Funções de várias variáveis

Prévia do material em texto

Capítulo 2
FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
2.1 Introdução
Como no Cálculo de uma variável, neste capítulo estudaremos uma das noções
centrais da Matemática, o conceito de função.
Uma função de várias variáveis reais é uma regra que descreve como uma quan-
tidade é determinada por outras quantidades, de maneira única. Através das fun-
ções de várias variáveis poderemosmodelar uma grande quantidade de fenômenos
dos mais diversos ramos da Ciência.
Definição 2.1. Seja A ⊂ Rn. Uma função f definida no subconjunto A com valores em R
é uma regra que associa a cada u ∈ A um único número real f(u).
u ∈ A é chamada variável independente da função e a notação é:
f : A ⊂ Rn −→ R.
Se n = 3, denotamos a variável independente por u = (x, y, z) e a função por:
w = f(x, y, z),
w é chamada variável dependente da função .
Se n = 2, denotamos a variável independente por u = (x, y) e a função por:
z = f(x, y),
z é chamada variável dependente da função .
Exemplo 2.1.
[1] O número de indivíduos Q de uma certa colônia de fungos depende essenci-
almente da quantidade N de nutrientes (gr), da quantidade H de água (cm3), da
47
48 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
temperaturaT (0C) e da presença de uma certa proteinaL (ml). Experimentalmente
foi obtida a seguinte tabela:
N H T L Q
10 1 10 0.1 15
20 3.5 14 0.4 20
30 5.6 16 0.8 22
22 8 21 0.1 21
25 5.1 12 0.8 15
10 1.4 30 1.6 12
50 7.3 35 0.9 17
Q possivelmente não tem uma formulação matemática explícita, mas é uma função
bem definida: Q = Q(N,H, T,L)
[2] O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua altura h:
V (r, h) = pi r2 h.
Logo, um cilindro de altura h = 10 cm e raio r = 2 cm tem volume:
V (2, 10) = pi 22 × 10 = 40pi cm3,
aproximadamente, 125.663 cm3
[3] Um tanque para estocagem de oxigênio líquido num hospital deve ter a forma
de um cilindro circular reto de raio r e de altura l m (m =metros), com um hemis-
fério em cada extremidade. O volume do tanque é descrito em função da altura l e
do raio r.
r
l
Figura 2.1: O tanque do exemplo [3].
O volume do cilindro é pi l r2 m3 e o dos dois hemisférios é
4pi r3
3
m3; logo, o vo-
lume total é:
V (l, r) = pi
[
4 r3
3
+ l r2
]
m3.
Por exemplo, se a altura for 8m e o raio r = 1m, o volume é:
V (8, 1) =
28pi
3
m3.
[4] O índice de massa corporal humano (IMC) é expresso por:
IMC(P,A) =
P
A2
,
2.1. INTRODUÇÃO 49
onde P é o peso em quilos e A a altura em m. O IMC indica se uma pessoa está
acima ou abaixo do peso ideal, segundo a seguinte tabela da OMS (Organização
Mundial da Saude):
Condição IMC
Abaixo do peso < 18.5
Peso normal 18.5 ≤ IMC ≤ 25
Acima do peso 25 ≤ IMC ≤ 30
Obeso > 30
Por exemplo, uma pessoa que mede 1.65m e pesa 98 quilos, tem:
IMC(98, 1.65) = 35.9;
logo segundo a tabela está obeso. Agora uma pessoa que mede 1.80m e pesa 75 kg,
tem
IMC(98, 1.65) = 23.1;
logo, segundo a tabela tem peso normal.
[5] Da lei gravitacional universal de Newton segue que dada uma partícula de
massa m0 na origem de um sistema de coordenadas x y z, o módulo da força F
exercida sobre outra partícula de massa m situada no ponto (x, y, z) é dado por
uma função de 5 variáveis independentes:
Figura 2.2: Exemplo [5].
F (m0,m, x, y, z) =
g m0m
x2 + y2 + z2
,
onde g é a constante de gravitação universal.
[6] A lei de um gás ideal confinado (lei de Gay - Lussac) é dada por:
P V = k T,
onde P é a pressão em N/u3 (N=Newton, u=unidades de medida), V é o volume
em u3, T é a temperatura em graus e k > 0 uma constante que depende do gás.
50 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Podemos expressar o volume do gás em função da pressão e da temperatura; a
pressão do gás em função do volume e da temperatura ou a temperatura do gás
em função da pressão e do volume:
V (P, T ) =
k T
P
,
P (V, T ) =
k T
V
e
T (P, V ) =
P V
k
.
[7] Quando um poluente é emitido por uma chaminé de h metros de altura, a con-
centração do poluente, a x quilômetros da origem da emissão e a y metros do chão
pode ser aproximada por:
P (x, y) =
a
x2
(
eh(x,y) + ek(x,y)
)
,
onde h(x, y) = − b
x2
(
y − h)2 e k(x, y) = − b
x2
(
y + h
)2.
O poluente P é medido em µg/m (µg=microgramas), onde a e b são constantes que
dependem das condições atmosféricas e da taxa de emissão do poluente. Sejam
a = 200 e b = −0.002. Por exemplo, para uma chaminé de 10m, a contaminação a
1 km de distância e a uma altura de 2m é:
P (1000, 2) = 0.004µg/m.
[8] Lei do fluxo laminar de Poiseuille: Fluxo sanguíneo através de um vaso, como
artérias ou veias. Como as quantidades envolvidas são pequenas, podemos consi-
derar que vasos tem formato cilíndrico não elástico.
R
Figura 2.3: Fluxo laminar de Poiseuille.
Denotemos por R o raio e l o comprimento, medidos em cm. Devido a fricção nas
paredes do vaso, a velocidade v do sangue é maior ao longo do eixo central do vaso
e decresce se a distância d (cm) do eixo à parede cresce e é zero na parede. v é uma
função de quatro variáveis:
v(P,R, l, d) =
P (R2 − d2)
4 l η
,
onde η é a viscocidade do sangue e P a diferença entre a pressão da entrada e a da
saída do sangue no vaso, medida em dina/cm2. Experimentalmente, para o sangue
2.1. INTRODUÇÃO 51
humano numa veia: η = 0.0027. Por exemplo, se l = 1.675, R = 0.0075, P = 4×103
e d = 0.004, tem-se:
v(4 × 103, 1.675, 0.004)) = 8.89994 cm/seg.
[9] Médicos dos desportos desenvolveram empiricamente a seguinte fórmula para
calcular a área da superfície de uma pessoa em função de seu peso e sua altura:
S(P,A) = 0.0072P 0.425 A0.725,
onde P é o peso em quilogramas, A é a altura em cm e S é medido em m2. Uma
pessoa que pesa 50 quilos e mede 160 cm deve ter uma área da superfície corporal:
S(50, 160) = 1.5044m2.
[10] Um circuito elétrico simples é constituído de 4 resistores como na figura:
R R R
R
E
1 2 3
4
Figura 2.4: Circuito elétrico.
A intensidade da corrente I neste circuito é função das resistênciasRi (i = 1, 2, 3, 4)
e da tensão da fonte E; logo:
I(R1, R2, R3, R4, E) =
E
R1 +R2 +R3 +R4
.
[11] A produção P ( valor monetário dos bens produzido no ano) de uma fábrica
é determinada pela quantidade de trabalho (expressa em operários/horas traba-
lhadas no ano) e pelo capital investido (dinheiro, compra de maquinarias, matéria
prima, etc.). A função que modela a produção é chamada de Cobb-Douglas e é
dada por:
P (L,K) = AKα L1−α,
onde L é a quantidade de trabalho, K é o capital investido, A e α são constantes
positivas (0 < α < 1).
A função de produção de Cobb-Douglas tem a seguinte propriedade para todo
n ∈ N:
P (nL, nK) = AnKα L1−α,
isto é, para acréscimos iguais na quantidade de trabalho e de capital investido ob-
temos o mesmo acréscimo na produção.
Por exemplo, se o capital investido é de R$ 600.000 e são empregados 1000 operá-
rios/hora, a produção é dada pela seguinte função de Cobb-Douglas:
P (L,K) = 1.01L
3
4 K
1
4 ;
então, P (1000, 600.000) = 4998.72.
52 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
2.2 Domínio e Imagem
De forma análoga ao Cálculo de uma variável, os conjuntos Domínio e Imagem de
uma função são relevantes para o estudo das funções de várias variáveis.
Definição 2.2. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função.
1. O conjunto de todas as variáveis independentes u ∈ Rn tais que f(u) existe é cha-
mado domínio de f e é denotado por Dom(f).
2. O conjunto dos z ∈ R tais que f(u) = z e u ∈ Dom(f) é chamado imagem de f e é
denotado por Im(f).
Na prática o domínio de uma função é determinado pelo contexto do problema.
Exemplo 2.2.
[1] O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua altura h.
Logo,
V (r, h) = pi r2 h.
Como o raio e a altura de um cilindro devem ser positivos, temos que:
Dom(f) = {(r, h) ∈ R2 / r > 0, h > 0} = (0,+∞)× (0,+∞) e
Im(f) = (0,+∞).
No caso de não estar considerando a função como volume, teríamos que:
Dom(f) = Im(f) = R2.
[2] Seja z = f(x, y) =
√
1− x2 − y2.
Note que f é definida se, e somente se:
1− x2 − y2 ≥ 0,
ou seja x2 + y2 ≤ 1; logo:
Dom(f) = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1}.
Por outro lado 0 ≤ z =
√
1− x2 − y2 ≤ 1; logo, Im(f) = [0, 1].
11
Figura 2.5: Exemplo [2].
2.2. DOMÍNIO E IMAGEM 53
[3] Seja z = f(x, y) =
x
x− y .
Note que f é definida se o denominador x− y 6= 0; então, x 6= y e,
Dom(f) = {(x, y) ∈ R2/x 6= y} = R2 − {(x, x)/x ∈ R}.
1
1
Figura 2.6: Exemplo [3].
[4] Seja z = f(x, y) = arcsen(x+ y).
Note que arcsen(u) é definido se −1 ≤ u ≤ 1; logo, −1 ≤ x+ y ≤ 1 o que acontece,
se, e somente se, y ≤ 1− x e −1− x ≤ y; então:
Dom(f) = {(x, y) ∈ R2/− 1− x ≤ y ≤ 1− x}.
1
1
Figura 2.7: Exemplo [4].
[5] Seja z = f(x, y) = ln(y − x).
Note que a função logarítmica ln(u) é definida se u > 0; logo, y − x > 0 e f é
definida em todo o semi-plano definido por:
{(x, y) ∈ R2/y > x}.
54 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
1
1
Figura 2.8: Exemplo [5].
[6] Seja z = f(x, y) =
y√
x2 + y2 − 1
.
Note que o quociente é definido se x2 + y2 − 1 > 0; logo, a função é definida em
todo o plano menos a região determinada por x2 + y2 ≤ 1.
1
1
Figura 2.9: Exemplo [6].
[7] Seja w = f(x, y, z) = y
√
x2 + y2 + z2 − 1.
Note que a raiz quadrada está definida se, e somente se:
x2 + y2 + z2 − 1 ≥ 0;
logo, a função é definida em todo R3 menos a região determinada por:
x2 + y2 + z2 < 1.
De outro modo, todo o espaço menos os vetores de R3 de norma menor que 1.
Damesma forma que no caso de uma variável, as funções polinomiais de grau n,
de várias variáveis tem Dom(f) = Rn e a Im(f) depende do grau do polinômio.
[8] Se f(x, y, z) = x5 + y3 − 3x y z2 − x2 + x2 y z + z5 − 1, então, Im(f) = R. Se
g(x, y) = x2 + y2 − 2x y, então Im(f) = [0,+∞).
2.3. GRÁFICO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 55
2.3 Gráfico de Funções de Várias Variáveis
Definição 2.3. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função. O gráfico de f é o seguinte subcon-
junto de Rn+1:
G(f) = {(x, f(x)) ∈ Rn+1/x ∈ Dom(f)} ⊂ Rn × R
Se n = 2 e x = (x, y); então:
G(f) = {(x, y, f(x, y))/(x, y) ∈ Dom(f)}.
G(f) é, em geral, uma superfície em R3. Por exemplo, o gráfico da função :
f(x, y) =
{
1 se x, y ∈ Q
0 se x, y /∈ Q,
não é uma superfície.
Se n = 3, x = (x, y, z) e G(f) é uma "hipersuperfície"em R4. Para n = 2, a projeção
do gráfico de f sobre o plano xy é exatamenteDom(f).
Figura 2.10: Esboço do gráfico de uma função , ponto a ponto.
Figura 2.11: Gráfico de uma função.
56 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
2.4 Conjuntos de nível
Definição 2.4. O conjunto de nível de f com valor c ∈ R é definido por:
{x ∈ Dom(f)/f(x) = c}
Em particular:
Se n = 2, o conjunto de nível c é dito curva de nível c de f :
Cc = {(x, y) ∈ Dom(f)/f(x, y) = c}
Se n = 3, o conjunto de nível c é dito superfície de nível c de f :
Sc = {(x, y, z) ∈ Dom(f)/f(x, y, z) = c}
As curvas de nível são obtidas pelas projeções no plano xy, das curvas obtidas pela
interseção do plano z = c com a superfície G(f). No caso n = 3, G(f) ⊂ R4;
portanto, somente poderemos exibir esboços de suas seções.
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Figura 2.12: Curvas de nível e o gráfico, respectivamente.
Se z = T (x, y) é a temperatura em cada ponto de uma região do plano, as curvas
de nível correspondem a pontos de igual temperatura. Neste caso, as curvas são
chamadas isotermas.
Figura 2.13: Curvas Isotermais.
2.4. CONJUNTOS DE NÍVEL 57
Se z = P (x, y) é o potencial elétrico em cada ponto (x, y) de uma região do plano,
as curvas de nível correspondem a pontos de igual potencial elétrico. Neste caso,
as curvas são chamadas equipotenciais.
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
x
y
Figura 2.14: Curvas Equipotenciais.
Outra aplicação é o esboço de gráficos de função de duas variáveis:
A construção do esboço doG(f) é feita assim:
Uma vez dado o valor da "altura"z = c obtemos uma curva plana; elevando cada
curva, sem esticá-la ou incliná-la obtemos o contorno aparente de G(f); auxiliado
pelas seções (como no caso das quádricas), podemos esboçar G(f) de forma bas-
tante fiel.
Note que curvas de nível muito espaçadas, significa que o gráfico cresce lenta-
mente; duas curvas de nível muito próximas significa que o gráfico cresce abrupta-
mente.
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
Figura 2.15:
58 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Figura 2.16:
Exemplo 2.3.
[1] Se T (x, y) = x+ y2 − 1 representa a temperatura em cada ponto de uma região
do plano, as curvas de nível ou isotermas são T (x, y) = c, isto é:
x+ y2 − 1 = c, c ∈ R.
Temos uma família de parábolas:
c x+ y2 − 1 = c
0 x+ y2 = 1
1 x+ y2 = 2
-1 x+ y2 = 0
2 x+ y2 = 3
-2 x+ y2 = −1
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Figura 2.17: Esboco das curvas de nível de T = T (x, y).
[2] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = x2 − y2.
Note queDom(f) = R2.
2.4. CONJUNTOS DE NÍVEL 59
Interseções de G(f) com os eixos coordenados: somente a origem.
Simetrias: a equação:
z = x2 − y2
não se altera se substituimos x e y por −x e −y; logo, tem simetria em relação aos
planos yz e xz.
Curvas de nível:
Fazendo z = c, temos: x2 − y2 = c. Se c < 0, temos x2 − y2 = c, que são hipérboles
que intersectam o eixo dos y; Se c = 0, temos y = ±x, que são duas retas passando
pela origem; Se c > 0, temos x2− y2 = c, que são hipérboles que intersectam o eixo
dos x.
Traços:
No plano xy: um par de retas que se intersectam na origem.
No plano yz: a parábola: y2 + z = 0.
No plano xz: a parábola: x2 − z = 0. Logo z = f(x, y) = x2 − y2 é um parabolóide
hiperbólico.
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Figura 2.18: Curvas de nível e gráfico, respectivamente.
[3] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = x+ y2.
Note queDom(f) = R2.
Interseções de G(f) com os eixos coordenados: somente a origem.
Simetrias: a equação:
z = x+ y2
não se altera se substituimos y por −y; logo, tem simetria em relação ao plano xz.
Curvas de nível:
Fazendo z = c, temos y2 = c− x, que é uma família de parábolas com foco no eixo
dos y, para todo c ∈ R.
Traços:
No plano yz é a parábola: y2 − z = 0. No plano xz é a reta: x− z = 0. Logo z =
f(x, y) = x+ y2 é um cilindro parabólico.
60 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Figura 2.19: Curvas de nível e gráfico, respectivamente.
[4] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = ln(x2 + y2).
Note queDom(f) = R2 − {(0, 0)}.
Interseções com os eixos coordenados: (0,±1, 0), (±1, 0, 0).
Simetrias: a equação:
z = ln(x2 + y2)
não se altera se substituimos x e y por −x e −y; logo, tem simetria em relação aos
planos yz e xz.
Curvas de nível.
Fazendo z = c, temos:
x2 + y2 = ec,
para todo c ∈ R. As curvas de nível são círculos centrados na origem de raios ec/2;
se c→ −∞, o raio tende para zero e se c→ +∞, o raio cresce.
A superfície tem o aspecto de um funil.
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Figura 2.20: Curvas de nível e gráfico, respectivamente.
2.4. CONJUNTOS DE NÍVEL 61
[5] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = sen(x).
Note que Dom(f) = R2. Como na equação falta a variável y, o gráfico de f é um
cilindro de diretriz z = sen(x) no plano xz e geratriz paralela ao eixo dos y.
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Figura 2.21: Curvas de nível e gráfico, respectivamente.
[6] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f(x, y, z) = x− y + z + 2. Note
queDom(f) = R3.
Superfícies de nível:
Fazendo w = c, temos:
x− y + z = c− 2,
que representa uma família de planos paralelos de normal (1,−1, 1), para qualquer
c.
Figura 2.22: Superfícies de nível.
[7] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f(x, y, z) = z − x2 − y2.
Note queDom(f) = R3.
62 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Superfícies de nível:
Fazendo w = c, temos:
z = x2 + y2 + c,
que para cada c é a equação de um parabolóide circular com eixo no eixo dos z.
Figura 2.23: Superfícies de nível.
[8] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f(x, y, z) = x2 − y2 + z2.
Superfícies de nível:
Fazendo w = c temos:
x2 − y2 + z2 = c.
Se c < 0, é um hiperbolóide de duas folhas: x2 − y2 + z2 = c.
Figura 2.24: Hiperbolóide de duas folhas.
Se c = 0, é um cone circular: x2 − y2 + z2 = 0.
2.4. CONJUNTOS DE NÍVEL 63
Figura 2.25: Cone circular.
Se c > 0, é um hiperbolóide de uma folha: x2 − y2 + z2 = c; etc.
Figura 2.26: Hiperbolóide de uma folha.
Em alguns casos é mais conveniente esboçar ascurvas nível do que o gráfico da
função.
[9] Considere a função de Cobb-Douglas:
P (L,K) = 1.01L
3
4 K
1
4 .
As curvas de nível de P para diversas produções são esboçadas, indicando as pos-
sibilidades de L eK para cada produção.
64 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
0 50 100 150 200
0
50
100
150
200
Figura 2.27: Curvas de nível da função de Cobb-Douglas.
[10] Sabemos que o índice de massa corporal é dado por:
IMC(P,A) =
P
A2
.
As curvas de nível de ICM indicam as possibilidades de:
10 ≤ P ≤ 200 e 0.5 ≤ A ≤ 2.5.
25 50 75 100 125 150 175 200
0.5
1
1.5
2
2.5
Figura 2.28: Curvas de nível da função da massa corporal.
De forma análoga ao caso de uma variável, nem toda superfície em R3 é o gráfico
de uma função de duas variáveis. A condição necessária e suficiente para que uma
superfície em R3 seja o gráfico de uma função z = f(x, y) é que toda reta paralela
ao eixo dos z intersecte a superfície em um único ponto. A esfera x2 + y2 + z2 = 1
não pode ser gráfico de uma função de duas variáveis, mas os hemisférios da esfera
são gráficos das funções:
z = f1(x, y) =
√
1− x2 − y2 e z = f2(x, y) = −
√
1− x2 − y2.
Em geral, toda equação de tres variáveis que represente uma superfície é uma su-
perfície de nível de alguma função de tres variáveis. As superfícies quádricas são
superfícies de algum nível de funções de três variáveis.
2.5. EXERCÍCIOS 65
Exemplo 2.4.
[1] Seja x2 + y2 + z2 = 1; então: x2 + y2 + z2 = 1 é superfície de nível c = 0 para
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1,
x2 + y2 + z2 = 1 é superfície de nível c = 1 para
g(x, y, z) = x2 + y2 + z2
e x2 + y2 + z2 = 1 é superfície de nível c = 30 para h(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 29.
[2] Seja z = f(x, y), considere h(x, y, z) = z − f(x, y); então, G(f) é uma superfície
de nivel zero de h.
2.5 Exercícios
1. Determine o volume em função de h e r.
(a) Um depósito de grãos tem formato de um cilindro circular reto de altura
h e raio r, com teto cônico.
(b) Um depósito de gás tem formato de um cilindro circular reto de altura h e
raio r, com teto uma semi-esfera.
2. Se f(x, y) = x5 − y5 − 4x2 y3 − 3x3 y2 + x y2 + x2 − y2 − x+ y + 1, calcule:
(a) f(0, 0)
(b) f(1, 1)
(c) f(x, x)
(d) f(y,−y)
(e) f(x2,
√
x y)
(f) f(1, h)
(g) f(h, 0)
(h)
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
(i)
f(x, y + h)− f(x, y)
h
3. Se f(x, y, z) = (x y z)2, calcule:
(a) f(0, 0, 0)
(b) f(1, 1, pi)
(c) f(x, x, x)
(d) f(y, z, z)
(e) f(x2,
√
x y z, z3 y)
(f)
f(x+ h, y, z) − f(x, y, z)
h
(g)
f(x, y + h, z)− f(x, y, z)
h
(h)
f(x, y, z + h)− f(x, y, z)
h
(i)
f(x+ h, y + h, z + h)− f(x, y, z)
h
4. DetermineDom(f) se:
66 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
(a) f(x, y) =
√
x− y
x+ y
(b) f(x, y) =
x2 − y2
x− y
(c) f(x, y) =
x+ y
x y
(d) f(x, y) = 16− x2 − y2
(e) f(x, y) = |x|e yx
(f) f(x, y) =
√
|x| − |y|
(g) f(x, y) =
x− y
sen(x)− sen(y)
(h) f(x, y) =
√
y − x+√1− y
(i) f(x, y, z) = x y z − x4 + x5 − z7
(j) f(x, y, z) = sen(x2 − y2 + z2)
(k) f(x, y, x) =
y
z x
(l) f(x, y, z) = x2 sec(y) + z
(m) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2 − 1)
(n) f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2
(o) f(x, y, z) = ex
2+y2+z2
(p) f(x, y, z) = 3
√
1− x2 − y2 − z2.
5. EsboceDom(f) no plano de cada função do exercício [4].
6. Seja x ∈ Rn. Uma função f(x) é dita homogênea de grau n ∈ Z se para todo
t > 0, f(tx) = tn f(x). Verifique que as seguintes funções são homogêneas e
determine o grau:
(a) f(x, y) = 3x2 + 5x y + y2
(b) f(x, y) =
2
x2 + y2
(c) f(x, y) =
√
x2 + y2 sen(
y
x
), x 6= 0
(d) f(x, y, z) =
x
y3
+
y
z3
+
z
x3
(e) f(x, y, z) =
1
x+ y + z
(f) f(x, y, z) = x2 e−
y
z
7. Esboce as curvas de nível de f , para os seguintes c:
(a) f(x, y) =
√
100− x2 − y2, c = 0, 8, 10.
2.5. EXERCÍCIOS 67
(b) f(x, y) =
√
x2 + y2, c = 0, 1, 2, 3, 4
(c) f(x, y) = 4x2 + 9 y2, c = 0, 2, 4, 6
(d) f(x, y) = 3x− 7y, c = 0, ±1, ±2
(e) f(x, y) = x2 + xy, c = 0, ±1, ±2, ±3
(f) f(x, y) =
x2
y2 + 1
, c = 0, ±1, ±2, ±3
(g) f(x, y) = (x− y)2, c = 0, ±1, ±2, ±3
(h) f(x, y) = ln(x2 + y2 − 1), c = 0, ±1
(i) f(x, y) =
x
x2 + y2 + 1
, c = ±1, ±2
(j) f(x, y) = ex
2+y2 , c = 1, 2
8. Esboce as superfícies de nível de f , para os seguintes c:
(a) f(x, y, z) = −x2 − y2 − z2, c = 0, ±1, ±2
(b) f(x, y, z) = 4x2 + y2 + 9z2, c = 0, ±12 , ±1
(c) f(x, y, z) = x2 + y2 + z, c = 0, ±1, ±2
(d) f(x, y, z) = x− y2 + z2, c = 0, ±1, ±2
(e) f(x, y, z) = x y z, c = 0, ±1, ±2
(f) f(x, y, z) = e−(x
2+y2+z2), c = 0, ±1, ±2
9. Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f :
(a) f(x, y) = x− y − 2
(b) f(x, y) = x2 + 4 y2
(c) f(x, y) = x y
(d) f(x, y) = 2x2 − 3 y2
(e) f(x, y) = |y|
(f) f(x, y) =
√
16− x2 − y2
(g) f(x, y) =
√
9x2 + 4 y2
(h) f(x, y) = e−(x
2+y2)
(i) f(x, y) = 1−
√
x2 + y2
(j) z = 1 + y2 − x2
(k) z = x2
(l) z =
√
1 + x2 + y2
(m) z = y3
(n) z = sen(x)
(o) z = ey
10. Função de DuBois-DuBois: Em Medicina, às vezes, se utiliza a seguinte fun-
ção para determinar a superfície corporal de uma pessoa:
S(P, h) = 0.0072P 0.425 h0.725,
que estabelece uma relação entre a área da superfície S (m2) de uma pessoa,
o seu peso P (Kg) e sua altura h (cm).
(a) Se uma criança pesa 15 kg e mede 87 cm, qual é sua superfície corporal?
68 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
(b) Esboce as curvas de nível da função S.
(c) Esboce o gráfico de S.
11. De forma análoga ao que ocorre no Cálculo de uma variável, dadas f e g
funções definidas em A ⊂ Rn, definimos:
(
f + g
)
(u) = f(u) + g(u).(
f g
)
(u) = f(u) g(u);
em particular,
(
λ f
)
(u) = λ f(u), para todo λ ∈ R.
(f
g
)
(u) =
f(u)
g(u)
,
se g(u) 6= 0.
(a) Calcule: f + g, f g, e
f
g
, se:
i. f(x, y) = x3 − x y2 − x2 y − y3 + x2 + y2 e g(x, y) = x2 y + x y2 − x3.
ii. f(x, y) = x y2 − x4 y3 e g(x, y) =
√
x2 + y2 + x y
(b) Calcule: f + g, f g, e
f
g
, se
i. f(x, y, z) = x y z − x2 z2 e g(x, y, z) = x y z − y2 z2.
ii. f(x, y, z) =
√
x y + z − x2 − y2 e g(x, y, z) = x5 − y2 z2.