões Comentadas 
 
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Esse problema pode ser resolvido rapidamente aplicando-se o princípio 
fundamental da contagem. Se Mariana toma lanche todos os dias no 
estabelecimento e se ela pode pedir um tipo de chá, um sabor de pão e uma 
geleia, o número de possibilidades pode ser obtido pela multiplicação das 
possibilidades de cada item, assim: 
 
Resposta, letra A. 
 
3. (FCC-SABESP-2012) Uma escola de Ensino Médio possui quatro 
turmas de 1ª série. As aulas de História dessas turmas serão distribuídas 
entre três professores, de modo que um deles assuma duas turmas e os 
outros dois assumam uma turma cada um. O número de maneiras diferentes 
de distribuir essas aulas, respeitando tais condições, é igual a 
(A) 18. (B) 24. (C) 36. (D) 48. (E) 72. 
 
Resolução: 
Vamos chamar os professores de A, B e C. 
Um deles irá assumir duas turmas e, os outros dois, apenas umaturma. 
Nessas condições, vamos supor que o professor A assuma essas duas turmas, 
desse modo, teríamos o conjunto {A, A, B, C}, onde a 1ª posição se refere à 
1ª turma, a 2ª posição à 2ª turma, e, assim, sucessivamente. 
A partir desse conjunto, calculamos o número de maneiras diferentes 
que esses professores podem se ordenar no conjunto, ou seja, se distribuir 
entre as turmas. 
Sendo assim, precisamos calcular o número de permutações, com repetição 
do professor A: 
�������çã) *� “�” �-�����)� = �&"2,6,… $ = �!�! ,! … 
 
�������çã) *� 4 �-�����)� = �A"3$ = 4!2! = 12 �)��+,+-+*�*�� 
 
Desse modo, se o professor A for contemplado com duas turmas, o 
número de maneiras diferentes de distribuir essas salas é igual a 12. O 
 Chá Pão Geleia 
 
 5 x 3 x 4 = 60 possibilidades 
 ________ _________ _________ 
 
 
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mesmo número se aplica caso um dos professores B e C sejam contemplados 
com duas turmas. Portanto, o número total de possibilidades é igual a 12 +12 + 12 = 36. 
Resposta, letra C. 
 
4. (FCC-SEE/SP-2011) Leonardo e mais três amigos decidem ir ao 
cinema. Resolvem sentar-se numa fila que tem seis lugares seguidos 
disponíveis. De quantas maneiras diferentes podem ocupar os lugares 
disponíveis? 
(A) 24. (B) 120. (C) 180. (D) 360. (E) 720. 
 
Resolução: 
Pessoal, temos um conjunto com seis lugares distintos e, destes 
lugares, quatro serão ocupados pelos amigos. Assim, supondo que o conjunto 
seja representado pelas cadeiras {1, 2, 3, 4, 5, 6}, devem ser escolhidas 
quatro delas. 
Supondo que sejam escolhidas as cadeiras 1, 2, 3 e 4, percebam que a 
ordem de escolha irá interferir no número de resultados possíveis, já que a 
configuração: 
Cadeira 
1 
Cadeira 
2 
Cadeira 
3 
Cadeira 
4 
Leonardo Amigo A Amigo B Amigo C 
 
É diferente, por exemplo, da configuração: 
Cadeira 
1 
Cadeira 
2 
Cadeira 
3 
Cadeira 
4 
Amigo A Leonardo Amigo B Amigo C 
 
Portanto, podemos aplicar a técnica de contagem de Arranjo, onde o 
conjunto com 6 cadeiras “n=6” será arranjado em 4 posições “r=4”, por meio 
da seguinte expressão: 
A>, [ = A', A = 6!"6 − 4$! = 6!2! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 12 × 1 = 360 possibilidades 
Resposta, letra D. 
 
5. (FCC-PM/BA-2010) Certo dia, um automóvel passou em alta 
velocidade por uma avenida, excedendo o limite ali permitido. Um policial de 
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plantão no local tentou anotar o número da placa do carro do infrator, mas 
não conseguiu fazê-lo por completo: memorizou apenas o prefixo (CSA) e, da 
parte numérica, lembrava somente que o algarismo da esquerda era ímpar e o 
da direita era par. Com base nessas informações, o total de possibilidades 
para o número da placa de tal automóvel é 
(A) 2500. (B) 2000. (C) 1000. (D) 250. (E) 100. 
 
Resolução: 
Podemos resolver esse problema pelo princípio fundamental da 
contagem. A nossa tarefa T1 consiste em preencher o primeiro dígito dos 
numerais com um número ímpar. Neste caso, temos 5 possibilidades (1, 3, 5, 
7, 9). O segundo dígito (T2) não há restrições, portanto, 10 possibilidades (0, 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0). O mesmo se aplica ao terceiro dígito (T3). Para o 
quarto dígito (T4), temos que preencher com um número par, sendo assim, 
temos 5 possibilidades (0, 2, 4, 6, 8). 
Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de 
possibilidades pode ser obtido a partir da multiplicação das possibilidades de 
cada tarefa. Deste modo: 
 
Resposta, letra A. 
 
6. (FCC-BACEN-2006) Os clientes de um banco contam com um cartão 
magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9 
999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o 
primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a 
(A) 936. (B) 896. (C) 784. (D) 768. (E) 728. 
 
Resolução: 
Se a diferença positiva entre o primeiro e o último algarismo é igual a 3, 
nos interessam as seguintes situações: (3,_,_,0), (4,_,_,1), (5,_,_,2), 
(6,_,_,3), (7,_,_,4), (8,_,_,5), (9,_,_,6), (1,_,_,4), (2,_,_,5), (3,_,_,6), 
(4,_,_,7), (5,_,_,8), (6,_,_,9), ou seja, são 13 possibilidades. Repare que (0, 
_,_,3) não é uma possibilidade, pois a senha deve estar no intervalo de 1000 
a 9999. 
1º Dígito 2º Dígito 3º Dígito 4º Dígito 
 
 5 x 10 x 10 x 5 = 2500 possibilidades 
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Como o dígito não pode se repetir, e considerando que o primeiro e o 
último dígito já estão preenchidos de acordo com as possibilidades elencadas, 
portanto, para o segundo algarismo temos 8 possibilidades. 
Consequentemente, para o terceiro algarismo, restam 7 possibilidades. 
Sendo assim, aplicando-se o princípio fundamental da contagem: 
 
Resposta, letra E. 
 
7. (FCC-SEED/SE-2003) Uma prova consta de 6 questões de Matemática 
e 7 de Física. Cada aluno deve escolher 4 questões de Matemática e 2 de 
Física para responder. Quantas opções diferentes de escolha tem cada aluno? 
(A) 21. (B) 45. (C) 250. (D) 315. (E) 1680. 
 
Resolução: 
Cada aluno deve escolher 4 questões de matemática em um conjunto 
com 6 questões. Nesse caso, não importa a ordem de escolha, sendo assim, 
podemos aplicar a técnica da combinação para calcular o número de maneiras 
diferentes de se escolher as questões da prova de matemática. 
 
R&, O ⇒ R', A = 6!"6 − 4$! 4! = 6!2! 4! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1"2 × 1$ × "4 × 3 × 2 × 1$ = 15 �)��+,+-+*�*�� 
 
Cada aluno deve escolher 2 questões de Física em um conjunto de 7 
questões. Aplicamos, também, a fórmula da combinação para calcular o 
número de maneiras diferentes de se escolher as questões da prova de física. 
 
R&, O ⇒ R], 3 = 7!"7 − 2$! 2! = 7!5! 2! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1"5 × 4 × 3 × 2 × 1$ × "2 × 1$ = 21 �)��+,+-+*�*�� 
 
 Aplicando-se o princípio fundamental da contagem, o número total de 
possibilidades é obtido pela multiplicação das possibilidades de cada tarefa. 
 
1º Dígito e 4º Dígito 2º Dígito 3º Dígito 
 
 13 x 8 x 7 = 728 possibilidades 
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Resposta, letra D. 
 
 
 Vimos nesta aula 0 as seguintes técnicas de contagem: 
� Princípio Fundamental da Contagem; 
� Permutação; 
� Permutação com repetição; 
� Arranjo; 
� Combinação. 
 Constatamos que, por meio delas, é possível contar o número de 
elementos que fazem parte de um conjunto. Em resumo, as principais 
características dessas técnicas são: 
 
Princípio 
Fundamental 
da Contagem
O número de maneiras de se realizar uma 
tarefa T1, seguida da tarefa T2, é obtido pela 
multiplicação do número de maneiras de se 
fazer cada uma dessas tarefas.
Permutação
Permite contar o número de maneiras 
diferentes que os elementosde um conjunto 
podem estar ordenados.
Pn=n! (simples)
Pna,b,... = n! /(a! b!...) (com repetição)
Arranjo
Permite contar, em uma determinada 
ordem, o número de maneiras diferentes de 
selecionar “r” elementos dentro de um 
conjunto com “n” elementos.
An, r=n!/(n-r)!
Combinação
Permite contar, independente da ordem, o 
número de maneiras diferentes de selecionar 
“r” elementos dentro de um conjunto com “n” 
elementos.
Cn, r=n!/(n-r)!r!
7- Resumo da aula 
 
Matemática Física 
 
 15 x 21 = 315 possibilidades 
 ________ ________ 
 
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Pois bem, pessoal, com este resumo encerramos a Aula 0. Na próxima aula 
conversaremos sobre o estudo das probabilidades. Bons estudos a todos e até 
a próxima! 
 
 
1. (FCC / SEPLAG / 2012) Um condomínio de 25 casas terá seu sistema de 
comunicação por interfone substituído. A empresa contratada informa que usa 
como identificação de cada residência um código de três dígitos formado pelos 
algarismos 1, 2 e 3 (distintos ou não). Alguns moradores desconfiaram e 
alegaram que a quantia de códigos não era suficiente para identificar todas as 
casas. O representante da empresa apresentou cálculos que comprovavam 
que o total de possibilidades era suficiente para identificar 
(B) 25 casas. (B) 27 casas. (C) 30 casas. (D) 32 casas. 
 
2. (FCC / SEPLAG / 2012) Dona Quitéria oferece chá da tarde em sua 
lanchonete. Ela serve: 
− cinco variedades de chás; 
− três sabores de pãezinhos; 
− quatro qualidades de geleias; 
Os clientes podem optar por um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia. 
Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento de Dona Quitéria. O 
número de vezes que Mariana pode tomar lanche sem repetir sua opção é 
(B) 60. (B) 50. (C) 45. (D) 40. 
 
3. (FCC-SABESP/2012) Uma escola de Ensino Médio possui quatro turmas 
de 1ª série. As aulas de História dessas turmas serão distribuídas entre três 
professores, de modo que um deles assuma duas turmas e os outros dois 
assumam uma turma cada um. O número de maneiras diferentes de distribuir 
essas aulas, respeitando tais condições, é igual a 
(B) 18. (B) 24. (C) 36. (D) 48. (E) 72. 
 
4. (FCC-SEE/SP-2011) Leonardo e mais três amigos decidem ir ao cinema. 
Resolvem sentar-se numa fila que tem seis lugares seguidos disponíveis. De 
quantas maneiras diferentes podem ocupar os lugares disponíveis? 
(B) 24. (B) 120. (C) 180. (D) 360. (E) 720. 
 
8- Lista de Exercícios 
 
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5. (FCC-PM/BA-2010) Certo dia, um automóvel passou em alta velocidade 
por uma avenida, excedendo o limite ali permitido. Um policial de plantão no 
local tentou anotar o número da placa do carro do infrator, mas não conseguiu 
fazê-lo por completo: memorizou apenas o prefixo (CSA) e, da parte 
numérica, lembrava somente que o algarismo da esquerda era ímpar e o da 
direita era par. Com base nessas informações, o total de possibilidades para o 
número da placa de tal automóvel é 
(B) 2500. (B) 2000. (C) 1000. (D) 250. (E) 100. 
 
6. (FCC-BACEN/2006) Os clientes de um banco contam com um cartão 
magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9 
999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o 
primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a 
(B) 936. (B) 896. (C) 784. (D) 768. (E) 728. 
 
7. (FCC-SEED/SE-2003) Uma prova consta de 6 questões de Matemática e 7 
de Física. Cada aluno deve escolher 4 questões de Matemática e 2 de Física 
para responder. Quantas opções diferentes de escolha tem cada aluno? 
(B) 21. (B) 45. (C) 250. (D) 315. (E) 1680. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 B 3 C 5 A 7 D 
2 A 4 D 6 E 
 
9- Gabarito