Apostila_II_Estatística
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Apostila_II_Estatística


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2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)
(3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)
(4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)
(5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 5) (5; 5) (5; 6)
(6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)}
42
Seja X = f(s), com s\u2208S, uma variável aleatória que se define sobre
esse espaço amostral. Na realidade uma função é uma regra
que indica a relação entre a variável independente e o valor
da função (variável dependente). Para o exemplo o valor da
função será dado pela soma dos pontos obtidos nos dois
dados. Portanto:
X = f(1; 1) = 1 + 1 = 2
X = f(1; 2) = 1 + 2 = f(2; 1) = 2 + 1 = 3
X = f(1; 3) = 1 + 3 = f(2; 2) = 2 + 2 = f(3; 1) = 3 + 1 = 4
X = f(6; 6) = 6 + 6 = 12
O conjunto Rx = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} chamado de
contradomínio dessa função (variável aleatória) é um
conjunto finito enumerável.
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2 - Consideremos o experimento aleatório de jogar
uma moeda duas vezes para verificar quais as faces
que caem voltadas para cima. Se considerarmos \u201cc\u201d
como sendo cara e \u201ck\u201d como sendo coroa, o espaço
amostral desse experimento será: S = {cc, ck, kc, kk}.
Definido a variável aleatória X como sendo o
número de caras que forem obtidas nos dois
lançamentos teremos:
x1 = f(cc) = 2; x2 = f(ck) = f(kc) = 1 e x3 = f(kk) = 0,
portanto Rx = {0, 1, 2} que é um conjunto finito
enumerável
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3 - Consideremos o experimento de lançar um dado para
verificar qual a face que cai voltada para cima. Portanto S = {1,
2, 3, 4, 5, 6}. Definimos a variável aleatória X como sendo
igual ao número de pontos que obtivemos no dado. Neste
caso X = f(s) = s e S = Rx . Uma função onde isso acontece é
chamada de \u201cfunção identidade\u201d.
4 - Consideremos o experimento aleatória de lançar uma
moeda até que a face \u201ccara\u201d aconteça, portanto o espaço
amostral desse experimento S = {c, kc, kkc, kkkc,.......}.
Definimos a variável aleatória X como sendo o número de
vezes que foi necessário lançar a moeda para a face \u201ccara\u201d
aparecer, portanto Rx = {1, 2, 3, 4, 5, ...........}, que é um
conjunto infinito enumerável.
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DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DE UMA 
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
A função representada pela equação P(X = xi) = pi , onde xi \u2208 Rx ,
denomina-se distribuição de probabilidades da variável
aleatória X e usualmente é dada na forma da tabela:
A função \u201cp\u201d é denominada função de probabilidade da variável 
aleatória X e deve satisfazer as seguintes condições:
1ª) pi \u2265 0, para qualquer i
2ª) \u2211 pi = 1
xi x1 x2 ... Xn
pi p1 p2 ... pn
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A partir do exemplo 1, se calcularmos P(X = xi) para todos os
valores de Rx , considerando que o espaço amostral S tem 36
pontos teremos os seguintes resultados:
P(X = 2) = P[(1; 1)] = 1/36
P(X = 3) = P[(1; 2), (2; 1)] = 2/36
P(X = 4) = P[(1; 3), (2; 2), (3; 1)] = 3/36
P(X = 5) = P[(1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1)] = 4/36
P(X = 12) = P[(6; 6)] = 1/36, que podem ser escritos da seguinte 
forma:
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
pi 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória
discreta pode ser representada através de um diagrama como
na figura a seguir:
p
i
x
i2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
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FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA - F(y)
Seja X uma variável aleatória discreta, a função distribuição
acumulada F é uma função real definida por:
F(y) = P(X \u2264 y) = p i
x yi\u2264
\u2211
A partir do exemplo podemos calcular a função distribuição 
acumulada, como segue:
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
pi 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
F(xi ) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 36/36
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A função distribuição acumulada F(y), assim
definida, é uma função real e pode ser calculada
para qualquer valor do intervalo (\u2212 \u221e; + \u221e).
Portanto o valor da função F(y), no exemplo
acima, para qualquer y < 2 é 0 (zero) e para
qualquer y \u2265 12 é 1(um).
Também devemos considerar que F(y) = 1/36 para
o intervalo [2; 3), e que F(y) = 3/36 para o
intervalo [3; 4) e assim sucessivamente para os
outros valores intermediários.
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO 
DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
2/36 
4/36 
6/36 
8/36 
10/36 
12/36 
14/36 
16/36 
18/36 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
20/36 
22/36 
24/36 
26/36 
28/36 
30/36 
32/36 
34/36 
1 
F(x) 
x 
 
+00 
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MÉDIA (Esperança matemática ou Epectância), 
VARIÂNCIA e DESVIO PADRÃO para v.a.d.
Média\u2192µ = E(X) = \u3a3 xi pi
Variância\u2192\u3c32 = V(X) = E (X - µ )2 pi = 
= E (X2) - [E (X) ]2 onde: E(X2) = \u3a3 xi2 pi
Desvio padrão \u2192\u3c3 = DP(X) = )X(V
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Ex.: Considerando o experimento aleatório e a
variável aleatória como definidos no exemplo 2
teremos:
µ = E(X) = \u2211 xi pi = 
\u3c32 = V(X) = \u2211 (xi - µ)2 pi = 
ou
\u3c32 = V(X) = E[X 2] - [E(X)]2 = 
\u3c3 = DP(X) = 
xi 0 1 2
pi 1/4 2/4 1/4
0
1
4
1
2
4
2
1
4
1\u22c5 + \u22c5 + \u22c5 =
( ) ( ) ( )0 1 1
4
1 1
2
4
2 1
1
4
1
4
1
4
2
4
1
2
2 2 2
\u2212 \u22c5 + \u2212 \u22c5 + \u2212 \u22c5 = + = =
0
1
4
1
2
4
2
1
4
1 0
2
4
4
4
1
1
2
2 2 2 2
\u22c5 + \u22c5 + \u22c5 \u2212 = + + \u2212 =
1
2
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VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
Quando os valores que compõe Rx formam um
conjunto infinito não enumerável a variável aleatória
X será chamada de contínua.
Exemplos: Tempo de vida de um animal, peso de uma
pessoa, vida útil de um componente eletrônico,
duração do efeito de um anestésico, etc.
O conjunto Rx será escrito como:
Rx = { x; x é o peso de uma pessoa adulta}
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DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DE UMA 
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
Seja X uma variável aleatória contínua, então Rx é um conjunto
infinito não enumerável, portanto X pode assumir qualquer
valor num intervalo [a; b] ou no intervalo (\u2212\u221e; + \u221e).
Admite-se uma função contínua f(x) chamada função densidade
de probabilidade que satisfaça as seguintes condições:
1ª) f(x) \u2265 0, para todo x \u2208 Rx
2ª) 1dx)x(f
Rx
=\u222b
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A função densidade de probabilidade é tal que a P(a < x < b) é
igual a área da figura limitada pela curva da função f(x), o eixo
da abscissas e as ordenadas dos pontos \u201ca\u201d e \u201cb\u201d e é dada
pela expressão P(a < x < b) = f x dx
b
a ( )\u222b
f(x)
xa b
P(a < x < b) = área sombreada da figura
É interessante observar que quando se trata de variáveis aleatórias
contínuas, temos que P(x = a) = , portanto P(a \u2264 x \u2264 b) =
P(a < x < b).
f x dx
a
a ( )\u222b = 0
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Medidas para variáveis aleatória contínuas
Esperança matemática (média)
µ = E(X) = 
Variância
\u3c32 = V(X) = E[x2] - [E(x)] 2 = 
Desvio padrão
\u222b
Rx
x.f(x)dx
x f x dx xf x dx
RxRx
2
2
( ) ( )\u2212 \uf8ee
\uf8f0
\uf8ef
\uf8f9
\uf8fb
\uf8fa\u222b\u222b
\u3c3 = =DP(X V X) ( )
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AULA 8 \u2013 DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADE
Estatística
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VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO 
BINOMIAL
DISTRIBUIÇÃO 
DE POISSON
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
* É uma das mais importantes para v.a.d. 
* Conhecida como distribuição de Bernoulli, em
homenagem ao suíço J. Bernoulli que foi o
primeiro a estudar esta distribuição no século
XVII.
* Foi ele quem introduziu o modelo probabilístico
chamado de \u201cexperimentos repetidos ou
\u201cexperimentos de Bernoulli\u201d.
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HIPÓTESES em que se baseia a distribuição:
1ª) Existem apenas dois resultados possíveis,
sucesso e fracasso;
2ª) A probabilidade de sucesso é constante nas
diversas realizações do experimento;
3ª) Os experimentos são todos independentes.
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Função de probabilidade para a 
Distribuição Binomial
xnxx
n .qp.Cx)P(X \u2212==
onde:
n \u2192 número de ensaios
x \u2192 número de sucessos em n ensaios
p \u2192 probabilidade de ocorrência de sucesso em um único ensaio
q \u2192 probabilidade de ocorrência de fracasso em um único ensaio
PARÂMETROS