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hachette maths reperes 1ere s

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SEd6 @ ;
 si I − I = 2 alors C ONd6 @ ;
 si I + J = − 2 alors C OSd6 @ ;
si I + J < 2 ou I − J < 2 ou I + J − 2 ou 
J − I < 2 ; alors C est dans le carré donc 
pour que le jeu s’arrête il faut être sur le 
contour.
b. K représente le nombre de questions 
posées dans la partie.
2. a. (3, 4, 2).
(0, 0) → (0 ; − 1) → (1, − 1) → le jeu 
s’arrête avec la fi nale et S et E.
(3 ; 4 ; 2) n’est pas possible.
b. (1, 3, 3, 4).
(0, 0) → (0, 1) → (0, 0) → (0, − 1) → 
(1, − 1) combinaison possible fi nale : Sud/
Est.
c. (2, 1, 4, 2) impossible.
d. (2, 4) : le jeu n’est pas fi ni :
(0, 0) → (− 1, 0) → (0, 0).
e. (2, 4, 2, 3) : 
(0, 0) → (− 1, 0) → (0, 0) → (− 1, 0) → 
(− 1, − 1). Finale Ouest/Sud.
3. Représentation de la situation.
E
N
1/2
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
11
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/2
1/2
E
ES
O
N
le Nord 
gagne
N
E
E
N
E
N
N
E
finale 
N/E
l'Est 
gagne
finale 
N/E
le Nord 
gagne
finale 
E/N
finale 
E/N
l'Est 
gagne
S finale S/E
N finale N/E
E l'Est 
gagne
N finale E/N
E l'Est gagne
S finale E/S
O
E finale E/S
le Sud 
gagne
1
E
N
S
N
1
S
1
S
1
S
a. p
4
1= .
b. 
p
4
1 1 1
4
1
4
1 1
4
1 1 1
4
1
1 + +# # # # # # #=
 1
4
1 1
16 16 8
3+ += = .
c. X( ) ; ;2 4 6X = " , .
P (X )2
4
11
4 2
1+= = = ;
P (X )4
4
1 1 1
4
1
# # #= = 
3 1 1 3
4
1
4
1+# # # # #=
 
16
3
16
3
16
6
8
3+= = =
P (X )6
4
1 1 1
4
1
2
1
2
1
# # # # #= =
4 2 ;
64
8
8
1
# # = =
X 2 4 6
(X )p xi= 2
1
8
3 1
8
(X) 1E
42
3 3+ += ;
E (X) ,13 3 25
4
= = .
 © Hachette livre, 2011 Repères 1re, Livre du professeur
Livre du professeur
 53 
87. 1. 
Achète
N’achète 
pas
Total
Possède un bon 85 340 425
Ne possède pas 
de bon
30 45 75
Total 115 385 500
X( ) ; ; ;20 0 80 100–X = " , .
X − 20 0 80 100
(X )p xi= 500
340
500
45
500
85
500
30
(X ) ,P 0
500
0 0945= = = .
2. E (X) 6= .
3. Soit a le montant du gain et Y le gain 
du magasin.
Y − a 0 100 − a 100
(Y )p yi= 500
340
500
45
500
85
500
30
E ( )
( ) 100 30Y a
a340
500 500500
85 100– –+ + #= 
E (Y) 11 500425a
500
– += .
On veut que
E ( ) 10, 25 425 11 500 5 125Y a– ++= =
 a425 6 375+ =
 a 51+ = .
88. 1. 
E ( X ) ( )x p2 3 2 3
1
i i
i
i n
+ +=
=
=/
 x p p2 3
11
i i i
i
n
i
n
+=
==
//
 2E (X) 3+= .
2. V ( X ) ( )x p4 1 4 1– – 2
1
i i
i
n
+ +=
=
/
(E ( 4X 1))– – 2+
 (16 8 1)x x p–2 2
1
i i i
i
n
+=
=
/
( 4E (X) 1)– – 2+
 x p x p16 8–2 2
11
i i i i
i
n
i
n
=
==
//
( (E (X)) E (X) )p 16 8 1– –
1
i
i
n
+ +
=
/
 E (X)x p16 8 1–2
1
i i
i
n
+=
=
/
( (E (X)) E (X) )16 8 1– –2 +
 = 16( (E (X))x p –2 21 i ii
n
=
/ )
 = 16V(X)
89. E (X E (X)) ( E (X)x p– –
1
i i
i
n
=
=
/
 E (X)x p p–
1 1
i i
i
n
i
i
n
=
= =
/ /
 E (X) E (X)–=
 0=
90. E (X) x p
1
i i
i
n
=
=
/
x x xi i nG G
xi i i i n ip xG p xG p car p 0iH
x p x x p
11 1
i i i i
i
n
i
n
n i
i
n
G
== =
pG// /
E (X)x xi nGG car p 1
1
i
i
n
=
=
/ .
91. • E (X) x
1
i i
i
n
=
=
(Xp x= )/
On sait que pour tout entier i tel que 
i n1G G on a x x xi n1G G .
Donc
(X ) (X ) (X )x p x x p x x p x1 i i i n iG G= = = 
(car (X ) 0p xi H= ) d’où 
(X ) (X ) (X )x p x x x x p x1
11 1
i i i
i
n
i
n
n
i
n
iG= = =
== =
p G// /
(X ) E (X) (X )x p x x x1
11
i n i
i
n
i
n
G G= =
==
p//
E (X)x x1 nG G .
On a V (X) ( (X )) E (X)x p x –2 2
1
i i
i
n
= =
=
/ .
Donc E (X) V (X) E (X)x x– –1
2 2 2 2
nG G .
Or E (X)x x0 1 nG G G , donc 
E (X)x x1
2 2 2
nG G d’où (X) x x– 1nv G , 
• E (X) x 1
1 1
i i
i
n
i
i
n
H=
= =
(X (X )p x p x 1H= =)/ / .
V (X) E (X) E (X) E (X )–2 2 2= = .
 (X )x p x2
1
i i
i
n
= =
=
/ .
Or x0 12iG G , donc
E (X )0 2
1
i
i
n
G G
=
(X )p x=/ d’où 
V (X)0 1G G . 
Comme (X) V (X)v = et V (X) ;0 1d ,6 @ 
alors V (X) (X)Gv .
92. 1. On a par exemple.
4 �
1 �
6 �
8 �
9 �
7 �
10 �
3 �
5 �
2 � 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Personne Gain (en )
➀ 7
➁ 11
➂ 15
➃ 23
➄ 24
➅ 26
➆ 20
➇ 18
➈ 10
➉ 11
2. Si tous les joueurs ont un gain stricte-
ment inférieur à 17, donc inférieur ou égal 
à 16, alors la somme de tous les gains sera 
inférieure à 16 × 10 = 160.
Or, lorsqu’on fait la somme des gains de 
tous les joueurs, on va compter 3 fois les 
montants 1 ; 2 ; 3 ; … ; 10. Soit un total 
de :
3 10 11i
2
165 1603
1
10
i
#
# 2= =
=
/
ce qui est contradictoire.
Donc au moins une des dix personnes 
aura un gain supérieur ou égal à 17 .
Voir le site Internet : 
http://euler.ac-versailles.fr/webmathemativa/
clubcomplet/olympiades/htm
93. L’urne contient : 5 jetons bleus ; 
15 jetons blancs et 30 jetons rouges.
1.
X − 8 2 4
(X )p xi= 10
1
5
3 1
10
E (X) 8
10 10
6
10
12– + += ;
E (X)
10
10 1= = .
2. a. X( ) ; ; xx x– 3 2X = " , .
 En route vers le Bac (p. 210-211) 
Chap. 5 Probabilités
Chap. 5 Probabilités
Livre du professeur
 © Hachette livre, 2011 Repères 1re, Livre du professeur 54 
1. Simulation de tirages au hasard
Partie expérimentale
1. ALEA() est un nombre compris entre 0 et 1
d’où A ()LEA0 11G ;
donc ALEA() 1 6+ 1*0 6G ;
ALEA() 1 7+ 1*1 6G donc ENT(6*ALEA() + 1) est un entier 
compris entre 1 et 6 ; donc cela représente la simulation du dé.
La formule signifi e que si le lancer simulé obtenu est 1 alors on 
affi che 1 sinon on affi che 0.
Lien avec le texte : Le numéro 1 est attribué à la boule verte, 
donc « obtenir le 1 » signifi e « obtenir la boule verte ».
2. Dans C7 on entre la formule suivante :
= Si (ENT(5*ALEA() + 1)13 ; 1 ; 0).
Dans D7 on entre la formule suivante :
B7 C7+= .
Le nombre moyen est (somme (D7 : D16))/10.
3. X( ) { ; ; }0 1 2X =
Dans trois cellules on donne le nombre de 0, 1 et 2 obtenu en 
utilisant :
« NB.SI= (D7 : D16 ; 0) » ;
« NB.SI= (D7 : D16 ; 1) » ;
« NB.SI= (D7 : D16 ; 2) ».
Il suffi t de diviser par 10 pour conclure.
Partie mathématique
V R1 R2 R3 R4 R5
V1 (V V1) (R1 V1) (R2 V1) (R3 V1) (R4 V1) (R5 V1)
V2 (V V2) (R1 V2) (R2 V2) (R3 V2) (R4 V2) (R5 V2)
R1 (V R1) (R1 R1) (R2 R1) (R3 R1) (R4 R1) (R5 R1)
R2 (V R2) (R1 R2) (R2 R2) (R3 R2) (R4 R2) (R5 R2)
R3 (V R3) (R1 R3) (R2 R3) (R3 R3) (R4 R3) (R5 R3)
X( ) {0 ; 1 ; 2}=X .
X 0 1 2
(X )p xi= 2
1
30
13
15
1
X 0 1 2
(X )p xi= 30
15
30
13
30
9
E (X) 0
30
13
30
1
15
2 7+ += = . C’est conforme en simulant plus de 
10 parties.
2. Simulation d’un lancer de deux dés
1. Si on obtient 4 ou 5 on gagne 2 sinon on perd 1.
Partie expérimentale
2. Dans A1 : « = ENT(6 × ALE() + 1)).
Idem dans A2.
3. Dans C1 : « = Si (A A ; A A ; A A )0– – –1 2 1 2 2 12 .
 TP Info (p. 212-213)
E (X) 0, 1 0, 6 0, 3x x x– 3 2+ +#=
 0, 1 0, 3 0, 6x x x– 3 2+ +=
b. f est dérivable sur ;0 3+6 6.
f ¢(x) = − 0,3x2 + 0,6x + 0,6 ; l’étude du si-
gne de ce trinôme donne : f est croissante 
sur 0 ; 1 3+6 @ et f est décroissante sur 
1 ;3+ 3+6 6.
E(X) est maximal pour 1x 3+= donc 
g 1 30 += 
g0 = 2,73 euros arrondi au centimes.
94. 
1. ,p
100
30 0 30 = = ; p1 = 0,25 ; p2 = 0,2 ; 
p3 = 0,15 ; p4 = 0,1. 
2. (pn) est une suite arithmétique de rai-
son − 0,05.
3. a. X( ) 0 ; ; ; ;1 2 3 4– –X = " , .
X 0 − 1 2 − 3 4
(X )p xi= 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1
E (X) ,0 1= .
95. 1. Aire du carré : 202 = 400 cm2 ;
Aire du disque D : 1 cm2 2#r r= ;
Aire d’un secteur angulaire :