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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DEPARTAMENTO DE ENSINO PARA A EDUCAÇà DISCIPLINA: FÍSICA III LEI DE GAUSS A descrição de um campo elétrico mediante as respectivas linhas de força, que vimos na unidade de campo elétrico, está relacionada com um teorema matemático, lei de Gauss. Vimos nas unidades anteriores que quando um problema apresenta simetria a sua solução é facilitada, problemas destes tipos pode ser solucionado utilizando da lei de Gauss. Antes de mostramos a lei de Gauss precisamos definir uma quantidade física chamada de fluxo elétrico. Fluxo Elétrico A grandeza matemática associada ao número de linhas do campo que atravessam uma superfície é o fluxo elétrico , que no caso de uma superfície perpendicular ao se define como o produto entre o módulo do campo e a área A ( =E.A): Na Figura -16 temos linhas atravessando uma superfície que forma um ângulo de 90° com a direção do vetor campo elétrico. As unidades SI de fluxo são N./C2 FIGURA – SUPERFÍCIE DE ÁREA A SENDO ATRAVESSADA POR LINHAS DE CAMPO Observe que se o ângulo entre a superfície e o vetor campo elétrico sofrer alterações a quantidade de linhas de campo que irá atravessar a também é modificada, logo podemos concluir que o fluxo apresenta uma dependência com a direção do vetor área. FIGURA – FLUXO DE UM CAMPO VETORIAL Considere uma área S como da Figura-17, se nós dividirmos esta superfície em elementos infinitesimais de áreas , sendo normal ao plano em um ponto P da superfície. Sendo em cada ponto da superfície definindo assim um campo vetorial. Então vamos definir o fluxo do campo elétrico criado em um ponto P: Para acharmos o fluxo total criado por cada elemento infinitesimal , devemos realizar uma integral sobre toda a superfície. (Fluxo através de uma superfície gaussiana) O fluxo do campo elétrico é proporcional ao número de linhas de campo que atravessam a superfície. Exercícios Resolvidos 1- A Figura mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cilindro de raio R imersa em um campo elétrico uniforme cilindro paralelo ao campo. Qual é o fluxo do campo elétrico através desta superfície fechada? NOTA – LEI DE GAUSS: A lei de Gauss é aplicada a problemas que apresentam simetria. Eφ E � φ ˆdA ndA= � E .Ed E dAφ = �� ˆ. cosEd E ndA EdAφ θ= = � Edφ .E S E dAφ = ∫ �� E Eφ SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DEPARTAMENTO DE ENSINO PARA A EDUCAÇÃO espectivas linhas de força, que vimos na unidade de campo elétrico, está relacionada com um teorema matemático, lei de Gauss. Vimos nas unidades anteriores que quando um problema apresenta simetria a sua solução é facilitada, problemas destes Antes de mostramos a lei de Gauss precisamos definir uma quantidade A grandeza matemática associada ao número de linhas do campo , que no caso de uma se define como o produto entre o módulo 16 temos linhas atravessando uma superfície que forma um ângulo de 90° com a direção do vetor campo SUPERFÍCIE DE ÁREA A SENDO ATRAVESSADA POR Observe que se o ângulo entre a superfície e o vetor campo elétrico sofrer alterações a quantidade de linhas de campo que irá atravessar a superfície também é modificada, logo podemos concluir que o fluxo apresenta uma 17, se nós dividirmos esta superfície , sendo o versor o campo elétrico em cada ponto da superfície definindo assim um campo vetorial. Então vamos definir o fluxo do campo elétrico criado em um ponto P: Para acharmos o fluxo total criado por cada elemento , devemos realizar uma integral sobre toda a superfície. (Fluxo através de uma superfície gaussiana) O fluxo do campo elétrico é proporcional ao número de linhas de A Figura mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cilindro , com o eixo do do campo elétrico através A lei de Gauss é aplicada a problemas que Solução FIGURA – SUPERFÍCIE GAUSSIANA CILÍNDRICA FECHADA (FONTE:,DAVID HALLIDAYRESNICK, ROBERT.WALKER JEARL, TÍTULO:ELETROMAGNETISMO, 7°ED, LTC) Precisamos calcular o fluxo sobre todas as superfícies através da definição de fluxo elétrico. Então: Para todos os pontos da base esquerda, o ângulo 180° e o módulo do campo elétrico é o mesmo, assim: Já para a base direita o ângulo =0°, Para a superfície lateral o ângulo formado entre o campo elétrico e o elemento de área é igual a 90°, portanto o fluxo da superfície lateral é nulo. Agora podemos calcular o fluxo total : Este resultado já era esperado pois esquerda e saem pela base da direita de tal maneira que o fluxo resultante deveria ser nulo. Lei de Gauss A lei de Gauss é relaciona o fluxo total de campo elétrico através de uma superfície fechada (superfície gauss envolvida por esta superfície. Matematicamente, , (lei de Gauss) Se usarmos a definição de fluxo (lei de Gauss) A equação acima é válida se a carga estiver localizada no vácuo, para outros meios devemos utilizar a seguinte relação: k é uma constante que vale 1 para o vácuo e depende das características dos meios. A qinterna é uma soma algébrica, pode acontecer que uma superfície com cargas em seu interior não gera fluxo, já que a soma das cargas leva em consideração o sinal das cargas. A lei de Gauss vale para quaisquer superfícies e quaisquer distribuições de cargas. Quando as distribuições forem simétricas , ela pode ser usada par o cálculo do campo elétrico. Alei de Gauss é mais geral que a lei de coulomb pois para cargas em movimento. Exercício Resolvido 2- A Figura abaixo mostra cinco pedaços de plásticos eletricamente carregados e uma moeda neutra. A figura também mostra uma superfície gaussiana S vista em perfil. Qual é o fluxo elétri nˆ E � . cosφ θ E � . . . . E S a b c E dA E dA E dA E dA φ = = + + ∫ ∫ ∫ ∫ �� � � �� � � . (cos ) a a E dA E dA EA= = −∫ ∫ �� θ . (cos ) c c E dA E dA EA= =∫ ∫ �� E EA EAφ = − + + = 0 intE ernaqε φ = int 0 . erna S qE dA ε =∫ �� int . , erna E S qE dA kφ ε ε ε = = → =∫ �� INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ 1 SUPERFÍCIE GAUSSIANA CILÍNDRICA FECHADA (FONTE:,DAVID HALLIDAYRESNICK, ROBERT.WALKER JEARL, TÍTULO:ELETROMAGNETISMO, 7°ED, LTC) isamos calcular o fluxo sobre todas as superfícies através da definição Para todos os pontos da base esquerda, o ângulo entre e é 180° e o módulo do campo elétrico é o mesmo, assim: =0°, com isto, Para a superfície lateral o ângulo formado entre o campo elétrico e o elemento de área é igual a 90°, portanto o fluxo da superfície lateral é nulo. Agora podemos calcular o fluxo total : as linhas de campo entram pela base da esquerda e saem pela base da direita de tal maneira que o fluxo resultante A lei de Gauss é relaciona o fluxo total de campo elétrico através de uma superfície fechada (superfície gaussiana) `a carga total qinterna que está envolvida por esta superfície. Matematicamente, (lei de Gauss) A equação acima é válida se a carga estiver localizada no vácuo, para seguinte relação: , k é uma constante que vale 1 para o vácuo e depende das características dos é uma soma algébrica, pode acontecer que uma superfície com cargas em seu interior não gera fluxo, já que a soma das cargas leva ação o sinal das cargas. A lei de Gauss vale para quaisquer superfícies e quaisquer distribuições de cargas. Quando as distribuições forem simétricas , ela pode ser usada par o cálculo do campo elétrico. Alei de Gauss é mais geral que a lei de coulomb pois a primeira é válida também mostra cinco pedaços de plásticoseletricamente carregados e uma moeda neutra. A figura também mostra uma superfície gaussiana S vista em perfil. Qual é o fluxo elétrico que atravessa a . . . a b c E dA E dA E dA E dA= + +∫ ∫ ∫ � � � �� � � θ E� dA � . (cos )E dA E dA EAθ= = −∫ ∫ . (cos )E dA E dA EAθ= =∫ ∫ 0 0EA EA= − + + = 0E dA kφ ε ε= = → = INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DEPARTAMENTO DE ENSINO PARA A EDUCAÇà superfície S se q1=q4=+3nC, q2=q5=-5,9nC e q3=-3,1nC? Assuma que as cargas estão localizadas no vácuo. FIGURA – SUPERFÍCIE GAUSSIANA COM TRÊS CARGAS INTERNAS (FONTE:,DAVID HALLIDAYRESNICK, ROBERT.WALKER JEARL, TÍTULO:ELETROMAGNETISMO, LTC) Resolução O fluxo é dado pela soma das cargas internas, observe que as cargas q não contribuem para gerar fluxo, já que suas linhas de campo atravessam a superfícies (entram e em seguida saem da superfície). Dados: 1nC=1x10-9C 3- Calcule o campo elétrico de uma distribuição de carga esferossimétrica, a superfície gaussiana é uma superfície esférica. Resolução A superfície gaussiana é uma superfície esférica de raio r centrada na carga. Pela simetria do problema o campo elétrico deve ser radial e ter módulo que só depende da distância à carga. A componente normal de tem valor constante sobre a superfície esférica. O fluxo líquido através desta esfera é Este resultado é a lei de Coulomb, então deduzirmos a lei de Coulomb a partir da lei de Gauss. É evidente que as duas leis são equivalentes para cargas em reposouso. Se nós tivermos uma esfera de raio R o campo elétrico será: não existe carga no interi condutor fechdo. O gráfico do campo em função da distância para uma esfera é dada na Figura-20. FIGURA – VARIAÇÃO DO CAMPO ELÉTRICO EM FUNÇÃO DA DISTÂNCIA PARA UMA ESFERA CONDUTORA CARREGADA. 2int 1 2 3 0 0 670 . /ernaE q q q q N m Cφ ε ε + + = = = − ˆ. r E E n E= = � � ˆ ˆ ˆ ˆ. . 4E S S S S E dA En ndA EdA E dA E r n rφ pi= = = = = → =∫ ∫ ∫ ∫ �� 2 0 4interna r q E r E Epi ε = → = 2 04 interna r qE rpi ε = 2 0 , 4 interna r qE r R rpi ε = > 0, rE r R= < → SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DEPARTAMENTO DE ENSINO PARA A EDUCAÇÃO 3,1nC? Assuma que as SUPERFÍCIE GAUSSIANA COM TRÊS CARGAS INTERNAS (FONTE:,DAVID HALLIDAYRESNICK, ROBERT.WALKER JEARL, TÍTULO:ELETROMAGNETISMO, 7°ED, O fluxo é dado pela soma das cargas internas, observe que as cargas q4 e q5 não contribuem para gerar fluxo, já que suas linhas de campo atravessam a lcule o campo elétrico de uma distribuição de carga esferossimétrica, a A superfície gaussiana é uma superfície esférica de raio r centrada na carga. ser radial e ter módulo que só depende da distância à carga. A componente normal de , isto é, tem valor constante sobre a superfície esférica. O fluxo Este resultado é a lei de Coulomb, então deduzirmos a lei de Coulomb a partir da lei de Gauss. É evidente que as duas leis são equivalentes para Se nós tivermos uma esfera de raio R o campo elétrico será: não existe carga no interior de um O gráfico do campo em função da distância para uma esfera é dada na VARIAÇÃO DO CAMPO ELÉTRICO EM FUNÇÃO DA DISTÂNCIA PARA UMA ESFERA CONDUTORA CARREGADA. POR QUE AS CARGAS SE LOCALIZAM NA SUPERFÍCIE EXTERNA? PARA RESPONDER ESTA PERGUNTA DEVEMOS LEMBRAR QUE QUANDO UM CORPO ESTÁ ELETRIZADO AS CARGAS TENDEM A SE AFASTAR UMAS DAS OUTRAS E É EXATAMENTE SOBRE A SUPERFÍCIE EXTERNA A MÁXIMA DISTÂNCIA ENTRE ELAS. Este efeito tem várias implicações como o fato de q para se proteger de se atingindo por uma descarga elétrica é no interior de um condutor metálico com uma carro por exemplo. As CPUs do computadores são feitas de um material metálico, para evitar que surja um corrente elétrico no interior dos mesmo. Agora vamos aplicar a lei de Gauss para dois tipos de simetrias: Simetria Cilíndrica A Figura-22 mostra uma parte de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear uniforme de cargas positivas . O campo elétrico é um campo radial é zero porque é paralelo aos planos das bases. A área lateral é . (linha de cargas) FIGURA 22 – SUPERFÍCIE GAUSSIANA ENVOLVENDO UM FIO INTITO CARREGADO Simetria Planar Vamos calcular agora o campo criado por uma distribuiçãoplanar não condutora: Veja a Figura-23. O vetor campo elétrico é paralelo aos elementos de áreas, com isto temos, (Campo criado por um placa carregada) 2670 . /N m C .E � 2 ˆ ˆ ˆ ˆ. . 4E dA En ndA EdA E dA E r n rφ pi= = = = = → =∫ ∫ ∫ ∫ λ ˆE Er= � 2 rhpi . . 2 2 E S lateral lateral lateral lateral E dA Er dAr EdA E dA E rdr E rh φ = = = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ �� 0 0 2interna internaq qE rh Epi ε pi ε = → = λ = 02 E r λ pi ε = ( ) 0 0 . interna S interna E dA q EA EA q ε ε = + = ∫ �� 0 02 internaqE A σ ε ε = = 0 E σ ε = INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ 2 POR QUE AS CARGAS SE LOCALIZAM NA SUPERFÍCIE PARA RESPONDER ESTA PERGUNTA DEVEMOS LEMBRAR QUE QUANDO UM CORPO ESTÁ ELETRIZADO AS CARGAS TENDEM A SE AFASTAR UMAS DAS OUTRAS E É EXATAMENTE SOBRE A SUPERFÍCIE EXTERNA A MÁXIMA Este efeito tem várias implicações como o fato de que o lugar mais seguro para se proteger de se atingindo por uma descarga elétrica é no interior de um condutor metálico com uma carro por exemplo. As CPUs do computadores são feitas de um material metálico, para evitar que surja um erior dos mesmo. Agora vamos aplicar a lei de Gauss para dois tipos de simetrias: 22 mostra uma parte de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear uniforme de cargas O campo elétrico é um campo radial . O fluxo através das bases é paralelo aos planos das bases. A área lateral é SUPERFÍCIE GAUSSIANA ENVOLVENDO UM FIO Vamos calcular agora o campo criado por uma distribuiçãoplanar não O vetor campo elétrico é paralelo aos elementos de áreas, com isto temos, (Campo criado por um placa carregada) ˆE Er= � ˆ ˆ. . 2 2 S lateral lateral lateral E dA Er dAr EdA E dA E rdr E rhpi pi = = = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ � 0 02 interna internaq qE rh E rhε pi ε = → = internaq h = INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DEPARTAMENTO DE ENSINO PARA A EDUCAÇà FIGURA – SUPERFÍCIE GAUSSIANA ENVOLVEN INFINO Exercício 1-Por que as linhas de campo não podem se cruzar? 2-Calcule o campo criado por um dipolo elétrico. 3- O campo elétrico em uma certa região do espaço é dado por , com x em metros. Considere uma superfície gaussiana cilíndrica, com 20 cm de raio, coaxial com o eixo x. Umas das bases do cilindro está em x=0. (a) Determine o valor absoluto do fluxo elétrico através da outra base do cilindro, situada em x=2,0 m. (b) d no interior do cilindro. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES LIVRO TEXTO; FUND. DE FÍSICA VOL. 3 – 8 EDIÇ 5. Uma carga puntiforme de 1,84 µC está no centro de uma superfície gaussiana cúbica com 55 cm de aresta. Calcule superfície. 7. Uma carga puntiforme +q está à distância d/2 diretamente acima do centro de uma superfície quadrada de lado d, conforme mostra a Fig. 24. Calcule o fluxo elétrico através do quadrado. (Sugestão como se o quadrado fosse a face de um cubo de aresta 12. Uma carga puntiforme q está colocada no vértice de um cubo de aresta a. Qual o fluxoatravés de cada uma das faces do cubo? (Sugestão: Utilize a lei de Gauss e argumentos de simetria.) 17. Veículos espaciais que passam pelos cinturões de radiação da Terra colidem com elétrons confinados ali. Como no espaço não há elétrico de terra, o acúmulo de cargas é significativo e pode danificar os componentes eletrônicos, provocando perturbações de circuitos de controle e disfunções operacionais. Um satélite esférico de metal, com 1,3 m de diâmetro, acumula 2,4 µC de carga ao completar uma revolução em órbita. (a) Calcule a densidade superficial de carga. (b) Calcule o campo elétrico resultante imediatamente fora da superfície do satélite. 21. Um condutor isolado de forma indefinida está carregado com uma carga de +10 µC. Dentro do condutor há uma cavidade que contém uma carga puntiforme q = +3,0 µC. Qual é a carga (a) nas paredes da cavidade e (b) na superfície externa do condutor? ˆ( 2)E x i= +� SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DEPARTAMENTO DE ENSINO PARA A EDUCAÇÃO SUPERFÍCIE GAUSSIANA ENVOLVENDO UM PLANO O campo elétrico em uma certa região do espaço é dado por , com x em metros. Considere uma superfície gaussiana cilíndrica, com 20 cm de raio, coaxial com o eixo x. Umas das bases do cilindro está em x=0. (a) Determine o valor absoluto do fluxo elétrico através da outra base do cilindro, situada em x=2,0 m. (b) determine a carga ÇÃO C está no centro de uma superfície gaussiana cúbica com 55 cm de aresta. Calcule ΦE através da /2 diretamente acima do , conforme mostra a Fig. Sugestão: Raciocine a d.) está colocada no vértice de um cubo de . Qual o fluxo através de cada uma das faces do cubo? ze a lei de Gauss e argumentos de simetria.) Veículos espaciais que passam pelos cinturões de radiação da Terra colidem com elétrons confinados ali. Como no espaço não há potencial elétrico de terra, o acúmulo de cargas é significativo e pode danificar os componentes eletrônicos, provocando perturbações de circuitos de controle e disfunções operacionais. Um satélite esférico de metal, com e carga ao completar uma revolução em órbita. (a) Calcule a densidade superficial de carga. (b) Calcule o campo elétrico resultante imediatamente fora da superfície condutor isolado de forma indefinida está carregado com uma C. Dentro do condutor há uma cavidade que contém C. Qual é a carga (a) nas paredes da 20. Uma linha de cargas infinita produz um campo de 4,52 × 10 distância de 1,96 m. Calcule a densidade linear de cargas. 22. Duas grandes lâminas não condutoras que contém cargas positivas estão face a face, como na Fig. 27. Determine lâminas, (b) entre elas e (c) à direita das lâminas. Admita que as densidades superficiais de carga σ das duas lâminas sejam iguais. Considere apenas pontos afastados das bordas e a pequenas distâncias das lâminas em relação ao pequeno tamanho delas. (Sugestão 25. Uma esfera pequena com massa no campo gravitacional da Terra, pendurada por um fio de seda que faz o ângulo θ = 27,4o com uma grande placa isolante uniformemente carregada, conforme a Fig. 29. Calcule a densidade uniforme de cargas da placa. 32. Uma grande superfície plana, não de carga σ. No meio dessa superfície foi feito um pequeno furo circular de raio R, conforme ilustra a Fig. 33. Desprezando o encurvamento das linhas de campo em todas as bordas, calcule o campo elétrico no ponto distância z do centro do furo e ao longo de seu eixo. ( 27 do Cap. 28 e utilize o princípio da superposição.) INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ 3 Uma linha de cargas infinita produz um campo de 4,52 × 104 N/C à distância de 1,96 m. Calcule a densidade linear de cargas. Duas grandes lâminas não condutoras que contém cargas positivas estão face a face, como na Fig. 27. Determine E nos pontos (a) à esquerda das lâminas, (b) entre elas e (c) à direita das lâminas. Admita que as densidades das duas lâminas sejam iguais. Considere apenas pontos afastados das bordas e a pequenas distâncias das lâminas em relação Sugestão: Veja Exemplo 6.) Uma esfera pequena com massa m = 1,12 mg e carga q = 19,7 nC, está no campo gravitacional da Terra, pendurada por um fio de seda que faz o com uma grande placa isolante uniformemente carregada, e a Fig. 29. Calcule a densidade uniforme de cargas da placa. Uma grande superfície plana, não-condutora, tem densidade uniforme . No meio dessa superfície foi feito um pequeno furo circular de , conforme ilustra a Fig. 33. Desprezando o encurvamento das linhas de campo em todas as bordas, calcule o campo elétrico no ponto P, à o do furo e ao longo de seu eixo. (Sugestão: Veja a Eq. 27 do Cap. 28 e utilize o princípio da superposição.) SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DEPARTAMENTO DE ENSINO PARA A EDUCAÇÃO 4 20.Q1 – Suponha que os módulos da carga no elétron e no próton não fossem os mesmos, diferindo, digamos, em 0,1%. O mundo seria diferente? Explique. 20.Q2 – Suponha que os sinais de carga nos prótons e elétrons fossem invertidos, positivo para o elétron e negativo para o próton. O mundo seria muito diferente? Explique. 20.Q7 – Após dois pares de meias serem retirados de um secador de roupas, o par A permanece unido por um longo tempo, mas o par B não. Qual dos pares é feito de material que é melhor condutor? 20.Q10 – Uma esfera condutora suspensa por um cordão é atraída para um bastão carregado positivamente. A esfera tem necessariamente uma carga negativa? Outra esfera condutora suspensa é repelida pelo bastão carregado positivamente. Essa esfera tem necessariamente carga positiva? 20.Q11 – Uma esfera condutora carregada positivamente, suspensa por um cordão, é repelida por um bastão carregado positivamente em longas distâncias, porém atraída em pequenas distâncias. Mediante esboços, mostre como isso acontece. 20.Q21 – Quando liberada a partir do repouso em um campo elétrico, uma partícula carregada positivamente começará a se mover ao longo de uma linha de campo (admitindo que a força elétrica seja a força resultante). (a) A trajetória da partícula seguirá a linha de campo se essa for reta? (b) Se não for reta? Se não seguir a linha de campo, então sua trajetória irá se encurvar mais ou menos do que a linha de campo? 20.Q23 – Explique por que as linhas de campo não podem se interceptar. Suponha que as linhas se interceptem em um ponto; que significaria isso quanto à força elétrica sobre uma partícula carregada naquele ponto? 20.Q27 – Considere um dipolo em um campo uniforme E � . Existe uma força elétrica resultante sobre o dipolo? Em caso afirmativo, qual é a direção da força em relação a E � ? Se o momento de dipolo é orientado perpendicularmente a E � , há um torque sobre o dipolo? Em caso afirmativo, esse torque tende a orientar o dipolo paralelamente ou em oposição a E � ? 20.Q28 – Suponha que um dipolo esteja em um campo elétrico e que seu momento de dipolo p � aponte na direção de E � . Além disso, suponha E � não uniforme, de tal forma que seu módulo aumente na direção de E � . Há uma força elétrica resultante sobre o dipolo? Em caso afirmativo, a força elétrica resultante tem a direção de E � ou a direção opostaa E � ? Reconsidere esta questão para o caso em que o módulo de E � decresce na direção de E � . 20.E5 – (a) Se um objeto tem carga de +1,0 nC, quantos de seus elétrons estão faltando? (b) Se um objeto tem carga de -3,0 nC, quantos elétrons extras contém? R – (a) 6,25 × 109; (b) 1,875 × 1010. 20.E6 – Estime o número total de elétrons em um bloco sólido de 0,5 kg, admitindo que o material tenha aproximadamente o mesmo número de prótons e nêutrons. Se o bloco tem um excesso de carga de +10 nC, qual é a fração dos elétrons que faltam? 20.E11 – Três partículas com igual carga q estão nos vértices de um triângulo eqüilátero de lado d. Qual é a força sobre cada uma das partículas? R - 3 kq2/d2 dirigida a partir do centro do triângulo. 20.E15 – A força elétrica exercida por uma distribuição de carga sobre uma partícula de +2,6 nC de carga, quando colocada em uma posição P, é dirigida verticalmente para cima, com F = 0,58 N. (a) Em P, quanto é E � devido à distribuição? (b) Qual é a força elétrica exercida por este campo sobre uma partícula colocada em P com carga de -13 nC? (Nota: Para resolver este problema com as informações dadas, é preciso admitir que a carga das partículas não seja demasiadamente grande a ponto de perturbar a distribuição de cargas.) R- (a) 220 N/C para cima; (b) 2,9 mN para baixo. 20.E17 – Dentro da atmosfera da terra existe um campo elétrico, de módulo médio igual a 150 N/C, que aponta para baixo. (a) Determine a razão carga/massa (em C/kg) que um objeto deve ter para ficar suspenso no ar por forças gravitacionais e elétricas. (b) Admita que o número de prótons e nêutrons seja o mesmo e determine a fração dos elétrons em excesso dentro do objeto. Faça um comentário sobre a viabilidade de tal experimento. R – (a) – 0,065 C/kg; (b) 1,4 × 10-9. 20.E19 – Coloca-se na origem uma partícula com carga de +5,8 nC. (a) Determine as componentes cartesianas do campo elétrico devido à partícula nas posições (x,y,z) dadas por: (15 cm, 0, 0); (15 cm, 15 cm, 0); (15 cm, 15 cm, 15 cm); (10 cm, 20 cm, 0). (b) Determine E (módulo do campo) nas posições indicadas na parte (a). R – (a) (Ex, Ey, Ez) = (2300 N/C, 0, 0); (820 N/C, 820 N/C, 0); (450 N/C,450 N/C, 450 N/C); (470 N/C, 930 N/C, 0); (b) E = 2300 N/C; 1160 N/C; 770 N/C; 1040 N/C. SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DEPARTAMENTO DE ENSINO PARA A EDUCAÇÃO 5 20.E24 – Um dipolo centrado na origem consiste em duas partículas, uma com carga +1,6 × 10-19 C em z = +0,41 × 10-10 m e a outra com carga 1,6 × 10-19 C em z = 0,41 × 10-10 m. (a) Determine p�. (b) Determine o campo elétrico no plano xy devido ao dipolo, à distância de 1,0 m da origem. (c) Refaça a parte (b) para uma distância de 2,0 m. 20.E27 – (a) Mostre que a integral que dá Ez para uma linha de carga no exemplo 20.6 é Ez = -l 4pe0 ⌡⌠ - ℓ ℓ zdz (y2 + z2)3/2 (b) Mostre que Ez = 0. (Nota: O exemplo 20.6 trata de uma linha de carga de comprimento 2ℓ com densidade linear de carga uniforme igual a disposta sobre o eixo z, com centro na origem, e nele calcula-se o campo elétrico produzido num ponto qualquer contido no plano xy.) 20.Exercício extra: (a) Considere um anel carregado de raio a com carga total Q distribuída uniformemente sobre seu perímetro. O anel está no plano yz e seu centro na origem, o que significa que o eixo x lhe é perpendicular e passa por seu centro. Mostre que, para um ponto qualquer no eixo x, as componentes do campo elétrico são: Ex = Qx 4pe0(x2 + a2)3/2 ; Ey = Ez = 0. (vide exemplo 20.7) (b) Use o resultado obtido em (a) para mostrar que o campo elétrico produzido em um ponto qualquer sobre o eixo x pela carga contida numa coroa circular de raio a e largura infinitesimal da centrada na origem, parte de uma distribuição superficial plana de carga com densidade localizada no plano yz, é dEx = 2psaxda 4pe0(x2 + a2)3/2 ; dEy = dEz = 0. (c) A partir do resultado acima mostre que o campo elétrico produzido por um disco plano de raio R0 carregado com densidade superficial de carga sobre um ponto num eixo perpendicular ao disco que passa em seu centro, à distância da superfície do disco d R0, é aproximadamente igual a na direção perpendicular ao disco, no sentido que vai do disco ao ponto considerado (vide exemplo 20.8). 20.E39 – A grandeza, função da partícula, que determina a aceleração de uma partícula carregada em um campo elétrico (supondo desprezíveis outras forças que não a força elétrica) é a razão carga/massa da partícula. (a) determine, em C/kg, a razão carga/massa para o elétron e para o próton. (b) Determine os módulos da aceleração de um elétron e de um próton em um campo de módulo 1 N/C. (c) De acordo com os resultados obtidos na parte (b), qual é a razão da aceleração do próton para a do elétron? R – (a) 1,76 × 1011 C/kg, 9,58 × 107 C/kg; (b) 1,76 × 1011 m/s2, 9,58 × 107 m/s2; (c) 5,46 × 10-4. 20.E41 – Uma partícula carregada acelera do repouso em um campo elétrico uniforme de módulo E = 5,6 × 103 N/C até uma velocidade de 5,7 × 105 m/s após percorrer uma distância de 0,30 m. (a) Qual é a razão carga/massa da partícula? (b) Essa partícula é um próton ou um elétron? R – (a) 9,7 × 107 C/kg; (b) próton. 20.E50 – Um canhão de elétrons em um TRC (tubo de raios catódicos) acelera os elétrons por uma distância de 4,1 mm em um campo de módulo 5,9 kN/C. Qual é a velocidade dos elétrons emitidos? 20.E51 – Em um TRC as placas defletoras têm dimensão de 57 mm ao longo da direção do feixe de elétrons que entra, o módulo do campo entre as placas é 280 N/C e os elétrons entram no campo deflector com uma velocidade de 2,9 × 106 m/s. Qual é o ângulo de deflexão do feixe? R – 18°. Atividade: Faça a atividade com o applet no final da página sobre a lei de Gauss do curso online da UFRGS, pintando as áreas do círculo de vermelho ou azul conforme a carga contida nas regiões seja respectivamente positiva ou negativa. Qual a carga total no círculo cinza? (veja também http://penta3.ufrgs.br/physlet/fisica/physlets/capit_9/ch9_problems/ch9_2_ gauss/gauss9_2_4.html). 21.Q1 – Se E = 0 em todos os pontos de uma superfície, o fluxo para a superfície é necessariamente zero? Supondo a superfície fechada, que se pode dizer quanto à carga encerrada pela superfície? 21.Q2 – Se o fluxo para uma superfície é zero, é necessariamente verdade que E � = 0 em todos os pontos da superfície? Explique 21.Q3 – Se não há excesso de carga em nenhum ponto interior a uma superfície fechada, o campo em cada ponto dessa superfície é necessariamente zero? O fluxo para a superfície é necessariamente zero? 21.Q4 – Se o fluxo para uma superfície fechada é zero, pode existir excesso de carga em pontos interiores? Explique. 21.Q5 – Se a carga líquida no interior de uma superfície fechada é zero, é possível linhas de campo atravessarem a superfície? Se existem linhas de campo que realmente atravessam a superfície, que se pode dizer sobre o número de linhas dirigidas para o interior do volume delimitado, em comparação com o número de linha dirigidas para fora? 21.Q8 – Uma faixa de Möbius é uma superfície unilateral que se constrói dando uma torção em uma tira de papel e colando as extremidades. Pode-se achar o fluxo para uma faixa de Möbius em um campo uniforme? Explique. 21.Q19 – Um condutor neutro de forma irregular encerra uma região oca de forma também irregular, que contém uma partícula com carga q = +10 nC. Qual é a carga na superfície interna do condutor? Qual é a carga na superfície externa do condutor? Suponha que a partícula se mova para uma posição diferente na região oca. O valor das cargas nas superfícies interior ou exterior seria afetado?As densidades superficiais de carga, em pontos das superfícies interior ou exterior, seriam afetadas? O campo exterior ou interior ao condutor seria afetado? 21.E7 – Uma superfície plana de 2,8 m2 está orientada de modo que seu vetor de superfície é paralelo a um campo uniforme e 98 linhas de campo a atravessam. Qual é o ângulo entre a direção do campo e o vetor de superfície quando a superfície é orientada de modo que 38 linhas de campo a atravessem? R: 67º. 21.E9 – Uma superfície gaussiana esférica de raio 1,0 m está centrada em uma partícula com carga de 1,0 nC. (a) Qual é a área da superfície gaussiana? R: 13 m2. (b) Quanto é E em cada ponto da esfera gaussiana? R: 9,0 N/C. (c) Determine o fluxo para a esfera gaussiana, com base em suas respostas das partes (a) e (b) R: 110 Nm2/C . (d) Refaça as partes (a), (b) e (c) para uma esfera gaussiana de raio 2,0 m. R: 50 m2, 2,2 N/C, 110 Nm2/C. 21.E14 – Próxima da superfície da Terra existe um campo elétrico médio de cerca de 150 N/C dirigido para baixo. Estime a carga resultante sobre a Terra. Supondo que a essa carga seja uniformemente distribuída sobre a superfície da Terra, estime a densidade superficial de carga. 21.E15 – O campo elétrico dirigido para baixo na atmosfera da Terra decresce em módulo com o aumento da altitude acima da superfície. Suponha E = 100 N/C a 200 m e E = 50 N/C a 300 m acima da superfície da Terra. Estime a densidade de carga de volume média na atmosfera terrestre no intervalo de altitudes de 200 a 300 m. R: 4,4 x 10-12 C/m3. 21.E21 – Uma haste delgada retilínea tem uma carga de – 230 nC distribuída uniformemente ao longo do seu comprimento de 6,3 m. (a) Determine a densidade linear de carga. R: – 37 nC/m. (b) Estime E � próximo ao meio da haste a uma distância perpendicular de 25 mm. R: 26 x 103 N/C para a haste. 21.E29 – Suponha um campo elétrico de 284 kN/C dirigido radialmente para fora, a uma distância r = 15 mm do centro de uma distribuição uniforme esférica de carga de volume. (a) Com base apenas nesta informação, determine as grandezas que puder: a carga Q, o raio r0, a densidade de carga . (b) Com a informação adicional de que E = 370 kN/C em r = 30 mm, determine as grandezas da parte (a) que puder. 21.E35 – O campo elétrico imediatamente exterior a um ponto P da superfície de um condutor de forma irregular é 620 N/C dirigido para fora da superfície. Qual é a densidade superficial de carga no ponto P? R: 5,5 nC/m2. 21. Problema 3 – Uma linha de carga coaxial com um tubo condutor. Um filamento metálico, delgado, retilíneo, de 12 m de comprimento e Q = -74 nC, com densidade linear de carga uniforme, é coaxial com um tubo condutor neutro do mesmo comprimento; o raio interno é de 6,0 mm e o raio externo é de 9,0 mm. (a) Estime as densidades de carga induzidas nas superfícies interna e externa do tubo. (b) Para pontos no plano bissetor perpendicular, faça um gráfico de E versus R no intervalo de R = 1,0 mm a R = 15 mm, onde R é a distância perpendicular ao filamento. 22.Q3 – Considere um ponto em que E � = Eî. A partir desse ponto, dê uma direção (em termos de um vetor unitário) em que o potencial (a) aumente, (b) diminua, (c) permaneça o mesmo. 22.Q7 – Suponha que uma pessoa lhe diga que a vida em Marte é impossível porque a superfície do planeta tem uma voltagem de 20.000 V. Essa pessoa estaria certa? Explique. SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ DEPARTAMENTO DE ENSINO PARA A EDUCAÇÃO 6 22.Q8 – Se a diferença de potencial entre dois pontos é zero, existe necessariamente um trajeto ligando esses dois pontos sobre o qual o campo seja zero em cada ponto? D~e um exemplo que corrobore sua resposta. 22.Q9 – Se existe uma trajetória sobre a qual o campo seja zero em cada ponto, a diferença de potencial entre esses dois pontos é necessariamente zero? Dê um exemplo que corrobore sua resposta. 22.Q20 – Em eletrostática, por que tem sentido falar do potencial de um objeto condutor, mas não de um objeto isolante? 22.Q22 – É possível que um condutor com carga resultante positiva esteja em um potencial negativo? Em caso afirmativo, descreva tal situação. Caso contrário, por quê? 22.E3 – Suponha que uma partícula de teste com carga q0 = -6,0 nC e massa m0 = 0,22 kg seja liberada do repouso a uma distância de 78 mm de uma partícula fixa com carga q = 55 nC. Se a força elétrica é a única força atuando sobre a partícula de teste, então (a) qual é sua energia cinética e (b) sua velocidade, quando está à distância de 32 m da partícula fixa? 22.E9 – Uma partícula com carga de 27 nC está em uma posição onde o potencial (em relação a V∞ = 0) é 450 V. Qual é a energia potencial da partícula (em relação a U∞ = 0)? 22.E15 – Considere um campo elétrico uniforme E � = -(220 V/m)î. (a) Qual é a diferença de potencial entre a origem e (1,5 m , 0 , 0)? (b) Entre a origem e (1,5 m , 1,0 m , 0)? (c) Entre (1,5 m , 0 , 0) e a origem? (d) Entre a origem e (3,0 m , 0 , 0)? (e) Entre (1,5 m , 0 , 0) e (3,0 m , 0 , 0)? 22.E17 – O módulo da carga de cada placa de um capacitor de placas planas paralelas é 260 nC, a separação entre as placas é 0,32 mm, e a área lateral de cada placa é 2,2 x 10-2 m2. Supondo as placas suficientemente próximas umas das outras para que o campo seja considerado aproximadamente uniforme, (a) determine o módulo do campo elétrico E entre as placas e (b) determine a diferença de potencial elétrico V entre as placas. 22.E23 – Faça uma estimativa aproximada do potencial em pontos da superfície da Terra (em relação a V∞ = 0). Suponha que o módulo do campo elétrico seja 150 V/m na superfície da Terra, que decresça linearmente com a altura acima da superfície, até zero na altura de 50 km, e que seja zero acima de 50 km. O campo é dirigido para o centro da Terra. (O módulo de sua resposta terá um excesso múltiplo de 10 em razão de nossas hipóteses rudimentares.) 22.E24 – Lembre-se que o módulo do campo longe das extremidades de uma linha de carga longa, com densidade de carga linear uniformemente distribuída, é de aproximadamente E ≈ l 2pe0R onde R é a distância perpendicular a partir da linha de carga. O campo é sempre dirigido a partir da linha de carga (supondo positiva). Mostre que a diferença de potencial aproximada entre dois pontos a e b distantes dos extremos da linha de carga é Va – Vb = l 2pe0 ln Ra Rb onde Ra e Rb são ambos muito menores do que o comprimento da linha de carga. 22.E27 – O potencial em uma região do espaço é dado pela expressão V = A (x2 + a2)2 (a) Dado que A = 200 V.m4 e a = 0,5 m, determine V em x = 0,5 m. (b) Determine uma expressão para E � na região. (c) Calcule E � em x = 0,5 m. 22.E31 – O campo elétrico em uma região do espaço entre x = 1,0 m e x = 3,0 m é dado pela expressão E � = [(380 V/m)e a x − ]î onde a = 2,0 m. Determine a diferença de potencial entre x = 3,0 m e x = 1,0 m, V = V(3,0 m) – V(1,0 m). R: -290 V. 22.E34 – Uma distribuição de carga esfericamente simétrica tem raio de 41 mm e potencial (em relação a V∞ = 0) de 600 V em sua superfície. (a) Qual é o raio da superfície eqüipotencial de 300 V? (b) Qual é o raio da superfície eqüipotencial de 150 V? (c) Qual a quantidade total de carga distribuída na esfera? 22.E37 – Considere uma haste longa carregada uniformemente, centrada na origem e orientada ao longo do eixo z. Esboce linhas de campo no plano xy e a interseção das superfícies eqüipotenciais com o plano xy. Admita que a haste seja suficientemente longa para que possa ser tratada como de comprimento infinito. Exiba quatro superfícies eqüipotenciais e faça com que seus raios correspondam à mesma diferença de potencial entre cada par sucessivode superfícies (veja exercício 22.24). 22.P3 – Modelo de Bohr do hidrogênio. O modelo de Bohr do hidrogênio tem o elétron orbitando o próton, da mesma maneira que um planeta órbita o Sol. Suponha que o elétron tenha uma órbita circular e que o próton, de massa muito maior, permaneça fixo. (a) Use a segunda lei de Newton aplicada ao movimento circular uniforme (F = mv2/r) e a lei de Coulomb para mostrar que a relação entre a energia cinética K e a energia potencial U é 2K = -U. (Note que U < 0). (b) Mostre que a energia mecânica (K + U) para essa órbita circular, em termos da distância de separação elétron- próton, é –e2/80r. (c) A energia de ionização é a quantidade de energia necessária para colocar o elétron a uma grande distância do próton. Isto é, é a diferença em energia mecânica entre o estado ligado desse sistema [pela parte (b) acima] e o estado em que a energia potencial e a energia cinética são ambas zero. Dado que a energia de ionização é 13,6 eV, determine o raio da órbita do elétron. (d) Ache a velocidade do elétron em sua órbita.
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