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GABARITO QUESTÕES DE CÁLCULO – APOL 3 – FÍSICA ELETRICIDADE 1) Um fio de cobre possui um diâmetro de 1,95 mm. Esse fio está ligado a um chuveiro de 5500 W e conduz uma corrente elétrica de 43 A. A densidade dos elétrons livres é de 8,5.10 28 elétrons por metro cúbico. Analise as proposições: I. O módulo da densidade de corrente J é 3,24.107 A/m2 II. A área da seção reta do fio é 3,998.10-6 m2; III. O módulo da velocidade de arraste 𝑣𝑎 é 0,00159 mm/s. Assinale a alternativa correta: a) Somente as proposições I e II são verdadeiras; b) Todas as proposições são verdadeiras; c) Somente a proposição I é verdadeira; d) Somente a proposição III é verdadeira. Resposta: Alternativa (d). RESOLUÇÃO: a) Calcule o módulo da densidade de corrente J. O módulo da densidade de corrente J pode ser calculado por: 𝐽 = 𝐼 𝐴 Onde I é a corrente elétrica e A é a área da seção reta do fio. A área da seção reta do fio é calculada por: 𝐴 = 𝜋𝐷2 4 Sendo D = 1,95 mm = 1,95.10 -3 m, então: 𝐴 = 𝜋(1,95 . 10−3)2 4 = 2,986 . 10−6 𝑚2 O módulo da densidade de corrente é: 𝐽 = 𝐼 𝐴 = 43 2,986 . 10−6 = 𝟏, 𝟒𝟒 . 𝟏𝟎𝟕 𝑨 𝒎𝟐 b) Calcule o módulo da velocidade de arraste 𝑣𝑎. A velocidade de arraste pode ser calculada pela relação: 𝑣𝑎 = 𝐽 𝑛 |𝑞| = 1,44 . 107 (8,5. 1028). |−1,6 . 10−19| 𝑣𝑎 = 𝟏, 𝟎𝟓𝟗. 𝟏𝟎 −𝟑 𝒎 𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟎𝟓𝟗 𝒎 𝒔 2) Um fio de cobre com AWG 15 possui diâmetro de 1,25 mm. Esse fio com resistividade ρ = 2,64.10 -9 Ω.m, está ligado a um chuveiro e conduz uma corrente elétrica de 43 A. Analise as proposições: I. O módulo do campo elétrico no fio é 0,0925 V/m; II. A diferença de potencial entre os dois pontos do fio separados por uma distância igual a 65,0 m é 6,0125 V; III. A resistência de um segmento do fio de comprimento igual a 65,0 m é de 0,14 Ω. Assinale a alternativa correta: a) Somente as proposições I e III são verdadeiras; b) Todas as proposições são verdadeiras; c) Somente as proposições II e III são verdadeiras; d) Somente a proposição III é verdadeira. Resposta: Alternativa (b). RESOLUÇÃO: a) Calcule o módulo do campo elétrico no fio. Para o cálculo do módulo do campo elétrico no fio, devemos utilizar a relação: 𝐸 = 𝜌. 𝐽 = 𝜌. 𝐼 𝐴 Logo, 𝐸 = 2,64. 10−9. 43 𝜋(1,25 . 10−3)2 4 = 2,64. 10−9. 43 1,23. 10−6 = 𝟎, 𝟎𝟗𝟐𝟓 𝑽 𝒎 b) Calcule a diferença de potencial entre os dois pontos do fio separados por uma distância igual a 50,0 m. A diferença de potencial entre dois pontos do fio separados por uma distância L pode ser calculada pela equação: 𝑉 = 𝐸. 𝐿 Onde L é o comprimento do fio, logo: 𝑉 = 0,0925 . 65,0 = 𝟔, 𝟎𝟏𝟐𝟓 𝑽 c) Calcule a resistência de um segmento do fio de comprimento igual a 50,0 m. A resistência de um segmento do fio de comprimento igual a 50,0 m, pode ser calculada pela lei de Ohm: 𝑉 = 𝑅. 𝐼 Ou seja: 𝑅 = 𝑉 𝐼 = 6,0125 43 = 𝟎, 𝟏𝟒 𝛀 Podemos obter a resistência de outra forma: 𝑅 = 𝜌𝐿 𝐴 = 2,64. 10−9. 65 1,23. 10−6 = 𝟎, 𝟏𝟒 𝛀 3) Uma amostra de fio (d=1 mm de diâmetro por L=1 m de comprimento) de uma liga de alumínio é colocada em um circuito elétrico como o mostrado na figura abaixo. Uma queda de tensão de 432 mV é medida entre as extremidades do fio quando este transporta uma corrente de 10 A. I. A área A se seção transversal da amostra é 7,854.10-7 m2; II. A resistência R do fio é 43,2.10-3 Ω; II. A resistividade ρ da liga de alumínio que compõe o fio é 33,9.10-9 Ω.m. Assinale a alternativa correta: a) Somente as proposições I e III são verdadeiras; b) Somente as proposições II e III são verdadeiras; c) Somente a proposição III é verdadeira. d) Todas as proposições são verdadeiras. Resposta: Alternativa (d). RESOLUÇÃO: Calculando a área da seção transversal da amostra: 𝐴 = 𝜋𝐷2 4 = 𝜋(1. 10−3)2 4 = 𝟕, 𝟖𝟓𝟒. 𝟏𝟎−𝟕 𝒎𝟐 Calculando a resistência elétrica R da amostra: 𝑅 = 𝑉 𝐼 = 432. 10−3 𝑉 10 𝐴 = 𝟒𝟑, 𝟐. 𝟏𝟎−𝟑 𝜴 Calculando a resistividade ρ da liga de alumínio que compõe o fio: 𝑅 = ρ 𝐿 𝐴 Então: ρ = 𝑅𝐴 𝐿 = (43,2. 10−3)(7,854. 10−7) 1 = 𝟑𝟑, 𝟗𝟑. 𝟏𝟎−𝟗 𝜴. 𝒎 4) Um circuito elétrico, conforme mostra a figura, é composto por uma bateria de FEM ε = 15,5 V, com resistência interna r = 3 Ω e um resistor de R = 6,5 Ω. I. A corrente elétrica I que passa pelo circuito é 2,47 A; II. A tensão Vab entre os pontos a e b é 10,61 V. Assinale a alternativa correta: a) Todas as proposições são verdadeiras; b) Somente a proposição I é verdadeira. c) Somente a proposição II é verdadeira. d) Todas as proposições são falsas. Resposta: Alternativa (c). RESOLUÇÃO: a) Qual a corrente elétrica I que passa pelo circuito? A corrente I que passa através do circuito pode ser calculada por: 𝐼 = 𝜀 𝑅 + 𝑟 𝐼 = 15,5 6,5 + 3 = 𝟏, 𝟔𝟑 𝑨 b) Qual é a tensão Vab entre os pontos a e b? A tensão entre dois pontos do circuito pode ser determinada pela relação: 𝑉𝑎𝑏 = 𝜀 − 𝐼𝑟 𝑉𝑎𝑏 = 15,5 − 1,63.3 = 𝟏𝟎, 𝟔𝟏𝑽 5) Um cabo de transmissão de cobre, com resistividade ρ = 1,44.10-9 Ω.m, possui 230 km de comprimento e 8,5 cm de diâmetro, carrega uma corrente de 112 A. I. A área se seção transversal do cabo é 5,67.10-3 m2; II. A resistência do cabo de transmissão é de 0,0584 Ω; III. A queda de potencial através do cabo é 8,4567 V; IV. A energia elétrica dissipada como energia térmica por hora é 2,64.106 J. Assinale a alternativa correta: a) Somente as proposições I, II e IV são verdadeiras; b) Somente as proposições II, III e IV são verdadeiras; c) Somente as proposições II e IV são verdadeiras; d) Todas as proposições são verdadeiras. Resposta: Alternativa (a). RESOLUÇÃO: Para determinar a queda de potencial precisamos determinar a resistência elétrica provocada pelo cabo de transmissão. Pela relação abaixo, sendo L = 230 km = 2,3.10 5 m e o diâmetro D = 8,5.10 -2 m a área será igual a: 𝐴 = 𝜋𝐷2 4 𝐴 = 𝜋(8,5. 10−2)2 4 = 𝟓, 𝟔𝟕 . 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟐 Então: 𝑅 = 𝜌𝐿 𝐴 = 1,44. 10−9(2,3. 105) 5,67 . 10−3 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟖𝟒 𝛀 a) Qual é a queda de potencial através do cabo? Pela lei de Ohm, a queda de potencial será dada por: 𝑉 = 𝑅. 𝐼 𝑉 = 0,0584.112 = 𝟔, 𝟓𝟒𝟎𝟖 𝑽 b) Quanta energia elétrica é dissipada como energia térmica por hora? A energia elétrica dissipada é determinada através da potência dissipada: 𝑃 = 𝑉. 𝐼 𝑃 = 6,5408.112 = 732,57 𝑊 Como potencial é a razão entre a energia (E) e o intervalo de tempo (Δt): 𝑃 = 𝐸 Δ𝑡 Sendo Δ𝑡 = 1 ℎ = 3600 𝑠, a energia dissipada nesse intervalo de tempo, será: 𝐸 = 𝑃. Δ𝑡 𝐸 = 732,57.3600 = 𝟐, 𝟔𝟒. 𝟏𝟎𝟔𝑱 6) Considerando que bateria possui resistência interna desprezível, a resistência equivalente Req do circuito indicado na figura a seguir e a corrente que passa em cada resistor (I1, I2, I3 e I4) são, respectivamente: a) Req=6,0 Ω, I1=8 A, I2=4 A, I3= 2 A e I4=7 A; b) Req=5,0 Ω, I1=8 A, I2=4 A, I3= 2 A e I4=7 A; c) Req=5,0 Ω, I1=8 A, I2=4 A, I3= 3 A e I4=9 A; d) Req=6,0 Ω, I1=8 A, I2=4 A, I3= 3 A e I4=9 A. Resposta: Alternativa (c). RESOLUÇÃO: Passo 1: Para os resistores em paralelo de 3,0 Ω e o 6,0 Ω: 1 𝑅𝑒𝑞1 = 1 𝑅1 + 1 𝑅2 + ⋯ 1 𝑅𝑒𝑞1 = 1 3,0 + 1 6,0 𝑅𝑒𝑞1= 2,0 𝛺 Para os resistores em paralelo de 12,0 Ω e o 4,0 Ω: 1 𝑅𝑒𝑞2 = 1 𝑅1 + 1 𝑅2 + ⋯ 1 𝑅𝑒𝑞2 = 1 12,0 + 1 4,0 𝑅𝑒𝑞2 = 3,0 𝛺 O circuito se resume então a: Agora os resistores de 2,0 Ω e 3,0 Ω encontram-se ligados em série e para esses casos a resistência equivalente é determinada pela relação: 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅𝑒𝑞1 + 𝑅𝑒𝑞2 + ⋯ 𝑅𝑒𝑞 = 2,0 + 3,0 𝑹𝒆𝒒 = 𝟓, 𝟎 𝜴 Passo 2: Para o cálculo da corrente, aplica-se a Lei de Ohm: 𝑉 = 𝑅. 𝐼 Como a resistência interna da bateria é zero, a tensão aplicada aos resistores é igual a força eletromotriz ε = 60,0 V e a resistência R é a resistência equivalente Req = 5,0 Ω, então: 𝜀 = 𝑅𝑒𝑞 . 𝐼 60,0 = 5,0. 𝐼 Logo, a corrente total no circuito será: 𝐼 = 60,0 5,0 = 𝟏𝟐 𝑨 A tensão no resistor de 2 Ω pode ser calculada por: 𝑉2𝛺 = 𝑅𝐼 = 2.12 = 24 𝑉 Já a tensão no resistor de 3 Ω pode ser calculada por: 𝑉3𝛺 = 𝑅𝐼 = 3.12 = 36 𝑉 Porém, quando essa corrente chega no nó que separa os resistores em paralelo (veja figura a seguir) ela se divide em I1 e I2, passando uma quantidade de corrente elétrica pela malha superior e o restante pela malha inferior: Como os resistores de 3,0 Ω e 6,0 Ω estão em paralelo, a tensão sobre eles é a mesma, ou seja, V2Ω = 24 V. Logo, pela lei de Ohm a corrente I1 será dada por: 𝑉 = 𝑅. 𝐼1 24,0 = 3,0. 𝐼1 𝐼1 = 24,0 3,0 = 𝟖, 𝟎 𝑨 E a corrente I2, será: 𝐼2 = 24,0 6,0 = 𝟒, 𝟎 𝑨 Já para os resistores de 12,0 Ω e 4,0 Ω que também estão em paralelo, a tensão sobre eles é a mesma, ou seja, V3Ω = 36 V. Logo, pela lei de Ohm a corrente I1 será dada por: 𝑉 = 𝑅. 𝐼3 36,0 = 12,0. 𝐼3 𝐼3 = 36,0 12,0 = 𝟑, 𝟎 𝑨 E a corrente I2, será: 𝐼4 = 36,0 4,0 = 𝟗, 𝟎 𝑨 7) No circuito indicado na figura a seguir, a tensão através do resistor de 5,0 Ω é de 28,0 V. Calcule e assinale a alternativa que corresponde à FEM ε da bateria e a corrente que passa pelo resistor de 13,0 Ω, respectivamente. a) FEM ε = 39,2 V e I13Ω=3,015 A; b) FEM ε= 39,2 V e I13Ω=4,728 A; c) FEM ε= 25,8 V e I13Ω=3,015 A; d) FEM ε= 25,8 V e I13Ω=4,728 A. Resposta: Alternativa (a). RESOLUÇÃO: 𝑉 = 𝑅𝐼 𝐼5𝛺 = 𝑉 𝑅 = 28,0 5,0 = 5,6 𝐴 Como este resistor está em série com o resistor de 2,0 Ω, então: 𝐼2𝛺 = 5,6 𝐴 Com a corrente neste ramo, podemos calcular a tensão no resistor equivalente de 2,0 Ω + 5,0 Ω = 7,0 Ω: 𝑉 = 𝑅𝐼 = 7,0(5,6) = 39,2 𝑉 Assim: 𝜺 = 𝟑𝟗, 𝟐 𝑽 A corrente I13Ω pode ser calculada por: 𝐼13𝛺 = 𝑉 𝑅 = 39,2 13,0 = 𝟑, 𝟎𝟏𝟓 𝑨 8) Calcule as correntes I1, I2 e I3 indicadas na figura a seguir. Assinale a alternativa que contém os valores corretos: a) I1=0,967 A, I2= 2,14 A e I3=0,271 A; b) I1=0,848 A, I2=3,15 A e I3=0,271 A; c) I1=0,848 A, I2=2,14 A e I3=0,171 A; d) I1=0,967 A, I2=3,15 A e I3=0,171 A. Resposta: Alternativa (c). RESOLUÇÃO: Neste exercício é necessário aplicar a Lei de Kirchhoff das Tensões, ou Lei das Malhas, que diz que o somatório das tensões numa malha fechada deve ser igual a zero. Para sua resolução devem se seguir os seguintes passos: Passo 1: Arbitrar sentidos de corrente para cada malha, conforme a figura a seguir. Neste caso escolheu-se o sentido horário para as três correntes Ia, Ib e Ic em cada uma das malhas. Essas correntes serão calculadas a partir da aplicação da Lei de Kirchhoff das Tensões e por meio dos seus valores é que poderemos achar os valores de I1, I2 e I3 que passam por cada resistor, conforme pedido no exercício. Passo 2: Aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões, teremos uma equação para cada malha, de forma que para as três malhas teremos três equações e três incógnitas (correntes Ia, Ib e Ic). Convencionamos que o sinal adotado será o sinal de entrada de cada componente do circuito (sinal da polaridade de entrada dos resistores ou fontes. Também poderia ser adotado o sinal de saída destes componentes. Como a equação é igualada a zero, o resultado vai ser igual). Malha a) ∑ 𝑉 = 0 −12,0 𝑉 + (5,0𝛺)𝐼𝑎 + (1,0𝛺)(𝐼𝑎 − 𝐼𝑐) = 0 −12,0 𝑉 + (5,0𝛺)𝐼𝑎 + (1,0𝛺)𝐼𝑎 − (1,0𝛺)𝐼𝑐 = 0 (𝟔, 𝟎𝜴)𝑰𝒂 − (𝟏, 𝟎𝜴)𝑰𝒄 = 𝟏𝟐, 𝟎 𝑽 (1) Repare que no resistor de 1,0Ω desta malha passa a corrente Ia (referente à malha a) e também Ic (referente à malha c). Como estas correntes têm sentidos opostos, então elas se subtraem. Por isso ao calcular a tensão no resistor de 1,0Ω: V1,0Ω=1,0Ω(Ia-Ic). Este processo deve acontecer para todos os componentes que são comuns a 2 malhas (e portanto à 2 correntes). Malha b) ∑ 𝑉 = 0 (8,0𝛺)𝐼𝑏 + 9,0 𝑉 + (1,0𝛺)(𝐼𝑏 − 𝐼𝑐) = 0 (8,0𝛺)𝐼𝑏 + 9,0 𝑉 + (1,0𝛺)𝐼𝑏 − (1,0𝛺)𝐼𝑐 = 0 (𝟗, 𝟎𝜴)𝑰𝒃 − (𝟏, 𝟎𝜴)𝑰𝒄 = −𝟗, 𝟎 𝑽 (2) Malha c) ∑ 𝑉 = 0 12,0 𝑉 + (1,0𝛺)(𝐼𝑐 − 𝐼𝑎) + (1,0𝛺)(𝐼𝑐 − 𝐼𝑏) − 9,0𝑉 + (10,0𝛺)𝐼𝑐 = 0 12,0 𝑉 + (1,0𝛺)𝐼𝑐 − (1,0𝛺)𝐼𝑎 + (1,0𝛺)𝐼𝑐 − (1,0𝛺)𝐼𝑏 − 9,0𝑉 + (10,0𝛺)𝐼𝑐 = 0 −(𝟏, 𝟎𝜴)𝑰𝒂 − (𝟏, 𝟎𝜴)𝑰𝒃 + (𝟏𝟐, 𝟎𝜴)𝑰𝒄 = −𝟑, 𝟎 𝑽 (3) Passo3: Temos um sistema de três equações (1, 2 e 3) e três incógnitas (Ia, Ib e Ic): { (6,0𝛺)𝐼𝑎 − (1,0𝛺)𝐼𝑐 = 12,0 𝑉 (9,0𝛺)𝐼𝑏 − (1,0𝛺)𝐼𝑐 = −9,0 𝑉 −(1,0𝛺)𝐼𝑎 − (1,0𝛺)𝐼𝑏 + (12,0𝛺)𝐼𝑐 = −3,0 𝑉 É possível resolver este sistema de várias maneiras. Note que se somarmos a equação (1) e (2), eliminaremos a variável Ic e chegamos na seguinte equação: (6,0𝛺)𝐼𝑎 + (9,0𝛺)𝐼𝑏 = 3,0 𝑉 (4) Se multiplicarmos por 12 a equação (1) e somarmos com a equação (3), teremos outra equação sem a variável Ic: (71,0𝛺)𝐼𝑎 − (1,0𝛺)𝐼𝑏 = 141,0 𝑉 (5) Agora temos um sistema de duas equações e duas incógnitas, formado pelas equações (4) e (5). Podemos resolvê-lo multiplicando a equação (5) por 9 e somando com a equação (4). Desta forma eliminamos a variável Ib e encontramos o valor de Ia. Ao achar Ia, substituímos em uma das equações (4 ou 5) e encontramos Ib. Ao achar Ib, substituímos na equação (1) para achar Ic. Ao se resolver o sistema, os valores encontrados são dos seguintes: 𝐼𝑎 = 1,9716 𝐴 𝐼𝑏 = −1,0189 𝐴 𝐼𝑐 = −0,17061 𝐴 Tente considerar o máximo de casas decimais após a vírgula, só assim achará estes valores exatos. Senão, encontrará valores aproximados. Passo4: Foram encontrados valores negativos das correntes Ib e Ic, o que significa que arbitramos sentidos contrários ao sentido real para estas correntes no início do exercício. Então, o passo seguinte agora é inverter os sentidos para estas correntes no circuito (neste caso, Ib e Ic): Ao inverter o sentido de Ib e Ic no circuito, também devemos inverter os sinais referentes aos valores de tais correntes, pois agora estão desenhados no sentido correto. Então, os valores de Ia, Ib e Ic ficam todos positivos: 𝐼𝑎 = 1,9716 𝐴 𝐼𝑏 = 1,0189 𝐴 𝐼𝑐 = 0,17061 𝐴 Passo5: Agora precisamos achar os valores de I1, I2 e I3 pedidos no exercício, a partir dos valores calculados bem como os sentidos reais de Ia, Ib e Ic. Pela análise de cada resistor no circuito, sabemos que: 𝐼1 = 𝐼𝑏 − 𝐼𝑐 = 1,0189 𝐴 − 0,17061 𝐴 = 𝟎, 𝟖𝟒𝟖𝟑 𝑨 Já que Ib e Ic passam em sentidos contrários no resistor de 1,0 Ω e por isso se subtraem. 𝐼2 = 𝐼𝑎 + 𝐼𝑐 = 1,9716 𝐴 + 0,17061 𝐴 = 𝟐, 𝟏𝟒𝟐𝟐𝟏 𝑨 Já que Ia e Ic têm o mesmo sentido no resistor de 1,0 Ω e, portanto,se somam. 𝐼3 = 𝐼𝑐 = 𝟎, 𝟏𝟕𝟎𝟔𝟏 𝑨 Já que somente Ic que passa pelo resistor de 10,0 Ω.
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