9. Inferência para Duas Populações - Parte II

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17/09/2013 
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Inferência para Duas Populações 
Parte II 
Luis A. Toscano 
Est-UFMG 
Comparação de duas Médias 
Caso 2: Amostras independentes 
Inferências sobre a Diferença entre as Médias de duas Populações, 1 
e 2 conhecidos : 
População 1 
1 = média da população 1 
1 - 2 = diferença entre as 
médias das populações 
Duas Amostras Aleatórias 
Simples Independentes 
População 2 
2 = média da população 2 
• Amostra aleatória simples de n2 obs.; 
• = média amostral da população 2 
2x
• Amostra aleatória simples de n1 obs.; 
• = média amostral da população 1 
1x
 Estimador pontual de 1 - 2 
 21 xx
Comparação de duas Médias 
Caso 2: Amostras independentes com 1 e 2 conhecidos 
Estimação da Diferença entre as Médias de duas Populações : 
 Estimador pontual de 1 - 2  21 xx















2
2
2
1
2
1
2121 ),(~
nn
Normalxx

Se ambas populações tiverem uma distribuição normal, ou se os tamanhos de 
amostra forem suficientemente grades a ponto de o Teorema Central nos permitir 
concluir que 
Uma estimação por intervalo assumirá a seguinte forma 
2
2
2
1
2
1
2/21
nn
zxx

 
Margem de erro 
 
Em que (1 - ) é o coeficiente de confiança. 
• Seja X a variável aleatória que representa a característica de interesse em 
cada uma das populações. 
• O tamanho das amostras aleatórias independentes n1 e n2 podem, 
eventualmente ser iguais; 
• Queremos testar: 
211
210
:
:




H
H
H0 As médias populacionais são iguais; 
H1: As médias populacionais as médias não são iguais 
• As hipóteses em termos das medias populacionais  1 e 2 ; 
• Podemos reescrever as hipóteses em termos de d = 1 - 2 
0:
0:
1
0


d
d
H
H


Caso 2: Amostras independentes com 1 e 2 conhecidos 
• Para denotar as diferenças hipotéticas entre 1 e 2 , as três formas de um teste 
de hipóteses são as seguintes: 
211
210
211
210
211
210
:
:
:
:
:
:












H
H
H
H
H
H
 Nestes casos, a hipótese nula é que 1 e 2 são iguais. A rejeição de H0 leva à 
conclusão de que H1 é verdadeira; ou seja 1 e 2 não são iguais. 
• A estatística de teste para testes de hipóteses sobre 1 - 2 quando 1 e 2 
conhecidos é a seguinte: 
 
2
2
2
1
2
1
21
nn
xx
zobs




Caso 2: Amostras independentes com 1 e 2 conhecidos Ex.: Como parte de um estudo para avaliar as diferenças na qualidade educacional 
entre dois centros de ensino, um exame padronizado é aplicados pessoas que 
estudam nesses centros. A diferença entre a média das notas obtidas no exame é 
usada para avaliar as diferenças de qualidade entre os centros. Um nível de 
significância  = 0,05 é especificado para o estudo. 
São tomadas duas amostras independentes tomadas de duas populações: 
 Amostra 1: Amostras 2: 
 
 
 
10
82
30
1
1
1




x
n
10
78
40
2
2
2




x
n
Esses dados sugerem uma diferença significativa entre as médias populacionais dos 
dois centros de ensino? 
Conclusão: 
Ao nível de 5%, há evidencias que as médias populacionais dos dois centros são 
iguais. 
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Ex.: A Associação Automobilística dos Estados Unidos afirma que o custo médio 
diário para refeições e alojamento no Texas é menor do que o mesmo custo médio 
no estado de Washington. 
São tomadas duas amostras independentes tomadas das duas populações: 
 Amostra 1 (Texas): Amostras 2 (Washington ): 
 
 
 
15$
208$
50
1
1
1
US
USx
n



 28$
218$
35
2
2
2
US
USx
n




Sendo α=0,05, há evidencia suficiente para confirmar a afirmação? 
Construa um intervalo de confiança de 95% para µd. 
Conclusão: 
Ao nível de 5%, há evidencias suficiente para confirmar a afirmação. 
Possíveis situações na comparação de duas populações 
Duas 
Amostras 
Dependentes 
Caso 1 
Independentes 
Variâncias 
 Conhecidas 
Caso 2 
Variâncias 
Iguais 
Caso 3 
Variâncias 
 Desconhecidas 
Variâncias 
Diferentes 
Caso 4 
22
1
22
0
21
21
:
:




H
H
Testes de Igualdade de Variâncias 
• Sejam X e Y as variáveis aleatórias representando as características de interesse 
em cada uma das populações, tais que X ~ Normal(x,x
2) e Y ~ 
Normal(y,y
2); 
• O tamanho das amostras aleatórias independentes n1 e n2 podem, 
eventualmente ser iguais; 
• Queremos testar: 
• Observe que as hipóteses podem, de forma equivalente, ser expressas como: 
1:
1:
2
2
2
1
2
2
2
1
1
0






H
H
• Utilizaremos a quantidade 
Testes de Igualdade de Variâncias 
)]1(),1[(2
2
21
~  nn
y
x
obs F
S
S
F
• Sob a hipótese nula, pode ser mostrado que F segue uma distribuição de 
Fisher-Snedecor. 
• Fixado , temos que RC={F<f1 ou F> f2} onde f1 e f2 são 
P[F ≤ f2 ] = 1- α 
P[F ≤ f1 ] =α/2 
f2 f1 
Observação: podemos calcular 
f1 = 1/f2 
P[F > f2 ] = α/2 
Usando a tabela Distr. F, onde P[F ≤ f2 ] = 1- α, 
obtemos f2 
)]1(),1[( 21  nn
F
• Se Fobs € RC, rejeitamos a hipótese de igualdade das variâncias. 
Exemplo: Se queremos testar que as variâncias do diâmetro das esferas produzidas 
pelos métodos antigo (X) e novo (Y) são iguais ou não, isto ´é, 
22
1
22
0
:
:
YX
YX
H
H




22
2
22
1
19,0,89,29,15
03,0,93,29,15
mmSmmYn
emmSmmXn
Y
X


Se  = 0,10 determinamos a RC do teste, 
P[F ≤ f2 ] = 0,95 
P[F ≤ f1 ] =0,05 
f2= 2,484 f1=0,403 
Testes de Igualdade de Variâncias 
Observação: considerando que f1 = 
1/f2 podemos calcular 
f1 = 1/(2,484) = 0,403 
P[F > f2 ] = 0,05 
Usando a tabela Distr. F, onde P[F ≤ f2 ] = 0,95, temos 
que f2 ≈ 2,46 e usando Excel temos que f2= 2,484 
F(14,14) 
A estatística do teste observado 
Portanto, concluímos ao nível de 0,10 que existem diferenças em termos da 
homogeneidade de diâmetros. 
RCFobs  158,0
19,0
03,0
}484,2403,0{  obob FouFRC
Testes de Igualdade de Variâncias 
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Maquina A 145 127 136 142 141 137
Maquina B 143 128 132 138 142 132
• Queremos verificar se duas máquinas produzem peças com a mesma 
homogeneidade quanto à resistência à tensão. 
• Para isso, sorteamos duas amostras de seis peças de cada maquina, e 
obtivemos as seguintes resistências. 
Exemplo: Diferença entre Variâncias 
• É assumido normalidade das medidas de resistência á tensão, para as duas 
maquinas. 
• Com nível α=0,10 rejeitamos a hipótese de variâncias iguais? 
 
• Caso tivéssemos rejeitado a hipótese de igualdade das variâncias, seria 
conveniente obter um intervalo de confiança para o quociente das duas variâncias. 
• O Intervalo de Confiança de (1-α)% para é 
Exemplo: Diferença entre Variancias 
• Exemplo: Suponha que para outras seis medidas para as maquinas A e B 
tivéssemos e . 
• Como Fobs=85/8=10,62, rejeitamos H0. 
• Contrua o Intervalo de Confiança de 90% para . 
2
1
2
2 /
 2
1
2
2
22
1
2
2
1
;
S
S
f
S
S
f
852 AS 8
2 BS
22 / AB 