hachette maths reperes 1ere s
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hachette maths reperes 1ere s


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v1 (
,
,
3 5
7 8\u2013 ) ne sont pas colinéaires.
2. 6,4 × 10,85 \u2212 22,4 × 3,1 = 69,44 \u2212 69, 44 = 0, donc u2 ( 1
4,
,
6
3 )
et v2 ( 85
4,
,
22
10 ) sont colinéaires.
Permet l\u2019introduction des notions suivantes :
Vecteurs (« introduction » et « le coin des langues ») ;
Colinéarité (« charade ») ;
Droites et équations. 
 Découverte (p. 306-307) 
 Ouverture du chapitre (p. 304-305) 
 © Hachette livre, 2011 Repères 1re, Livre du professeur
Livre du professeur
Chap. 8 Géométrie plane
 71 
3. 20 ( 6)2
1
\u2013 \u2013# # ( 3
5\u2013 ) 10 10 0\u2013= = , donc u3 ( 21
6\u2013
) et 
v3 ( 35
20
\u2013 ) sont colinéaires.
2. Etre ou ne pas être une droite
1. (E2), (E3), (E4), (E6), (E7), (E8) semblent être des droites.
2. 
1. y ax b+= ou x c= avec a, b, c réels fi xés.
2. (E2) : y x2
3
2
5+= (E3) : x 4\u2013= (E4) : y x3
4 2\u2013 \u2013=
(E6) : y 1\u2013= (E7) : y x2
3 7\u2013= (E8) : x 5=
3. (E2), (E3), (E4), (E6), (E7), (E8) sont des droites. 
3. Un peu de mouvement
1. E est un point de [AB] donc il existe un réel k de [0 ; 1] tel que 
.AE ABk=
F est un point de [AC] donc il existe un réel ¢k de [0 ; 1] tel que 
.AF AC¢k=
Or (EF) est parallèle à (BC), donc d\u2019après le théorème de Thalès, 
AB
AE
AC
AF= , d\u2019où .k k= ¢
2. ( )AG AE AF AB AC AB AC ADk k k k+ + += = = = , donc G 
appartient à [AD].
3. Réciproquement, si H est un point de [AD], alors il existe un réel k 
de [0 ; 1] tel que ( )AH AD AB AC AB AC AI AJk k k k+ + += = = = 
où I est un point de [AB] et J est un point de [AC] tels que (IJ) est 
parallèle à (BC) (d\u2019après la réciproque du théorème de Thalès).
4. G décrit donc la diagonale [AD] du parallélogramme.
 Logique et notations (p. 314) 
1. 1. Alexandre ne prend ni le bus n° 3 ni le bus n° 10.
2. \ue027xd\ue052, ( ) .f x 31
3. Tout point de la droite (AB) a une ordonnée différente de 4.
2. 1. Si un quadrilatère n\u2019a pas de côtés perpendiculaires, alors 
ce n\u2019est pas un rectangle.
2. Si un point n\u2019appartient pas à la médiatrice d\u2019un segment, 
alors ce point n\u2019est pas le milieu de ce segment.
3. Les droites (CE) et (BD) sont perpendiculaires à la droite (AB), 
donc (CE) et (AB) sont parallèles.
De plus, les points A, C et B sont alignés.
Donc si les points A, E et D sont alignés, alors, d\u2019après le théorème 
de Thalès, on a 
AB
AC
AD
AE= d\u2019où 2 6 , .AE
AB
AC AD
8 2
3 1 5# #= = = =
Par conséquent, si AE = 1,6 cm, alors les points A, E et D ne sont 
pas alignés.
 Raisonnement mathématique (p. 316-317) 
À vous de jouer, page 316 
1. 1. 3 5 10 0x y\u2013 \u2013 + =
2. 4 1 0x + =
3. y3 2 0\u2013 =
2. 1. y x
5
4
5
2+=
2. 3y x
2
1 +=
3. y
4
1=
À vous de jouer, page 317 
La droite (d) d\u2019équation 0ax by c+ + = a pour vecteur direc-
teur u ( ba
\u2013 ).
La droite (d¢ ) d\u2019équation 0y c+ =¢x b+¢a a pour vecteur direc-
teur v ( ¢¢
b
a
\u2013 ).
(d)//(d¢ ) u+ ( ba
\u2013 ) et v ( ¢¢
b
a
\u2013 ) sont colinéaires
 ) 0=( ¢a b\u2013 \u2013¢b a\u2013+ #
 .b 0=¢a\u2013¢ab+
Livre du professeur
Chap. 8 Géométrie plane
 © Hachette livre, 2011 Repères 1re, Livre du professeur 72 
Entraînez-vous, page 319 
1. 
1. 
2. D\u2019après la relation de Chasles, 
SP SN NM MP+ += , or NS NM
5
2= , 
donc SP NM NM MP
5
2\u2013 + += , d\u2019où 
SP NM MP
5
3 += .
De même, NR NM MR+= , or 
MR MP
3
5= , donc NR NM MP
3
5+= , 
donc NR SP
3
5= .
Ainsi les vecteurs SP et NR sont colinéaires, 
donc les droites (SP) et (NR) sont parallèles.
2. Première méthode
FE FA AE AC AB
2
1
3
2\u2013+= =
BG BA AG AB AC
4
3\u2013+ += =
Donc BG FE
3
2=
Ainsi les vecteurs FE et BG sont colinéaires, 
donc les droites (FE) et (BG) sont parallèles.
Deuxième méthode
Dans le repère ( , , )AB ACA : E( ;3
2 0\u2013 ), 
F(0 ; 2
1\u2013 ), B(1 ; 0) et G( ;0 4
3) donc
FE (
2
1
3
2\u2013 ) et
BG ( 1
4
3
\u2013 ) ( )32 43 1 21\u2013 \u2013 \u2013# #
2
1
2
1 0\u2013 += =
 Ainsi les vecteurs FE et BG sont colinéaires, 
donc les droites (FE) et (BG) sont parallèles.
Troisième méthode
AG
AF
4
3
2
1
3
2= = et 
AB
AE
3
2= . Donc 
AG AB
AF AE= .
Or les points F, A, C d\u2019une part et les 
points E, A, B d\u2019autre part sont alignés 
dans cet ordre.
Donc d\u2019après la réciproque du théorème 
de Thalès, les droites (FE) et (BG) sont 
parallèles.
Entraînez-vous, page 321
1. D\u2019après la relation de Chasles, 
TR TM MN NR+ += , or MT MN4= 
donc TR 3MN NR\u2013 += .
R est le symétrique de Q par rapport à N, 
donc NR QN= , d\u2019où 3TR MN QN\u2013 += .
Donc, d\u2019après la relation de Chasles, 
3TR MN QP PN\u2013 + += .
Puisque MNPQ est un parallélogramme, 
QP MN= , donc \u2013 2TR MN PN+= .
D\u2019après la relation de Chasles, 
TS TM MS+= , or MT MN4= , et 
4MS MP\u2013= donc 4 4TS MN MP\u2013 \u2013= 
d\u2019où 4 4( )TS MN MN NP\u2013 \u2013 += .
Ainsi \u2013 8 4TS MN PN+= , donc TS TR4= .
Ainsi les vecteurs TS et TR sont colinéai-
res, donc les points T, S et R sont alignés.
2. Première méthode
EF EA AF AB AC AB
3
1
4
1
3
1+ + += =
AB AC
3
2
4
1+= ;
EG EA AB BG AB AB AC
3
1
2
1+ + + += =
AB AC
3
4
2
1+= ;
Donc EG EC2= .
Ainsi les vecteurs EG et EC sont coli-
néaires, d\u2019où les points E, F et G sont 
alignés.
Deuxième méthode
Dans le repère (A, AB , AC ) : E( ;3 0
1\u2013 ), 
F( ;3
1 1
4) et BG AC2
1= donc
BA AG AC
2
1+ = ,
d\u2019où AG AB AC
2
1+= , ainsi G( ;1 12).
Par conséquent, EG (
2
1
3
4
) et EF (13
4
2
) .
Donc EG EC2= .
Ainsi les vecteurs EG et EC sont colinéai-
res, d\u2019où les points E, F et G sont alignés.
3. Première méthode
DE DA AE DA AB
2
1+ += = ;
DF DA AF DA AB BC
2
3
3
2\u2013+ += =
DA AB AD DA AB
2
3 2 3
2
3\u2013+ += = .
Donc DF DE3= .
Ainsi les vecteurs DF et DE sont colinéai-
res, d\u2019où les points D, E et F sont alignés.
Deuxième méthode
Dans le repère (B, BC , BA ) : E(0 ; 12), 
BF BA AF BA AB BC
2
3
3
2\u2013+ += =
BA BC
2
1
3
2\u2013 \u2013= .
Donc F( ;3
2
2
1\u2013 \u2013 ) .
BD BA AD BC BA
3
1+ += = .
Donc D( ;3
1 1) .
D\u2019où DE ( ;3 2
11\u2013 \u2013 ) et DF ( ;1 2
3\u2013 \u2013 ) .
Donc DF DE3= .
Ainsi les vecteurs DF et DE sont colinéai-
res, d\u2019où les points D, E et F sont alignés.
Entraînez-vous, page 322
CF CA AF CA BA AC
4
5+ + += =
AB AC
4
1\u2013 += ,
donc DE CF2\u2013= .
CF CA AF CA BA AC
4
5+ + += = =
AB AC
4
1\u2013 + ,
donc .DE CF2\u2013=
Ainsi les vecteurs DE et CF sont colinéai-
res, donc les droites (DE) et (CF) sont pa-
rallèles.
Entraînez-vous, page 323
1. u1 ( 32
\u2013 ), u2 ( 23
\u2013 ), u3 (
3
2
\u2013
1 ), u4 (
1
2
3\u2013 )
2. u u21 3= , donc (d1) et (d3) sont paral-
lèles, et u u2\u20132 4= donc (d4) et (d2) sont 
parallèles.
Entraînez-vous, page 324
1. Puisque la droite T est parallèle à la 
droite (AB), on sait que le vecteur AB est 
un vecteur directeur de T . Or le vecteur 
AB a pour coordonnées ( x xy y
\u2013
\u2013
B A
B A
), c\u2019est-à-
dire ( ( )2 12 4
\u2013 \u2013
\u2013 \u2013 ) soit (
3
6\u2013 ).
 Exercices résolus (p. 318 à 325) 
 © Hachette livre, 2011 Repères 1re, Livre du professeur
Livre du professeur
 73 
Un point M de coordonnées (x ; y) appar-
tient à T si, et seulement si, CM ( 3xy 3\u2013
+ )
et AB sont colinéaires, ce qui équivaut 
successivement à :
6( 3) 3( 3) 0x y\u2013 \u2013 \u2013+ =
x y6 3 9 0\u2013 \u2013 \u2013 = , ce qui peut se simpli-
fi er pour donner 2 3 0.x y+ + =
Par conséquent, T a pour équation 
2 3 0.x y+ + =
2. Le point D ( 2 ; )\u2013 a appartient à T si, 
et seulement si, ses coordonnées vérifi ent 
l\u2019équation de T .
D\u2019où 2 ( 2) 3 0\u2013 + +# a = , ce qui donne 
1a = .
Par conséquent, le point de T d\u2019abscisse 
(\u2212 2) a pour ordonnée 1.
3. Calculons si les coordonnées de E véri-
fi ent l\u2019équation de T .
2 3 2x yE E+ + #= ( 2
1\u2013 ) 3,2
3+ +
donc 2 3 2 3 6,x y
2
\u2013
E E+ +
+ += d\u2019où 
2 3 .x y
2
7
E E+ + =
Ainsi 2 3 0.x yE E+ + !
Par suite, le point E n\u2019appartient pas à la 
droite T .
Entraînez-vous, page 325
1. 1. Une équation cartésienne de (d) 
est 4 1 0x